(完整版)反比例函數(shù)知識點(diǎn)歸納和典型例題

人教版八年級數(shù)學(xué)下冊反比例函數(shù)知識點(diǎn)歸納和典型例題（一）知識結(jié)構(gòu)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)ky=-1?理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式（k為常數(shù),^r°），能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).2.能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).3?能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)（k為常數(shù)，匕于°）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.對于實(shí)際問題，能"找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實(shí)際問題”的過程,體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動變化觀點(diǎn)，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)形結(jié)合的思想方法.（三）重點(diǎn)難點(diǎn)?重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運(yùn)用.?難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.二、基礎(chǔ)知識（一）反比例函數(shù)的概念（泳汕）可以寫成卩一廠（'二“）的形式，注意自變量x的指數(shù)為一1,在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)忙［這一限制條件；，:y——（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3?反比例函數(shù)的自變量心，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點(diǎn).（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對稱）.（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)k■p=—1?函數(shù)解析式：（*Ji）2.自變量的取值范圍：'嚴(yán)。3?圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線.越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)上''匚時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（3）對稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（一”，-；）在雙曲線的另一支上?圖象關(guān)于直線丁"對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，則（，總）和（，）在雙曲線的另一支上.4.k的幾何意義■t如圖1,設(shè)點(diǎn)P（a，b）是雙曲線上任意一點(diǎn)，作PA3X軸于A點(diǎn)，PB阿軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是（三角形PAO和三角形PBO的面積都是）.如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QC0PA的延長線于C，則1圖2

（2）直線一小與雙曲線的關(guān)系:當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)吒甩"時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.（3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.（四）實(shí)際問題與反比例函數(shù)1?求函數(shù)解析式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.2?注意學(xué)科間知識的綜合，但重點(diǎn)放在對數(shù)學(xué)知識的研究上.（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.A.y=3xBA.y=3xB.C.3xy=1（2）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）.B.C.；B.C.；■11—D.2?圖象和性質(zhì)（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù),若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么k=②若y隨x的增大而減小，那么k=（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、（2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,?-—?jiǎng)t函數(shù)的圖象位于第.象限.象限.丁"IT?——象限.（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（，2），則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第.--（4）已知ab<0，點(diǎn)P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上,則直線不經(jīng)過的象限是（）?第一象限第二象限第三象限第四象限第一象限第二象限第三象限第四象限_2（5）若P（2,2）和Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過（）.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限恥'：”，且吩則HA.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限恥'：”，且吩則H的值為()?A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)-.J--I，1：=r.'i(2)在函數(shù)(a為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)'-7化士九rr4，2，則函數(shù)值刃、丫*的大小關(guān)系是().A.＜兒＜兀B.七＜乃＜C.川＜兀＜D.兒＜兀＜_J-y=—p=_⑶下列四個(gè)函數(shù)中：①廠3②：③：④2.y隨x的增大而減小的函數(shù)有().A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)(1)在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點(diǎn)，則當(dāng)x〉0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而(填"增大”或"減小”).4?解析式的確定(1)若與成反比例，與成正比例，則y是z的().A.正比例函數(shù)BA.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.不能確定卜＞■--(2)若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為(2,m),則m=它們的另一個(gè)交點(diǎn)為.y~—--c-＞-—隔已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值.已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)()的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P(x0,3).①求x0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（5）為了預(yù)防"非典”，某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克.請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題:藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為.研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過分鐘后，學(xué)生才能回到教室；研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅Z---（1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過這三個(gè)點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則（）?JJ:_-（2）如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的任意兩點(diǎn)，AC//y軸，BC//x軸，國ABC的面積S，貝y（）.A.S=1B.1<S<2C.S=2D.S〉2y=—（3）如圖，R也AOB的頂點(diǎn)A在雙曲線上，且S0AOB=3，求m的值.第（3）題圖第（3）題圖第（4）題圖已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x,y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1,P1R1,垂足分別為Q1,R1，過P2分別作x軸、y軸的垂線P2Q2,P2R2,垂足分別為Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長，并比較它們的大小.I--如圖，正比例函數(shù)y=kx(k〉0)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過A作x軸垂線交x軸于B,連接BC,若國ABC面積為S,則S=.第(5)題圖第(6)題圖}[—如圖在Rt0ABO中，頂點(diǎn)A是雙曲線與直線在第四象限的交點(diǎn)，AB馭軸于B2且S國ABO=：.①求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；②求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和0AOC的面積.如圖，已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)<*.v----(k〉0,x〉0)的圖象上，點(diǎn)P(m,n)是函數(shù)(k〉0,x〉0)的圖象上任意一點(diǎn)，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F,設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S.①求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；③寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.6?綜合應(yīng)用6?綜合應(yīng)用y=—__(1)若函數(shù)y=k1x(k1H0)和函數(shù)(k2工0)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共點(diǎn)，則k1和k2()?()?A.互為倒數(shù)B.符號相同C.絕對值相等D.符號相反(2)如圖，一次函數(shù)x的圖象與反比例數(shù)-：的圖象交于A、B兩點(diǎn)：AC2,1),B(1,n).求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)(m^O)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D,若OA=OB=OD=1.①求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.(4)如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC，OD(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).①利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；②雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得0POC和國POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)