含有30°角的直角三角形的性質(zhì)課件

含有30°角的直角三角形的性質(zhì)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)1知識回顧1.等邊三角形的有性質(zhì)有哪些？性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等.性質(zhì)2：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.幾何符號語言：∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC=AC∴∠A=∠B=∠C=60°幾何符號語言：∵△ABC是等邊三角形注明：1、等邊三角形每條邊上中線、高線和所對角的平分線都三線合一.2、等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，且交于一點.知識回顧1.等邊三角形的有性質(zhì)有哪些？性質(zhì)1：等邊三角形的三2知識回顧2.等邊三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定義判定）：三邊都相等的三角形是等邊三角形.幾何符號語言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形判定方法2:三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何符號語言：∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形判定方法3:有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.∵AB=AC,∠A=60°∴△ABC是等邊三角形幾何符號語言：幾何符號語言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形知識回顧2.等邊三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定義判3探究新知如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？ABDC30°結(jié)論：∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°∴△ABD是等邊三角形.∴BC=CD=∴證法1：∵△ADC是△ABC的軸對稱圖形∵AC⊥BD從中你可以得到什么結(jié)論呢？結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.探究新知如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這4在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推理論證:已知：30°證法2：延長BC至D，使CD=BC，連結(jié)AD.D在△ABC與△ADC中∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACDBC＝DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AB=AD∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=30°+30°=60°∴AB=BD∵∴求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°∴∠BAC=∠DAC=30°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊推530°證法3：在△ACB內(nèi)部作∠ACD=30°,交AB于D.推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°D∵∠A=30°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∵∠1=∠A+∠ACD=30°+30°=60°12∴∠2=∠ACB-∠ACD=90°-30°=60°∴∠B=180°-∠1-∠2=180°-60°-60°∴∠1=∠B=∠2∴△BCD是等邊三角形∴BC=CD=BD∴BC=AD=BD∴BC30°證法3：在△ACB內(nèi)部作∠ACD=30°,交AB于D.630°推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°證法4：在BA上截取BD=BC，連接DCD∴∠B=60°∵∠ACB=90°，∠A=30°又∵BD=BC∴△BCD是等邊三角形∴BC=BD=CD，∠1=60°12∴∠2=∠ACB-∠1=90-60°=30°∴∠A=∠2∴CD=AD∴CD=AD=BD∴BC30°推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=9730°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（簡記為：30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半）含30°角的直角三角形的性質(zhì)：歸納幾何符號語言：∵∠C=90°，∠A=30°∴或∵AC⊥BC，∠A=30°∴注意：1.含30°角的直角三角形的性質(zhì)實際上是由等邊三角形的軸對稱性質(zhì)得出的，是由特殊角在直角三角形中得出邊和邊的倍數(shù)關(guān)系，主要用于計算和證明線段的倍數(shù)關(guān)系.2.在運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)時，注意條件必須要有30°的角和在直角三角形中兩個條件.30°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直8ABCDE例1:如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱

BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、

DE要多長？課本例題解：∵BC⊥AC，∠A=30°∴∵DE⊥AC，∠A=30°∴答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m．∵D是AB的中點ABCDE例1:如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的9經(jīng)典例題例2:如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB邊上的高，∠A=30°.

求證：AB=4BD.1解：∵∠ACB=90°,∠A=30°∴∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∴∠1=30°∴∴經(jīng)典例題例2:如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是A10經(jīng)典例題例3:如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分線EF交AC于點E,交BC于點F,試判斷線段BF,CF有何關(guān)系？并說明理由.經(jīng)典例題例3:如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=12111.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于點D,交AB于點M,BD=8cm,則AC=_______cm.4122.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中線，

AE是∠BAD的平分線，DF//AB交AE的延長線于點F,則DF的長為_____4.5121.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB12例題3：某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要多少元？150°例題3：某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖的三角形空地上種13例4:如圖所示，∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P為OC上一點，PD∥OA交

OB于D,PE⊥OA于E,若OD=4cm,求PE的長.例4:如圖所示，∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P為OC14探究新知思考：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎？猜想：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°探究新知思考：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一15推理論證：猜想：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC∠A=30°已知：求證:證明：延長BC至D,使CD=BC，連接ADD.∵CD=BC∴AB=BD=ADD∴BC∵BC∴AB=BD∵AC⊥BD，BC=CD∴AC是BD的垂直平分線∴AB=AD∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=60°∵AC⊥BD∴∴AC平分∠BAD推理論證：猜想：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的16結(jié)論：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°歸納幾何符號語言：∵∠C=90°，∠A=30°∴結(jié)論：在直角三角形中，如果一直角邊的長等于斜邊長的一半，歸納17含有30°角的直角三角形的性質(zhì)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)18知識回顧1.等邊三角形的有性質(zhì)有哪些？性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等.性質(zhì)2：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.幾何符號語言：∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC=AC∴∠A=∠B=∠C=60°幾何符號語言：∵△ABC是等邊三角形注明：1、等邊三角形每條邊上中線、高線和所對角的平分線都三線合一.2、等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸，且交于一點.知識回顧1.等邊三角形的有性質(zhì)有哪些？性質(zhì)1：等邊三角形的三19知識回顧2.等邊三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定義判定）：三邊都相等的三角形是等邊三角形.幾何符號語言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形判定方法2:三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何符號語言：∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形判定方法3:有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.∵AB=AC,∠A=60°∴△ABC是等邊三角形幾何符號語言：幾何符號語言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等邊三角形知識回顧2.等邊三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定義判20探究新知如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？ABDC30°結(jié)論：∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°∴△ABD是等邊三角形.∴BC=CD=∴證法1：∵△ADC是△ABC的軸對稱圖形∵AC⊥BD從中你可以得到什么結(jié)論呢？結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.探究新知如圖，將兩個含30°角的三角尺擺放在一起.你能借助這21在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推理論證:已知：30°證法2：延長BC至D，使CD=BC，連結(jié)AD.D在△ABC與△ADC中∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACDBC＝DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AB=AD∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=30°+30°=60°∴AB=BD∵∴求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°∴∠BAC=∠DAC=30°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊推2230°證法3：在△ACB內(nèi)部作∠ACD=30°,交AB于D.推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°D∵∠A=30°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∵∠1=∠A+∠ACD=30°+30°=60°12∴∠2=∠ACB-∠ACD=90°-30°=60°∴∠B=180°-∠1-∠2=180°-60°-60°∴∠1=∠B=∠2∴△BCD是等邊三角形∴BC=CD=BD∴BC=AD=BD∴BC30°證法3：在△ACB內(nèi)部作∠ACD=30°,交AB于D.2330°推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°證法4：在BA上截取BD=BC，連接DCD∴∠B=60°∵∠ACB=90°，∠A=30°又∵BD=BC∴△BCD是等邊三角形∴BC=BD=CD，∠1=60°12∴∠2=∠ACB-∠1=90-60°=30°∴∠A=∠2∴CD=AD∴CD=AD=BD∴BC30°推理論證:已知：求證：如圖，在Rt△ABC中，∠C=92430°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.（簡記為：30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半）含30°角的直角三角形的性質(zhì)：歸納幾何符號語言：∵∠C=90°，∠A=30°∴或∵AC⊥BC，∠A=30°∴注意：1.含30°角的直角三角形的性質(zhì)實際上是由等邊三角形的軸對稱性質(zhì)得出的，是由特殊角在直角三角形中得出邊和邊的倍數(shù)關(guān)系，主要用于計算和證明線段的倍數(shù)關(guān)系.2.在運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)時，注意條件必須要有30°的角和在直角三角形中兩個條件.30°在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直25ABCDE例1:如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱

BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、

DE要多長？課本例題解：∵BC⊥AC，∠A=30°∴∵DE⊥AC，∠A=30°∴答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m．∵D是AB的中點ABCDE例1:如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的26經(jīng)典例題例2:如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB邊上的高，∠A=30°.

求證：AB=4BD.1解：∵∠ACB=90°,∠A=30°∴∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∴∠1=30°∴∴經(jīng)典例題例2:如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是A27經(jīng)典例題例3:如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分線EF交AC于點E,交BC于點F,試判斷線段BF,CF有何關(guān)系？并說明理由.經(jīng)典例題例3:如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=12281.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于點D,交AB于點M,BD=8cm,則AC=_______cm.4122.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中線，

AE是∠BAD的平分線，DF//AB交AE的延長線于點F,則DF的長為_____4.5121.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB29例題3：某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要多少元？1