普通物理專題研究課件

普通物理專題研究力學(xué)部分普通物理專題研究力學(xué)部分

參考書目：1、《大學(xué)物理》雜志有關(guān)文章2、《大學(xué)物理力學(xué)教學(xué)研究》北大蔡伯濂3、《電磁學(xué)專題研究》陳秉乾，高教4、《普通物理選論》楊慶裕，南京師大5、《電磁學(xué)討論》封小川，四川教育參考書目：一、功和能1.作功和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，作功與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量之間的關(guān)系可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出。對(duì)選定的慣性系，牛頓第二定律可寫成：一、功和能1.作功和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

左邊表示作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力的功，作功是用作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)位移的標(biāo)積定義的。因?yàn)榕ｎD第二定律中的是質(zhì)點(diǎn)的速度，點(diǎn)乘的位移必須是質(zhì)點(diǎn)的位移，才可以積分。所以功的定義中關(guān)于位移的說(shuō)法，應(yīng)該是質(zhì)點(diǎn)的位移，詳細(xì)例證見(jiàn)下面的討論。左邊表示作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力的功，作功是用作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與

2.關(guān)于功的定義的討論長(zhǎng)期以來(lái)，不同教材對(duì)作功有不同定義，主要區(qū)別在于對(duì)作功中的位移這個(gè)量有不同的說(shuō)法。①質(zhì)點(diǎn)位移；②物體位移；③力的作用點(diǎn)位移。如果討論的對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)，三種說(shuō)法用于處理具體問(wèn)題得到的結(jié)果是一致的；如果討論質(zhì)點(diǎn)組，差別就表現(xiàn)出來(lái)了。2.關(guān)于功的定義的討論

例：關(guān)于人走路一種觀點(diǎn)：人能夠走動(dòng)是靠地面的摩擦力作用。這種觀點(diǎn)認(rèn)為，從功和能的角度看，人由靜止到移動(dòng)，具有一定的動(dòng)能，一定是什么力對(duì)人作了功。地面對(duì)人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力對(duì)人作功，獲得動(dòng)能。另一種觀點(diǎn)：從普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律去分析：人走動(dòng)時(shí)動(dòng)能的增量是從人的機(jī)體內(nèi)部生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來(lái)，人不吃飯則沒(méi)有能量補(bǔ)充是走不動(dòng)路的。再說(shuō)人如果抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩擦力不作功。例：關(guān)于人走路

兩種觀點(diǎn)反映出對(duì)功的定義的不同理解。第一種觀點(diǎn)是用人體位移來(lái)定義功，也就是用“物體位移”來(lái)定義功。對(duì)于一個(gè)內(nèi)部有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)組，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有共同的位移，所謂物體的位移是指質(zhì)心的位移。據(jù)質(zhì)心定理：兩種觀點(diǎn)反映出對(duì)功的定義的不同理解。

由質(zhì)心的位移計(jì)算的“功”與質(zhì)心動(dòng)能變化關(guān)系沒(méi)有反應(yīng)出機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，說(shuō)明按此計(jì)算功，不能全面和本質(zhì)反映功能關(guān)系，這種定義不足取，還是用質(zhì)點(diǎn)位移定義功為好。由質(zhì)心的位移計(jì)算的“功”與質(zhì)心動(dòng)能變化關(guān)系沒(méi)有反應(yīng)出機(jī)械

在分析人走路時(shí)，認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這種觀點(diǎn)是按質(zhì)點(diǎn)位移計(jì)算功。地面靜摩擦力是作用在人腳上，腳沒(méi)有提起也就沒(méi)有位移，腳一旦提起，靜摩擦力消失，因此也不作功。據(jù)功能原理W非保=E-E0人走動(dòng)時(shí)獲得的機(jī)械能增量是成對(duì)內(nèi)部非保守力做功的結(jié)果。而這些功正是生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來(lái)。至于人走動(dòng)時(shí)必須依靠地面的靜摩擦力，僅僅是地面的靜摩擦力為人的走動(dòng)提供了條件（地面如果沒(méi)有靜摩擦力，人走動(dòng)要消耗體內(nèi)更多能量，若有滑動(dòng)摩擦力，則需克服滑動(dòng)摩擦力作功）。在分析人走路時(shí)，認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這種觀點(diǎn)是按

關(guān)于用“力的作用點(diǎn)位移”來(lái)計(jì)算功也是一個(gè)不確切的概念。例：關(guān)于用“力的作用點(diǎn)位移”來(lái)計(jì)算功也是一個(gè)不確切的概念。

3.功與參照系的關(guān)系功的定義是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)位移的標(biāo)量積。根據(jù)功的定義，并沒(méi)有提出有關(guān)參照系的選擇的限制，我們可以在任何一個(gè)參照系中去計(jì)算功，而不論是否是慣性系，只不過(guò)在不同參照系中計(jì)算功有不同的結(jié)果而已。但由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功卻必須是在慣性系中進(jìn)行。3.功與參照系的關(guān)系

這是因?yàn)?，在推?dǎo)動(dòng)能定理中用到牛頓第二定律，而牛頓第二定律在慣性系中成立。在應(yīng)用動(dòng)能定理討論問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)同一慣性系去計(jì)算功及動(dòng)能增量。在非慣性系中，作為出發(fā)點(diǎn)的牛頓第二定律還要加上慣性力，這時(shí)若在非慣性系中運(yùn)用動(dòng)能定理求功，需計(jì)算慣性力的功。這是因?yàn)?，在推?dǎo)動(dòng)能定理中用到牛頓第二定律，而牛頓第二定律

討論：不同參照系計(jì)算摩擦力作功的爭(zhēng)議。當(dāng)一個(gè)物體在地面上滑動(dòng)時(shí)，地面上的觀察者認(rèn)為，摩擦力對(duì)物體作了負(fù)功。而相對(duì)物體靜止的車上的觀察者認(rèn)為，物體雖受地面摩擦力的作用，但物體沒(méi)有位移，摩擦力不作功。兩個(gè)不同的觀察者（參照系）對(duì)摩擦力對(duì)物體作功得出不同結(jié)論，從他們不同的參照系看自然是正確的。但是，當(dāng)我們從“摩擦生熱”這個(gè)角度去分析這個(gè)例子時(shí)，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了矛盾。討論：不同參照系計(jì)算摩擦力作功的爭(zhēng)議。

摩擦生熱，物體溫度上升這個(gè)結(jié)果對(duì)任何觀察者（參照系）都是一樣。但按上例中，車上觀察者講，由于摩擦力對(duì)物體不作功，物體溫度不變。功的定義規(guī)定了功在不同的參照系中有不同的結(jié)果，即功的計(jì)算依賴于參照系的選擇。而“摩擦生熱”現(xiàn)象告訴我們摩擦力作功不應(yīng)該依賴于參照系的選擇，如何將兩者統(tǒng)一起來(lái)？當(dāng)參照系變換到車上以后，摩擦力對(duì)物體雖不作功，而作用在地面上的摩擦力的反作用力卻由于地面相對(duì)于車有位移，對(duì)地面作功。這個(gè)反作用力的功往往容易被忽略。摩擦生熱，物體溫度上升這個(gè)結(jié)果對(duì)任何觀察者（參照系）都是一

問(wèn)題關(guān)鍵：在討論摩擦生熱現(xiàn)象時(shí)，必須同時(shí)考慮摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以這一對(duì)作用力與反作用力功之和去量度有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱運(yùn)動(dòng)能量?？梢宰C明，一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功之和是不隨參照系變換而變換的（不論變換到慣性系還是非慣性系）。從物理角度看，正是普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律的一種表現(xiàn)：機(jī)械能和熱運(yùn)動(dòng)能量之間的轉(zhuǎn)化與守恒是不依賴參照系的選擇的。問(wèn)題關(guān)鍵：在討論摩擦生熱現(xiàn)象時(shí)，必須同時(shí)考慮摩擦力作功和摩

結(jié)論：凡遵從牛頓第三定律的作用力與反作用力作功之和均與參照系的選擇無(wú)關(guān)。不論選取的參照系是慣性系還是非慣性系，也不論討論的是摩擦力還是其他性質(zhì)的力，這個(gè)結(jié)論都是正確的。詳見(jiàn)后面的證明。結(jié)論：

4.作用力與反作用力的功證明不論參照系怎樣變換，作用力與反作用力作功之和與參照系的選擇無(wú)關(guān)。4.作用力與反作用力的功

5.物體系的勢(shì)能在一般的教科書中講授勢(shì)能時(shí)，都強(qiáng)調(diào)了勢(shì)能屬于物體系的概念，但很少進(jìn)行深入的討論。下面以重力勢(shì)能為例加以討論：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功為

W=-(mgh2-mgh1)重力是保守力，引出勢(shì)能的概念，保守力作功等于勢(shì)能增量的負(fù)值：

W保=-(EP2-EP1)5.物體系的勢(shì)能

并強(qiáng)調(diào)重力勢(shì)能屬于地球和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)所共有。由此產(chǎn)生疑問(wèn)：①mg是作用在質(zhì)點(diǎn)m上的重力，這里并沒(méi)有分析地球的受力和運(yùn)動(dòng)，怎么把地球作為研究對(duì)象？②質(zhì)點(diǎn)和地球處在不同地位，又有什么根據(jù)把作為參考系的地球作為研究對(duì)象呢？③如果用重力作功的負(fù)值定義重力勢(shì)能增量,重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功是隨參考系的不同選取而變化。例如，以地面為參考系，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功為-(mgh2-mgh1)，重力勢(shì)能增量為mgh2-mgh1，如果選取相對(duì)于m為靜止的參考系，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不作功，豈不是得出重力勢(shì)能增量為零的結(jié)論？這個(gè)結(jié)論顯然不合理。并強(qiáng)調(diào)重力勢(shì)能屬于地球和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)所共有。由此產(chǎn)生疑問(wèn)

如何解釋上述疑問(wèn)？上述疑問(wèn)是合理的，問(wèn)題出在勢(shì)能建立過(guò)程是有漏洞的。在引入保守力這一概念時(shí)，不應(yīng)當(dāng)說(shuō)一個(gè)力作功與路徑無(wú)關(guān)，而應(yīng)當(dāng)說(shuō)一對(duì)作用力與反作用力作功之和與路徑無(wú)關(guān)，只決定于初態(tài)和終態(tài)的相對(duì)位置，具有這種性質(zhì)的力才是保守力。談?wù)摫Ｊ亓r(shí)，有意義的是保守力作的功，而保守力的功總是指一對(duì)作用力和反作用力作功之和,這個(gè)功之和的負(fù)值等于勢(shì)能的增量。所以相互作用物體都是我們的研究對(duì)象。如何解釋上述疑問(wèn)？

在引入重力勢(shì)能時(shí)，已經(jīng)考慮了地球?qū)|(zhì)點(diǎn)作用力的功和質(zhì)點(diǎn)對(duì)地球反作用力的功，僅僅因?yàn)檫@對(duì)相互作用力的功之和與參考系選擇無(wú)關(guān)，我們?cè)谟?jì)算這一對(duì)相互作用力的功之和時(shí)，選用了最方便的辦法，選取地球?yàn)閰⒖枷?，這對(duì)相互作用力的功之和也表現(xiàn)為重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功了。即使我們不以地球?yàn)閰⒖枷?，而以任何其他物體為參考系，計(jì)算這一對(duì)相互作用力的功之和，其結(jié)果都是相同的。在引入重力勢(shì)能時(shí)，已經(jīng)考慮了地球?qū)|(zhì)點(diǎn)作用力的功和質(zhì)點(diǎn)對(duì)地

因此W保=-(mgh2-mgh1)及

W保=-(EP2-EP1)兩式中的保守力作功都應(yīng)該理解為一對(duì)作用力與反作用力作功之和，而h1、h2也應(yīng)理解為質(zhì)點(diǎn)與地球之間的相對(duì)初態(tài)和終態(tài)位置。當(dāng)參考系變時(shí)，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功隨之而變，但一對(duì)作用力和反作用力作功之和仍然不變，重力勢(shì)能的增量仍然由相對(duì)位置h2和h1決定，即EP2-EP1=mgh2-mgh1對(duì)所有參考系都相同。因此W保=-(mgh2-mgh1)及

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因牛頓定律——狀態(tài)瞬時(shí)變化的原因；動(dòng)量定理——經(jīng)歷一段時(shí)間狀態(tài)變化（原因：力對(duì)時(shí)間的積累效果）；動(dòng)能定理——經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程狀態(tài)變化（原因：力對(duì)空間的積累效果）剛體動(dòng)力學(xué)研究轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因轉(zhuǎn)動(dòng)定律——狀態(tài)瞬時(shí)變化的原因；角動(dòng)量定理——經(jīng)歷一段時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化（原因：力矩對(duì)時(shí)間的積累效果）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理——經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化（原因：力矩對(duì)空間的積累效果）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因

二、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒成立的條件及其應(yīng)用矢量力學(xué)的核心是牛頓的三個(gè)運(yùn)動(dòng)定律，三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理（動(dòng)量、角動(dòng)量、功能）及其在特殊條件下的三個(gè)守恒定律以及應(yīng)用它們分析處理各種力學(xué)問(wèn)題的基本方法。如果力學(xué)問(wèn)題滿足三個(gè)守恒定律成立的條件，則應(yīng)用守恒定律處理問(wèn)題最簡(jiǎn)單。三個(gè)守恒定律無(wú)論宏觀領(lǐng)域還是微觀領(lǐng)域，低速運(yùn)動(dòng)還是高速運(yùn)動(dòng)都成立。牢牢掌握三個(gè)守恒定律很重要，有必要對(duì)它們的守恒條件進(jìn)行深入討論。二、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒成立的條件及其應(yīng)用

1.動(dòng)量守恒定律成立的條件●某一力學(xué)系統(tǒng)在某一過(guò)程中不受外力作用或所受合外力為零，則該力學(xué)系統(tǒng)在該過(guò)程中動(dòng)量守恒?！駜?nèi)力不改變系統(tǒng)總動(dòng)量，內(nèi)力使系統(tǒng)內(nèi)各部分之間進(jìn)行動(dòng)量傳遞，但總動(dòng)量保持不變。如原子核自裂變、炮彈自爆、太陽(yáng)聚變反應(yīng)、用自己的手拉自己的頭發(fā)等等，系統(tǒng)內(nèi)各部分動(dòng)量都發(fā)生了變化，但總動(dòng)量保持不變?！裨趹?yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，首先要確定力學(xué)系統(tǒng)在什么過(guò)程中所受合外力為零。所取系統(tǒng)不同，合外力計(jì)算結(jié)果不同。力學(xué)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中往往改變空間的物質(zhì)分布，在某過(guò)程中合外力為零，動(dòng)量守恒，在這過(guò)程之后，合外力不一定為零，動(dòng)量不一定守恒。1.動(dòng)量守恒定律成立的條件

●力和動(dòng)量都是矢量，力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)，三個(gè)獨(dú)立方向上分力之和分別為零，三個(gè)獨(dú)立方向上動(dòng)量分量保持不變?！∠嗷プ饔们?、后兩個(gè)“極限”狀態(tài)列方程；※注意守恒定率中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)同時(shí)性?！窳蛣?dòng)量都是矢量，力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)，三個(gè)獨(dú)立方向上分力

●某力學(xué)系統(tǒng)合外力不為零，該系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，若在某一方向上外力的分力之和為零，則該力學(xué)系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒?！駜?nèi)力>>外力，系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒。例如：人跳高或跳遠(yuǎn)或跳水，起跳后到落地前忽略空氣阻力不計(jì)，所受合外力只有重力，豎直向下，動(dòng)量不守恒，但水平方向外力分量之和始終為零，所以水平方向動(dòng)量守恒。人在空中挺胸、收腹、曲腿、伸腳等都是在內(nèi)力作用下，不改變?nèi)梭w的總動(dòng)量。重力的持續(xù)作用改變?nèi)说目倓?dòng)量?！衲沉W(xué)系統(tǒng)合外力不為零，該系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，若在某一方向上

2.角動(dòng)量守恒定律成立的條件某一力學(xué)系統(tǒng)在某過(guò)程中不受外力矩作用或所受和外力矩為零，該力學(xué)系統(tǒng)在該過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變，即角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量是描述力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。保持轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變是物體的固有屬性，叫做物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性。低速運(yùn)動(dòng)情況下，用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量描述。2.角動(dòng)量守恒定律成立的條件

轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)與外力矩?zé)o關(guān)，力矩是改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的（物理量）原因。沒(méi)有外力矩作用，物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變。同理，內(nèi)力矩不改變力學(xué)系統(tǒng)的總角動(dòng)量。原子核自裂變、炮彈自爆、太陽(yáng)聚變反應(yīng)、人拉自己的頭發(fā)均不改變各力學(xué)系統(tǒng)自身的總角動(dòng)量。力矩和角動(dòng)量都是軸矢量。同一力對(duì)不同定點(diǎn)力矩不同，質(zhì)元的同一動(dòng)量對(duì)不同的定點(diǎn)角動(dòng)量也不同。因此力矩和角動(dòng)量只有相對(duì)某一定點(diǎn)或軸才有確切的物理意義。轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)與外力矩?zé)o關(guān)，力矩是改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的（物理量）原

力學(xué)系統(tǒng)相對(duì)某一定點(diǎn)角動(dòng)量守恒時(shí)，則相對(duì)該定點(diǎn)的外力矩在三個(gè)獨(dú)立方向分量之和分別為零，相對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量在上述三個(gè)方向分量之和分別為常矢量。在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，通常叫定軸角動(dòng)量守恒，相對(duì)定軸合力矩為零，則該力學(xué)系統(tǒng)相對(duì)該軸角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒需指明哪個(gè)力學(xué)系統(tǒng)在什么過(guò)程對(duì)哪一點(diǎn)或?qū)δ骋惠S的角動(dòng)量守恒，力學(xué)系統(tǒng)取的不同，過(guò)程不同,相對(duì)的點(diǎn)和軸取的不同，合外力矩計(jì)算結(jié)果就不同。力學(xué)系統(tǒng)相對(duì)某一定點(diǎn)角動(dòng)量守恒時(shí)，則相對(duì)該定點(diǎn)的外力矩在三

合外力矩不為零，則力學(xué)系統(tǒng)的角動(dòng)量不守恒。例如：人跳高、跳遠(yuǎn)、跳水起跳后到落地前對(duì)定點(diǎn)的合力矩都不為零（有重力矩）。因此人對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量都不守恒。但是，忽略空氣阻力不計(jì)，人對(duì)其質(zhì)心的角動(dòng)量守恒（重力矩為零）。要改變?nèi)俗赞D(zhuǎn)的角速度，在不受外力矩作用下，必須改變?nèi)藢?duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)質(zhì)心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減?。ㄈ司砜s，各部分靠近質(zhì)心），則自轉(zhuǎn)角速度增大。宇宙飛船在空間飛行時(shí)，要使飛船獲得某方向上的角動(dòng)量，可使噴出的氣體具有等量反向的角動(dòng)量。若使飛船停止，也可產(chǎn)生相反方向的角動(dòng)量。（例如《物理學(xué)》上冊(cè)，p152,4-21,p154,4-32）合外力矩不為零，則力學(xué)系統(tǒng)的角動(dòng)量不守恒。例如：人跳高、跳

3.機(jī)械能守恒定律成立的條件某力學(xué)系統(tǒng)在某過(guò)程中，外力作功和內(nèi)耗散力的功的總和等于零，則該力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。中等物理學(xué)關(guān)于機(jī)械能守恒定律有以下三中表述：①力學(xué)系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化,機(jī)械能守恒。②沒(méi)有摩擦力和介質(zhì)阻力存在（或作功），力學(xué)系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。③只有重力和彈力作功，力學(xué)系統(tǒng)只有動(dòng)能和勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。以上三種表述是否科學(xué)？中學(xué)物理不講授保守力和耗散力，機(jī)械能守恒定律如何表述才比較科學(xué)？（討論）3.機(jī)械能守恒定律成立的條件

三種表述的共同點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)沒(méi)有耗散力存在或沒(méi)有耗散力作功，除動(dòng)能和勢(shì)能以外沒(méi)有其它形式的能量轉(zhuǎn)化。這些都不是機(jī)械能守恒的必備條件。較為科學(xué)的表述應(yīng)該是：“外力的功與內(nèi)耗散力功的總和為零，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒?！眱?nèi)力雖有耗散力，耗散內(nèi)力也作功，只要外力的功與耗散力的功總和為零，即機(jī)械能的耗損被外力的功及時(shí)補(bǔ)償，力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械能仍然守恒。例如：穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧振動(dòng)，阻尼力所耗散的機(jī)械能由周期性強(qiáng)迫力做功補(bǔ)償，系統(tǒng)機(jī)械能不隨時(shí)間變化，保持不變。三種表述的共同點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)沒(méi)有耗散力存在或沒(méi)有耗散力作功，除動(dòng)

中學(xué)物理不講保守力和耗散力，可表述為：“力做功的總效果使力學(xué)系統(tǒng)只有凈動(dòng)能和勢(shì)能之間相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒”（《大學(xué)物理》88年7期）強(qiáng)調(diào)力作功是必要的，因機(jī)械能守恒是功能原理特殊條件下的結(jié)果。功能原理是動(dòng)能定理的另一種表述形式，即中學(xué)物理不講保守力和耗散力，可表述為：“力做功的總效果使力

系統(tǒng)增加的動(dòng)能是由勢(shì)能轉(zhuǎn)化而來(lái)的，因勢(shì)能減少了（增加的凈動(dòng)能=減少的凈勢(shì)能）?！皟簟蹦芰看鷶?shù)和，并不排除機(jī)械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化。機(jī)械能守恒不允許有其他形式能量參與轉(zhuǎn)化。系統(tǒng)增加的動(dòng)能是由勢(shì)能轉(zhuǎn)化而來(lái)的，因勢(shì)能減少了（增加的凈動(dòng)

由功能原理可知機(jī)械能守恒條件大致有以下幾種說(shuō)法：①∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，則∑Eki+∑Epi=恒量，系統(tǒng)的一切外力和非保守內(nèi)力作功之和為零，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。②Wi外=0，Wi內(nèi)耗=0，則∑Eki+∑Epi=恒量，系統(tǒng)只有保守力作功，外力和非保守內(nèi)力不作功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。第一種說(shuō)法不嚴(yán)格：對(duì)于某一過(guò)程，如果∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，只能說(shuō)明系統(tǒng)在過(guò)程的始末兩個(gè)狀態(tài)機(jī)械能相等，而不能確定在過(guò)程的每一時(shí)刻的機(jī)械能是守恒的。第二種說(shuō)法條件是過(guò)于苛刻，它只能是充分條件，而非必要條件。由功能原理可知機(jī)械能守恒條件大致有以下幾種說(shuō)法：

科學(xué)嚴(yán)格的表述應(yīng)該是第一種說(shuō)法加上限制條件：即，在任一微小的過(guò)程中∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0，或：只有當(dāng)∑Wi外+∑Wi內(nèi)耗=0對(duì)于過(guò)程的每一時(shí)刻均成立，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒的充分條件應(yīng)寫成微分形式：dW外+dW內(nèi)耗=0，（W外=∑Wi外）由功能原理求微分可得：科學(xué)嚴(yán)格的表述應(yīng)該是第一種說(shuō)法加上限制條件：

即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的充要條件是：在研究的整個(gè)過(guò)程中，外力和非保守內(nèi)力的功率代數(shù)和為零。（每個(gè)時(shí)刻的功）上述守恒條件在理論上式嚴(yán)格的，正確的，但實(shí)際中很難找到這一過(guò)程，自始至終每一微小過(guò)程外力作功與非保守力作功之和恰巧為零。正是由于這種考慮，大多數(shù)教材將條件表述得苛刻一些,只有保守力作功這樣更符合實(shí)際。再看W外+W耗=0，雖然在整個(gè)過(guò)程中不一定每個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但始末兩個(gè)狀態(tài)機(jī)械能相等，說(shuō)成守恒也未必不可以。即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的充要條件是：

常說(shuō)用能量觀點(diǎn)處理力學(xué)問(wèn)題方便之處就在于不考慮過(guò)程的中間狀態(tài)。如果一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)復(fù)雜的力學(xué)過(guò)程而很難用牛頓定律求解，若知過(guò)程中滿足W外+W耗=0條件，則可以不管系統(tǒng)中間狀態(tài)多么復(fù)雜（如彈性碰撞、穩(wěn)定的強(qiáng)迫振動(dòng)），其過(guò)程始末兩狀態(tài)的機(jī)械能必守恒，這正是用機(jī)械能守恒處理問(wèn)題的簡(jiǎn)捷之處。常說(shuō)用能量觀點(diǎn)處理力學(xué)問(wèn)題方便之處就在于不考慮過(guò)程的中間狀

4.三個(gè)守恒定律的綜合應(yīng)用應(yīng)用三個(gè)守恒定律處理力學(xué)問(wèn)題最簡(jiǎn)便，關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)牧W(xué)系統(tǒng)，使其滿足守恒定律成立的條件，按三個(gè)守恒定律建立方程組求解。例題1：質(zhì)量為2m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿靜止放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m，水平初速為v0的小球垂直于細(xì)桿對(duì)其一端進(jìn)行完全彈性碰撞。如圖，求：碰撞后小球的速度，細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度及質(zhì)心的速度。4.三個(gè)守恒定律的綜合應(yīng)用

解：取細(xì)桿與球組成一力學(xué)系統(tǒng)。該系統(tǒng)在水平方向無(wú)外力，豎直方向受重力和支持力大小相等方向相反，合外力為零，合外力矩為零，系統(tǒng)在水平方向運(yùn)動(dòng)，無(wú)外力作功，內(nèi)力無(wú)耗散力。所以該系統(tǒng)動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。設(shè)碰撞后球速度v′，桿質(zhì)心平動(dòng)速度vc，桿繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω解：取細(xì)桿與球組成一力學(xué)系統(tǒng)。

球與桿的質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量守恒：（桿隨質(zhì)心平動(dòng)）系統(tǒng)相對(duì)通過(guò)桿質(zhì)心且垂直水平面軸角動(dòng)量守恒：系統(tǒng)機(jī)械能守恒（桿作平面運(yùn)動(dòng)，隨質(zhì)心平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)）球與桿的質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量守恒：（桿隨質(zhì)心平動(dòng)）

由(1)(2)(3)解得碰撞后討論上述結(jié)果：碰撞后小球的速度與細(xì)桿的質(zhì)心速度相等，細(xì)桿同時(shí)還要繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，必與小球進(jìn)行第二次完全彈性碰撞。由(1)(2)(3)解得碰撞后普通物理專題研究課件

例題2：質(zhì)量為M,長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)桿，在光滑水平面上，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，以v0初速度與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，求碰后桿的運(yùn)動(dòng)。例題2：

解：在如圖所示坐標(biāo)下，碰撞系統(tǒng)質(zhì)心位置碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒所以桿質(zhì)心平動(dòng)速度系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒：桿繞質(zhì)心軸角速度解：在如圖所示坐標(biāo)下，碰撞系統(tǒng)質(zhì)心位置

例題3如圖所示：在光滑水平面上有一輕彈簧，勁度系數(shù)為k，它的一端固定，另一端系一質(zhì)量為m′的滑塊，最初滑塊靜止時(shí)，彈簧呈自然長(zhǎng)度l0，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內(nèi)滑動(dòng)，當(dāng)彈簧被拉伸至l時(shí)，求滑塊的速度大小及方向（速度和彈簧線之間的夾角θ）例題3

分析：將整個(gè)運(yùn)動(dòng)分兩段考慮：①子彈和滑塊碰撞過(guò)程。因滑塊所系的是輕彈簧，又處在自然長(zhǎng)狀態(tài)，因此子彈與滑塊碰撞可視為質(zhì)點(diǎn)系的完全非彈性碰撞過(guò)程。沿子彈運(yùn)動(dòng)方向外力為零，碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒。②子彈與滑塊碰后以共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于彈簧不斷伸長(zhǎng)，滑塊在受指向固定點(diǎn)的彈力的作用下作弧線運(yùn)動(dòng)，該力屬于有心力不產(chǎn)生力矩，因而滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足角動(dòng)量守恒；與此同時(shí)，對(duì)滑塊、彈簧所組成的系統(tǒng)沒(méi)有外力和內(nèi)耗散力作功，機(jī)械能守恒，有：分析：將整個(gè)運(yùn)動(dòng)分兩段考慮：

解得解得

例題4質(zhì)量為M的物塊焊接上一個(gè)進(jìn)度系數(shù)為k的水平帶鉤的輕彈簧，置于光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球以水平初速度v0接近靜止的彈簧并與彈簧碰撞后鉤連在一起。設(shè)碰撞是完全彈性碰撞，求彈簧最大壓縮量及小球與彈簧和物塊組成系統(tǒng)相對(duì)振動(dòng)的頻率。例題4

解：當(dāng)小球與彈簧碰撞并鉤連在一起，將壓縮彈簧，彈簧內(nèi)有彈性力，物塊加速運(yùn)動(dòng)，小球減速運(yùn)動(dòng)，由于開(kāi)始小球速度大于物塊速度，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈力增大，加速度增大，M速度增大，m速度減小，且要vm>vM，彈簧被壓縮直到二者速度相等，彈簧被壓縮到最大量。此過(guò)程系統(tǒng)在水平方向無(wú)外力作用，動(dòng)量守恒，又因?yàn)闊o(wú)內(nèi)耗散力作用，機(jī)械能守恒。解：當(dāng)小球與彈簧碰撞并鉤連在一起，將壓縮彈簧，彈簧內(nèi)有彈性

分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：球碰彈簧后壓縮彈簧直到最大量xm，二者此時(shí)有共同速度，由于繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，彈簧開(kāi)始伸長(zhǎng)，M加速，m減速；經(jīng)自然長(zhǎng)度時(shí)，受力為零，二者以原速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，由M速度大，m速度小，繼續(xù)伸長(zhǎng)彈簧，這時(shí)的彈力作用反向，使M減速，m加速，當(dāng)二者速度不等時(shí)，彈簧繼續(xù)伸長(zhǎng)，直到二者等速，伸長(zhǎng)到最大量，再運(yùn)動(dòng)；由于m加速，M減速，彈簧被壓縮，直到壓縮到最大。振動(dòng)振幅為最大壓縮量或伸長(zhǎng)量xm分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：

圖圖

練習(xí)題1光滑桌面上，一根勁度系數(shù)為

k

的輕彈簧兩端聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的滑塊A和B。如果滑塊被水平飛來(lái)的質(zhì)量為m/4,速度為v0的子彈射中，并停留其中。試求運(yùn)動(dòng)方程中彈簧的最大壓縮量。練習(xí)題1

解：（1）子彈射入滑塊過(guò)程：動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒（2）彈簧被壓縮過(guò)程：A、B速度相等，壓縮量最大，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒※可對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量守恒，但能量守恒只能對(duì)第二過(guò)程。解：

練習(xí)2質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿豎直立于光滑的水平面上，無(wú)初速傾倒在光滑的水平面上，求：(1)桿在傾倒過(guò)程中的角速度和質(zhì)心速度的大小;(2)桿和水平面接觸點(diǎn)的速度大??；(3)桿落地時(shí)，上述各量的大小。練習(xí)2

解：設(shè)桿為剛體，剛體上各質(zhì)元之間的距離不變，剛體內(nèi)力作功為零，只有重力作功，細(xì)桿傾倒過(guò)程機(jī)械能守恒。設(shè)任一時(shí)刻細(xì)桿與豎直線的夾角為θ，初始時(shí)刻勢(shì)能為零，則（細(xì)桿作平面運(yùn)動(dòng)）細(xì)桿在水平方向無(wú)外力作用，水平方向動(dòng)量守恒，細(xì)桿質(zhì)心在初始時(shí)刻水平速度分量為零，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終為零（質(zhì)心速度豎直向下，質(zhì)心軌跡為豎直向下直線），細(xì)桿觸地點(diǎn)A速度水平向左，由質(zhì)心速度和端點(diǎn)A繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的速度（垂直桿）合成：解：

練習(xí)3如圖，兩個(gè)物塊通過(guò)一根繩子跨過(guò)固定的滑輪聯(lián)結(jié)在一起，忽略滑輪和繩子的質(zhì)量，即不考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：M>m,M靜止在桌面上，抬高m使其自由下落h距離后，繩才被拉緊，求此時(shí)兩物體的速度及M所能上升的最大高度。練習(xí)3

解：m下落：機(jī)械能守恒mgh=1/2mv20繩子拉緊瞬間：系統(tǒng)動(dòng)量守恒：mv0=(m+M)vM與m以共同速度v運(yùn)動(dòng)至M上升最高點(diǎn)：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：1/2(m+M)v2+mgh1=MgH+mgh2,(h1-h2=H)解：

練習(xí)4

如圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來(lái)，它們的質(zhì)量分別為m1和m2。問(wèn)在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使A在跳起來(lái)時(shí)B稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）練習(xí)4

分析:

運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問(wèn)題最簡(jiǎn)捷的途徑之一,因?yàn)樗c過(guò)程的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)，也常常與特定力的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)?！笆睾恪眲t意味著在條件滿足的前提下，過(guò)程中任何時(shí)刻守恒量不變．在具體應(yīng)用時(shí)，必須恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象（系統(tǒng)），注意守恒定律成立的條件．該題可用機(jī)械能守恒定律來(lái)解決．選取兩塊板、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1），直到B板剛被提起（取作狀態(tài)2），在這一過(guò)程中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中又只有保守力（重力和彈力）作功，支持力不作功，因此，滿足機(jī)械能守恒的條件．只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡，便可將所需壓力求出．分析:

解：選取如圖所示坐標(biāo)，取原點(diǎn)O處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)。作各狀態(tài)下物體的受力圖，對(duì)A板而言，當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有

F1=P1+F------（1）當(dāng)外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得式中y1、y2為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的位移．因?yàn)镕1=ky1，F(xiàn)2=ky2及P1=m1g，上式可寫為解：

由式（1）、（2）可得F=P1+F2-------(3)

當(dāng)A板跳到N點(diǎn)時(shí)，B板剛被提起，此時(shí)彈性力F2′=P2，且F2=F2′

．由式（3）可得

F=P1+P2=(m1+m2)g應(yīng)注意，勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的．為計(jì)算方便起見(jiàn)，通常取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn)，也同時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn).

練習(xí)5如圖所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO′自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為ω0，今有一質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)，由于微小擾動(dòng)使小球向下滑動(dòng)．問(wèn)小球到達(dá)B、C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？（假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑）練習(xí)5

分析雖然小球在環(huán)中作圓周運(yùn)動(dòng)，但由于環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)，使球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律復(fù)雜化了．由于應(yīng)用守恒定律是解決力學(xué)問(wèn)題最直接而又簡(jiǎn)便的方法，故以環(huán)和小球組成的轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)來(lái)分析．在小球下滑的過(guò)程中，重力是系統(tǒng)僅有的外力，由于它與轉(zhuǎn)軸平行，不產(chǎn)生外力矩，因此，該系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒，若以小球位于點(diǎn)A、B處為初、末兩狀態(tài)，由角動(dòng)量守恒定律可解得小球在點(diǎn)B時(shí)環(huán)的角速度ωB．分析

在進(jìn)一步求解小球在點(diǎn)B處相對(duì)環(huán)的速度vB時(shí)，如果仍取上述系統(tǒng)，則因重力（屬外力）對(duì)系統(tǒng)要作功而使系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；若改取小球與地球?yàn)橄到y(tǒng)，也因環(huán)對(duì)小球的作用力在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中作功，而使系統(tǒng)的機(jī)械能守恒仍不能成立；只有取環(huán)、小球與地球?yàn)橄到y(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)才不受外力作用，而重力為保守內(nèi)力，環(huán)與球的相互作用．力雖不屬保守內(nèi)力，但這一對(duì)力所作功的總和為零，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)兩守恒定律可解所需的結(jié)果。但必須注意：在計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能時(shí)，既有環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，又有小球?qū)Φ氐膭?dòng)能（它可視為小球隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與小球相對(duì)于環(huán)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能在進(jìn)一步求解小球在點(diǎn)B處相對(duì)環(huán)的速度vB時(shí)，如果仍取上述系

解：以環(huán)和小球?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，由系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒有取環(huán)、小球與地球?yàn)橄到y(tǒng)時(shí)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可得由式（1）、（2）可解得小球在B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的線速度分別為小球在C點(diǎn)時(shí)，由于總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，用同樣的方法可得環(huán)的角速度和小球相對(duì)于環(huán)的速度分別為解：以環(huán)和小球?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，由系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒有矢量投影教學(xué)中的概念訓(xùn)練

牛頓力學(xué)被稱為矢量力學(xué)，它的運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)量、角動(dòng)量規(guī)律都是以矢量形式出現(xiàn)的，具有普遍、簡(jiǎn)潔的特色。但是，在求解矢量問(wèn)題時(shí)，直接采用矢量代數(shù)、矢量積或矢量積分的方法往往不便。另外，在簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)中，如直線運(yùn)動(dòng)，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物理量及相應(yīng)的規(guī)律卻常常以標(biāo)量形式出現(xiàn)，它們和矢量性質(zhì)又是什么關(guān)系？這兩個(gè)問(wèn)題涉及到力學(xué)教學(xué)中一種重要的基本訓(xùn)練——將有關(guān)的矢量向選定的正交坐標(biāo)系各軸投影，將矢量形式的方程變?yōu)橐唤M標(biāo)量方程。而其中關(guān)鍵的概念是這些標(biāo)量的雙向特性，即它們是代數(shù)量（在某些情況下也可能退化為算數(shù)量）。教學(xué)實(shí)踐證明，很多學(xué)生不能很好地掌握這一概念，以至于有人在學(xué)完力學(xué)去解電磁學(xué)習(xí)題時(shí)還出現(xiàn)隨意增抹符號(hào)的概念錯(cuò)誤。矢量投影教學(xué)中的概念訓(xùn)練牛頓力學(xué)被稱為矢量力學(xué)

一、運(yùn)動(dòng)學(xué)1、矢量在直角坐標(biāo)系中投影按照右手螺旋定則選取直角坐標(biāo)系的各坐標(biāo)正向，確定單位矢量i、j、k方向。由矢量投影得到一組分矢量，各單位矢量前面的系數(shù)，即為具有雙向性質(zhì)的代數(shù)量。分矢量的方向由各單位矢量及標(biāo)量正負(fù)確定，如i代表x方向，i的系數(shù)>0，正向，<0，負(fù)向。一、運(yùn)動(dòng)學(xué)

ax、ay、az的正負(fù)不能說(shuō)明作加速還是減速度運(yùn)動(dòng)，可以說(shuō)明沿坐標(biāo)軸的正、負(fù)方向。

若加速度與速度符號(hào)相同，質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；若加速度與速度符號(hào)相反，質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)。如：ax<0，vx<0，質(zhì)點(diǎn)在x軸負(fù)方向作加速運(yùn)動(dòng)，ax>0，vx<0，質(zhì)點(diǎn)在x軸負(fù)方向作減速運(yùn)動(dòng)。電磁學(xué)中電場(chǎng)、磁場(chǎng)矢量投影，電流、電動(dòng)勢(shì)標(biāo)量都存在雙重性問(wèn)題。ax、ay、az的正負(fù)不能說(shuō)明作加速還是減

例題：湖中有一小船，人在高為H的岸上用繩子跨過(guò)一定滑輪以恒定速率v0收繩拉船靠岸，求船運(yùn)動(dòng)的速度和加速度。解：以船為研究對(duì)象，其運(yùn)動(dòng)方程沿x軸反方向，v0為收繩速度，即繩速是繩上各點(diǎn)沿繩運(yùn)動(dòng)的快慢，繩速和船速是兩個(gè)不同的概念，不能認(rèn)為船的運(yùn)動(dòng)速度是繩速的分量。定量描述船的運(yùn)動(dòng)和規(guī)律，必須建立確定的坐標(biāo)系，寫出船在坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程r=r(t)，根據(jù)速度和加速度定義即可求解。在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，船運(yùn)動(dòng)方程為：例題：湖中有一小船，人在高為H的岸上用繩子跨過(guò)一定滑輪以恒

此題也可求出船沿x方向運(yùn)動(dòng)方程的代數(shù)式：此題也可求出船沿x方向運(yùn)動(dòng)方程的代數(shù)式：

2、矢量在極坐標(biāo)系投影質(zhì)點(diǎn)在極坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程為：r=r(t)(矢徑)，θ=θ(t)（幅角）2、矢量在極坐標(biāo)系投影

利用平面極坐標(biāo)系分析上例拉小船的問(wèn)題：利用平面極坐標(biāo)系分析上例拉小船的問(wèn)題：

3、矢量在自然坐標(biāo)系中投影自然坐標(biāo)系的兩個(gè)正方向?yàn)榍邢蚝头ㄏ?，相?yīng)的單位矢量為切向單位矢量和法向單位矢量3、矢量在自然坐標(biāo)系中投影

比較在三種坐標(biāo)系中的矢量投影：①直角坐標(biāo)系中的各分量（x,vx,ax）都是代數(shù)量；②極坐標(biāo)系中的速度分量(vr,vθ)都是代數(shù)量；③自然坐標(biāo)系中的速度、加速度投影后，若切向單位矢量選為速度方向，則：切向速度分量vt=v退化為算數(shù)量，法向速度分量為零；切向加速度分量at=dv/dt為代數(shù)量，法向加速度分量an=v2/ρ

為算數(shù)量。

矢量投影教學(xué)的概念還貫穿于力學(xué)教學(xué)的其他章節(jié)如牛頓第二定律的應(yīng)用、功的計(jì)算等。比較在三種坐標(biāo)系中的矢量投影：

二、關(guān)于牛頓第二定律應(yīng)用的關(guān)鍵是：分量方程的代數(shù)量正負(fù)問(wèn)題。在直線運(yùn)動(dòng)中：將牛頓第二定律F=ma在直角坐標(biāo)系中投影（二維）：

Fx=maxFy=mayFx、Fy、ax、ay都是代數(shù)量取定坐標(biāo)正向后，作用在質(zhì)點(diǎn)上的各個(gè)力及加速度若沿坐標(biāo)正向取正，反之取負(fù)，求出每個(gè)力或加速度，若大于零，沿坐標(biāo)正向，小于零，沿坐標(biāo)反向。技巧：取加速度方向?yàn)檎?。在曲線運(yùn)動(dòng)中，同法處理。二、關(guān)于牛頓第二定律應(yīng)用的關(guān)鍵是：

三、在功的計(jì)算中例如：一質(zhì)點(diǎn)m在重力作用下從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，點(diǎn)a和點(diǎn)b距地面高度為ya、yb，重力作功Wab=?三、在功的計(jì)算中

例如:水平放置的彈簧振子,求彈性力作的功(質(zhì)點(diǎn)由a→b)例如:水平放置的彈簧振子,求彈性力作的功(質(zhì)點(diǎn)由a→b)

如果將上題中初、終位置顛倒，重新計(jì)算此功。無(wú)論振子在原點(diǎn)的哪一方，也無(wú)論朝哪一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，元功都應(yīng)是-kxdx四、在動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律中因?yàn)閯?dòng)量具有矢量性、瞬時(shí)性、相對(duì)性所以定理、定律也一樣，求解時(shí)一般采取兩個(gè)方法：①分量法（建立坐標(biāo)，代數(shù)量正負(fù)）②矢量疊加法（畫矢量圖，幾何關(guān)系）如果將上題中初、終位置顛倒，重新計(jì)算此功。

練習(xí)題1：練習(xí)題1：

練習(xí)題2：在光滑水平桌面上，平放固定半圓形屏障，俯視圖如右，質(zhì)量為m的滑塊以v0沿切線從一側(cè)進(jìn)入，滑塊與屏障間摩擦系數(shù)為μ，求從另一側(cè)滑出的速度大小。解：建立自然坐標(biāo)系，設(shè)速度方向?yàn)閑t正向，切向加速度取為坐標(biāo)正向。根據(jù)牛頓第二定律列切向和法向方程滑塊受屏障摩擦力f=μN(yùn)，支持力N練習(xí)題2：在光滑水平桌面上，平放固定半圓形屏障，俯視圖如右非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律

在物理學(xué)中如何選擇適當(dāng)?shù)膮⒄障凳且粋€(gè)重要問(wèn)題，力學(xué)中通常選用慣性參照系，但有時(shí)也選用非慣性參照系。要在非慣性參照系中沿用牛頓定律解力學(xué)問(wèn)題，必須附加慣性力。在非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律是否可沿用？從一個(gè)實(shí)例出發(fā)進(jìn)行討論。如圖所示：質(zhì)量分別為m1、m2的兩個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力的吸引下，從靜止?fàn)顟B(tài)（其間距為r0）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到間距為r0/2時(shí)，求m2相對(duì)m1的速度。非慣性參照系中機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律在物理學(xué)中如何選擇

下面討論，在非慣性系如何沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律。下面討論，在非慣性系如何沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律。

在非慣性系中，即使外力F=0,還必須考慮慣性力作功，機(jī)械能守恒定律不能直接用。在非慣性系中，即使外力F=0,還必須考慮慣性力作功，機(jī)械能

下面進(jìn)一步討論前面解法二在解法二中，m1看作靜止，也就是把m1選為參照系，是一個(gè)非慣性系，質(zhì)點(diǎn)m2除受m1引力F′作用，還受慣性力f作用,兩力分別為：下面進(jìn)一步討論前面解法二

綜上所述，在非慣性系里沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定律必須增加等效引力場(chǎng)勢(shì)能這一項(xiàng)，功能原理中要增加慣性力作功這一項(xiàng)。例題：以勻加速a上升的升降機(jī)內(nèi)，有一質(zhì)量為m的小球，從離開(kāi)升降機(jī)底面高為h的臺(tái)面以初速v0′水平拋出，求小球落到升降機(jī)底面時(shí)，相對(duì)于升降機(jī)的速度。解：選取升降機(jī)為非慣性參照系，取升降機(jī)底面為勢(shì)能零點(diǎn)：根據(jù)機(jī)械能守恒定律：綜上所述，在非慣性系里沿用機(jī)械能轉(zhuǎn)換和守恒定

選取以地面為慣性系進(jìn)行驗(yàn)證。選取以地面為慣性系進(jìn)行驗(yàn)證。經(jīng)典變質(zhì)量問(wèn)題的教學(xué)處理

有些教材把火箭發(fā)射這類例子稱為“變質(zhì)量”問(wèn)題。其實(shí)在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，質(zhì)量變不變是一個(gè)研究對(duì)象的選取問(wèn)題。以火箭發(fā)射為例，研究對(duì)象可以有不同的選取?？紤]在t到t+△t一段時(shí)間間隔，

如果把在△t時(shí)間要噴射的物質(zhì)不作為我們的研究對(duì)象，對(duì)于除了噴射物質(zhì)的火箭主體，在△t時(shí)間內(nèi)它的質(zhì)量不變，并且可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律；

如果把噴射物質(zhì)作為研究對(duì)象，在噴射過(guò)程中質(zhì)量不變，也不存在變質(zhì)量問(wèn)題；

如果把火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對(duì)象，同樣也不存在變質(zhì)量問(wèn)題，只不過(guò)這時(shí)火箭主體與噴射物質(zhì)在時(shí)刻t有共同運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t+△t各自有不同的運(yùn)動(dòng)，這樣的對(duì)象不能看作是質(zhì)點(diǎn)，只能看作質(zhì)點(diǎn)組應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理或質(zhì)心定理。以上三種研究對(duì)象都不存在變質(zhì)量問(wèn)題。經(jīng)典變質(zhì)量問(wèn)題的教學(xué)處理有些教材把火箭發(fā)射這類例子稱為

那么，什么樣一種情形才有“變質(zhì)量”問(wèn)題呢？例如：在t時(shí)刻把火箭主體連同未噴射物質(zhì)作為研究對(duì)象，在t+△t時(shí)刻只把火箭主體作為研究對(duì)象。研究對(duì)象變了，質(zhì)量當(dāng)然也變了，但是作用力的含義也不同了。在沒(méi)有必要的場(chǎng)合下，把研究對(duì)象前后作這種變動(dòng)容易引起混亂。另外，把某些力學(xué)問(wèn)題，如有質(zhì)量流進(jìn)或流出的開(kāi)放系統(tǒng)冠以“變質(zhì)量”的名稱，使人覺(jué)得似乎這些力學(xué)問(wèn)題遵從“變質(zhì)量”的力學(xué)規(guī)律，這是一種誤解。在牛頓力學(xué)中，我們的研究對(duì)象或者是質(zhì)點(diǎn)，它遵從牛頓定律、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理、動(dòng)量定理等質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律；或者是質(zhì)點(diǎn)組，它遵從質(zhì)點(diǎn)組功能原理、動(dòng)量定理等質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)規(guī)律。不存在“變質(zhì)量”的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵：選擇一個(gè)確定的研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)量定理求解。那么，什么樣一種情形才有“變質(zhì)量”問(wèn)題呢？

例1.火箭發(fā)射（1）以火箭主體為研究對(duì)象設(shè)火箭+燃料系統(tǒng)總質(zhì)量為M（主體），△t時(shí)間內(nèi)有△M噴出。噴出的燃料不作為研究對(duì)象?；鸺黧wt時(shí)刻的質(zhì)量M+△M（△M為負(fù)值），對(duì)地面速度為v，t+△t時(shí)，質(zhì)量仍為M+△M，速度為v+△v?；鸺黧w所受外力有：噴射物對(duì)它的反沖力f反沖，其他外力f1(含重力、阻力)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理（在一條直線上）(f1+f反沖)△t=(M+△M)(v+△v)-(M+△M)v=(M+△M)△v

f1、f反沖力的方向都設(shè)為向上，具體考慮每個(gè)力時(shí)，再確定其方向，如-mg例1.火箭發(fā)射

兩邊除以△t取極限：（2）以噴射物質(zhì)為研究對(duì)象t時(shí)刻，噴射物質(zhì)的質(zhì)量為-△M(△M為負(fù))，對(duì)地速度為v（隨火箭一起運(yùn)動(dòng)）t+△t時(shí)刻，噴射物質(zhì)質(zhì)量仍為-△M，相對(duì)火箭主體反向運(yùn)動(dòng)，速度為u，對(duì)地速度為v+△v-u受力為：火箭對(duì)其作用力其它外力f2（重力、阻力）兩邊除以△t取極限：

據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：

（3）以火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對(duì)象（大多數(shù)教材采取的辦法）t時(shí)刻：質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)量M，對(duì)地速度v;t+△t時(shí)刻：火箭主體與噴射物質(zhì)有不同的運(yùn)動(dòng)?；鸺黧w：質(zhì)量為(M+△M),對(duì)地速度為(v+△v)噴射物質(zhì)：質(zhì)量-△M,對(duì)地面速度(v+△v-u)質(zhì)點(diǎn)組受力：重力（-Mg）和阻力，用f表示根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理：（3）以火箭主體連同噴射物質(zhì)一起作為研究對(duì)象

例2：鏈條下落

一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟鏈條自靜止下落，求下落到離地面高為y處，地面對(duì)上端鏈條的作用力及鏈條對(duì)地面的壓力。解：這是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組，可取不同的研究對(duì)象考慮。選取向上為y正向，鏈條自靜止下落了L-y時(shí)，地面上端鏈條的速度v為：（上端鏈條上每點(diǎn)速度都是此值，因下落同高）取緊靠地面的一個(gè)小質(zhì)元dm，與地面碰撞前動(dòng)量vdm，碰撞后靜止，動(dòng)量為零。dm受力：地面作用力f，重力dmg。對(duì)dm應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：

(f-dmg)dt=0dm-(-vdm)=vdm例2：鏈條下落

略去重力dmg，則地面對(duì)dm（也是對(duì)地面上方的繩子）作用力：注：不可以取整個(gè)鏈條，不遵從質(zhì)點(diǎn)牛頓定律。略去重力dmg，則地面對(duì)dm（也是對(duì)地面上方的繩子）作用力

練習(xí)題：鏈條上提一長(zhǎng)為l，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長(zhǎng)度λ，將其卷成一堆放在地面上，若手握鏈條的一端，以勻速v將其上提。當(dāng)鏈條一端被提離地面高度為y時(shí)，求手提力。解：以整個(gè)鏈條為研究對(duì)象。取地為慣性系，向上為y正向，t時(shí)，鏈條一端距地面高度為y，其速度為v，地面部分靜止不動(dòng)；t+△t時(shí)，鏈條一端距地面高為y+△y，速度仍為v，地面部分(l-y-△y)靜止。整個(gè)系統(tǒng)受外力：提起部分重力λyg，地面部分重力λ(l-y)，手提力F(向上)；地面對(duì)λ(l-y)部分的支持力與其重力大小相等方向相反，抵消(△y

部分重力計(jì)入在提起部分也可以，但可忽略不計(jì)，不影響最后結(jié)果)練習(xí)題：鏈條上提

應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：（向上為正）解法二：取提起的y為研究對(duì)象。鏈條勻速運(yùn)動(dòng)（不考慮地面鏈條對(duì)提起部分作用力）取t時(shí)提起的y，在此后△t時(shí)間內(nèi)又提起△y為研究對(duì)象。t時(shí)系統(tǒng)總動(dòng)量為λyv+λ△y﹒0t+△t時(shí)系統(tǒng)總動(dòng)量為λ(y+△y)v(y+△y)鏈條受外力：提力F，重力λ(y+△y)g,(地面鏈條（處于水平狀態(tài)）對(duì)提起部分實(shí)際在豎直方向沒(méi)有作用)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：（向上為正）

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量定理：根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量定理：

例題3：

有質(zhì)量流入的車子。當(dāng)車子以速度v在光滑的水平面上勻速前進(jìn)時(shí)，砂子從固定的漏斗里，以dm/dt=k的速度落進(jìn)車中，要使車子保持勻速前進(jìn)所需的水平拉力F。

解法一：以車子和車子中的砂子及dt時(shí)間內(nèi)落進(jìn)車中的砂子為研究對(duì)象，設(shè)：

t時(shí)刻車及砂子質(zhì)量為M，t時(shí)：系統(tǒng)動(dòng)量：Mv+dm0

t+△t時(shí)：系統(tǒng)動(dòng)量:(M+dm)v

該系統(tǒng)水平方向外力只有拉力F，據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量定理：

Fdt=(M+dm)v-MvF=vdm/dt=kv例題3：

解法二：取dt時(shí)間落入車內(nèi)的砂子為研究對(duì)象：車保持勻速前進(jìn)的條件是合外力=0，拉力與阻力大小相等，方向相反，砂子對(duì)車的阻力只是在剛落到車內(nèi)直到獲得共同速度這段時(shí)間內(nèi)才有，即dm速度由0→v，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間dt：

t時(shí)：dm動(dòng)量為零

t+△t時(shí)，動(dòng)量為dmv

據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：

fdt=dmv-0,F-f=0f=vdm/dt=kv

故F=f=kv解法二：取dt時(shí)間落入車內(nèi)的砂子為研究對(duì)象：

討論：此題能否用F=dp/dt牛頓第二定律來(lái)求解？結(jié)論：①F=dp/dt是對(duì)一個(gè)確定研究對(duì)象，即一個(gè)封閉系統(tǒng)，而車中的砂子是不確定的。②牛頓第二定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，各質(zhì)點(diǎn)速度不同，mv沒(méi)有意義。③牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，m=常量，通常講普遍的F=d(mv)/dt是指在狹義相對(duì)論中而言。討論：此題能否用F=dp/dt牛頓第二定律來(lái)求解？

練習(xí)題：車內(nèi)裝有砂子，車中有一小孔，每秒從小孔漏出的砂子為dm/dt=k，若車子受到不變的水平拉力作用，不計(jì)摩擦，求車子運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)t時(shí)刻車與其內(nèi)部砂子總質(zhì)量為M，速度為v，經(jīng)△t時(shí)間流出△m砂子在t+△t時(shí)刻，車及剩下的砂子質(zhì)量為M-△m,車速度為v+△v,取M為研究對(duì)象t時(shí)：動(dòng)量Px(t)=Mvt+△t時(shí)：Px(T+△t)≈(M-△m)(v+△v)+△m(v+△v)△m的速度介于v—v+△v之間練習(xí)題：

據(jù)動(dòng)量定理：此題也可以取M-△m為研究對(duì)象,仿火箭（1）據(jù)動(dòng)量定理：

例題4：下落的雨滴雨滴在下落過(guò)程中，受到重力和風(fēng)力的作用，同時(shí)吸收其周圍的水汽而逐漸長(zhǎng)大。設(shè)水汽在碰到水滴之前的速度為u,試求雨滴下落過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)方程。例題4：下落的雨滴

解決變質(zhì)量問(wèn)題關(guān)鍵：確定研究對(duì)象，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理。力的作用時(shí)間△t或dt，用平均力，取極限后變?yōu)樗矔r(shí)力。若dt時(shí)間內(nèi)，力可認(rèn)為不變。解決變質(zhì)量問(wèn)題關(guān)鍵：在非慣性系中巧取瞬時(shí)慣性系，

解相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的力學(xué)問(wèn)題

當(dāng)所選的非慣性系在某一位置（瞬時(shí)）加速度為零，此時(shí)當(dāng)作慣性系—瞬時(shí)慣性系，采用牛頓第二定律，不需引入慣性力（實(shí)際此時(shí)慣性力f＊=-ma=0）例題1：質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R的光滑半球面容器靜止在光滑的水平面上。求質(zhì)量為m的小球由靜止開(kāi)始沿半球面從最高點(diǎn)滑到最低點(diǎn)A對(duì)容器的作用力的大小。解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地速度v，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)凹槽的速度v′，凹槽相對(duì)地速度V（質(zhì)點(diǎn)滑到最低時(shí)）以地面為參照系，選質(zhì)點(diǎn)、凹槽、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，從最高點(diǎn)→最低點(diǎn)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：在非慣性系中巧取瞬時(shí)慣性系，

解相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的力學(xué)問(wèn)題

選質(zhì)點(diǎn)、凹槽為系統(tǒng),水平方向動(dòng)量守恒：

mv+MV=0由兩方程解得：選質(zhì)點(diǎn)、凹槽為系統(tǒng),水平方向動(dòng)量守恒：

以凹槽為參照系（非慣性系）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)凹槽的壓力水平分力為零，此時(shí)凹槽加速度為零，瞬時(shí)為慣性系，應(yīng)用牛頓第二定律：以凹槽為參照系（非慣性系）

例題2：半徑為R，質(zhì)量為M，表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一質(zhì)量為m的小滑塊。當(dāng)小滑塊從頂端無(wú)初速度地下滑后，在圖示θ的角位置處開(kāi)始脫離半球。已知cosθ=0.7，求M/m當(dāng)滑塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑塊對(duì)半球壓力豎直分量與重力及支持力平衡，水平分量使半球在水平方向獲得加速度。所以，半球是非慣性系。當(dāng)滑塊將要脫離半球時(shí)二者間接觸力為零，即滑塊對(duì)半球壓力為零，半球水平加速度為零，此時(shí)半球視為慣性系。設(shè)此時(shí)滑塊相對(duì)半球作圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，半球相對(duì)地水平速度為V。例題2：半徑為R，質(zhì)量為M，表面光滑的半球放在光滑的水平面

據(jù)牛頓第二定律（以半球?yàn)閰⒄障担☉T性））據(jù)牛頓第二定律（以半球?yàn)閰⒄障担☉T性））

由于由于牛頓力學(xué)的原始體系及其中的主要錯(cuò)誤

本講主要討論牛頓力學(xué)的原始體系和牛頓第二定律原始表述中的錯(cuò)誤，牛頓錯(cuò)誤的絕對(duì)時(shí)空觀，慣性系如何定義？質(zhì)量定義的科學(xué)性。1、牛頓力學(xué)的原始體系牛頓力學(xué)的核心可以概括為四個(gè)基本定義和三個(gè)運(yùn)動(dòng)定律（公理）(1)四個(gè)基本定義牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和其它論著中有許多定義，其中四個(gè)是基本定義。牛頓力學(xué)的原始體系及其中的主要錯(cuò)誤本講主要討論牛頓力

(a)質(zhì)量的定義“物質(zhì)的量是物質(zhì)的度量，可由密度和體積共同求出?！薄八^密度相同者系指慣性與其體積成比例者?！奔船F(xiàn)在所說(shuō)的質(zhì)量是物質(zhì)的量或物體慣性的度量，質(zhì)量是標(biāo)量。在這個(gè)定義中，包含了牛頓原子論的觀點(diǎn)。在解釋這個(gè)定義時(shí)，他實(shí)際上認(rèn)為“密度”是由單位體積中的粒子數(shù)來(lái)確定的。這個(gè)定義指出了質(zhì)量同物質(zhì)概念的緊密聯(lián)系。在牛頓看來(lái)，原子是永恒的，不可毀壞的，所以物質(zhì)的質(zhì)量是不變的，即質(zhì)量守恒，物質(zhì)守恒。但牛頓質(zhì)量的定義具有原則性缺陷，他所斷言的質(zhì)量是不變的，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及能量變化無(wú)關(guān)。隨著物理學(xué)的發(fā)展，對(duì)這一定義做出相應(yīng)修正。(a)質(zhì)量的定義

(b)動(dòng)量的定義“運(yùn)動(dòng)的量是這運(yùn)動(dòng)的度量，可由速度和物質(zhì)的量共同給出?！边@里所說(shuō)“運(yùn)動(dòng)的量”即物體的動(dòng)量P(=mv)，并指出動(dòng)量是可加量（矢量）(c)力的定義“外力是一種對(duì)物體的推動(dòng)作用，使其改變靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。”即現(xiàn)在所說(shuō)的力是物體之間的相互作用，力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。(d)慣性系的定義牛頓在《原理》一書中寫道：“以向心力的加速度度量向心力，它正比于向心力”，當(dāng)時(shí)有人向牛頓提問(wèn)：?jiǎn)枺骸凹铀俣葧r(shí)相對(duì)哪個(gè)參考系而言的呢？”牛頓答：“是相對(duì)慣性系而言的?！眴?wèn)：“究竟什么是慣性系？”(b)動(dòng)量的定義

牛頓答：“沒(méi)有加速度，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系叫做慣性系”問(wèn)：“沒(méi)有加速度，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)是相對(duì)誰(shuí)而言的？”牛頓答：“是相對(duì)絕對(duì)空間而言的”問(wèn)：“什么是絕對(duì)空間？”牛頓答：“絕對(duì)空間按其本性與外在事物無(wú)關(guān)，處處均勻，永不移動(dòng)?！庇纱丝梢?jiàn)，牛頓把相對(duì)絕對(duì)空間沒(méi)有加速度，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系定義為慣性系。按近代物理學(xué)的觀點(diǎn)，絕對(duì)空間是不存在的。牛頓答：“沒(méi)有加速度，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系叫做慣性系”

（2）公理或定律定律Ⅰ每個(gè)物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非有外力作用于它，迫使它改變那個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。定律Ⅱ運(yùn)動(dòng)量的改變正比于外力，改變的方向沿外力的直線方向。定律Ⅲ

每種作用都有一個(gè)相等的反作用或兩個(gè)物體間的相互作用是相等的，而且指向相反。由上述的定義和定律，通過(guò)演繹法構(gòu)成了矢量力學(xué)：其核心內(nèi)容是三個(gè)運(yùn)動(dòng)定律、三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理（動(dòng)量、動(dòng)能、角動(dòng)量）及其在特殊情況下的（三個(gè)第一積分）三個(gè)守恒定律以及應(yīng)用它們分析處理各種力學(xué)問(wèn)題的基本方法。（2）公理或定律

三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理和三個(gè)守恒定律都不是牛頓首創(chuàng)的。動(dòng)量守恒定律的思想是由笛卡爾首先提出的，牛頓提出了“質(zhì)心守恒定律”，后來(lái)經(jīng)歐勒等加以整理和發(fā)展。開(kāi)普勒的第二定律（面積定律）實(shí)質(zhì)上就是角動(dòng)量（動(dòng)量矩）守恒定律，它被牛頓推廣到有心力運(yùn)動(dòng)的一切場(chǎng)合，并且由伯克利、歐勒等人各自以不同方式提出。至于機(jī)械能守恒定律是在虛功原理基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。其中有科里奧利、伽利略、惠更斯、伯努利、歐勒、拉格朗日等都做了大量的工作。三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理和三個(gè)守恒定律都不是牛頓首創(chuàng)的。

2、牛頓第二定律原始表述中的錯(cuò)誤分析一下牛頓第二定律，不難發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤，牛頓說(shuō)，運(yùn)動(dòng)的改變與外力成正比，按照愛(ài)因斯坦的思維方法，只要找到一個(gè)實(shí)驗(yàn)與某理論相矛盾，該理論必然錯(cuò)誤，應(yīng)該修正或用新理論取代它，使其與實(shí)驗(yàn)相符。下面舉一個(gè)實(shí)際例子，與牛頓第二定律矛盾。一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在光滑的水平面上作半徑為R，角速度為ω的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，所受向心力大小為mRω2。2、牛頓第二定律原始表述中的錯(cuò)誤

由此可見(jiàn)，同一質(zhì)點(diǎn)在相等的時(shí)間內(nèi)受方向隨時(shí)間變化的合外力作用，合外力大的，動(dòng)量增量（運(yùn)動(dòng)量改變）反而小，即運(yùn)動(dòng)量的變化不與外力成正比，而且動(dòng)量增量也不沿合外力直線方向。（錯(cuò)誤根源：非瞬時(shí)）由此可見(jiàn)，同一質(zhì)點(diǎn)在相等的時(shí)間內(nèi)受方向隨時(shí)間變化的合外力作

顯然，牛頓第二定律的原始表述只適用于低速宏觀條件下的一種特殊情況，是錯(cuò)誤的。1750年物理學(xué)家歐勒剖析牛頓第二定律原始表述中的錯(cuò)誤，給出了正確的數(shù)學(xué)表述：顯然，牛頓第二定律的原始表述只適用于低速宏觀條件下的一種

大學(xué)普通物理教學(xué)應(yīng)按牛頓力學(xué)的科學(xué)體系教學(xué)，讓學(xué)生從中學(xué)到牛頓的科學(xué)思維方法。用現(xiàn)代物理學(xué)的語(yǔ)言表述牛頓力學(xué)的科學(xué)內(nèi)容體系是：定義了質(zhì)量、動(dòng)量、力和慣性系。牛頓第一定律告訴人們：（1）每個(gè)物體都有保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)——平動(dòng)慣性。在低速運(yùn)動(dòng)的情況下，平動(dòng)慣性用質(zhì)量m度量，世界上沒(méi)有不運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)，也沒(méi)有無(wú)物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的固有屬性。物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與外力無(wú)關(guān)。（2）物體靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——平動(dòng)狀態(tài)用運(yùn)動(dòng)的量（動(dòng)量P）表述。動(dòng)量是描述物體平動(dòng)狀態(tài)的物理量，與運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)關(guān)，即動(dòng)量是狀態(tài)量而不是過(guò)程量。大學(xué)普通物理教學(xué)應(yīng)按牛頓力學(xué)的科學(xué)體系教學(xué)，讓學(xué)生從中學(xué)

（3）不受外力作用或所受合外力為零的物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，即物體的動(dòng)量守恒。所以，牛頓第一定律實(shí)質(zhì)上就是動(dòng)量守恒定律。如果把整個(gè)宇宙看成是一個(gè)大物體系統(tǒng)，它沒(méi)有外界，不受外力作用，因此，整個(gè)宇宙動(dòng)量守恒。孤立的物理系統(tǒng)的動(dòng)量守恒普遍成立。（4）要改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即改變物體的動(dòng)量，必須有外力持續(xù)作用，內(nèi)力不會(huì)改變物體的總動(dòng)量。（3）不受外力作用或所受合外力為零的物體都保持靜止或勻速直

修正了的牛頓第二定律告訴人們：當(dāng)物體受外力持續(xù)作用后，物體的動(dòng)量要改變，物體的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于作用在物體上的合外力，數(shù)學(xué)表達(dá)式：物體動(dòng)量的元增量對(duì)d(mv)平行于物體所受的合外力F，動(dòng)量mv是狀態(tài)量。修正了的牛頓第二定律告訴人們：

牛頓第三定律的內(nèi)容是：作用力與反作用力大小相等，方向相反，且在同一條直線上，作用在兩個(gè)物體上。牛頓第三定律告訴人們：自然界不存在沒(méi)有反作用的作用。任何一個(gè)完整的物理系統(tǒng)與另一個(gè)完整的物理系統(tǒng)之間的相互作用遵循牛頓第三定律，但它們中的任一部分與另一部分的相互作用并不遵循牛頓第三定律。例如：兩個(gè)閉合穩(wěn)恒電流之間的相互作用服從第三定律，而任意兩個(gè)穩(wěn)恒電流元之間的相互作用不遵循牛頓第三定律。力學(xué)系統(tǒng)的任一對(duì)內(nèi)力是一對(duì)作用力與反作用力，任一力學(xué)組內(nèi)力的總和為零。牛頓第三定律的內(nèi)容是：作用力與反作用力大小相等，方向相反

3、拋棄牛頓錯(cuò)誤的絕對(duì)時(shí)空觀，定義慣性系牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，所謂絕對(duì)空間是指長(zhǎng)度的亮度與參考系無(wú)關(guān)，絕對(duì)時(shí)間是指時(shí)間的量度和參考系無(wú)關(guān)，牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀數(shù)不對(duì)的，但他引入絕對(duì)空間，對(duì)于建立他的力學(xué)體系是必要的。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“對(duì)此，牛頓和他同時(shí)代最有批判眼光得人都是感到不安的，但是人們要想給力學(xué)以清晰的定義，在當(dāng)時(shí)卻沒(méi)有別的辦法。”所以不能把牛頓提出的絕對(duì)時(shí)空觀概念僅僅看做是由于牛頓世界觀方面的缺陷，從根本上說(shuō)，這是由于絕對(duì)空間對(duì)經(jīng)典力學(xué)是必不可少的。所以牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀能夠統(tǒng)治物理學(xué)達(dá)二百年之久，直到邁克爾遜干涉儀研制成功。3、拋棄牛頓錯(cuò)誤的絕對(duì)時(shí)空觀，定義慣性系

邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)否定了與牛頓時(shí)空觀概念相聯(lián)系的伽利略變換的普適性，建立了狹義相對(duì)論，洛倫茲變換是普適的，時(shí)間是相對(duì)的，長(zhǎng)度也是相對(duì)的，伽利略變換是洛倫茲變換在低速極限情況下的近似。在低速情況下伽利略變換是有效的，但絕對(duì)時(shí)空觀是錯(cuò)誤的，應(yīng)該拋棄。拋棄了絕對(duì)時(shí)空觀，如何定義慣性系？物理學(xué)發(fā)展到今天，牛頓當(dāng)年想辦而辦不到的，現(xiàn)在可以用近代物理學(xué)的科學(xué)方法計(jì)量質(zhì)點(diǎn)所受其它物體的作用力并求得作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力。相對(duì)所受合外力為零的質(zhì)點(diǎn)保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的一切參考系都可以定義為慣性系。邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)否定了與牛頓時(shí)空觀概念相

由于地球的自轉(zhuǎn)的加速度很小，地表最大向心加速度R地ω2≈3.4×10-2m/s2(ω=2π/24×3600)，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度更小，可忽略不計(jì)。在地球?qū)嶒?yàn)室內(nèi)研究物體相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)，可選地球?yàn)閼T性系（近似）。研究行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)相對(duì)行星的平均運(yùn)動(dòng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，可選太陽(yáng)為近似的慣性系。太陽(yáng)繞銀河系公轉(zhuǎn)加速度約為地表最大向心加速度的10-8倍，太陽(yáng)與地球相比是更好的慣性系。由于地球的自轉(zhuǎn)的加速度很小，地表最大向心加

4、關(guān)于質(zhì)量定義的討論牛頓將質(zhì)量定義為物質(zhì)的量，是慣性的量度，質(zhì)量是守恒量。漆安慎力學(xué)中講，“現(xiàn)在，物質(zhì)的多少用摩爾數(shù)說(shuō)明，物質(zhì)多少和慣性質(zhì)量目前已是不同的概念，不可混淆?！毕蛄x和編著大學(xué)物理學(xué)導(dǎo)論中講，物質(zhì)的量單位是mol，質(zhì)量單位是kg，所以質(zhì)量和物質(zhì)的量是兩個(gè)不同概念。那么質(zhì)量定義究竟是什么？怎樣更具科學(xué)性？有必要加以澄清。4、關(guān)于質(zhì)量定義的討論

在低速運(yùn)動(dòng)和物體質(zhì)量為常量的情況下，有物體的質(zhì)量等于物體產(chǎn)生每單位加速度所需要的合外力的大小，反映物體慣性大小。當(dāng)物體作高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量隨速率變化，即高速運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量不再是慣性的量度。物體質(zhì)量是速率函數(shù)，與速度方向無(wú)關(guān)。同一物體高速運(yùn)動(dòng)，速率相同，質(zhì)量相同。在低速運(yùn)動(dòng)和物體質(zhì)量為常量的情況下，有

但按照非相對(duì)論定義，高速運(yùn)動(dòng)物體的慣性隨外力與速率夾角的大小變化。例如，荷電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，則dv/dt=0，由前式可知，第二項(xiàng)為零，則有：按非相對(duì)論質(zhì)量定義，靜質(zhì)量為m0的高速運(yùn)動(dòng)電荷橫向質(zhì)量mθ可作為荷電質(zhì)點(diǎn)橫向慣性的度量。但按照非相對(duì)論定義，高速運(yùn)動(dòng)物體的慣性隨外力與速率夾角的大

若荷電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：按照非相對(duì)論質(zhì)量定義，mr為質(zhì)點(diǎn)的縱向質(zhì)量，可作為質(zhì)點(diǎn)縱向慣性的度量。但mr不是物質(zhì)的量的度量。因?yàn)榫C上所述，高速運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量不再是物體平動(dòng)慣性的量度。若荷電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛

但作為物質(zhì)的量的度量仍然是科學(xué)的，合理的。因?yàn)檫@個(gè)定義滿足物質(zhì)不滅原理以及物質(zhì)與運(yùn)動(dòng)不可分原理。所謂“物質(zhì)不滅原理”，即物質(zhì)不能創(chuàng)生，也不能自滅，只能從一種物質(zhì)轉(zhuǎn)化為另一種物質(zhì)，整個(gè)宇宙物質(zhì)的量是守恒的。所謂“物質(zhì)不可分原理”即萬(wàn)物是運(yùn)動(dòng)的，沒(méi)有不運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)，也沒(méi)有無(wú)物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)存在的形式，物質(zhì)的量（質(zhì)量）與運(yùn)動(dòng)的量（動(dòng)量）及能量應(yīng)同步地增長(zhǎng)，量與量之間的關(guān)系為但作為物質(zhì)的量的度量仍然是科學(xué)的，合理的。因?yàn)檫@個(gè)定義滿足

由此可見(jiàn)，把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量仍然是科學(xué)的，既適用于實(shí)物，也適用于場(chǎng)；既適用于高速運(yùn)動(dòng)，也適用于低速運(yùn)動(dòng)；既適用于宏觀物體也適用于微觀粒子。把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量與1971年國(guó)際度量大會(huì)通過(guò)的以摩爾為單位的物質(zhì)的量是否相矛盾呢？眾所周知，國(guó)際度量大會(huì)規(guī)定的摩爾質(zhì)量是指6.0221367(36)×1023個(gè)分子熱運(yùn)動(dòng)平均處于相對(duì)靜止的參考系中所測(cè)得同種上述數(shù)量分子的總質(zhì)量。當(dāng)物體高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，分子個(gè)數(shù)不變，每個(gè)分子的質(zhì)量隨自身速率增加而增加。因此，摩爾質(zhì)量也隨物體速率增加而增加。把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量與摩爾為單位的物質(zhì)的量是一致的。由此可見(jiàn)，把質(zhì)量定義為物質(zhì)的量仍然是科學(xué)的，二體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式及其應(yīng)用(選論)

質(zhì)點(diǎn)問(wèn)題很復(fù)雜，三體二維以上的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有精確解，研究?jī)蓚€(gè)物體組成的孤立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)通常叫二體問(wèn)題，如氫原子問(wèn)題、雙星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題等。二體問(wèn)題有精確的解，孤立的二體運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、能量守恒。由于二體之間相互作用力（內(nèi)力）與它們的相對(duì)位置有關(guān)（如：萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力），因此，研究二體中一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)常取另一個(gè)物體作為參考系——非慣性系。相對(duì)非慣性系的運(yùn)動(dòng)微分方程要計(jì)入慣性力。作適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理以后，可得形式上是相對(duì)非慣性系，實(shí)質(zhì)上是相對(duì)慣性系的運(yùn)動(dòng)定理。二體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式及其應(yīng)用(選論)

1、二體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式(v<<c)

我們已經(jīng)熟悉矢量力學(xué)中三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理（動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、角動(dòng)量定理）的非相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式，可以用類比法導(dǎo)出三個(gè)運(yùn)動(dòng)定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式。（1）二體動(dòng)量定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式動(dòng)量定理非相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式（微分式）上式的動(dòng)量及速度都是相對(duì)慣性系的。當(dāng)我們?nèi)《w質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)（質(zhì)心系ac=0）是慣性系，可得二體動(dòng)量定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式與上式類似。證明如下：1、二體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式(v<<c)

二體動(dòng)量定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式（質(zhì)心系）：微分式積分式二體動(dòng)量定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式（質(zhì)心系）：

（2）二體動(dòng)能定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式用1相對(duì)2的元位移dr12點(diǎn)乘動(dòng)量定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分式（2）二體動(dòng)能定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式

任一對(duì)內(nèi)力的元功之和與參考系無(wú)關(guān)，由此產(chǎn)生的相對(duì)質(zhì)心總動(dòng)能的元增量也與參考系無(wú)關(guān)。證明如下：任一對(duì)內(nèi)力的元功之和與參考系無(wú)關(guān)，由此產(chǎn)生的

（3）二體角動(dòng)量定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式用1相對(duì)2的位矢r12矢乘動(dòng)量定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式微分式，并考慮r12∥f12（3）二體角動(dòng)量定理的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式

二體相對(duì)質(zhì)心系的角動(dòng)量為孤立的二體動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒。一個(gè)物體相對(duì)另一個(gè)物體在所成平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，角速度垂直于該平面。二體相對(duì)質(zhì)心系的角動(dòng)量為

2、二體運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式的應(yīng)用（1）碰撞問(wèn)題應(yīng)用二體運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式處理對(duì)心碰撞和非對(duì)心碰撞問(wèn)題都很方便。

對(duì)心碰撞兩球的速度沿兩球連心線所發(fā)生的碰撞叫做對(duì)心碰撞。設(shè)兩球碰撞前速度為v1和v2，碰后兩球的速度分別為v1′，v2′；設(shè)兩球開(kāi)始接觸時(shí)刻為t0，兩球壓縮最大時(shí)刻t1，兩球開(kāi)始脫離時(shí)刻為t2。2、二體運(yùn)動(dòng)定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式的應(yīng)用

據(jù)牛頓建議：兩球恢復(fù)沖量與壓縮沖量之比為恢復(fù)系數(shù)e，由動(dòng)量定理相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式得：據(jù)牛頓建議：兩球恢復(fù)沖量與壓縮沖量之比為恢復(fù)系數(shù)e，由動(dòng)量

當(dāng)e=1，為完全彈性碰撞，碰撞前后，二體的相對(duì)速度大小相等，方向相反，碰撞過(guò)程動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒，動(dòng)量守恒。當(dāng)e=0，為完全非彈性碰撞，碰后兩球之間相對(duì)速度為零。即在完全非彈性碰撞中，二體相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能完全損失掉，即當(dāng)0≤e≤1，既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞，叫非完全彈性碰撞。動(dòng)能損失為將e代入得：處理二體對(duì)心碰撞的基本方程是：當(dāng)e=1，為完全彈性碰撞，碰撞前后，二體的相對(duì)速度大小相等

非對(duì)心碰撞兩球的速度方向偏離二體連心線所發(fā)生的碰撞叫做非對(duì)心碰撞或斜碰。設(shè)質(zhì)量為m1和m2的兩球的速度在碰撞前為v1和v2,碰后為v1′和v2′，兩球接觸時(shí)的連心線為x軸，v1和v2與x軸夾角分別為θ1和θ2。設(shè)兩球在光滑水平面內(nèi)，兩球之間無(wú)摩擦，整個(gè)運(yùn)動(dòng)都在xoy面內(nèi)。在碰撞過(guò)程中在垂直連心線方向由于沒(méi)有內(nèi)力作用，故兩球各自動(dòng)量分量不變，即非對(duì)心碰撞

在平行x軸方向按對(duì)心碰撞處理，故有：在平行x軸方向按對(duì)心碰撞處理，故有：

（2）非碰撞二體的接觸相互作用及其運(yùn)動(dòng)例題1：質(zhì)量為M，內(nèi)壁半徑為R的光滑半球面容器靜止