高二數(shù)學(xué)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)綜合測試題

高二數(shù)學(xué)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)綜合測試題高二數(shù)學(xué)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)綜合測試題高二數(shù)學(xué)函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)綜合測試題選修2-21.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，以下命題中，正確的選項是( )A．導(dǎo)數(shù)為零的點必然是極值點B．若是在點x0周邊的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值C．若是在點x0周邊的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值D．若是在點x0周邊的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值[答案]C[剖析]導(dǎo)數(shù)為0的點不用然是極值點，比方f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點，故A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C.2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有( )A．極小值－2，極大值2B．極小值－2，極大值3C．極小值－1，極大值1D．極小值－1，極大值3[答案]D[剖析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1當(dāng)x<－1時，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，當(dāng)－1<x<1時，y′>0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是增函數(shù)，當(dāng)x>1時，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，y極小＝－1.當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，y極大＝3.3．設(shè)x0為f(x)的極值點，則以下說法正確的選項是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0[答案]C[剖析]如：y＝|x|，在x＝0時獲取極小值，但f′(0)不存在．4．對于可導(dǎo)函數(shù)，有一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號是這一點為極值的( )A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件[答案]C[剖析]只有這一點導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號才是充要條件．3－3x2，給出命題：

5．對于函數(shù)f(x)＝x①f(x)是增函數(shù)，無極值；②f(x)是減函數(shù)，無極值；③f(x)的遞加區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)；④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值．其中正確的命題有( )A．1個B．2個C．3個D．4個[答案]B[剖析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②錯誤．1的極值情況是( )

6．函數(shù)f(x)＝x＋xA．當(dāng)x＝1時，極小值為2，但無極大值B．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2，但無極小值C．當(dāng)x＝－1時，極小值為－2；當(dāng)x＝1時，極大值為2D．當(dāng)x＝－1時，極大值為－2；當(dāng)x＝1時，極小值為2[答案]D1[剖析]f′(x)＝1－2，令f′(x)＝0，得x＝±1，x函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞加，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－1時，取極大值－2，當(dāng)x＝1時，取極小值2.7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象以下列圖，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點( )A．1個B．2個C．3個D．4個[答案]A[剖析]由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點．8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是( )A．有極小值B．有極大值C．既有極大值又有極小值D．無極值[答案]D[剖析]∵y′＝1－12(x2＋1)′2＋1)′1＋x2x＝1－＝x2＋1(x－1)2x2＋1令y′＝0得x＝1，當(dāng)x>1時，y′>0，當(dāng)x<1時，y′>0，∴函數(shù)無極值，故應(yīng)選D.3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則函數(shù)f(x)的極值是( )

9．已知函數(shù)f(x)＝xA．極大值為4，極小值為027B．極大值為0，極小值為427C．極大值為0，極小值為－427D．極大值為－4，極小值為027[答案]A[剖析]由題意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，1令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，極大值f314，極小值f(1)＝0.3＝2710．以下函數(shù)中，x＝0是極值點的是( )3B．y＝cos2x

A．y＝－x1C．y＝tanx－xD．y＝x[答案]B1＋cos2x[剖析]y＝cos，y′＝－sin2x，2x＝2x＝0是y′＝0的根且在x＝0周邊，y′左正右負，∴x＝0是函數(shù)的極大值點．二、填空題11．函數(shù)y＝2x的極大值為______，極小值為______．x2＋1[答案]1－1[剖析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴當(dāng)x＝－1時，取極小值－1，當(dāng)x＝1時，取極大值1.3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．

12．函數(shù)y＝x[答案]a＋42a－422－6＝3(x＋2)(x－2)，

[剖析]y′＝3x令y′>0，得x>2或x<－2，令y′<0，得－2<x<2，∴當(dāng)x＝－2時取極大值a＋42，當(dāng)x＝2時取極小值a－42.13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝______，b＝________.[答案]－3－9[剖析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達定理應(yīng)有3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個公共點，則a的取值范圍是

14．已知函數(shù)f(x)＝x________．[答案](－2,2)[剖析]令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，y＝f(x)的大體圖象如圖觀察圖象得－2<a<2時恰有三個不同樣的公共點．三、解答題3－3x2－9x＋11.15．已知函數(shù)f(x)＝x(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(2)談?wù)摵瘮?shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值．2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，

[剖析]f′(x)＝3x令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性以下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)

f′(x)＋0－0＋極大值極小值f(x)增減增f(－1)f(3)(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)；(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c

16．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax的值，并求出相應(yīng)的極值．[剖析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函數(shù)的極值點，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1，1此時函數(shù)的表達式為f(x)＝x3－3－232x.∴f′(x)＝32－2x32.令f′(x)＝0，得x＝±1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)變化情況以下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋極大極小f(x)值1值－1由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極小值－1.3＋bx2－3x在x＝±1處獲取極值．

17．已知函數(shù)f(x)＝ax(1)談?wù)揻(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．2＋2bx－3，依題意，[剖析](1)f′(x)＝3axf′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．(2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上．3設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝x0－3x0.∵f′(x0)＝3(x20－1)，故切線的方程為2y－y0＝3(x0－1)(x－x0)．注意到點A(0,16)在切線上，有16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)．化簡得x03＝－8，解得x0＝－2.∴切點為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0.a3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩

18．(2010北·京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3個根分別為1,4.(1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的剖析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍．[剖析]本題觀察了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用．a(chǎn)由f(x)＝3x∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.(1)當(dāng)a＝3時，由(