2013新知杯歷年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

[13][13]<n的最大正整數(shù)n,其中L］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最五、求滿(mǎn)足不等式2+3+11+大整數(shù).2008年“新知杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案軽題答案丄L根號(hào)晞?dòng)?6^32牛根號(hào)打了去Kl=a+1疋=@十1)血S11根號(hào)37.672乳綢度工〔玉根號(hào)3)M10.303S0P提示：8、答案：48°。延長(zhǎng)BA至卩，則厶ADE9AAFE,AE平分ZFED,且ZBFE=ZABE,代換一下即可。1O、1X2+2X3+3X4——44X45=30360基本功題：首先是：x2—x—k的因式分解，其次是求和問(wèn)題。二、答案：2VSW3/2+21/2。本題是考察基本不等式的運(yùn)用技巧。我估計(jì)我的學(xué)生可以得一半分。三、答案：4X31/2/3。換元法技巧而已。只要令x=(a+b)/2,y=(a—b)/2,利用對(duì)稱(chēng)性，設(shè)y>0即可。四、答案：15.50。純粹的解三角形的死做題。只要邊CF,則與NP的交點(diǎn)即為中點(diǎn)，并取AB中點(diǎn)，慢慢解了。希學(xué)生注意：可以使用計(jì)算器,一定要掌握。五、答案：1715。高斯函數(shù)題再加上放大與縮小的應(yīng)用。???[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]Vn,其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)。???[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]Wn—1即n—12(n—?y-h8i-2+--i：10第四題陸三種解袪屮解洽一；如囹1，逵加=「PN=y.由于梯孫皿即、MBCP.PCW.FPm冏面積之和寺于梯勝朋7CQ逛的而祀之和.因而可列再倉(cāng)■理解生二；如國(guó)氛容易求皐整理爲(wèi)工+廠15.50.-i7+xil+-"Z-i-^；i3+又屍知”QR.">fiQ,則護(hù)Q■衛(wèi)乩從而倔+陽(yáng)=磴+剛=ZO.解底三；如國(guó)九設(shè)加■"?W-y?在直角梯形咖尸兄血0PC琳啊遲中‘由勾股定理可列得方理組曄-17-忑F+F■u—iaF芒2\胡-,^-?|2+33-|y-Si2+費(fèi)解這個(gè)方程組得所亂r+y=1550.(y-10.25-2007年“新知杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題(第1?$小題』每題3分，第6?10小題，每題10分，共90分〉TOC\o"1-5"\h\z1.c知—1<?工—i<i,則Z—1的取值范圍為.工在面積衙1的/XABC4P為邊占C的中點(diǎn)f點(diǎn)Q在邊AC±r且AQ=-2QC.^接QEQ空于點(diǎn)R-則/\ABR的面積是-任中.ZC=90fl,"、ZB.的對(duì)邊順次為“、b：c若去于x的療程c(x2+l)-2y/2lfx-a(jc2-l)=0的兩根平方和為10,則纟的值％數(shù)迅，毛，■■■.両恥滿(mǎn)足如下務(wù)件：對(duì)于無(wú)=1.2.■■■,100.耳卜匕其余99個(gè)數(shù)的和小匕則兮的值為.己知實(shí)數(shù)a、b.c,且BhO，若實(shí)數(shù)兀、x2.刃、丹藕足K-bt-yLi;2=a,x.y}+ax.2y2=c,則+ay^的值為.氐如圖.設(shè)F是凸冏邊^(qū)ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)尸分別件貝鳳BC.CD、D4的垂線.垂足分別拘EF.G、H.己知血匸瓦HD^4.DOI,GC^5,CF=6,FB^4.且BE~AE^\.則冏邊^(qū)ABCD的周長(zhǎng)対.如圖.AABC的面積為SG.耳和F分別在邊AB.AC.BC±.tBD<DA,DG//BC.DE//AC,GF//AB.則梯形DEFG面積的最大可能值為.HEFC不超過(guò)1000的正整數(shù)池愷得兀和工+1兩者的數(shù)字和都是奇數(shù).則滿(mǎn)足條杵的正整數(shù)x有個(gè).已知丘為不超過(guò)旳的正整數(shù)，愷得對(duì)任竜正整數(shù)/2X36^X23^1-!都能被7整除.則這樣的

AyB正整數(shù)k有個(gè).10.鍥得戸（戸；1丿+2是完全平方數(shù)的所有質(zhì)數(shù)p為二、AyB正整數(shù)k有個(gè).10.鍥得戸（戸；1丿+2是完全平方數(shù)的所有質(zhì)數(shù)p為二、（20分）如圖，在R1AX5C中.ZO90a,BC=2,AC=xr在邊AS匕點(diǎn)GH住邊EC上，山邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為J/的正方形，且A^AC.（1）求，關(guān)于x的例數(shù)解析式.<2）當(dāng)兀為何值時(shí)，>■取到最大值？并求出，的最大值.三、（20分）四、（20分）在一個(gè)盒子里有紅、黃、黑三種顏色的小球并開(kāi)個(gè).己知尿中任意取出24個(gè)，就可以保證至少有10個(gè)■■卜球是同色的.問(wèn)住滿(mǎn)屋上述第件下.無(wú)論各種顏芭的小球如何分配，至少要從盒子中任盍取出密少個(gè)小球，才能保證至少苞20個(gè)小球是同色的？求滿(mǎn)足下列條杵的正整數(shù)丹的所有可能值；對(duì)堪樣的臥能找到實(shí)數(shù)mb便得函數(shù)f^=-^+ajc+b對(duì)任意整數(shù)x，fa\都是整數(shù).2007年欄新知杯"上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案詳解一、填空題21.【答案】一—1>1工12【解析】-K2X-1<1<=>0<x<1<=>->1<=>--1>1.xx22【答案】y【解析】如圖.b(>'l2+站)=(X?+眄2=^yi+試承f+訝X)+a2x22y22=^i2Vi'+a(--^^+o1)+?\2^i2=(xly}+ax2y2y+aS因?yàn)椴?所乩J/+av22=—廠一b6.【答案】34【解析】由勾股定理得瑚-應(yīng)=P/_D龍.PW-DG^g-CG1,PC^-CF^=PEP-B^,P^-B^=P^-A^.上面四式相加得AH^+D^C^B^A^+B^CG^+DH^=^>9+1+36+BE^=A^+16+25+16n(BE-AE)(.BE+AE)=11.因^BE-AE=\t所悅BE+AE=Y\.即^5=11.故四邊形肋仞的周長(zhǎng)為3斗,【解析】設(shè)7.【答案】-當(dāng)工=二時(shí)，S3S.【答案】滋【解析】顯然,A'^1000.x=abc,其中，a、b.cC(D,1,■■■,9},且不全為零.S<x)=?-￡h-c是￡的數(shù)字和.(1)若flljS(.x)=a+b+crS(x+1\=a+b+c+\\<2)若尸9,則&(x)n+6+9"S(x+1)=a+Zn-l!(3)若b=c=^,mH?,則S(.x)=fl-18,S(x-1)=￡j+l:

HBDy<4）若o=5=c=?,|i]S（x）=27.5（工一1）=1.=0（mod7）T則2fc4-l=0（nicd7）7即HBDy<4）若o=5=c=?,|i]S（x）=27.5（工一1）=1.=0（mod7）T則2fc4-l=0（nicd7）7即2k+l=7m<wr為奇數(shù)）.因?yàn)?W肢50,所以，【解折】設(shè)衛(wèi)(戸；1)+2=上1〔氏迂2+.則戸9+門(mén)=2^~2=2盤(pán)+1》(i-1).（1〉當(dāng)p=2Ibt.3=記-\、k=h綜.f:.p=2或5.【解答】如圏.延長(zhǎng)HE^AC于點(diǎn)D顯然，DF//BC,則RtAADF-RtA^CB.注意到應(yīng)勺6.知DE=_（兀一"汀=（2砂-#，于是，—_—=+>=>2x-ly—\v=x^2x\--y2.由此可見(jiàn)，S(X)和3<Y4-1)都是奇數(shù)僅是情形和.在情形(2?+，a+b^偶數(shù)，Aiifu.口、占同奇偶?這樣有書(shū)個(gè)工滿(mǎn)足題意.在情形<4?僅有一個(gè)尸999満足題意.綜上，満足題意的工共有處個(gè).9.【答案】1【解折】2X3葩+瑟2旳-1=2K273%2itxSk-1三2%fT円+汩1三肚+1<mod?九但2X護(hù)+4丹^-1故杭=1.3.????13.相應(yīng)的^3,10,■■■,45,共7個(gè).10.【答案】2或5當(dāng)43時(shí).p（/M-1）=16.無(wú)質(zhì)數(shù)解t當(dāng)44時(shí).F（774-1）=30.p=5.若創(chuàng)*0則盤(pán)同(fc+l)?不可能.⑵當(dāng)尹二2時(shí).剖(fc+l)或戸|(41).若冋低一1),則卩+1事2<^1).從而，k+2^p+l^22.x兩邊平方并整理得(jc2+2x+2)y2-(jt1+2x2+4x)y+2x2=0.1?得嚴(yán)_-—解尸t2.xJCII（2）itl（1）得），=—|——=75-1.當(dāng)且僅當(dāng)1=-.即x=y/2時(shí)，上式等號(hào)成立.”2+2込2xX故當(dāng)“如h$取最大值V2-1.【解答】設(shè)f（.x）訟對(duì)任意整數(shù)禺fa、都是整數(shù).則nax+b1rax+bg(i)=f(x+1)-f(jc)=—(x+1)+tj(x+l)+￡>2121=_xann也為整數(shù)?進(jìn)和，g（x+1）~g<x）=—也是整數(shù).所乩】尸1或2.n當(dāng)滬1時(shí).取整數(shù)6乩=Aor-&對(duì)任意整數(shù)x7f（x）都是整數(shù)；當(dāng)滬2時(shí)，取a=~.b壽整數(shù)，則八心=丄^+Lx+b=Lx（x-i）+方對(duì)任意整數(shù)*fS都是2222整數(shù).綜上所述，或2.四、【解答】首先證明：只取出43個(gè)球是不夠的.事實(shí)上，當(dāng)盒子中有42個(gè)紅球、41個(gè)黃球、5個(gè)黑摩時(shí)，任取2斗個(gè)球*則紅球與黃球至少有24-5=19個(gè)，從而，紅球或黃球中愛(ài)有一種大于或等于10個(gè)：而取19牛紅球，19個(gè)黃球，5個(gè)黑球，兀約個(gè)球.但其中沒(méi)有20個(gè)是同色的.其次川：明：從中取44個(gè)小球,則其中一定有20個(gè)小球同芭.記盒子中紅、黃、黑球的個(gè)數(shù)分別為￡、,￥、三不妨設(shè)兀孑尹孑M（1〉若2^5,則取出的44個(gè)球中，紅球與黃球至少有44-5=39賦而，紅球或黃球中一定有一種大于或等于20個(gè).（2》若當(dāng)yWE訓(xùn)r44個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)大于或等于44-8-6>20;當(dāng)時(shí)，??？個(gè)紅球，9個(gè)黃球，&個(gè)黑球，2斗個(gè)球中無(wú)10個(gè)同色球:，不滿(mǎn)足題設(shè)條杵.<3）若曰.當(dāng)時(shí).取9個(gè)紅球，$個(gè)黃球，7個(gè)黑球，24個(gè)球中無(wú)10個(gè)同色球，不滿(mǎn)足題設(shè)條杵；當(dāng)尸丁時(shí).44個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)丈于或等于44-7-7>20.<4）若z^8,則紅球、黃球、黑球各取擊個(gè),即知不滿(mǎn)足題設(shè)條件.綜上所述，至少取出44個(gè)球才能保汕有20個(gè)小球同色.

2006年（新知杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、填空題（第1~5小題，每題8分，第6~10題，每題10分，共90分）1、如圖，在△ABC中，ZA=70°ZB=90。，點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A'，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B'，點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是C'，若△ABC的面積是1,則△AB'C'的面積是.DD2a+b+c+d+e+f—20,a+2b+c+d+e+f—40,a+b+2c+d+e+f—80,2、已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、e、f滿(mǎn)足如下方程組+b+c+2d+e+f-160,a+b+c+d+2e+f—320,a+b+c+d+e+2f—640.則f-e+d-c+b-a的值是3、如圖，菱形ABCD中，頂點(diǎn)A到邊BC，CD的距離AE,AF都為5,EF—6，那么菱形ABCD的邊長(zhǎng)為．4、已知二次函數(shù)y—x2-x+a的圖像與x軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過(guò)5,則a的取值范圍是．5、使得5、使得n+1能整除n2006+2006的正整數(shù)n共有個(gè)．77、6、表示不大于x的最大整數(shù)，方程bx肛x匚8x-2的所有實(shí)數(shù)解為6、如圖，ABCD為直角梯形（ZB—ZC—90°），且AB—BC，若在邊BC上存在一點(diǎn)M，CD使得△AMD為等邊三角形，則的值為第7題圖AB

第7題圖8、如圖，△ABC的面積為S,周長(zhǎng)為p,△A'B'C'的三邊在厶ABC外，且與對(duì)應(yīng)邊的距離均為T(mén)OC\o"1-5"\h\zh，則△AAB'C的周長(zhǎng)為，面積為.9、n（＞1）個(gè)整數(shù)（可以相同）a,a，…a滿(mǎn)足a+aHba=aa…a=2007，則n的最12n12n12n小值是．10、把能表示成兩個(gè)正整數(shù)平方差的這種正整數(shù)，從小到大排成一列：a,a,…,a,…，例如：12na二22-12二3,a二3-2二5,a二42-3二7,a二3-12二8,?…,那么，1234abab…baba的值是．1299100二、（本題20分）如圖，已知半徑分別為1，2的兩個(gè)同心圓，有一個(gè)正方形ABCD，其中點(diǎn)A,D在半徑為2的圓周上，點(diǎn)B,C在半徑為1的圓周上，求這個(gè)正方形的面積.三、（本題20分）I3I3x+2y+z二a,關(guān)于x、y、z的方程組］xy+2yz+3zx二6有實(shí)數(shù)解（x,y,z），求正實(shí)數(shù)a的最小值.四、（本題20分）設(shè)A是給定的正有理數(shù).（1）若A是一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個(gè)正有理數(shù)x、y、z，使得x2-y2=y2-z2=A.（2）若存在3個(gè)正有理數(shù)x、y、z，滿(mǎn)足x2-y2二y2-z2二A，證明：存在一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A.2006年“新知杯"上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽

答案詳解一、填空題1.【答案】3【解折】如圖，C1DAr連接B!B.井延長(zhǎng)交CM于點(diǎn)D^AC于點(diǎn)Erf]題設(shè)CB=BC,A'B=BA.ACLa'C,且BB1LAC,B'E=BE,得BfD=3BE.故S^c=^B(D-A'C=3k^BE-AC=3S^BC=3.【答案】420【解析】⑧一⑤+④一③+②一?得^d-c+b-o=640-320+L6D-80+40-20=420.【答案】號(hào)【解析璉接與麗交于點(diǎn)G.易證EF±AC,EG=GF.在RtMEG中”因?yàn)閼?yīng)恵F=3,所乩AG=4”在R1AJAC中”因^sAE^AGAC,ZACE^ZAEF,所tLM=手,且ABACsAAEF芯竺=如,即=—=—'AEEF624【答案】【解折】由題設(shè)知.【解折】由題設(shè)知.二次沖￡-+=0有兩個(gè)不相等實(shí)根西、勺.RiJA=l-4fl>01即“甘,IxJ+Jj^I<5.故(|x]|+|<j|)'=彳+x22+2兇咄=〔X]+xJ-+2|血對(duì)一工可花=l+2|a|—2a<25.|1\a<—ifil4\l+2\a\-2a<255.【答案】5

【解析】由題設(shè)有n?6+2006=(-1)?6+2006=2007=O[m0d(n4-1)].US2007=3X3X223,則用一1=3.鼻223,66鼻2007.故心2,8,222,668,2006.【解析】由2x-l<[2y]<2i?3i-l<[3x]<3x及己知方程得TOC\o"1-5"\h\z7171735【264r5【264r5M#X=S!令眷富1517，1517，16因^8i--=[2x]+[3jv]^整數(shù)，所乩8t--=1,2,1317經(jīng)檢驗(yàn),只有x=—.x=—是已知方程的解.16167.【答案】V3-1【解析】^AB=BC=a,AM=MD=DA=x,CD=y,則V-aV-a1+疔--卅+宀X(2)由式(由式(2)知一護(hù)=(m—尹)".則x"-j.："=2a3—2ay!.jtl國(guó)可見(jiàn)x>y>0.故2a2—>0,47>>?>0.于是，代入方秤(1)得農(nóng)一y+-^2a2—lay=盤(pán)OJ%'_2ay=lv<=>y2+lay一2/=0.取正根，丁取正根，丁【解析】易見(jiàn)直線曲'同時(shí)平分故叢蟲(chóng)U與AABC的內(nèi)心是相同的.設(shè)山2S^ABC的內(nèi)切圓半徑分別為八r,OUlr^r+ft,且心二.P由于AA'g?sAASC?且相似比拘匚=出=1+竺，因此，的周長(zhǎng)為（1+啟L，面rr2S\28J積蔚[1+四S.I2S）9.【答案】5【解析】屯％碼…的=2006知％.%-.礙都是奇數(shù).乂『+旳+…+礙=2007為奇數(shù)，|1.1丹為奇數(shù).若k=3、即a}+a2+a3-a1a2ai-2007,不妨設(shè)￡tt>>ts3,則若a}=669,則a2a3=3.AlTiJ.a2+a3<4r+n2+<673<2007.不可能.若a}>669,只能ax=2007,旳嗎=1,且叫+色=0,這也不可能.由此又2007+1—1——1)+—1)=2007X1xix(-1)X(-1)=2007,故用的最小值蔚5,10.【答案】6999【解析】首先，易見(jiàn)偶數(shù)中不是4的倍數(shù)的整數(shù)不可能是兩整數(shù)的平方差.易知吋=3,匹=匚嗎=7.當(dāng)22時(shí).有4#=(k+l『一(jt—lf?4疋+1=(2七十1『一(2血)‘?4疋+3=(2Q+2)2—(2it+lf?且4丘+(4無(wú)+1)+(低+3)=1鑑+4.故a4+a5+a￡=12x2+4.+oE+ofl=12x3+4.碼丁+畋+吆=1*33+4"a1Q0=4x34.則旳+対2+--■+日iqq=2+j+7+12(2+3—-+33)+4x3?+4x34=：6999.【答案呼【解析】如圖.連接OGOD.作OE丄垂足為E交EC于點(diǎn)F.謖U3形的邊長(zhǎng)皆k.顯然'E.F分別是AD.君C的中點(diǎn).由勾股定理有OE=j4二？.因^OF=\DE-EF\=4^-^-2x,CF2+OF2=OC2,所LLf+(J—/-2工『=1,即4^+3=4x^7.兩邊平庁并整理得32a-4-W-f9=0.解得』=竺也?故正方^ABCD的面8【答案】^23【解析】由第一牛方和得3x+2y=a-二.市第二個(gè)方程狷xy=6—2(3x4-=6—2(o-z)=z2—nz+6.由(讓+二￥『.^(a-z)2>24(z2-az+6).即23z'-22^+144-^<0.nf見(jiàn)幵口向上的拋物線j=23x--22^+1.44-^經(jīng)過(guò)不在兀軸上右的（z?23/—22^+144—/人從而,該拋物線與X軸有金比點(diǎn).故扌=（11口）'—23（144—/）王0,即a->23.a>y/13（因a>0）.晉"佰時(shí),g去"嗇煜、小值佔(zhàn)?四、是某亍區(qū)郴時(shí)邊"』"是有理數(shù)曲+丄宀g一若a=b,Bl］la1=c-,-=41,這與“『都是有理數(shù)的假定矛盾.故a^b.不W取心字‘咗‘"竽'則—沖是正有理軌且=吐土亠詁”42(2)設(shè)三個(gè)E有理數(shù)￡、y、二滿(mǎn)足~y2=y2-z2=A,則xa/ae.取a=x—zib=x+zrc=2yf則日、b.f都是正有理數(shù).且a2+b2=2(^+z2a2+b2=2(^+z2')=4y2=c2r討=扛—A.即存在一個(gè)三邊長(zhǎng)刃、b.『都是正有理數(shù)的直甬.［甬形，它的面積等于衛(wèi).

2005年（宇振杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷2005年12月11日上午9：00——11：00）題號(hào)0得分評(píng)卷復(fù)核解答本試卷不得使用計(jì)算器一、填空題：（本大題10小題，前5題每題8分，后5題每題10分，共90分）在小于100的正整數(shù)n中，能使分?jǐn)?shù)化為十進(jìn)制有限小數(shù)的n的所（3n+32）（4n+1）TOC\o"1-5"\h\z有可能值是。將數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9按某種次序?qū)懗梢粋€(gè)九位數(shù)：abcdefghi,令A(yù)=abc+bed+cde+def+efg+fgh+ghi，則A的最大可能值是3.如果一個(gè)兩位數(shù)X5與三位數(shù)3YZ的積是29400，那么X+Y+Z=18#.已知a，b，x，y都為實(shí)數(shù)，且y+^/x-2=1-a2,|x-4|=3y-3-b2，貝廿a+b+x+y的值為。5.如圖：AOAB的頂點(diǎn)O（0,0），A（2，1），B（10，1），直線CD丄X軸，并且把AOAB面積二等分，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x,0），則x的值是。6.如果兩個(gè)一元二次方程x2+x+m=0與mx2+x+1=0分別有兩個(gè)不相同的實(shí)根，但其中有一個(gè)公共的實(shí)根a，那么實(shí)根a的大小范圍是7.如圖：在梯形ABCD中，AB〃DC,DC=2AB=2AD,若BD=6，BC=4，貝VSABCD=。（SAbcd表示四邊形ABCD的面積，下同）

8?如圖，ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、DCAN=1,AM=2，且ZMAN=60。，貝UAB的長(zhǎng)口#如圖:△ABC中，點(diǎn)E、F分別在這AB、BC,若S=1,S=2S，貝US=△ABCaAEFaEBCaCEF的中點(diǎn)是。AC上，EF〃BC10?設(shè)P為質(zhì)數(shù)，且使關(guān)于x的方程x2的中點(diǎn)是。AC上，EF〃BC則p的值為。二、(本題20分)已知矩形ABCD的相鄰兩邊長(zhǎng)為a、b是否存在另一個(gè)矩形A'B'C'D',使它的周長(zhǎng)和面積分別是矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積的1?證明你的結(jié)認(rèn)論。3三、(本題20分)已知a、b、c都是大于3的質(zhì)數(shù)，且2a+5b=c。求證：存在正整數(shù)n>1,使所有滿(mǎn)足題設(shè)的三個(gè)質(zhì)數(shù)a、b、c的和a+b+c都能被n整除；求上一小題中n的最大值。四、（本題20分）如圖：在RtAABC中，CA>CB,ZC=90°,CDEF、KLMN是厶ABC的兩個(gè)內(nèi)接正方形，已知SCDef=441，SKlmN=440，求厶ABC的三邊長(zhǎng)。2005年(宇振杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考解答、填空題1、6，31；2、4648；3、18；1、6，31；2、4648；3、18；4、5；5、10-2J10；6、a=17、18；8、9、3,/3-510、29二、設(shè)矩形A'B'C'D'的相鄰兩邊長(zhǎng)為m、n，則按題意有m+n=3(a+b),mn=3ab，因此m、n是二次方程x2-3(a+b)x+3ab=0的兩正根。???Z(a+b)>0丄ab>0???上述二次方程有兩正根的條件是339即a=(5土2亦)5或廣(5+2亦)b>0或Ia—(5—2亦)b>0A=9(a+b)2—4ab=1(a2—100b9即a=(5土2亦)5或廣(5+2亦)b>0或Ia—(5—2亦)b>0a—(5+2丘)b<0a—(5—2、[：b)b<0???當(dāng)a>(5+2“b)b或0〈a<(5-2*b)b時(shí)，滿(mǎn)足條件的矩形A'B'C'D'存在；當(dāng)(5-2厲)b<a<(5+2罷)b時(shí)，滿(mǎn)足條件的矩形A'B'C'D'不存在。三、(1)°?°c=2a+5b,??a+b+c=3a+6b=3(a+2b)又a、b、c都是大于3的質(zhì)數(shù)，故引(a+b+c),即存在正整數(shù)n>1(例如n=3)，使n|(a+b+c)(2)Ta、b、c都是大于3的質(zhì)數(shù)???a、b、c都不是3的倍數(shù)若a三1(mod3),b三2(mod)3，例c=2a+5b三2+10三0(mod3)，這與C不是3的倍數(shù)矛盾同理，a三2(mod3),b三1(mod3)，也將導(dǎo)致矛盾因此，只能a三b三1(mod3)或。三b三2(mod3)，于是a+2b三3a三0(mod3),從而9|(a+b+c)當(dāng)a=7,b=13時(shí),c=2x7+5x13=79為質(zhì)數(shù)，a+b+c=99=9Xll；當(dāng)a=7,b=19時(shí),c=2x7+5x19=109為質(zhì)數(shù)，a+b+c=135=9X15；

???在所有n|(a+b+c)的n中，最大為9四、論正方形CDEF的邊長(zhǎng)為x,正方形KLMN的邊長(zhǎng)為y,則按題設(shè)x=21，y=2J110，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，則a2+b2=c2注意到ax+by=2（S+S）=2S=abACEBACEAAABCab??x=a+b同理，MB=y-bb同理，MB=y-b又由△AKLs^ABC得AL=y-a故c=AL+LM+MB=x（-+1+負(fù)）=yC2+ababababcy=c2+ab于是丄-丄=（1于是丄-丄=（1+￡）2-（1+1）2=（丄+?+旦）-（丄+2+丄）二丄cababc2aba2b2y2x2a2abb2c2=2K;=2K;440=42JH011-1440_441將它代入②式，可得ab=竺=21222進(jìn)而c―ya+b==2122x于是a、b是二次方程12-2122+212-22=0的兩根???b>a■???a=231-63sTT,b=231+63.-TT

2004年(宇振杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、填空題(前5題每題6分，后5題每題8分，共70分)1.若關(guān)于x的二次方程x2+(3a-l)x+a+8=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x「x2，且x1<1,x2〉l,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是、123厶2?方程++=3的解是.5-x4-x3-x一個(gè)二位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之積是這二位數(shù)兩個(gè)數(shù)字之和的2倍；又若這二位數(shù)加上9，則得到的和恰好是原二位數(shù)的個(gè)位數(shù)與十位數(shù)交換位置后的數(shù)的2倍；原二位數(shù)如圖，AABC中，CD、CE分別是AB邊上高和中線，CE=BE=1,又CE的中垂線過(guò)點(diǎn)B,且交AC于點(diǎn)F,則CD+BF的長(zhǎng)為JK.￥5.如圖，分別以RtAXYZ的直角邊和斜邊為邊向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY,若直角邊YZ=1，XZ=2，則六邊形ABCDEF的面積為.JK.￥6.如圖，正方形紙片ABCD的面積為1,點(diǎn)M、N分別在AD、BC上，且AM=BN=2/5，將點(diǎn)C折至MN上，落在點(diǎn)P的位置。折痕為BQ(Q在CD上)，連PQ，則以PQ為邊長(zhǎng)的正方形面積為—三個(gè)不同的正整數(shù)a、b、c,使a+b+c=133,且任意兩個(gè)數(shù)的和都是完全平方數(shù)，則a、b、cTOC\o"1-5"\h\z是.若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足a2+b2+c2+d2=10，則y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是.已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根x「x2，若a〉b〉c，且a+b+c=0，則；d=|X]-x21的取值范圍為，.'如圖，AABC中。AB=AC,點(diǎn)P、Q分別在AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC,則ZA的大小是.;，二、(本題16分)如圖PQMN是平行四邊形ABCD的內(nèi)接四邊形(1)若MP//BC，NQ//AB，求證：S四邊形卩。皿"=2S^bcd；[:一―j⑵若S四邊形pqmn=2□ABCD，問(wèn)是否能推出MP〃Bc或NQ〃AB?證明你的結(jié)論.

三、（本題l6分）設(shè)n是正整數(shù),d1<d2<d3<d4是n的四個(gè)最小的正整數(shù)約數(shù)，若n=d12+d22+d32+d42,求n的值.點(diǎn)P,使S=16BCDE=~9沐BPC，四、（本題l8分）如圖，已知△ABC,且S“bc=1，D、E點(diǎn)P,使S=16BCDE=~9沐BPC，求Sa的最大值.△DEP2004年“宇振杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案一、埴空題【答案】a<-2r【答案】6,4±—3【答案】63【答案】14【答案】|【答案】12,52,69【答案】40【答案】-j3<d<2-j3【答案】20*【解答】門(mén)）不妨設(shè)倨廳目匚,則也=—寺口礙.同理，“斗口曲、故％邊卿卻--2（"口+"口］tiBCP）_2"口AEO）'<2）一崖能推出MP//BC或NQ#血如圖，若與BE不平訂,過(guò)M作MP^/BC.交CD^P\F□尸不重含由題設(shè)及門(mén)》的結(jié)論有S^VJirOMN=-S+S?所以，.從而，珂#冏觀砂的v2n.iscD口四邊聯(lián)吃血QN.故QN//AB.

【答家】130【解折】若同為奇數(shù)，則珀.%、￡.叭都是奇數(shù).故用=占+焉+空+爲(wèi)三1+1+1+1三0（tnod4）矛盾.若4|用?則有d}=\.d2=2.由苗三0或l（mod4）知，"1+CH召+￡#O（mcid斗）.也矛盾.從耐.丹=2（2旳一1）.罰為某正整數(shù),且數(shù)組（珀.d1,爲(wèi)、dJ=Cp,g）或（1,2,p.2.p其中戸、g為奇質(zhì)數(shù),在前一種情形:，有M=F+F+h+『T（mo（i4）,矛盾.則只能是?=13+22+/+（2^）2^5（1+^2）.故若￡=3,則叭=5,這將回到前一種情略因此”只能是^=p=5r則用=12+護(hù)+5訂10*=130.容易驗(yàn)證，1知的四個(gè)連續(xù)最小的正約數(shù)就是1,￡5.10.滿(mǎn)足條杵.因此，n=13O.四、【答案】—【答案】—PDCAEBBPCAEB1-PDCAEBBPCAEB1-x1—xRP門(mén)亡af在AABC中，有梅涅勞斯定理^―■—■—=PD~DCAE~\-yx_y(l->)'同理，空=上_于是，血=里竺=41.歸LPEv(l-jc)^5epcPB-PC1—x1—j同時(shí)，由式(1?^—=BFBDBP+PD\-xy故—=竺￡-亠竺—丿一心).1一期令ii=礎(chǔ).則9（1一甜丫=16[l+w—蘭16（1—血）.注意到0<iz<L得3（1-w）<4（1-sG）,3（1+石卜4.解得0<“W當(dāng)且僅當(dāng)x=y=t，默=號(hào)=*.則SaD￡P(guān)=馬SaBPC=期花（1一號(hào)）=正（_4■雄）=石—IU——+~-故當(dāng)u=L即x=A=i時(shí)，S曲取雖大值首.2003年（宇振杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（2003年12月7日上午9:00?11：00）解答本試卷不得使用計(jì)算器.一、填空題（本大題10小題，前5題每題6分、后5題每題8分，共70分.）1、設(shè)曲線C為函數(shù)y二ax2+bx+c（a豐0）的圖象，C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的曲線為C1，C1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的曲線為C2，則曲線C2是函數(shù)y=的圖象.2、甲、乙兩商店某種鉛筆標(biāo)價(jià)都是1元。一天學(xué)生小王欲購(gòu)這種鉛筆，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩商店都讓利優(yōu)惠：甲痁實(shí)行每買(mǎi)5支送1支（不足5支不送），乙店實(shí)行買(mǎi)4支或4支以上打8.5折，小王買(mǎi)TOC\o"1-5"\h\z13支這種鉛筆，最少需要化元。3、已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=0,a2+b2+c2=0.1，則a4+b4+c4的值是.4、已知凸四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)為AB=8,BC=4,CD=DA=6，則用不等式表示ZA大小的范圍是。5、在1，2，3,…，2003中有些正整數(shù)n使得x2+x-n能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積，則這樣的n共有個(gè)。6、設(shè)正整數(shù)m,n滿(mǎn)足m<n,且1+-++-=占，則m+n的值是m2+m\m+1}2+\m+1）n2+n237、數(shù)1,2,3,…,k2按下列方式排列：1k+12k+2…k…2k(k-1)k+1(k-1)k+2…k2TOC\o"1-5"\h\z任取其中一數(shù)，并劃去該數(shù)所在的行與列；這樣做了k次后，所取出的k個(gè)數(shù)的和是。8、如圖，邊長(zhǎng)為1的正三角形ANB放置在邊長(zhǎng)為MN=3,NP=4的正方形MNPQ內(nèi)，且NB在邊NP上。若正三角形在長(zhǎng)方形內(nèi)沿著邊NP、PQ、QM、MN翻轉(zhuǎn)一圈后回到原來(lái)起始位置，則頂點(diǎn)A在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中形成軌跡的總長(zhǎng)是（保留n）9、如圖，AABC中，AB=BC=10，點(diǎn)M、N在BC上，使得MN=AM=4,ZBAN，則△ABC的面積是。10、AABC中，ZC=3ZA,AB=10,BC=8,貝VAC的長(zhǎng)是。二、（本題16分）m,n均為正整數(shù)，若關(guān)于x的方程4x2-2mx+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于1,且小于2,求m,n的值。三、(本題16分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，使得△CMN的周長(zhǎng)為2。求ZMAN的大??；AMAN面積的最小值。四、(本題18分)某學(xué)生為了描點(diǎn)作出函數(shù)y=ax2+bx+c(aZ0)的圖象，取自變量的7個(gè)值：叮<x?<<x?,且X-x二x-x二二x-x，分別算出對(duì)應(yīng)的y的值，列出下表：213276xxix2x3x4x5x6x7y.51107185285407549717但由于粗心算錯(cuò)了其中一個(gè)y值。請(qǐng)指出算錯(cuò)的是哪一個(gè)值？正確的值是多少？并說(shuō)明理由。參考答案一、一、1.—ax2+bx—c10.953.0.0054.0°〈ZA〈90°5.446.52717.k(k2+1)8.5n^2

410.319m、令f(x)=4x2—2mx+n，則y=f(x)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為x=—.①②即③1得田4DN+AW7S100m1421682222222026m■■—T1<JF]HKj<2E當(dāng)珥=5時(shí).由②得收弓，故艾由③無(wú)山、&矛盾一當(dāng)m“時(shí).由②得n^9.又由③、?#2亂所兇"=9BL+酗工ML、且倔=AM,所以,△AMNAML.(刃檢GW=3c.GV=J)M,V=i.則又因?yàn)?。傲^241-2.當(dāng)且?jiàn)y當(dāng)I=y=2-42時(shí)等號(hào)成立.由于因此，△刪W面枳的J0小值為忑亠I.團(tuán)、設(shè)肝-網(wǎng)m卻一知=…=啊-xt=d1KXi對(duì)逾的函數(shù)值為齊.則&=九*】一2=(os：’I+4st+i+c)-(iwt+As*+t)=*Lg+盯-請(qǐng)]++4)-尊]=■+(<wf+bd).戡Ai+1--2ad(.sit,-xk)=lud1(常數(shù))”由第出的數(shù)據(jù)由①知nt^5,6,7.Js+7+*=2.fx=2-y-z,于是?儀一廠卅+於整理得2j^+(2z-4)y+(4-4i)=0.因拘了>0,斷盤(pán)，4(i-2)1-32(1-■?)生0,(￡+2+2-/2)(i+2-2^2)^0,由此可見(jiàn)，呦杲披算銷(xiāo)的了值,其正確值應(yīng)該是謝一尹L)=4一2m+jj>0d/\2)=16-4m+jiaQ*4<m<8.m2>4n,4+n>2m,16+n>4m.當(dāng)n=7時(shí)”由②得?^12艾由④得n>12,綜上所述*m=6,n=9,三、(1)如圖牡延拴陽(yáng)至￡,梗BL=則Rv^4￡L^RtA4aV.故AL=A^,^]=Z2.XAfiV=2-CN-CM2002年(宇振杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題(1?5題每小題6分，6?10題每小題8分，共70分)1.在2002當(dāng)中嵌入一個(gè)數(shù)碼組成五位數(shù)20口02.若這個(gè)五位數(shù)能被7整除，則嵌入的數(shù)碼“□”是.2.若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足a3〈a〈a2，則不等式x+a〉1—ax解為.如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，第二次過(guò)A'再折疊，使折痕DE〃BC若AB=2,AC=3，則梯形BDEC的面積為已知關(guān)于正整數(shù)n的二次式y(tǒng)=n2+an(n為實(shí)常數(shù)).若當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，y有最小值，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD，它的4個(gè)頂點(diǎn)為A(10,0)、B(0,10)、C(—10,0)、D(0,—10),則該正方形內(nèi)及邊界上共有個(gè)，整點(diǎn)(即縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)).如圖，卩為厶ABC形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上.過(guò)A、B、C分別作PD、PE、PF的平行線，交對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線于點(diǎn)X、Y、Z.若PD1PE1PF后—4'~BY~3，則CZ=_若△ABC的三邊兩兩不等，面積為〒，且中線AD、BE的長(zhǎng)分別為1和2,則中線CF的長(zhǎng)為計(jì)算:TOC\o"1-5"\h\z1222k2992+++…+=12-100+500022-200+5000k2-100k+5000992-9900+5000若正數(shù)x、y、z滿(mǎn)足xyz(x+y+z)=4，則(x+y)(y+z)的最小可能值為11一一一若關(guān)于X的方程X2+X2-3=C恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.二、(16分)已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程x2—2px+p2—5p—1=0的兩根都是整數(shù).求出p的所有可能值．三、(16分)已知△XYZ是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(ZZ=90°),它的3個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰RtAABC(ZC=90°)的三邊上.求△ABC直角邊長(zhǎng)的最大可能值.四、(18分)平面上有7個(gè)點(diǎn)，它們之間可以連一些線段，使7點(diǎn)中的任意3點(diǎn)必存在2點(diǎn)有線段相連．問(wèn)至少要連多少條線段?證明你的結(jié)論．

2WI2年(宇振杯｝上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一」2或92.j-<3.94.-11<?<-95,22)也齋7.義8.999.410.a>0戲世=>-尋二、因?yàn)榘退赶禂?shù)二冼方強(qiáng)有整雅根*所以*△l4#'—4(』：’一5p—】)=4(5/?-*-1)齒憲僉平才+從陽(yáng)?5p+L為完全平方.辱5/H]=乳注意到?jīng)_孑趴址”二片』n曲整鞍.于是*5/j—(n4-J)(?t—1),那久“彳1,n-1中至少有一牛是5的倍數(shù)*即彳=缺土1"育正整恥).因比，5p亠1=25k3±10^+1.fi-i(^±2).由滬芮質(zhì)5^±2>「知點(diǎn)=1,p=3^7.p—3Bj*已鈾才程変成—6j—7—解蒂J1—ItJ；=7t當(dāng)p=7時(shí)，已知方程壑成T-14x+13=館解得藥=】?吧=13.所叭護(hù)一3或，化三、U)如圖【】】*預(yù)點(diǎn)￡盛蚪邊AR匕取XF的中點(diǎn)胡.連CM、ZM,CX并柞邊AE上的離CN，割CZ<￡M+jVt<CZ<￡M+jVt<=yAY+yXY=XV=/2.龍龍CA1<G.所以CN<V2,.(.71=J2CN電2+<2)如圖(2兒頂點(diǎn)玄在竄角邊CA(^CB)上.由對(duì)稱(chēng)性’不嶺設(shè)E虛CA上,設(shè)Of=ICZ=y?帶過(guò)Y作YH1C4fIL易證△/>"M?△%/｛：.捋HZ-CX:一j*IIY=CZ=卩天篆然△4HY沖等腰直角三甫形?則AH-y.itAC匸帆則分十;r=仇即工=〃一収在△C'XZ申?由勾膛定?哩有共+箱一2y)2—I"+5卡一4枷+護(hù)—1—0,固為詰為實(shí)敷，刑△—166^一20(Zr—1)=20—4臚豪0?小￡旖"舞舍｛】)、(2)知』骼咼丸值浴氐四、(1)若7個(gè)點(diǎn)中，有一點(diǎn)孤立(即它不與其他點(diǎn)連線)，則剩下6點(diǎn)每2.點(diǎn)必須連線，此時(shí)至少要連15條.(2)若7點(diǎn)中，有一點(diǎn)只與另一點(diǎn)連線，則剩下5點(diǎn)每2點(diǎn)必須連線，此時(shí)至少要連11條．若每一點(diǎn)至少引出3條線段，則至少要連21/2條線段．由于線段數(shù)為整數(shù)，故此時(shí)至少要連11條．若每點(diǎn)至少引出2條線段，且確有一點(diǎn)(記為A)只引出2條線段AB、AC,則不與A相連的4點(diǎn)每2點(diǎn)必須連線，要連6條.由B引出的線段至少有2條，即除BA外還至少有一條.因此，此時(shí)至少要連6+2+1=9條.圖中所給出的是連9條線的情況.綜合⑴?(4),至少要連9條線段，才能滿(mǎn)足要求．2000年“弘晟杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題、填空題（每小題7分，共70分．）￡TOC\o"1-5"\h\z1.如圖，已知DABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線順次與AC、AD及CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F、G.若BE=5,EF=2，則FG的長(zhǎng)是.￡2?有四個(gè)底面都是正方形的長(zhǎng)方體容器A、B、C、D,已知A、B的底面邊長(zhǎng)均為3,C、D的底面邊長(zhǎng)均為a.A、C的高均為3,B、D的高均為a,在只知道aM3，且不考慮容器壁厚度的條件下，可判定兩容器的容積之和大于另外兩個(gè)容器的容積之和若n的十進(jìn)位制表示為99……9（20個(gè)9）,則少的十進(jìn)位制表示中含有數(shù)碼9的個(gè)數(shù)是.在△ABC中，若AB=5,BC=6,CA=7,H為垂心，則AH的長(zhǎng)為.若直角三角形兩直角邊上中線的長(zhǎng)度之比為m,則m的取值范圍.若關(guān)于x的方程|1-x|=mx有解，貝9實(shí)數(shù)陰的取值范圍是從1000到9999中，四個(gè)數(shù)碼各不相同，且千位數(shù)與個(gè)位數(shù)之差的絕對(duì)值為2的四位數(shù)有個(gè).1113&方程一+—-二的整數(shù)解（x,y）=xyxy249.如圖，正△ABC中，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且AN=BM,BN與CM相交于點(diǎn)0.若BMS=7,S=2則=△ABC△OBCBA10.設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使vx-116+IX+100=y。則y的最大值為二、（16分）求所有滿(mǎn)足下列條件的四位數(shù)：能被111整除，且除得的商等于該四位數(shù)的各位數(shù)之和.三、（16分）（1）在4X4的方格紙中，把部分小方格涂成紅色，然后畫(huà)去其中2行與2列?若無(wú)論怎樣畫(huà)，都至少有一個(gè)紅色的小方格沒(méi)有被畫(huà)去，則至少要涂多少個(gè)小方格?證明你的結(jié)論.（2）如果把上題中的“4X4方格紙”改成“nXn的方格紙（n±5）”，其他條件不變，那么，至少要涂多少個(gè)小方格?證明你的結(jié)論四、（18分）如圖，ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形，U、V分別是AB、CD上的點(diǎn)，AV與DU相交于點(diǎn)P,BV與CU相交于點(diǎn)Q.求四邊形PUQV面積的最大值.2呱0年“弘晟杯踣上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題【答案】10.5【答