2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2-3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理教學(xué)案北師大版選修2-

§3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理3．1&3.2空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理3．1&3.2空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理抽象問題情境化Z11：-1[對應(yīng)學(xué)生用書P22]力/.?入門害聊學(xué)生小李參加某大學(xué)自主招生考試，在一樓咨詢處小李得知：面試地點(diǎn)由此向東10m,后向南15m,然后乘5號電梯到位于6樓的2號學(xué)術(shù)報告廳參加面試.設(shè)ei是向東的單位向量，e是向南的單位向量，e是向上的單位向量.23問題1：q,e2，e3有什么關(guān)系？提示：兩兩垂直.問題2：假定每層樓高為3m,請把面試地點(diǎn)用向量p表示.提示：P=10提示：P=10e+15e+15e.123標(biāo)準(zhǔn)正交基與向量坐標(biāo)的單位向標(biāo)準(zhǔn)正交基：的單位向在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸正方向量i,j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.標(biāo)準(zhǔn)正交分解：設(shè)i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對空間任意向量a,存在唯組三元有序?qū)崝?shù)(x,y,z),使得a=xi+yj+zk，叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解.向量的坐標(biāo)表示：在a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解中三元有序?qū)崝?shù)(x,y,z)叫作空間向量a的坐標(biāo),a=(x,y,z)叫作向量a的坐標(biāo)表示.向量坐標(biāo)與投影：i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a=xi+yj+zk，那么a?i=x,a?j=y,a?k=z.把x,y,z分別稱為向量a在x軸、y軸、z軸正方向上的投影.向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的投影.一般地，若bo為b的單位向量，則稱a?b0=|a|cos〈a,b〉為向量a在向量b上的投影.空間中任給三個向量a，b，c.問題1：什么情況下，向量a,b,c可以作為一個基底？提示：它們不共面時．問題2：若a,b，c是基底，則空間任一向量v都可以由a,b，c表示嗎?提示：可以.如果向量e，e，e是空間三個不共面的向量,a是空間任一向量，那么存在唯一一組TOC\o"1-5"\h\z123實(shí)數(shù)入，入，入使得a=入e+入e+入e.123112233其中e,e，e叫作這個空間的一個基底.123a=Ne+入e+入e表示向量a關(guān)于基底e,e,e的分解.112233123［歸納?升華?領(lǐng)悟］-空間向量基本定理表明，用空間三個不共面的已知向量a,b,c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個不共面的向量均可作為空間向量的基底．［例1］如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有長方體ABCD—A，B，CD‘，AB=3,BC=4,AA'=6.寫出C的坐標(biāo)，給出區(qū)可關(guān)于i,j,k的分解式;求BDO的坐標(biāo).［思路點(diǎn)撥］(l)C'的坐標(biāo)(也是區(qū)可的坐標(biāo))，即為C在X軸、y軸、z軸正方向上的投影，即10D|,|OB||OA，|.(2)寫出國可關(guān)于i,j,k的分解式,-即可求得莎I的坐標(biāo).［精解詳析］(1)???AB=3,BC=4,AA'=6,???C‘的坐標(biāo)為(4,3,6)????叼=(4,3,6)=4i+3j+6k.⑵畫二畫—BB.???回=［AD+AA=4i+6k,???BD^畫一0^—AB+AD+AA=4i—3j+6k,?IBDI=(4^-3舟［一點(diǎn)通］_^一一一_1?建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是準(zhǔn)確表達(dá)空間向量坐標(biāo)的前提，應(yīng)充分利用已知圖形的特點(diǎn)，尋找三條兩兩垂直的直線，并分別為x,y,z軸進(jìn)行建系.2?若表示向量AB|的坐標(biāo)，只要寫出向量AB關(guān)于i,j,k的標(biāo)準(zhǔn)正交分解式，即可得坐標(biāo).1?在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,衣占廠彳人人,則DH的坐標(biāo)為解析：顯然D為原點(diǎn)，設(shè)E(x,y,z),1易知x=1,y=4,z=1,???F1=G，3

答案：［］'「I已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2,—1),且向量函與向量兩關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱，向量|OB|與向量OA關(guān)于x軸對稱，求向量OC和向量|OB|的坐標(biāo).解：如圖，過A點(diǎn)作AM丄平面xOy于M,貝直線AM過點(diǎn)C且CM=AM,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.(1,2,1),此時4C1=(1,2,1),該向量與OA=(1,2'—1)關(guān)于平面xOy對稱.過A點(diǎn)作AN丄x軸于N,則直線AN過點(diǎn)B,且BN=AN,則B(1,—2,1),此時兩=(1,—2,1)，該向量與回關(guān)于x軸對稱.n在直三棱柱ABO—A］B］O］中，ZA0B=~2，A0=4,B0=2,AA=4,D為AB的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求兩，RB的坐標(biāo).解：⑴?.?兩=—od=-(兩+OD)一一=—畫+2(國+OB)]=-瓦-殛灣=—4k—2i—j.AIDO|=(—2,—1,—4).(2)?.恆B=OB-OR=OB—(OR+岡=OB—(OR—RR=2j—4i—4k.I-市-—一一向量a在b上的投影［例2］如圖，已知單位正方體ABCD—A，BzCDz.⑴求向量cr在cd上的投影；(2)兩是單位向量，且垂直于平面ADD，A”，求向量CR^DC上的投影.一一［思路點(diǎn)撥］a在b上的投影為|a|cos〈a,b〉，只要求出|a|及〈a,b〉即可.［精解詳析］⑴法一：向量面在而上的投影為|國|cos〈國，CD〉,又正方體棱長為1,.?.￡人，|=1；12+12+12=\：3,.?,||^^|］=\3ZDCAZ即為C刃與CD的夾角，在RtAA，CD中，???莎在CD上的投影為國|cos〈國CD〉n./3?鬥.法二：在正方體ABCD-AZB‘CD'中，DCXAD,〈|CA|tCD〉=ZDCA\.??C￡在辺上的投影為：|CA'|cos〈CA—CD}=||Cja||cosZDCA'=||CD||=1.(2)CA_與DC的夾角為180°—ZA，CD，CA1在dc上的投影為一-一-|C^A-^os(4-^°—ZAzCD)=—||Cja11cosZDzCA=—1.［一點(diǎn)通］一芒向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出兩個向量a與b的夾角，最后計算|a|cos〈a,b〉，即為向量a在向量b上的投影，它可正、可負(fù)，也可以為零；也可以利用幾何圖形直觀轉(zhuǎn)化求解.在確定向量的夾角時要注意向量的方向，如本題中〈I31，而〉與〈|W|DC|〉是不同的，其和為n.W墨鉅秦拠心W已知i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a=i+2j+3k,貝Va在i方向上的投影為()A.1B.—1C.価D.-石解析：a?i=|a||i|cos〈a,i〉.

a?i|a|cos〈a,i)=|i|=(i+2j+3k)*i=1.答案：A&如圖，在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=4,AD=AAi=2,則向量a^在向量AD上的投影為.&〉，解析：ac］在上的投影為|Aoicos〈Ad,\ad\〉，而iAc】-42+22+22=2&,在RtAAD1C1中，在RtAAD1C1中，cosZDiACi=ac^=T，cos回回*cos回回*?答案：W2空間向量基本定理及其簡單應(yīng)用［例3］如圖所示，平行六面體ABCD—AiBG［例3］如圖所示，平行六面體ABCD—AiBGi中，E,12上，且be=3bb1，叫(1)證明A,E,C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面;⑵若EF=x+yAD+zAA，求x+y+z.［思路點(diǎn)撥］要證明四點(diǎn)共面只需證明示出來，求出X,y,z,再求x+y+z.|A^可用55,AS表示即可；第(［思路點(diǎn)撥］要證明四點(diǎn)共面只需證明示出來，求出X,y,z,再求x+y+z.［精解詳析］⑴證明：AC|=lAEI+|Ec［又呢=畫下Bd可+邑=包+區(qū),=AE+AF,=AE+AF,???Ar,CT四點(diǎn)共面.???Ar,C—四點(diǎn)共面.⑵?.?EF=|AF—AE[AD+兩—(AB[AD+兩—(AB+國)x=—]—AB+,y=l,z=3-1x+y+z=§.［一點(diǎn)通］空間向量基本定理是指用空間三個不共面的已知向量a,b,c構(gòu)成的向量組｛a,b,c｝可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的.利用空間的一個基底a,b,c可以表示出所有向量，注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則，及向量的數(shù)乘運(yùn)算，表示要徹底，結(jié)果只含有a,b,c,不能再有其他向量.B.2(a+b—c)O,A,B,C為空間四邊形的四個頂點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別是邊OA,BC的中點(diǎn)，且0A=a,|OB|=b,|OC|=c，且a,bB.2(a+b—c)A.2(c+b—a)C.2(a—b+c)D.2(C.2(a—b+c)解析：MN=[MO+ON=—2OA+2(OB+OC)=2(OB+\OC—OA)=2(b+c—a).答案：A一_.一-—-————一-——一?——7.已知e,e,e是空間中不共面的三個向量，且a=e+e+e,b=e+e—e,c=TOC\o"1-5"\h\z123123123e—e+e,d=e+2e+3e=aa+Bb+Yc,貝ya+2B+Y=.123123解析：Ta=e+e+e,b=e+e—e,c=e—e+e,d=e+2e+3e=aa+Bb123123123123+Yc,.?.e+2e+3e=(a+B+Y)e+(a+B—Y)e+(a—B+Y)e,123123

a+B+Y=1,a+B—Y=2,解得、a—B+Y=3.5a2,a+2B+5a2,答案：0b,c表示如下向量:8?如圖所示，已知平行六面體ABCD-A^Cp,且込］=a，石=b，肓=c,b,c表示如下向量:⑴\AC；⑴\AC；；⑵(G在BR上且|/JbgI=a—3b+|c.亟=畫-解：⑴陰=AC—Aa\=AB+AD—Aa\=—a+b+c.⑵BG=阿+BG|一又匝（豆解：⑴=1（AD—AB）=1（c—b）,1?■空間任一點(diǎn)P的坐標(biāo)的確定：過P作面xOy的垂線，垂足為P'.在平面xOy中，過P，分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A,C,則|x|=FC|,|y|=|AP「，|z|=|PP「.2?空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，基底中的三個向量ei,e9,12e3都不是0.33?空間中任一向量可用空間中不共面的三個向量來唯一表示?

點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于x軸、y軸、z軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,—b,—c),(—a,b,—c),(—a,—b,c)；它關(guān)于xOy面、xOz面、yOz面、原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,b,—c),(a,—b,c),(—a,b,c),(—a,—b,—c).?一j?一j對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練七］1?在以下三個命題中，真命題的個數(shù)是（）三個非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a,b,c共面；若兩個非零向量ab與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a,b共線；若a,b是兩個不共線的向量，而。=入a+ub（入，uGR且入u#0），則a,b,c構(gòu)成空間的一個基底.A.0個B.1個C.2個D.3個的中心,a=回解析：③中向量a,b,c共面，故a,b,的中心,a=回2.如圖，已知正方體ABCD—A，B‘CD'中,E是平面A，B‘CDzb二甌,尸晅,BE=xa+yb+zc,貝U()B.x=2A.x=2z=2113C.x=2,y=2,B.x=2A.x=2z=2113C.x=2,y=2,D.x=2z=解析:AE二AAO+AE4AA\+2(A函+A，D‘一)=2a+b+3c.答案：A3?如圖^正方體人吩吧中中，棱長為】，則AB］在冋上的投影為（）A?-乎B弓C.—\j2解析：???正方體ABCD—ABCD的棱長為1,1111???iAB1=扭|巫i-.；2,ibc=撫???△ABp是等邊三角形.上的投影為|cos〈叵，瓦〉=\%cos上的投影為|cos〈叵，瓦〉=\%cos60。斗答案：Bc，11111a.蘇+2b+2c則c，11111a.蘇+2b+2c則AD=()4.■如圖，在三棱柱ABC—A^B-C-中,D是面3BCC的中心，且AA店a,AB=b,回1B?滬—1c2C.1—cC.1—c2D?—2a+2b+2c解析：ad=ac^+cd=區(qū)可+2(cc+cbjc+2（-叵+區(qū)+AB）=c—2a+2(—c)答案：D如圖，在長方體ABCD—ABCD中，AB=2,BC=1,CC=1,則|AC在血］上的投11111I1_|影是在厶人匕。］中,影是在厶人匕。］中,cosZBAC1->22__心—|AC]|飛22+I2+I2—石—3又|ACr11—V6.11AC11AC]11cos—2.答案：一2在三棱錐0—ABC中，⑥A—a,OB-b,OC—c,D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則I°E—（用a,b,c表示）.解析：如圖，OE—OA+CAE—OA+國—OA+1(函+AC)—OA+4(OB—OA+OC—OA).-晅+4OB+阿—2a+4b+4c-答案:2&+4山+4。已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出A,B,C,D,A1,B1,q,*各點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出DU,DB，DC，DC],RD，DA，的坐標(biāo)表示.解：???正方體ABCD—ABCD的棱長為1,1111???A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A/1,0,1),B/1,1,1),q(0,1,1),D1(0,0,1)．A[DAI=(1,0,0),DB=(1,1,0),DC=(0,1,0),|DC|=(0,1,1),DD=(0,0,1),DA]=(1,0,1),DB]=(1,1,1).■如下圖，已知PA工平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，為APDC的重心，AB=i,AD=j，麗*試用基底i,表示向量［^，BG解：TG是厶PDC的重心,???函=阿=3(PD+畫)=3(PA+AD+PA+區(qū)+BC)=3(—k+j—k+i+j)=3i+3j—3k,\BG=BA+AP+PG122=—i+k+§i+3j—3k221=—3i+3j+3k-

3.3空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

抽象問題情境化;r抽象問題情境化;r!;'［對應(yīng)學(xué)生用書P25］2014年2月，濟(jì)青高速臨沂段發(fā)生交通事故，一輛中型車嚴(yán)重變形，駕駛員被困車內(nèi)，消防官兵緊急破拆施救.為防止救援造成的二次傷害，現(xiàn)從3個方向用力拉動駕駛室門，這3個力兩兩垂直，其大小分別為|FJ=300N,|F|=200N,|F|=20^3N.問題1：若以片，F(xiàn)2，F(xiàn)3的方向分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，駕駛室門受到的力的坐標(biāo)是什么？提示：(300,200,20^3).問題2：駕駛室門受到的合力有多大？提示：|F|=500N.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算若ah%,yi，《)，b’y2若ah%,yi，《)，b’y2,《)，則(1)a+b=(x+x,y+y,z+z)；12121~(2)a—b=(x—x,y—y,z—z)；121212(3)入a=(入x,入y,入z)；111(4)a?b=xx+yy+zz；~1~2121~2a〃boa=入box=hx,丫=入丫，z=hz(入GR)；~1212~1a丄boa?b=0oxx+yy+zz=0：121212|a|=\'a?aTxj+yj+zj；a?bxx+yy+zz(8)cos〈a，Z22若Ag,yi,z1)，B(x2,y2,z2)，則區(qū)(x2－x1，y2－y1，z2－z1).［歸納?升華■領(lǐng)悟］1．空間向量的加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算仍是坐標(biāo)，數(shù)量積的運(yùn)算是實(shí)數(shù)．2．利用空間向量的坐標(biāo)可以解決向量的模、夾角、向量的平行與垂直等問題．■'；i-'■'；i-'■-:丁對應(yīng)學(xué)生用書P25］1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算［例1］已知a=(3,5,—4),b=(2,2,8),求2a+3b,3a—2b,a?b.［思路點(diǎn)撥］空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．［精解詳析］2a+3b=(6,10,—8)+(6,6,24)=(12,16,16),3a—2b=(9,15,—12)—(4,4,16)=(5,11,—28),a?b=3X2+5X2—4X8=—16.［一點(diǎn)通］空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似,兩個向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算就是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別進(jìn)行加、減、數(shù)乘運(yùn)算；空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．1.已知a=(1,0,—1),b=(1,—2,2),c=(—2,3,—1),那么向量a—b+2c=()A．(0,1,2)B．(4,—5,5)C．(—4,8,—5)D．(2,—5,4)解析：a—b+2c=(1—1—2X2,0+2+6,—1—2—2)=(—4,8,—5).答案：C2．已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,—1,2),(4,5,—1),(—2,2,3),求P點(diǎn)坐標(biāo),使⑴回=1(AB—AC)；⑵\AP=2(AB—EC).解：AB=(2,6,—3),AC=(—4,3,1).(1J°(1J°P=j(6,3,—4)=(3,|,—2則P點(diǎn)坐標(biāo)為［3,|‘一2)；—2(2)設(shè)P為(x,y,z),則ApI=(x—2,y+1,z—2)=2(AB—|AC\)=[3—2所以x=5,y=2'z=o.

即p點(diǎn)坐標(biāo)為〔5,2,0)已知向量a=(l,—2,4)，求同時滿足以下三個條件的向量c：(l)a?c=0；(2)|c|=10；(3)c與向量b=(1,0,0)垂直.解：設(shè)c=(x,y,z),x—2y+4z=0,由三個條件得'X2+y2+z2=100,、x=0.x=0,x=0,解得vy=4寸5,或vy=—4p5,z=2\：5z=—2t/5.???c=(0,4x/5,2\/5)或(0,—4\/5,—2\/5).1用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的平行與垂直問題［例2］如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD2分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.過B作BM丄Aq于M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).［思路點(diǎn)撥］寫出A,B,q的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用條件BM丄AC^M在ACJ建立方程組,求解.［精解詳析］法一：設(shè)M(x,y,z),由圖可知：A(a,0,0),B(a,a,0),q(0,a,a),則〔ACi|=(—a,〔ACi|=(—a,a,a),AM=(x—a,y,z),BM=(x—a,y—a,z).［BM丄阿???BM?AC=0.*.—a(x—a)+a(y—a)Iaz=0,即x—y—z=0.①x—x—a=入a,y=ha,z=ha.即x=a一入a,y=*a,z=*a.②由①②得X=3,y=|,z=3.2aaa\y，3，3丿.=(—a=(—a入，a入，a入)，.*JB-^^1=|BA|+1=(0，一a,0)+(—a入，a入，a入)=（一a入,_a*一a,a入）.VBM丄AC,1_???麗?叵=0即a2入+a2入一a2+a2入=0,解得入=3,O??座=〔一3a，D\DM=D3+麗=曾,|,3丿.2aaa.?.m點(diǎn)坐標(biāo)(亍3，3)-［一點(diǎn)通］用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量平行、垂直有關(guān)問題，要注意以下兩個等價關(guān)系的應(yīng)用：⑴若a=(x,y,z),b=(x,y,z)(b為非零向量),貝Va〃box=*x,且y=*y1112221212且z=*z(入GR).若b=0時，必有a〃b,必要時應(yīng)對b是否為0進(jìn)行討論.12(2)a丄山氣篤+人『2+《《=0?丹％墨d秦拠％已知a=(l,—5,6),b=(0,6,5)，則a與b()垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析：a?b=0—30+30=0,?a丄b.答案：A在正方體ABCD-ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，求證:AD丄DF.證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1,則有D(0,0,0),A(1,0,0),

片(0,0,1),F片(0,0,1),F(0,2,0a|adI=(-1,0,0),|DF|=(o,2，t)?JAd1?DF=(-1,0,0)?［o,|,-1j=0..?.AD±DF.1_已知a=(1,x,1—x),b=(1—X2,—3x,x+1)，求滿足下列條件時，實(shí)數(shù)x的值.(1)a〃b；(2)a丄b.解：(1)①當(dāng)x=0時，a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,.?.x=0,滿足a〃b；當(dāng)x=1時，a=(1,1,0),b=(0,—3,2),此時a不平行b,.°.xM1.1—x2=—3,當(dāng)xM0且1—x2=—3,ox=2.1—X2—3ox=2.由a〃山====口0［也=—311—x綜上所述，當(dāng)x=0或2時，a〃b.(2)Ta丄b^a?b=0o(1,x,1—x)?(1—X2,—3x,x+1)=0O1—X2—3X2+1—X2=0,解得x=±￥^.用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角與距離問題［例3］直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°，棱AA=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點(diǎn).(1)求甌的長;(2)求cos(2)求cos〈兩，迥〉的值.［思路點(diǎn)撥］CA，CB，CC1兩兩垂直，可由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模及夾角．［精解詳析］以C為原點(diǎn)，以CA［精解詳析］以C為原點(diǎn)，以CA,芮,輕為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.mN依題意，得B依題意，得B(0,l,0),N(Z1)4BM=(1，-1,1)，???|BNuV3.依題意，得A/1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0)，B/0,1,2).???BA=(1,—1,2),|CB=(0,1,2),..cos???BA=(1,—1,2),|CB=(0,1,2),..cosBA1?阿V30——_!bai||cb^i1110［一點(diǎn)通］_在幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系時，要充分利用幾何體本身的特點(diǎn),以使各點(diǎn)的坐標(biāo)易求.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可使復(fù)雜的線面關(guān)系的論證、角及距離的計算變得簡單.7?已知空間三點(diǎn)A(1,1,1),B(—1,0,4),C(2,—2,3),求AB與CA的夾角.解：應(yīng)=(—2,—1,3),CA=(—1,3,—2),||ABI|=寸4+1+9=冷14,||CA||=、：'1+9+4=弋14,——-—-AB|?CA=2-3-6=-7,—-曲困，CA〉=iAB—|CA一廠曲x：；ir—2?.?〈AB,CA〉w「o,n］,???〈CAB，叵〉=晉.8.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是叩，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上,且CTcD十為邛的中點(diǎn).(1)求證：EF丄B￡；⑵求EF與qG所成角的余弦值;⑶求FH的長.

r[■/叫A1LB|解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有Ei°，°，2丿,Fl2,2,0>c(o,i,o),q(o,i,i),B/1,1,1),g(o,4,o)⑴證明：畫=［2,2，2，-2>,0,;z/z廠邀、解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有Ei°，°，2丿,Fl2,2,0>c(o,i,o),q(o,i,i),B/1,1,1),g(o,4,o)⑴證明：畫=［2,2，2，-2>,0,;z/z廠邀、hAQ/CyJFRe==(o,i,o)-(i,i,i)=(-i,o,-i),?寸EFI?RC|=2x(—i)+2xo+x(—i)=o,.?.EF丄|代c|，即EF丄BC.(2)v|CG|=(o,4,oj—(o,i,i)=fo,—4,—ij,???1西1=乎.又v[EF?CGii=2xo+2x＋x(—i)=8,|EF|=攀..cos顧,\cgCG1=||EF||||即異面直線EF與CG所成角的余弦值為丫\,;5ii7?：\FH=[-H(o,8,2丿\,''4i8????IFH1=1．空間向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、平行、垂直、夾角的坐標(biāo)表示都類似于平面

向量，要類比記憶與理解.2?空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后利用有關(guān)公式求解.要注意總結(jié)在長方體、直三棱柱、正三棱柱、正四棱錐等特殊幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)律.3.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可證明向量的垂直與平行問題，利用向量的夾角公式和距離公式可求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.應(yīng)用馬殛題YINGT八―■■■■:應(yīng)用馬殛題YINGT八―■■■■:'［對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練八］下列各組向量中不平行的是()a=(1,2，—2)，b=(—2，—4,4)c=(1,0,0),d=(—3,0,0)e=(2,3,0),f=(0,0,0)g=(—2,3,5),h=(16,—24,40)解析：對d解析：對d中向量g,h，—2=二尹工40故g,h不平行.答案：DTOC\o"1-5"\h\z已知a=(2,—1,3),b=(—4,2,x),c=(1,—x,2),若(a+b)丄c,則x=()A.4B.—41C.2D.—6解析：Ta+b=(—2,1,3+x)且(a+b)丄c,—2—x+6+2x=0,.°.x=—4.答案：BB.若a=(1,入，一1),b=(2,—1,2)，且a與b的夾角的余弦為9貝Ma|=()B.A?4C?2C?2解析：因?yàn)閍?b=1X2+