相似原則與縮尺模型試驗(yàn)

相似理論論與模模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)授課對(duì)象：研研究生授課教師：姚姚直書(shū)二О一一年二月1概述述1.1引言人們?cè)趯?duì)自然然規(guī)律的不倦倦探索過(guò)程中中，首先采用用數(shù)理分析的的方法對(duì)自然然現(xiàn)象進(jìn)行計(jì)計(jì)算和分析，，這是人們探探索自然的一一種有力工具具。隨后采用用現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試來(lái)來(lái)解決一些比比較直觀的現(xiàn)現(xiàn)象，推動(dòng)了了生產(chǎn)的發(fā)展展。但自然界界的現(xiàn)象畢竟竟是錯(cuò)綜復(fù)雜雜的。有許多多實(shí)際問(wèn)題至至今靠高等數(shù)數(shù)學(xué)尚不能全全部解決或根根本無(wú)法解決決，于是迫使使人們不得不不走直接實(shí)驗(yàn)驗(yàn)的道路。但最先人們采采用直接實(shí)驗(yàn)驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)現(xiàn)它有著較大大的局限性，，在于它常常常只能得出個(gè)個(gè)別量之間的的規(guī)律性關(guān)系系，難以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)或抓住現(xiàn)象象的本質(zhì)（全全部），從而而無(wú)法向?qū)嶒?yàn)驗(yàn)條件范圍以以外的同類現(xiàn)現(xiàn)象推廣。但通過(guò)人們長(zhǎng)長(zhǎng)期實(shí)踐、總總結(jié)，一種用用于指導(dǎo)自然然規(guī)律研究的的全新理論——“相似理論”便應(yīng)運(yùn)而生了了。它是把數(shù)數(shù)學(xué)解析法和和試驗(yàn)法的優(yōu)優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)來(lái)，用來(lái)研究究和解決生產(chǎn)產(chǎn)和工程中的的問(wèn)題。這是是科學(xué)研究的的主要方法之之一，也是解解決生產(chǎn)和工工程問(wèn)題的一一種有效方法法。從而擴(kuò)展展了人們探索索自然奧秘的的領(lǐng)域。當(dāng)今，社會(huì)生生產(chǎn)在不斷發(fā)發(fā)展，各個(gè)產(chǎn)產(chǎn)業(yè)部門所提提出問(wèn)題日益益復(fù)雜和繁多多。用數(shù)學(xué)解解析法（理論論解）來(lái)解決決這些課題愈愈來(lái)愈感到困困難。有些課課題至今尚未未得到解析解解，或者只作作一些假設(shè)或或簡(jiǎn)化后再求求解，因而帶帶來(lái)了一些誤誤差。為了解解決生產(chǎn)中和和工程中提出出的問(wèn)題，人人們開(kāi)展了模模型試驗(yàn)研究究。各種研究方法法比較：理論分析法——解析解較多。。數(shù)值計(jì)算——仿真分析——由于土木工程程的一些不確確定因素，輸輸入?yún)?shù)難以以精確，還有有模型簡(jiǎn)化等等問(wèn)題，存在在一定局限性性?，F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)——只有在工程施施工過(guò)程中進(jìn)進(jìn)行，投入較較大，周期長(zhǎng)長(zhǎng)。模型實(shí)驗(yàn)——可使工程中發(fā)發(fā)生的現(xiàn)象在在實(shí)驗(yàn)室中再再現(xiàn)出來(lái)，而而且還可以對(duì)對(duì)試驗(yàn)中主要要因素進(jìn)行獨(dú)獨(dú)立控制。與與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)相相比，可進(jìn)行行方案的前期期優(yōu)化，具有有省時(shí)、省力力的優(yōu)點(diǎn)。1.2相似理論相似理論——是說(shuō)明自然界界和工程中各各種相似現(xiàn)象象相似原理的的學(xué)說(shuō)。它的的理論基礎(chǔ)，，是關(guān)于相似似的三個(gè)定理理。以相似理論為為指導(dǎo)，形成成研究自然界界和工程中各各種相似現(xiàn)象象的新方法，，即所謂的“相似方法”。“相似方法”——是一種可以把把個(gè)別現(xiàn)象的的研究成果，，推廣到所有有相似的現(xiàn)象象上去的科學(xué)學(xué)方法?！澳M”——一般情況是指指在實(shí)驗(yàn)室條條件下，用縮縮小的（特殊殊情況下也有有放大的）模模型來(lái)進(jìn)行現(xiàn)現(xiàn)象的研究。?！澳M試驗(yàn)”——用人工的方法法再現(xiàn)自然界界的某一現(xiàn)象象。模擬：（a）、原型；(b)、模型。這樣，又引伸伸出“模型試驗(yàn)”的概念。模型試驗(yàn)是相似方法的的重要內(nèi)容。。在研究中起起著很重要的的作用，從相似理論的的角度出發(fā)，，“模型”——是與物理系統(tǒng)統(tǒng)密切有關(guān)的的裝置，通過(guò)過(guò)對(duì)它的觀察察與試驗(yàn)，可可以在需要的的方面精確地地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的的性能。這個(gè)個(gè)被預(yù)測(cè)的物物理系統(tǒng)，通通常被叫做“原型”。根據(jù)這個(gè)定義義，為了利用用一個(gè)模型，，當(dāng)然有必要要在模型與原原型間滿足某某種關(guān)系。這這種關(guān)系稱為為模型設(shè)計(jì)條件件，或系統(tǒng)的相相似性要求。。由此可見(jiàn)，相相似理論與模模型試驗(yàn)的關(guān)關(guān)系是十分密密切的，是整整個(gè)問(wèn)題的兩兩個(gè)組成部分分。1.3模型試驗(yàn)的意意義和現(xiàn)狀模型試驗(yàn)的意意義，可從五五個(gè)方面加以以說(shuō)明：①模型試驗(yàn)驗(yàn)作為一種研研究手段，可可以嚴(yán)格控制制試驗(yàn)對(duì)象的的主要參數(shù)而而不受外界條條件和自然條條件的限制，，做到結(jié)果準(zhǔn)準(zhǔn)確。②模型試驗(yàn)驗(yàn)有利于在復(fù)復(fù)雜的試驗(yàn)過(guò)過(guò)程中突出主主要矛盾，便便于把握、發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的內(nèi)內(nèi)在聯(lián)系。并并且有時(shí)可用用來(lái)對(duì)原型所所得結(jié)論進(jìn)行行校驗(yàn)。③由由于于模模型型與與原原型型相相比比，，尺尺寸寸一一般般都都是是按按比比例例縮縮小小的的。。故故制制造造加加工工方方便便，，節(jié)節(jié)省省資資金金、、人人力力和和時(shí)時(shí)間間。。①模型型試試驗(yàn)驗(yàn)?zāi)苣茴A(yù)預(yù)測(cè)測(cè)尚尚未未建建造造出出來(lái)來(lái)的的實(shí)實(shí)物物對(duì)對(duì)象象或或根根本本不不能能直直接接研研究究的的實(shí)實(shí)物物對(duì)對(duì)象象的的性性能能。。②當(dāng)其其它它各各種種分分析析方方法法不不可可能能采采用用時(shí)時(shí)，，模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)就就成成了了現(xiàn)現(xiàn)象象相相似似性性問(wèn)問(wèn)題題唯唯一一的的和和更更為為重重要要的的研研究究手手段段。。目前前，，相相似似理理論論和和模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)方方法法已已用用于于物物理理、、化化學(xué)學(xué)、、工工程程結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)、、熱熱力力學(xué)學(xué)、、氣氣象象、、航航天天等等各各個(gè)個(gè)領(lǐng)領(lǐng)域域，，并并有有著著廣廣泛泛的的應(yīng)應(yīng)用用前前景景。。1.4物理理模模擬擬和和數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模擬擬模擬擬試試驗(yàn)驗(yàn)———簡(jiǎn)單單地地說(shuō)說(shuō)，，是是用用人人工工的的方方法法再再現(xiàn)現(xiàn)自自然然界界的的某某一一現(xiàn)現(xiàn)象象。。物理理模模擬擬———是指指基基本本現(xiàn)現(xiàn)象象相相同同情情況況下下的的模模擬擬，，也也稱稱為為同同類類模模擬擬。。這時(shí)時(shí)模模型型與與原原型型的的所所有有物物理理量量相相同同，，物物理理本本質(zhì)質(zhì)一一致致。。區(qū)區(qū)別別只只在在于于各各物物理理量量的的大大小小比比例例不不同同。。（兩兩個(gè)個(gè)現(xiàn)現(xiàn)象象物物理理量量及及其其性性質(zhì)質(zhì)相相同同，，只只有有大大小小不不同同））。。數(shù)學(xué)學(xué)模模擬擬———是指指存存在在于于不不同同類類型型現(xiàn)現(xiàn)象象之之間間的的模模擬擬這這時(shí)時(shí)模模型型與與原原型型的的物物理理過(guò)過(guò)程程有有本本質(zhì)質(zhì)的的區(qū)區(qū)別別，，但但它它們們的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)量量都都遵遵循循著著同同樣樣的的方方程程式式，，具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上的的相相似似性性。。如如二二階階運(yùn)運(yùn)算算子子:▽▽2=的微微分分方方程程，，它它可可代代表表重重力力場(chǎng)場(chǎng)、、電電勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)、、溫溫度度場(chǎng)場(chǎng)等等。。這這時(shí)時(shí)，，人人們們只只要要對(duì)對(duì)不不同同的的物物理理量量建建立立起起一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系，，便便可可用用一一個(gè)個(gè)現(xiàn)現(xiàn)象象去去類類比比另另一一不不同同現(xiàn)現(xiàn)象象的的解解。。在工工程程中中，，常常用用電電場(chǎng)場(chǎng)來(lái)來(lái)模模擬擬溫溫度度場(chǎng)場(chǎng)、、材材料料的的應(yīng)應(yīng)力力場(chǎng)場(chǎng)和和有有限限自自由由度度的的振振動(dòng)動(dòng)系系統(tǒng)統(tǒng)。。下面面以以單單自自由由度度振振動(dòng)動(dòng)系系統(tǒng)統(tǒng)的的電電模模擬擬法法為為例例來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)明明這這個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題。。右邊邊代代表表一一個(gè)個(gè)L—R—C串聯(lián)聯(lián)電電路路，，現(xiàn)現(xiàn)在在要要由由它它來(lái)來(lái)模模擬擬左左邊邊由由k，m，u組成成的的單單自自由由度度振振動(dòng)動(dòng)系系統(tǒng)統(tǒng)。。作為為它它們們一一一一對(duì)對(duì)比比的的量量是是：：電感感L質(zhì)量量m電阻阻R阻尼尼u電容容C彈簧簧k外加加電電壓壓E外力力F，電荷荷q位移移y，(———單位位時(shí)時(shí)間間的的電電荷荷變變化化量量。。)它們們之之間間方方程程式式和和初初始始相相似似性性在在于于：：ky=F(t)t=0時(shí)，，y=y0，。。L+Rt=0時(shí),q=q0，。。所以以，，只只要要適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐剡x選擇擇各各種種物物理理量量和和初初始始條條件件，，就就能能使使y(t)和q(t)在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)完完全全成成比比例例地地變變化化因此此，，通通過(guò)過(guò)測(cè)測(cè)量量各各種種電電量量就就能能換換算算出出位位移移、、速速度度等等機(jī)機(jī)械械量量。。類似似這這種種電電路路系系統(tǒng)統(tǒng)，，當(dāng)當(dāng)其其適適應(yīng)應(yīng)性性很很強(qiáng)強(qiáng)時(shí)時(shí)，，就就是是通通常常所所說(shuō)說(shuō)的的模模擬擬計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)。。（（仿仿真真系系統(tǒng)統(tǒng)））。。物理理模模擬擬和和數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模擬擬各各有有其其特特點(diǎn)點(diǎn):物理理模模擬擬可可把把具具體體的的現(xiàn)現(xiàn)象象再再現(xiàn)現(xiàn)出出來(lái)來(lái)，，較較之之?dāng)?shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模擬擬能能更更全全面面地地表表現(xiàn)現(xiàn)被被模模擬擬的的現(xiàn)現(xiàn)象象。。數(shù)學(xué)學(xué)模模擬擬由由于于以以方方程程為為基基礎(chǔ)礎(chǔ)，，可可較較方方便便地地看看出出各各種種參參量量對(duì)對(duì)結(jié)結(jié)果果的的影影響響。。物理理模模擬擬試試驗(yàn)驗(yàn)：：相相似似材材料料模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)；；光彈彈性性模模擬擬試試驗(yàn)驗(yàn)；；其它它模模擬擬試試驗(yàn)驗(yàn)：：離離心心模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)；；底摩摩擦擦模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)（（模模擬擬重重力力場(chǎng)場(chǎng)））。。測(cè)試試技技術(shù)術(shù)：：電電測(cè)測(cè)光測(cè)測(cè)聲測(cè)測(cè)測(cè)試試系系統(tǒng)統(tǒng)：：傳傳感感器器→→量量測(cè)測(cè)儀儀表表→→記記錄錄分分析析器器。。2量綱綱理理論論2.1量綱綱———物理理量量的的廣廣義義度度量量單單位位，，相相同同的的物物理理量量具具有有相相同同的的量量綱綱。。如尺尺寸寸（（長(zhǎng)長(zhǎng)度度））———[L]力[F]時(shí)間間[T]它是是表表示示物物理理量量的的種種類類，，不不是是單單位位。。如長(zhǎng)長(zhǎng)度度單單位位有有m，cm，mm，但但量量綱綱皆皆為為[L]。2.2．基基本本量量綱綱與與導(dǎo)導(dǎo)出出量量力學(xué)學(xué)系系統(tǒng)統(tǒng)：：[F]、[L]、[T]為基基本本量量綱綱。。基本本量量綱綱具具有有：：(a)、獨(dú)獨(dú)立立性性(b)、完完整整基本本量量綱綱不不是是固固定定不不變變的的，，可可根根據(jù)據(jù)具具體體研研究究問(wèn)問(wèn)題題決決定定。。一一般般選選[F]、[L]、[T]較為為方方便便。。v[v]=[L]/[T]導(dǎo)出出量量綱綱：：根根據(jù)據(jù)定定義義、、定定律律由由基基本本量量綱綱導(dǎo)導(dǎo)出出的的量量綱綱。。F=mam=[M]=導(dǎo)出出量量綱綱：：某一一量量：：[Q]=[La·Fb·Tc][M]=[F][T2]/[L]則a=-1b=1c=2無(wú)量量綱綱量量：：如如應(yīng)應(yīng)變變?chǔ)臶εε]=[L0FoTo]=[1]泊松松比比u無(wú)量量綱綱量量：：與與單單位位無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，，模模型型大大小小可可不不相相同同。。2.3微商商的的量量綱綱s與ds的量綱皆皆為[L]。t與dt的量綱皆皆為[T]。v=，[V]=a=，[a]=2.4量綱的性性質(zhì)a、相同的的物理量量具有相相同的量量綱，但但相同的的量綱具具有不同同的物理理量。如應(yīng)力和和彈性模模量，σ、E，b、同量綱綱的物理理量的比比值為無(wú)無(wú)量綱的的量，此此量與單單位無(wú)關(guān)關(guān)。（ε=σ/E）c、基本量量綱的組組合不能能成為無(wú)無(wú)量綱的的量，但但基本量量綱與導(dǎo)導(dǎo)出量綱綱的組合合可成為為無(wú)量的的量。如，,2．5量綱的齊齊次原則則一個(gè)物理理方程各各項(xiàng)的量量綱相同同，稱為為量綱齊齊次原則則。對(duì)于完全全方程，，除以方方程中的的任一項(xiàng)項(xiàng)，將變變?yōu)闊o(wú)量量綱的量量。如：s=v0t+[L]但對(duì)于非非完全方方程如P=0.013H(重液公式式)則不成立立。2.6量綱分析析基本量綱綱為:[L][M][T]例1、現(xiàn)在研研究一個(gè)個(gè)動(dòng)力學(xué)學(xué)問(wèn)題，，即m、t、v、F間相互互關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)為：：F=f(m,t，v)F=k.ma.tb.vc[F]=k[MaTb]①①[F]=[M.L.T-2]②②兩式量綱綱相同：：a=1,b-c=-2c=1所以F=kmt-1v=k(——牛頓準(zhǔn)則則。例2：均布荷載載作用下下簡(jiǎn)支梁梁的跨中中撓度。。[解]y=f(q，EI，L)基本量綱綱：[F][L]靜力學(xué)問(wèn)問(wèn)題，與與時(shí)間無(wú)無(wú)關(guān)。[y]=[L]y=kqa(EI)b.Lc[L]=k[FaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc][L]：1=-a-2b+4b+c①①[F]：0=a+b②②∴∴y=kq-b[EI]bL1-3b令：d=-b∴∴y=k做二次試試驗(yàn)后解解得：d=1,k=∴y=從上面二二例可以以看出，，采用量量綱分析析法求等等式的關(guān)關(guān)鍵在于于：選擇的物物理參數(shù)數(shù)要正確確。量綱分析析法除了了求導(dǎo)相相似準(zhǔn)則則外，還還可用于于：（1）、導(dǎo)出出無(wú)量綱綱量；（（2）、可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化方程程，把多多個(gè)物理理量減少少等，其其用途較較多。3、相似似理理論3.1相似概論論相似——兩種物理理量對(duì)應(yīng)應(yīng)時(shí)刻的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)成比例例，可稱稱相似。3.1.1幾何相似似——對(duì)應(yīng)尺寸寸成比例例。如兩個(gè)三三角形相相似，對(duì)對(duì)應(yīng)邊成成比例，，比例值CL稱為幾何相似似常數(shù)。對(duì)應(yīng)角相相等（角角度為無(wú)無(wú)量綱的的量）。。CL1-2=相似常數(shù)數(shù)相似常數(shù)數(shù)——一對(duì)相似似現(xiàn)象中中所有對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在在對(duì)應(yīng)時(shí)時(shí)刻上同同一物理理量均保保持其比比值不變變。=idom（相似不不變量））相似不變變量——在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)應(yīng)時(shí)刻上上保持相相同的數(shù)數(shù)值。所有相似似相象的的相似不不變量是是一個(gè)常常數(shù)，不不變的。。它是一一個(gè)無(wú)量量綱的量量。一個(gè)現(xiàn)象象中的幾幾個(gè)量的的比值，，在所有有與它相相似的現(xiàn)現(xiàn)象中保保持不變變。在所有相相似現(xiàn)象象中，某某一量（（無(wú)量綱綱綜合數(shù)數(shù)群）在在相對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)和相相對(duì)應(yīng)時(shí)時(shí)刻上保保持相同同的數(shù)值值。梁的截截面模模量w=Cw=CI=C3.1.2物理相相似荷載相相似——模型與與原型型在對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)上同同一時(shí)時(shí)刻的的對(duì)應(yīng)應(yīng)荷載載成比比例。。（荷載載方向向相同同，大大小成成比例例）。。集中荷荷載相相似：：（（集集中荷荷載相相似常常數(shù)））。令幾何何相似似常數(shù)數(shù)荷載集集度相相似常常數(shù)cq=彎矩相相似常常數(shù)cm=自重相相似常常數(shù)，，壓強(qiáng)強(qiáng)：c密度：：c如果模模型與與原型型在對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)的荷荷載相相似（（成比比例）），只只要其其中一一種荷荷載相相似常常數(shù)已已定，，則其其它種種荷載載常數(shù)數(shù)也就就確定定了。。彈性模模量相相似常常數(shù)面力：：3.1.3運(yùn)動(dòng)相相似時(shí)間相相似:時(shí)間相相似常常數(shù)（距離離相似似）則速度度相似似常數(shù)數(shù):研究動(dòng)動(dòng)力學(xué)學(xué)還有有質(zhì)量量相似似：對(duì)于均均質(zhì)物物體可可用密密度來(lái)來(lái)表示示：動(dòng)力學(xué)學(xué)問(wèn)題題:F=ma.cF=cmca=cρ.c3L.cL.ct-2∴動(dòng)力學(xué)學(xué)相似似指標(biāo)標(biāo)3．1．4邊界相相似力學(xué)：：邊界界約束束條件件等。。平面面應(yīng)力力模型型平面應(yīng)應(yīng)模型型模型試試驗(yàn)中中約束束條件件很重重要。。3.1.5起始條條件相相似初始條條件，，如運(yùn)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)中初初始振振動(dòng)相相位等等3.2相似第第一定定理它是說(shuō)說(shuō)明相相似現(xiàn)現(xiàn)象的的性質(zhì)，模型型與原原型相相似，，那么么應(yīng)具具有：：a、在對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)時(shí)時(shí)刻成成比例例。b、變化規(guī)規(guī)律相相同，，可用用相同同的關(guān)關(guān)系方方程式式來(lái)描描述。。其中大大多數(shù)數(shù)的物物理現(xiàn)現(xiàn)象，，其關(guān)關(guān)系方方程又又可用用微分分方程程的形形式獲獲得，，如質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程程和力力學(xué)方方程分分別為為：c、各相似似常數(shù)數(shù)值不不能任任意選選擇，，它們們要服服從于于某種種自然然規(guī)律律的約約束。。下面我我們以以速度度公式式為例例具體體說(shuō)明明：（1）代入有有關(guān)相相似常常數(shù)得得：（（2）（1）式實(shí)實(shí)際上上可用用于描描述彼彼此相相似的的兩個(gè)個(gè)現(xiàn)象象。這這時(shí)第第一現(xiàn)現(xiàn)象質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的的運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程程為：：（3）第二現(xiàn)現(xiàn)象質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)方方程為為：（（4）將式（（2）代入入式（（4），亦亦即在在基本本微分分方程程中對(duì)對(duì)參數(shù)數(shù)作相相似變變換，，可得：：（（5）作相似似變換換時(shí)，，為了了保持持基本本微分分方程程（3）、（（5）的一致致性,需使：故以后，我們們把C稱為相似指標(biāo)，其意義在在于：對(duì)于于相似現(xiàn)象象，它的數(shù)數(shù)值為1。同時(shí)也說(shuō)明明，各相似似常數(shù)不是是任意選擇擇的，它們們的相互關(guān)關(guān)系要受“C值為1”這一條件的的約束。換言之，在在cv、ct、cL三者中，只只有二者可可任意選擇擇，余者由由上式確定定。這種約束關(guān)關(guān)系還可以以采取另外外的形式，，將相似常常數(shù)cL等代入得：：或不不變變量同理對(duì)于f=ma，得：或或不不變量量。上兩式的綜綜合數(shù)群和和，，都都是不變量量，它們被被稱之為相似準(zhǔn)則。應(yīng)該注意：：相似準(zhǔn)則則的概念是是“不變量”，而非“常量”。所說(shuō)不變變量，是因因?yàn)橄嗨茰?zhǔn)準(zhǔn)則這一綜綜合數(shù)群只只有在相似似現(xiàn)象的對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)對(duì)應(yīng)時(shí)刻上上才相等。。如果由微分分方程說(shuō)明明的現(xiàn)象，，取同一現(xiàn)現(xiàn)象的不同同點(diǎn)，則因因其物理變變化過(guò)程的的不穩(wěn)定性性，有：所以，相似似準(zhǔn)則只能能說(shuō)成是不不變量，不不能說(shuō)成是是常量。相似第一定定理：兩相似現(xiàn)象象的相似指指標(biāo)為1，相似準(zhǔn)則則相同。相似指標(biāo)——相似現(xiàn)象的的比例常數(shù)數(shù)。相似準(zhǔn)則——相似現(xiàn)象應(yīng)應(yīng)遵守的規(guī)規(guī)律。相似準(zhǔn)則與與相似常數(shù)數(shù)是不同的的，它是總總合地而不不是個(gè)別地地反映單個(gè)個(gè)因素的影影響，能更更清楚地顯顯示過(guò)程的的內(nèi)在聯(lián)系系。當(dāng)用相似第第一定理指指導(dǎo)模型研研究時(shí)，首首先重要的的是導(dǎo)出相相似準(zhǔn)則，，然后在模模型試驗(yàn)中中測(cè)量所有有與相似準(zhǔn)準(zhǔn)則有關(guān)的的物理量。。當(dāng)微分方程程較簡(jiǎn)單時(shí)時(shí)，找出相相似準(zhǔn)則并并不困難。。但當(dāng)方程無(wú)無(wú)從知曉時(shí)時(shí)，或是很很復(fù)雜時(shí)，，應(yīng)采用其其它的方法法。當(dāng)現(xiàn)象的相相似準(zhǔn)則數(shù)數(shù)超過(guò)一個(gè)個(gè)時(shí)，問(wèn)題題便進(jìn)入了了相似第二二定理的范范疇。3.3相似第三定定理相似的充分分必要條件件。相似現(xiàn)象應(yīng)應(yīng)遵守的條條件：①兩相似現(xiàn)象象一定能用用一個(gè)方程程組來(lái)描述述。②單值條件相相似。幾何條件（（幾何相似似）物理?xiàng)l件：：荷載介質(zhì)的E、μ、R（強(qiáng)度）。。運(yùn)動(dòng)條件：：t、v邊界條件始初條件(3)由單值量組組成的相似似準(zhǔn)則要相相等?！浞直匾獥l條件（而不是任任意的相似似準(zhǔn)則要相相等）。單值量——是指單值條條件下的物物理量。而而單值條件件是將一個(gè)個(gè)個(gè)別現(xiàn)象象從同類現(xiàn)現(xiàn)象中區(qū)分分開(kāi)來(lái)。相似第一定定理是從現(xiàn)現(xiàn)象已經(jīng)相相似這一事事實(shí)出發(fā)來(lái)來(lái)考慮問(wèn)題題的，它說(shuō)說(shuō)明是相似似現(xiàn)象的性性質(zhì)。設(shè)有二現(xiàn)象象相似，它它們都符合合質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的微分方方程V=，如圖所示示的兩組相相似曲線（（實(shí)線）。。得到：圖中“1”、“2”為兩現(xiàn)象的的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?！，F(xiàn)在，設(shè)想想通過(guò)第二二現(xiàn)象的點(diǎn)點(diǎn)1和點(diǎn)2，找出同類類的另一現(xiàn)現(xiàn)象——第三現(xiàn)象，，圖中虛線線所示。顯然，第二二、第三現(xiàn)現(xiàn)象的曲線線并不重合合，故第三三現(xiàn)象與第第一現(xiàn)象并并不相似，，說(shuō)明通過(guò)過(guò)點(diǎn)1、點(diǎn)2的現(xiàn)象并不不都是相似似現(xiàn)象。為了使通過(guò)過(guò)點(diǎn)1、點(diǎn)2現(xiàn)象取得相相似，必須須從單值條條件上加以以限制。如如在這種情情況下，加加入初始條條件：t=0，v=0，L=0。這樣，既有有初始條件件的限制，，又有單值值量組成的相似準(zhǔn)則則值值一致，兩兩個(gè)現(xiàn)象便便必相似。。由此看來(lái)，，同樣是值值相相等，相似似第一定理理未必能保證現(xiàn)現(xiàn)象的相似似，而第三三定理從單單值條件上上對(duì)它它進(jìn)行補(bǔ)充充，保證了了現(xiàn)象的相相似。因此，第三三定理是構(gòu)構(gòu)成相似的的充要條件件。嚴(yán)格地地說(shuō)，這也也是一切模模型試驗(yàn)應(yīng)應(yīng)遵循的理理論基礎(chǔ)。。3.4相似第二定定理（π定理）相似第二定定理可表述述為：設(shè)一個(gè)物理理現(xiàn)象如果果含有n個(gè)物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m個(gè)為基本物物理量（其其量綱是相相互獨(dú)立的的），那么么這n個(gè)物理量可可表示成是是（n-m）個(gè)相似準(zhǔn)準(zhǔn)則π1、π2、…πn-m之間的函數(shù)數(shù)關(guān)系：f(π1、π2、…πn-m)=0(1)準(zhǔn)則方程。。π定理的作用用：對(duì)于彼此相相似的現(xiàn)象象，在對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)應(yīng)時(shí)刻上相相似準(zhǔn)則都都保持同一一值，所以以它的π關(guān)系式也應(yīng)應(yīng)當(dāng)是相同同的。一般般用下標(biāo)“p”和“m”分別表示原原型和模型型，則π關(guān)系式分別別為：f1(π1、π2、…πn-m)p=0f2(π1、π2、…πn-m)m=0(2)其中：π1m=π1pπ2m=π2p(3)π(n-m)m=π(n-m)p(4)由（4）式可見(jiàn)，，如果把某某現(xiàn)象的實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果整整理成（1）式所示的的無(wú)量綱的的π關(guān)系式，則則該關(guān)系式式便可推廣廣到與它相相似的所有有其它現(xiàn)象象上去。而在推廣的的過(guò)程中，，由式（4）可知，并并不需要列列出各π項(xiàng)間真正的的關(guān)系方程程（不論該該方程發(fā)現(xiàn)現(xiàn)與否）。?；疚锢砹苛浚壕哂谢玖烤V的的物理量。。而準(zhǔn)則方程程是無(wú)量綱綱量。我們們不能由基基本物理量量組成n個(gè)準(zhǔn)則方程程。如設(shè)想n=m的特殊情況況，這時(shí)所所有參量的的量綱是相相互獨(dú)立的的，故其自自身便無(wú)法法構(gòu)成任一一個(gè)無(wú)量綱綱組合的相相似準(zhǔn)則。。（否則，，如何將其其量綱消去去）。當(dāng)由n個(gè)物理量、、構(gòu)成n-m個(gè)π項(xiàng)，每個(gè)π項(xiàng)中必定要要有一個(gè)物物理量區(qū)別別于其它π項(xiàng)的獨(dú)立變變量。定性準(zhǔn)則——由單值條件件組成的相相似準(zhǔn)則。。非定性準(zhǔn)則則——由非單值條條件組成的的相似準(zhǔn)則則。有時(shí)，可由由定性準(zhǔn)則則導(dǎo)出非定定性準(zhǔn)則。。由此可見(jiàn)，相似第二二定理是十十分重要的的，它可用用于多相似似準(zhǔn)則之間間的模擬。。但是，在在它的指導(dǎo)導(dǎo)下，模型型實(shí)驗(yàn)結(jié)果果能否正確確推廣，關(guān)關(guān)鍵又在于于是否正確確地選擇了了與現(xiàn)象有有關(guān)的物理理量。對(duì)于一些復(fù)復(fù)雜的物理理現(xiàn)象，由由于缺乏微微分方程的的指導(dǎo)，問(wèn)問(wèn)題較難。。4、相似準(zhǔn)則的的導(dǎo)出方法法作為相似第第二定理的的補(bǔ)充，必必須找到相相似準(zhǔn)則的的導(dǎo)出方法法。相似準(zhǔn)則的的導(dǎo)出方法法常用有：：定律分析析法、方程程分析法、、量綱分析析法三種。。從理論上說(shuō)說(shuō)，三種方方法可得到到同樣的結(jié)結(jié)果，只是是用不同的的方法來(lái)對(duì)對(duì)物理現(xiàn)象象（或過(guò)程程）作數(shù)學(xué)學(xué)上的描述述。4.1用定律分析析法導(dǎo)出相相似準(zhǔn)則這種方法要要求人們對(duì)對(duì)所研究的的現(xiàn)象運(yùn)用用已掌握的的全部物理理定律，并并能辨別其其主次。一一旦這個(gè)要要求得到滿滿足，問(wèn)題題的解決并并不困難，，而且還可可獲得數(shù)量量足夠的、、反映現(xiàn)象象實(shí)質(zhì)的π項(xiàng)。但這種方法法的缺點(diǎn)是是：①只是是就事論事事，看不出出現(xiàn)象的變變化過(guò)程和和內(nèi)在聯(lián)系系，故作為為一種方法法，缺乏典典型意義。。②由于必必須要找出出全部物理理定律，所所以對(duì)于未未能全部掌掌握其機(jī)理理的、較為為復(fù)雜的物物理現(xiàn)象，，運(yùn)用這種種方法是不不可能的。。關(guān)于這方面面內(nèi)容，大大家可參考考有關(guān)資料料。4.2用方程分析析法導(dǎo)出相相似準(zhǔn)則這里所說(shuō)的的方程，主主要是指微微分方程，，此外，也也有積方程程，積分—微分方程。。這種方法法的優(yōu)點(diǎn)是：①結(jié)構(gòu)嚴(yán)嚴(yán)密，能反反映對(duì)現(xiàn)象象來(lái)說(shuō)最為為本質(zhì)的物物理定律，，故結(jié)論可可靠。②分析過(guò)過(guò)程程序明明確，不易易出錯(cuò)。③各種因因素的影響響地位一覽覽無(wú)遺，有有利推斷、、比較和檢檢驗(yàn)。缺點(diǎn)：在方程尚尚處于建立立階段時(shí)，，需要人們們對(duì)現(xiàn)象的的機(jī)理有深深入的認(rèn)識(shí)識(shí)。求解方方程有時(shí)難難以得到完完整解。用方程分析析法求相似似準(zhǔn)則時(shí)，，主要有：：相似轉(zhuǎn)換換法和積分分類比法。。作為實(shí)例例，現(xiàn)在考考察圖右的的“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)。研究y的函數(shù)關(guān)系系。系統(tǒng)有7個(gè)變量：變量：量量綱綱位移L質(zhì)量FL-1T2阻尼系數(shù)FL-1T彈簧剛度FL-1初始速度v0LT-1初始距離y0L時(shí)間tT顯然，表中中除位移y外，均為獨(dú)獨(dú)立變量因因此，，如考慮基基本量綱數(shù)數(shù)為3，則獨(dú)立相相似準(zhǔn)則為為：（7-1）-3=3個(gè)。4.2.1相似轉(zhuǎn)換法法其步驟為：：①寫(xiě)出現(xiàn)現(xiàn)象的基本本微分方程程。質(zhì)量的位移移方程為：：m(1)②寫(xiě)出全部單單值條件，，第一現(xiàn)象象用“′”表示，第二二現(xiàn)象用“″”表示，因此此可得各參參量的相似似常數(shù)為：：考慮物理?xiàng)l條件相似時(shí)時(shí)：cm=,cu=,ck=考慮邊界條條件相似時(shí)時(shí)：cy=,考慮起始條條件相似時(shí)時(shí)(此時(shí)t=0)cv0=,cy0=(2)③將微分方程程按不同現(xiàn)現(xiàn)象寫(xiě)出：：m′(3)m″(4)④進(jìn)行相似轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換。將“″”參量用“′”參量代替，，式（4）按（2）的關(guān)系代代入得：（5）作相相似似變變換換時(shí)時(shí)，，為為了了保保證證基基本本微微分分方方程程的的一一致致性性，，各各項(xiàng)項(xiàng)系系數(shù)數(shù)必必須須彼彼此此相相等等，，即即：：故得得兩兩相相似似指指標(biāo)標(biāo)方方程程如如下下：：(6）（7）另一一個(gè)個(gè)相相似似指指標(biāo)標(biāo)方方程程要要由由分分析析起起始始條條件件建建立立，，即即當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，，，y=y0,若這這時(shí)時(shí)考考慮慮二二現(xiàn)現(xiàn)象象，，可可得得：：，，y′′=y,y″″=y也進(jìn)進(jìn)行行相相似似轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換，，得得：：cy=cy0（8）⑤將式（2）所表示的相相似常數(shù)值代代入（6）（7） （8）式，可得相相似準(zhǔn)則式為為：不變量=π1不變量=π2不變量=π3此處，即即為獨(dú)獨(dú)立的相似準(zhǔn)準(zhǔn)則。非獨(dú)立相似準(zhǔn)準(zhǔn)則為：y/y0，綜合以上，可可構(gòu)成π關(guān)系式為，π方程式：4．2．2積分類比法積分類比法是是一種比較簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的辦法，，一般都用它它來(lái)代替相似似轉(zhuǎn)換法。其其步驟如下：：m(1)①寫(xiě)出現(xiàn)象的基基本方程（或或方程組）及及其全部單位位條件。。同前。②用方程中的任任一項(xiàng)除其它它各項(xiàng)（如前前例中）：③將各項(xiàng)項(xiàng)中涉及的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)量量比值，即所所謂的積積分類比來(lái)代代替。就是說(shuō)說(shuō)，將所有微微分符號(hào)去掉掉，僅留下量本身的的比值，就是是以則則：U,ky/m,對(duì)于統(tǒng)統(tǒng)一代替物v/L。④上面兩式的相相似準(zhǔn)則由于于只利用了物物理和邊界兩兩種單值條件件的參量，故故利用起始條條件，可另立立二式如下，，即t=0時(shí)：y=y0，對(duì)前式進(jìn)行積積分類比得：：不變量由后式則可得得因變量л項(xiàng)為：。。⑤至此，各л項(xiàng)全部求得：：其л關(guān)系式為：上式中給出的的л關(guān)系式并不合合理，因?yàn)樵谠谧宰儳蓓?xiàng)中中帶有待測(cè)測(cè)因變參量y，不利于模型型試驗(yàn)的進(jìn)行。。為此可將初初始條件代入入л項(xiàng)，使之改換成而而л關(guān)系式也因此此變?yōu)椋?．3用量綱分析法法導(dǎo)出相似準(zhǔn)準(zhǔn)則量綱分析法是是在研究現(xiàn)象象相似性問(wèn)題題的過(guò)程中，，對(duì)各種物理理量的量綱進(jìn)進(jìn)行考察時(shí)產(chǎn)產(chǎn)生的。它的的理論基礎(chǔ)是是量綱的齊次次原理。量綱分析法的的優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于于一切機(jī)理尚尚未徹底弄清清，規(guī)律也未未充分掌握的的復(fù)雜現(xiàn)象來(lái)來(lái)說(shuō)，尤其明明顯。它能幫幫助人員迅速速通過(guò)相似性性實(shí)驗(yàn)核定所所選參量的正正確性，并在在此基礎(chǔ)上不不斷加深人們們對(duì)現(xiàn)象機(jī)理理和規(guī)律的認(rèn)認(rèn)識(shí)。在定律分析法法、方程分析析法和量綱分分析法三種中中，后二種方方法用得較多多，其中又以以量綱分析法法為多。它是是解決近代工工程技術(shù)問(wèn)題題的重要手段段之一。當(dāng)所研究的物物理現(xiàn)象較為為復(fù)雜時(shí)，要要通過(guò)量綱方方程來(lái)說(shuō)明問(wèn)問(wèn)題就很困難難，往往會(huì)遺遺漏、錯(cuò)選與與現(xiàn)象有關(guān)的的主要參量。。這就要求人人們通過(guò)實(shí)踐踐不斷摸索，，抓住主要參參量，得出近近似的結(jié)果，，即“近似模擬”。通過(guò)相似理論論證明，在復(fù)復(fù)雜現(xiàn)象中，，因量綱分析析法的弱點(diǎn)而而產(chǎn)生的近似似模擬，常常常是比較合理理的。相似準(zhǔn)則的導(dǎo)導(dǎo)出：當(dāng)用量綱分析析法決定相似似準(zhǔn)則時(shí)，我我們需知道現(xiàn)現(xiàn)象所包含的的物理量就可可以了。但當(dāng)當(dāng)物理量很多多時(shí)，л項(xiàng)的數(shù)目也會(huì)會(huì)多起來(lái)，決決定它們并不不容易。下面面從簡(jiǎn)單例子子說(shuō)起。例一：自由落落體參量為s,g,t,如果參量選擇擇正確，即相相似準(zhǔn)則可取取如下形式：：л=sagb.tc將量綱代入：：[л]=[L0t0]=[L]a[LT-2]b[T]c兩邊量量綱相相等：：L：a+b=0T:-2b+c=0上式為為二個(gè)個(gè)方程程，三三個(gè)未未知數(shù)數(shù)，故故無(wú)法法解出出a、b、c具體值值。為為此需需設(shè)定定其中中一個(gè)個(gè)值。。若設(shè)設(shè)a=-1，可得得：b=1，c=2，便可可求得得：л=如設(shè)a=1，b=-1，c=-2，則可可得：：л′=也是相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則。。例二、、質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的力力學(xué)方方程參數(shù)為為f，m，v，t，則相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則可可取如如下形形式：：л=fambvctd[л]=[F0L0T0]=[F]a[FL-1T2]b[LT-1]c[T]dF:a+b=0L:-b+c=0T:2b-c+d=0得л=上面二二例，，都符符合相相似第第二定定律關(guān)關(guān)于相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則數(shù)數(shù)的論論述，，即3-2=1，4-3=1。上面為為單個(gè)個(gè)相似似準(zhǔn)則則，如如為多多個(gè)相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則，，可采采用量綱矩矩陣的方法法，它它為人人們求求取具具體相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則提提供了了一種種更為為直觀觀的形形式。。方法法如下下：對(duì)于我我們前前面用用方程程分析析法導(dǎo)導(dǎo)出相相似準(zhǔn)準(zhǔn)則的的例子子（此此為“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)））：該系統(tǒng)統(tǒng)有7個(gè)變量量分別別為y、m、u、k、v0、y0、t。如果我我們不不知道道它們們的關(guān)關(guān)系式式如何何，可可令其其為：：f(y，m，u，v0，y0，t)=0其準(zhǔn)則則關(guān)系系式為為：л=將量綱綱矩陣陣的上上方加加上各各參量量的指指數(shù)就就行了了。a1a2……a7即為指指數(shù)，，則量量綱矩矩陣如如下所所示。。它們的的量綱綱矩陣陣是：：（上式中中：m：FL-1/T2，u：FL-1T，k：FL-1）按此矩陣陣，可得得三個(gè)線線性齊次次代數(shù)方方程如下下：F：L：T：三個(gè)方程程無(wú)法解解出7個(gè)未知數(shù)數(shù)，故應(yīng)應(yīng)使未知知數(shù)中的的三個(gè)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為其其余4個(gè)未知數(shù)數(shù)的函數(shù)數(shù)關(guān)系。。設(shè)a4、a5、a7為三個(gè)方方程中的的任意假假定的已已知量，，則a1、a2、a3分別為：：(1)因本例中中相似準(zhǔn)準(zhǔn)則數(shù)為為：7-3=4個(gè)，（獨(dú)獨(dú)立的為為3個(gè)）。故故a4、a5、a6、a7應(yīng)前后設(shè)設(shè)定四套套數(shù)值。。最簡(jiǎn)單單的為辦辦法是設(shè)設(shè)其中一一個(gè)值為為1，而其余余值為0，因此：：當(dāng)a4=1,a5=a6=a7=0時(shí)，可得得：a1=0a2=1a3=-2；當(dāng)a5=1,a4=a6=a7=0時(shí)，可得得：a1=-1a2=1a3=-1；當(dāng)a6=1,a4=a5=a7=0時(shí),可知：a1=-1a2=0a3=0；當(dāng)a7=1,a4=a5=a6=0時(shí),可得：a1=0a2=-1a3=1。此解可簡(jiǎn)簡(jiǎn)明地列列矩陣形形式，取取名為π矩陣：從上面π矩陣可以以看出，，第一、、二、三三列所代代表的四四行恰好好是式（（1）各方程程中等號(hào)號(hào)右側(cè)a4、a5、a6、a7的系數(shù)。。而四、、五、六六、七列列則構(gòu)成成單位矩矩陣。掌掌握了這這個(gè)特點(diǎn)點(diǎn)，可以以很快地地將π矩陣寫(xiě)出出。在π矩陣中，，每一行行代表無(wú)無(wú)量綱乘乘積的一一組指數(shù)數(shù)。據(jù)此此，可建建立起數(shù)數(shù)目與行行數(shù)相同同的各獨(dú)獨(dú)立π項(xiàng)來(lái)。分分別為：：π1=mu-2k=π2=y-1mu-1v0=π3=y-1y0=π4=m-1ut=因?yàn)槲灰埔痞许?xiàng)作為因因變?chǔ)许?xiàng)，式（（2）的不合合理處在在于參量量y包含在獨(dú)獨(dú)立π項(xiàng)的π2中。為使使模型試試驗(yàn)得以以進(jìn)行，，需以π2除π3改造成π2′；這樣便建建立起π關(guān)系式為為：（3）在前面關(guān)關(guān)于方程程分析法法一節(jié)，，我們得得到這一一系統(tǒng)的的π關(guān)系式為為：（4）比較式（（3）和式（（4）可知，，前者各各獨(dú)立π項(xiàng)分別以以獨(dú)立變變量k、v0、t相區(qū)別，，后者各各獨(dú)立π項(xiàng)分別以以獨(dú)立變變量u、t、v0相區(qū)別。。但從性性質(zhì)上說(shuō)說(shuō)，兩個(gè)個(gè)π關(guān)系式都都是一致致的。因因?yàn)槭剑ǎ?）各π項(xiàng)的代數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)變，，可得式式（4）結(jié)果。。補(bǔ)充：π關(guān)系式的的特性：：任何兩個(gè)個(gè)（或多多個(gè)）π項(xiàng)的代數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)變，，如加、、減、乖乖、除、、提高或或降低冪冪次，仍仍不改變變?cè)P(guān)系系式的函函數(shù)性質(zhì)質(zhì)。但條條件是：：①冪次不得得升、降降至零。。②π項(xiàng)總數(shù)不不得增加加或減少少（因π項(xiàng)總數(shù)是是由物理理量總數(shù)數(shù)和基本本量綱之之差決定定，是個(gè)個(gè)定值））。具體為：：若相似似準(zhǔn)則分分別為π1、π2、……πr，則：a、πiaib、πc、πa11±πd、πi±ae、aπi這是因?yàn)闉榻?jīng)過(guò)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換后的的π項(xiàng)仍是無(wú)無(wú)量綱綜綜合數(shù)據(jù)據(jù)。這也說(shuō)明明相似準(zhǔn)準(zhǔn)則形式式的可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換性。。為了利于于模型設(shè)設(shè)計(jì)，在在求相似似準(zhǔn)則時(shí)時(shí)，可考考慮以下下幾點(diǎn)：：①第一個(gè)應(yīng)應(yīng)為因變變量（第第一個(gè)為為所求量量）。然然后對(duì)所所求量影影響大和和容易控控制的越越在前。。②π矩陣越簡(jiǎn)簡(jiǎn)單越好好。③準(zhǔn)則的個(gè)個(gè)數(shù)=物理量-基本物理理量。④每個(gè)準(zhǔn)則則中至少少有一個(gè)個(gè)物理量量其它準(zhǔn)準(zhǔn)則中沒(méi)沒(méi)有，才才是獨(dú)立立的，否否則不獨(dú)獨(dú)立。⑤準(zhǔn)則最好好有一定定的物理理意義。。⑥準(zhǔn)則盡量量應(yīng)容易易滿足，，即準(zhǔn)則則包括的的物理量量越越少少越好，，最多為為m+1。⑦需要被測(cè)測(cè)量的物物理量最最好在非非定性準(zhǔn)準(zhǔn)則中出出現(xiàn)。并可通過(guò)過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換，去去掉相似似準(zhǔn)則中中無(wú)法測(cè)測(cè)量或難難測(cè)量的的量。我們求準(zhǔn)準(zhǔn)則的目目的在于于指導(dǎo)模模型，那那么，有有了準(zhǔn)則則，可根根據(jù)相似似指標(biāo)為為1來(lái)設(shè)計(jì)模模型。再根據(jù)相相似準(zhǔn)則則將模型型結(jié)果還還原到原原型上去去。5模型設(shè)計(jì)計(jì)5.1模型設(shè)計(jì)計(jì)模型設(shè)計(jì)計(jì)的理論論基礎(chǔ)是是相似理理論，我我們這里里所說(shuō)的的相似是是指物理理模擬（（同類模模擬）。。在模型試試驗(yàn)中，，首要問(wèn)問(wèn)題是如如何設(shè)計(jì)模型型，以及如如何將模模型試驗(yàn)驗(yàn)的結(jié)果果推廣到到原型實(shí)實(shí)體對(duì)象象中。一般情況況下，模模型設(shè)計(jì)計(jì)程序?yàn)闉椋海?）根據(jù)試驗(yàn)驗(yàn)任務(wù)、、目的，，選擇模模型類型型。物理模擬擬、數(shù)學(xué)學(xué)模擬。。如按模型型試驗(yàn)研研究范圍圍可分為為：彈性性模型試試驗(yàn)、強(qiáng)強(qiáng)度模型型試驗(yàn)。。如按試驗(yàn)驗(yàn)?zāi)M的的程度分分類：斷斷面模型型試驗(yàn)（（平面）），半整整體模型型，整體體模型試試驗(yàn)。如按試驗(yàn)驗(yàn)加載方方法分類類：靜力力結(jié)構(gòu)模模型試驗(yàn)驗(yàn)，動(dòng)力力結(jié)構(gòu)模模型試驗(yàn)驗(yàn)，等等等。（1）對(duì)研究對(duì)對(duì)象進(jìn)行行理論分分析，用用方程分分析法或或量綱分分析法求求相似準(zhǔn)準(zhǔn)則。（2）確定幾何何相似常常數(shù)CL，定出模模型的幾幾何尺寸寸。CL取選是一一個(gè)關(guān)鍵鍵一步，，主要應(yīng)應(yīng)考慮：：a、模型的尺尺寸大小小要適中中，可行行，對(duì)于于與結(jié)構(gòu)構(gòu)物相互互作用問(wèn)問(wèn)題，應(yīng)應(yīng)考慮影影響范圍圍。b、測(cè)量手段段，應(yīng)考考慮傳感感器的大大小和精精確度要要求。當(dāng)當(dāng)傳感器器精度不不夠時(shí)應(yīng)應(yīng)加大模模型尺寸寸。c、試驗(yàn)待求求量應(yīng)方方便、可可以實(shí)施施。常用模型型的縮尺尺比例結(jié)構(gòu)類型型彈彈性性模型強(qiáng)強(qiáng)度模模型殼體板構(gòu)橋梁砼壩所以在結(jié)結(jié)構(gòu)模型型試驗(yàn)中中，其幾幾何尺寸寸的確定定需要綜綜合考慮慮模型類類型、材材料、制制作條件件、加載載能力、、測(cè)點(diǎn)布布置以及及設(shè)備條條件等等等，才能能確定出出一個(gè)最最優(yōu)的幾幾何尺寸寸。小尺寸模模型所需需載荷小小，但制制作困難難，加工工精度高高，對(duì)量量測(cè)儀器器要求也也高。尺尺寸大的的模型所所需荷載載大，但但制作方方便，對(duì)對(duì)量測(cè)儀儀器一般般無(wú)特殊殊要求。。通常，線性模模型尺寸較小小。而非線性性、強(qiáng)度破壞壞模型，特別別是鋼筋砼結(jié)結(jié)構(gòu)模型尺寸寸較大。具體體如上表。（1）根據(jù)相似準(zhǔn)則則，計(jì)算各參參數(shù)在模型試試驗(yàn)中的數(shù)值值——模型設(shè)計(jì)。（2）繪制模型制造造、測(cè)點(diǎn)布置置和載荷分置置圖。（3）安排試驗(yàn)順序序。（4）進(jìn)行試驗(yàn)和量量測(cè)。（5）數(shù)據(jù)整理。并并把模型數(shù)據(jù)據(jù)轉(zhuǎn)換到原型型上去。或確確定試驗(yàn)結(jié)結(jié)果可以應(yīng)用用的條件。例1靜態(tài)應(yīng)力模型型這是一個(gè)彈性性模型，可求求解靜態(tài)應(yīng)力力問(wèn)題。a、求導(dǎo)準(zhǔn)則平衡方程：幾何方程：，物理方程：?jiǎn)沃禇l件：幾幾何相似：物理相似：體力相似：邊界條件：非定性量（被被測(cè)量）：應(yīng)力：應(yīng)變：位移：采用方程分分析法求相相似準(zhǔn)則：：對(duì)于平衡方方程：相似指標(biāo)：：,相似準(zhǔn)則π1=①①由幾何方程程：，，л2=②②由物理方程程：,л3=③③cu=1лл4=u④④由面力邊界界：л5=⑤⑤由于上面5個(gè)準(zhǔn)則是由由5個(gè)不同方程程求得的，，故是相互互獨(dú)立的。。b、對(duì)于為為廣義義相似對(duì)于c時(shí)，為嚴(yán)格格相似，最最好。對(duì)于一些相相似材料模模型試驗(yàn)，，當(dāng)c=2～8時(shí)，在小變變形情況下下所引起的的應(yīng)力誤差差<5%，這在工程程上是允許許的。但在在大變形情情況下，不不精確。對(duì)于嚴(yán)格相相似（c）時(shí)，有：：如對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè)軟軟弱弱巖巖體體高高邊邊坡坡問(wèn)問(wèn)題題，，原原型型為為20m高，，試試驗(yàn)驗(yàn)室室內(nèi)內(nèi)可可采采用用相相似似材材料料模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)，，取取1m，則則cL=20/1=20,可采采用用石石膏膏作作相相似似材材料料，，通通過(guò)過(guò)試試驗(yàn)驗(yàn)可可知知：：CE=，由由得得：：即（（石石膏膏的的混混合合料料比比巖巖石石大大10倍，，很很難難，，找找不不到到這這種種材材料料。。））為此此：：取取≠≠1而是是=5，則，，故故可可在在石石膏膏中中加加鐵鐵屑屑即即可可。。這就就是是說(shuō)說(shuō)，，不不是是非非取取1不可可，，在在小小變變形形范范圍圍內(nèi)內(nèi)，，可可取取對(duì)于于相相似似材材料料試試驗(yàn)驗(yàn)：：Cl=20，Cr=2，CE=20，Cu=1則有有：：Cε=CrCl/CE=2Cδ=CεCl=2*20=40但對(duì)對(duì)于于大大多多數(shù)數(shù)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)試試驗(yàn)驗(yàn)，，采采用用嚴(yán)嚴(yán)格格相相似似，，則則=1，這這時(shí)時(shí)不不考考慮慮自自重重應(yīng)應(yīng)力力場(chǎng)場(chǎng)5.3試驗(yàn)驗(yàn)方方法法5.3.1模型型材材料料（一一））模型型材材料料的的選選擇擇對(duì)模模型型材材料料，，一一般般要要求求為為：：a、對(duì)于于研研究究應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)，，模模型型材材料料必必須須保保證證具具有有良良好好的的線線彈彈性性特特性性。。對(duì)對(duì)于于強(qiáng)強(qiáng)度度模模型型，，則則模模型型材材料料應(yīng)應(yīng)接接近近或或等等于于原原型型結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的材材料料強(qiáng)強(qiáng)度度，，才才有有可可能能進(jìn)進(jìn)行行破破壞壞試試驗(yàn)驗(yàn)。。b、滿滿足足相相似似指指標(biāo)標(biāo)要要求求，，如如E、u、ρ等均均應(yīng)應(yīng)符符合合相相似似條條件件。。c、滿足足必必要要的的測(cè)測(cè)量量精精度度。。為了了提提高高測(cè)測(cè)試試精精度度，，宜宜采采用用E較低低和和容容重重較較大大的的材材料料，，但但也也應(yīng)應(yīng)防防止止材材料料的的非非線線性性特特性性。。另外外，，用用于于結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)的的材材料料，，從從試試驗(yàn)驗(yàn)技技術(shù)術(shù)的的角角度度出出發(fā)發(fā)，，需需考考慮慮如如下下具具體體問(wèn)問(wèn)題題：：a、彈彈性性模模量量E大，，獲獲得得足足夠夠的的變變形形，，增增加加荷荷載載，，模模型型支支座座的的剛剛度度要要強(qiáng)強(qiáng)，，不不如如降降低低E。E過(guò)小小，，結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)剛剛度度過(guò)過(guò)低低，，測(cè)測(cè)量量?jī)x儀器器的的剛剛性性又又可可能能妨妨礙礙模模型型結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)的的變變形形，，影影響響試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果。。b、泊泊松松比比無(wú)量量綱綱量量，，應(yīng)應(yīng)相相同同才才能能滿滿足足相相似似指指標(biāo)標(biāo)。。如如不不相相同同，，產(chǎn)產(chǎn)生生試試驗(yàn)驗(yàn)誤誤差差。。c、徐徐變變即變變形形是是時(shí)時(shí)間間、、溫溫度度和和應(yīng)應(yīng)力力的的函函數(shù)數(shù)。。一一切切合合成成材材料料幾幾乎乎都都有有徐徐變變。。為為提提高高試試驗(yàn)驗(yàn)精精度度，，應(yīng)應(yīng)選選用用徐徐變變小小的的材材料料。。d、導(dǎo)導(dǎo)熱熱性性目前前，，結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)模模型型試試驗(yàn)驗(yàn)中中測(cè)測(cè)量量多多用用電電阻阻應(yīng)應(yīng)變變片片測(cè)測(cè)量量，，所所以以模模型型材材料料導(dǎo)導(dǎo)熱熱系系數(shù)數(shù)有有重重要要的的影影響響，，應(yīng)應(yīng)選選項(xiàng)項(xiàng)導(dǎo)導(dǎo)熱熱性性好好的的材材料料。。e、可可加工工性。?！鄳?yīng)綜綜合考考慮。。（二））常用用結(jié)構(gòu)構(gòu)模型型試驗(yàn)驗(yàn)材料料常用材材料如如下：：a、金屬屬金屬的的力學(xué)學(xué)特性性大多多符合合彈性性理論論的基基本假假定，，如如果原原型結(jié)結(jié)構(gòu)為為金屬屬結(jié)構(gòu)構(gòu)且對(duì)對(duì)測(cè)量量值的的準(zhǔn)確確度有有嚴(yán)格格要求求時(shí)，，則它它是最最適宜宜的模模型材材料，，最常常見(jiàn)的的是鋼和鋁鋁。最近，，鋁合合金材材料用用得較較多，，因?yàn)闉樗杏休^低低的E和良好好的導(dǎo)導(dǎo)熱性性。b、塑料有雙氧氧樹(shù)脂脂、聚聚乙烯烯和有有機(jī)玻玻璃等等。和鋼材材、砼砼、石石膏相相比較較，其其優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)是強(qiáng)強(qiáng)度高高而彈彈模低低（約約是金金的0.1～0.02倍），，便于于加工工。缺點(diǎn)是是徐變變大、、E隨溫度度、時(shí)時(shí)間而而變化化。塑料被被大量量地用用來(lái)制制作板板、殼殼、框框架、、橋梁梁以及及形狀狀復(fù)雜雜的結(jié)結(jié)構(gòu)模模型，，其中中有機(jī)機(jī)玻璃璃和環(huán)環(huán)氧樹(shù)樹(shù)脂用用得最最多。。（光光彈模模型材材料））。c、石膏石膏用用作結(jié)結(jié)構(gòu)模模型材材料已已有40多年的的歷史史，它它的的性性質(zhì)和和砼較較接近近，常常用來(lái)來(lái)模擬擬砼或或鋼筋筋砼。。其優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)是成成型方方便、、性能能穩(wěn)定定、易易于加加工等等。且且可以以石膏膏作基基本膠膠結(jié)材材料，，通過(guò)過(guò)摻加加不同同外加加料的的方方法改改善其其力學(xué)學(xué)和變變形特特性。。如加加入巖巖粉、、砂、、水水泥、、浮石石、鐵鐵砂等等。d、水泥砂砂漿e、微砼用作砼砼或鋼鋼筋砼砼結(jié)構(gòu)構(gòu)的相相似模模型。。（石石子直直徑≤≤5mm）。其其力學(xué)學(xué)性能能與砼砼相接接近。。模型用用鋼筋筋一般般是采采用細(xì)細(xì)鋼絲絲。f、地基基基礎(chǔ)礎(chǔ)結(jié)構(gòu)構(gòu)模型型相似似材料料相似材材料一一般常常以砂砂為基基本材材料，，以石石膏、、石灰灰、、粘土土作為為粘結(jié)結(jié)料，，來(lái)組組成模模型土土體相相似材材料。。通常cL=20～50時(shí)，采采用石石膏和和砂為為主的的混合合料，，或或加入入適當(dāng)當(dāng)?shù)膿綋郊恿狭稀?.3.2加荷方方法（一））集中力力加荷荷通常采采用掛掛重法法、杠杠桿加加載和和千斤斤頂加加載等等。掛重法法：數(shù)數(shù)值穩(wěn)穩(wěn)定、、載荷荷值不不自動(dòng)動(dòng)下降降，其其缺點(diǎn)點(diǎn)是能能產(chǎn)生生的載載荷值值較小小，一一般≯≯200KN，加、、卸載載不方方便。。千斤頂頂加載載方便便、數(shù)數(shù)值大大小可可調(diào)，，缺點(diǎn)點(diǎn)是設(shè)設(shè)備較較貴。。（二））面力力加載載單位面面力強(qiáng)強(qiáng)度為為常數(shù)數(shù)，如如均布布堆載載、為為線性性變化化，如如水、、土壓壓力。。面力加加載方方法有有：重重堆堆堆載、、掛載載，液液壓加加載、、氣壓壓加載載、千千斤頂頂加載載等。。液壓多多用水水和水水銀，，用液液壓加加載可可利用用液壓壓作用用力沿沿高度度呈三三角形形分布布的特特點(diǎn)來(lái)來(lái)模擬擬水壓壓力。。（三））體力力加載載在結(jié)構(gòu)構(gòu)模型型試驗(yàn)驗(yàn)中，，體力力是一一項(xiàng)重重要的的荷載載，它它是指指結(jié)構(gòu)構(gòu)、基基礎(chǔ)結(jié)結(jié)構(gòu)及及其地地基巖巖土的的自重重。通常施施加體體力的的方法法有：：①、用用分散散集中中載荷荷代替替自重重②、用用面力力代替替體力力的方方法③、選選高容容重、、低強(qiáng)強(qiáng)度模模型材材料。。a、用分分散集集中力力代替替體力力方法法將模型型劃分分成許許多部部分，，找出出每一一部分分重心心，然然后施施加等等于該該部分分模型型自重重的集集中載載荷。。b、用面力力代替替體力力的方方法。。對(duì)于常常體力力彈性性模型型，可可采用用以面面力代代替體體力。。c、選擇高高容重重、低低強(qiáng)度度模型型材料料的方方法由相似似原理理，，當(dāng)時(shí)時(shí)，，即模模型與原原型材材料容容重相相同，，不需需另加加模型型自重重荷載載。但但c,c,即彈模模小，，∴強(qiáng)強(qiáng)度低低。d、預(yù)應(yīng)應(yīng)力加加載對(duì)于預(yù)預(yù)應(yīng)力力鋼筋筋砼或或其它它預(yù)應(yīng)應(yīng)力結(jié)結(jié)構(gòu)，，預(yù)應(yīng)應(yīng)力產(chǎn)產(chǎn)生的的載荷荷在模模型在在施加加的方方法一一般有有兩種種。一一是采采用錨錨頭和和張拉拉設(shè)備備；另另一種種方法法是施施加外外載，，但應(yīng)應(yīng)在彈彈性范范圍內(nèi)內(nèi)。e、動(dòng)力力加載載（1）激振振法小尺寸寸模型型的激激振可可采用用聲波波（揚(yáng)揚(yáng)聲器器）或或壓電電晶晶體體激振振模型型，強(qiáng)強(qiáng)迫模模型振振動(dòng)的的激振振。大尺寸寸模型型可采采用沖沖撞形形式施施加。。（2）電磁磁振動(dòng)動(dòng)法電磁振振動(dòng)臺(tái)臺(tái)是結(jié)結(jié)構(gòu)模模型試試驗(yàn)中中常用用的加加載方方法。。（3）電液液伺服服法這是目目前最最先進(jìn)進(jìn)的動(dòng)動(dòng)力加加載方方法。。精度度高。。6離心模模擬試試驗(yàn)6.1基本原原理巖土工工程問(wèn)