數(shù)學(xué)模型：20-波傳播_第1頁
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文檔簡介

達(dá)朗貝爾公式這里我們將介紹一類典型的雙曲型方程----波動(dòng)方程，它可用來描述彈性體的振動(dòng)、聲波、電磁波等波動(dòng)的傳播。在這里我們主要研究一維波動(dòng)方程----弦振動(dòng)方程的柯西問題?？疾熳杂上艺駝?dòng)方程（1）（2）方程（1）的特征線是兩族直線：其中c1，c2為任意常數(shù)，取這兩族特征線為新的坐標(biāo)曲線，即作自變數(shù)變換：（3）方程（1）立即變?yōu)橹缓A混合偏導(dǎo)數(shù)的下述標(biāo)準(zhǔn)形式：（4）（5）回到原來的變數(shù)x及t，立即得到方程（1）的解的一般形式即其通解為（6）由（6）式可見，自由弦振動(dòng)方程（1）的解可以表示為形如F(x-at)與G(x+at)的兩個(gè)函數(shù)之和。其中u=F(x-at)表示一個(gè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)為u=F(x)的波形，以速度a>0向右（即x軸正向）傳播，而波形保持不變，它稱為右傳播波；而u=

G(x+at)則表示以速度a向左傳播的波，稱為左傳播波。其中F及G為任意的單變數(shù)的二階連續(xù)可微函數(shù)。方程（1）的形如u=F(x-at)或u=

G(x+at)的解稱為行波。弦振動(dòng)方程的通解表達(dá)式（6）式說明:弦上的任意擾動(dòng)總是以行波的形式向左右兩個(gè)方向傳播出去。下面我們可以看到，通過把方程（1）的解表示為向兩個(gè)方向傳播的行波之和，即表示為右傳播波和左傳播波的迭加，可用來求一些定解問題的解。這個(gè)方法稱為行波法。（7）（8）現(xiàn)在我們用行波法來求解弦振動(dòng)方程的柯西問題。為此，要適當(dāng)選取函數(shù)F及G，使由（6）式給出的解滿足初始條件（8）。將（6）代入（8），立即可得（9）（10）將（9）式兩端關(guān)于x求導(dǎo)一次得（11）由（10）、（11）兩式解得再將以上兩式關(guān)于x積分一次就得到（12）（13）其中c1與c2是常數(shù)。由（9），應(yīng)有c1+c2=0.（14）將（12）、（13）式代入（6），并注意到（14），就得到（15）這個(gè)公式稱為達(dá)朗貝爾公式。于是我們就得到如下定理定理下面，我們舉例求解弦振動(dòng)方程的柯西問題例1解由達(dá)朗貝爾公式可得其解為：下面的三維圖形給出了解的直觀表達(dá)顏色的深淺代表u(x,t)的高度由側(cè)面圖可以清楚地看出弦的振動(dòng)范圍當(dāng)t=0時(shí)，u=

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