清華控制工程基礎課件

控制工程基礎

（第二章）

清華大學2022/11/14控制工程基礎控制工程基礎

（第二章）20221第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型2.2 數(shù)學模型的線性化2.3 拉氏變換及反變換2.4 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.5 系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡化2.6 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式2.7 受控機械對象數(shù)學模型2.8 繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖2.9 狀態(tài)空間方程2022/11/14控制工程基礎第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型22第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在此基礎上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，是機電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學模型。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學模型主要以傳遞函數(shù)為基礎。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎。2022/11/14控制工程基礎第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型建立控制系統(tǒng)的3本章要熟悉下列內容：1、建立基本環(huán)節(jié)（質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡）的數(shù)學模型及模型的線性化2、重要的分析工具：拉氏變換及反變換3、經(jīng)典控制理論的數(shù)學基礎：傳遞函數(shù)4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號流圖5、受控機械對象的數(shù)學模型6、繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖7、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學基礎：狀態(tài)空間模型2022/11/14控制工程基礎本章要熟悉下列內容：2022/11/11控制工程基礎42.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型

數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的運動規(guī)律、特性和輸入輸出關系的一個或一組方程式。系統(tǒng)的數(shù)學模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學模型。

靜態(tài)數(shù)學模型：反映系統(tǒng)處于平衡點（穩(wěn)態(tài)）時，系統(tǒng)狀態(tài)有關屬性變量之間關系的數(shù)學模型。即只考慮同一時刻實際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學關系，不管各變量隨時間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式，數(shù)學表達式中不含有時間變量。

2022/11/14控制工程基礎2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的5

動態(tài)數(shù)學模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實際系統(tǒng)各物理量隨時間演化的數(shù)學表達式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學模型。

對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學模型不是唯一的。工程上常用的數(shù)學模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學模型。

建立數(shù)學模型是控制系統(tǒng)分析與設計中最重要的工作！2022/11/14控制工程基礎動態(tài)數(shù)學模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性62.1.1質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

機電控制系統(tǒng)的受控對象是機械系統(tǒng)。在機械系統(tǒng)中，有些構件具有較大的慣性和剛度，有些構件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構件的彈性忽略將其視為質量塊，而把后一類構件的慣性忽略而視為無質量的彈簧。這樣受控對象的機械系統(tǒng)可抽象為質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。2022/11/14控制工程基礎2.1.1質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

2022/11/72022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎82022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎9見光盤課件（第二章第一節(jié)）

2022/11/14控制工程基礎見光盤課件（第二章第一節(jié)）

2022/11/11控制工程基礎10有源電路網(wǎng)絡2022/11/14控制工程基礎有源電路網(wǎng)絡2022/11/11控制工程基礎112.2數(shù)學模型的線性化線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來描述線性系統(tǒng)。疊加性指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和。齊次性指當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。即若為線性系統(tǒng)，則

非線性模型：不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。用來描述非線性系統(tǒng)。2022/11/14控制工程基礎2.2數(shù)學模型的線性化線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來12

線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點附近，對非線性方程采用臺勞級數(shù)展開進行線性化，略去高階項，保留一階項，就可得到近似的線性模型。由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎13閥控液壓缸例2022/11/14控制工程基礎閥控液壓缸例2022/11/11控制工程基礎142022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎152022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎16線性化方法：假設變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點）偏差很小。設系統(tǒng)的函數(shù)關系為簡寫為。如果系統(tǒng)的工作平衡點為，則方程可以在點附近臺勞展開如果很小，可以忽略其高階項，因此上述方程可寫成增量方程形式

其中，，，2022/11/14控制工程基礎線性化方法：假設變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點）偏差很小。設172.3拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的重要工具！2.3.1拉氏變換定義

定義

拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時域和復頻域間的聯(lián)系。

見光盤課件（第一章第二節(jié)）2022/11/14控制工程基礎2.3拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是182.3.2 簡單函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sinωt1（t）和余弦函數(shù)cosωt1（t）的拉氏變換2022/11/14控制工程基礎2.3.2 簡單函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sinωt1（t）和19

2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎20

的拉氏變換

證：

2022/11/14控制工程基礎的拉氏變換2022/11/11控制工程基礎21周期函數(shù)的象函數(shù)

設函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即x(t+T)=x(t)，則

證：2022/11/14控制工程基礎周期函數(shù)的象函數(shù)

設函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函22

令

則

2022/11/14控制工程基礎

令

則

2022/11/11控制工程基礎23

拉氏反變換公式為

簡寫為2022/11/14控制工程基礎拉氏反變換公式為

簡寫為2022/11/24在一般機電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式

其中，使分母為零的s值稱為極點，使分子為零的s值稱為零點。則有

其中，2022/11/14控制工程基礎在一般機電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式

252022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎26式中，是常值，為極點處的留數(shù)，可由下式求得

將式（2.19）拉氏反變換，可利用拉氏變換表得2022/11/14控制工程基礎式中，是常值，為極點處的留數(shù)，可由下式求27

例試求的拉氏反變換。

解：

2022/11/14控制工程基礎

例試求的拉氏反變換。282022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎29含共軛復數(shù)極點情況2022/11/14控制工程基礎含共軛復數(shù)極點情況2022/11/11控制工程基礎30式中，是常值，可由以下步驟求得

將上式兩邊乘,兩邊同時令（或同時令），得

（2.21）

分別令式（2.21）兩邊實部、虛部對應相等，即可求得。

可通過配方，化成正弦、余

弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。2022/11/14控制工程基礎式中，是常值，可由以下步驟求得

將上式兩邊乘31例試求的拉氏反變換。

解：

將該式兩邊同乘，并令

，

2022/11/14控制工程基礎例試求的拉氏反變換。

32即

解

得

又2022/11/14控制工程基礎即

解

得

又2022/11/11控制33故

則2022/11/14控制工程基礎故

則2022/11/11控制工程基礎34含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時共軛復根相應兩個分式的分子和是共軛復數(shù)，只要求出其中一個值，另一個即可得到。

例求的拉氏反變換。

解：2022/11/14控制工程基礎含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時35則

則2022/11/14控制工程基礎則

則2022/11/11控制工程基礎36含多重極點的情況

2022/11/14控制工程基礎含多重極點的情況2022/11/11控制工程基礎37式中，可由下式求得

2022/11/14控制工程基礎式中，可由下式求得2022/11/11控制工程基礎38

利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

例解方程，其中，

解：將方程兩邊取拉氏變換，得

將代入，并整理，得

所以2022/11/14控制工程基礎利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

例解方程392.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關系式，它表達了系統(tǒng)內在的固有特性，而與輸入量或驅動函數(shù)無關。它可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結構，許多物理性質不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。

見光盤課件（第二章第三節(jié)）

2022/11/14控制工程基礎2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞40表2-2等效彈性剛度說明2022/11/14控制工程基礎表2-2等效彈性剛度說明2022/11/11控制工程基礎41表2-2復阻抗說明2022/11/14控制工程基礎表2-2復阻抗說明2022/11/11控制工程基礎42比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/1143比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/1144一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）45一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）46積分環(huán)節(jié)(其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎積分環(huán)節(jié)(其中k為常數(shù)）20247二階振蕩環(huán)節(jié)（其中0<ζ<1）2022/11/14控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié)（其中482022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎49二階振蕩環(huán)節(jié)（其中0<ζ<1）2022/11/14控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié)（其中502022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎51

見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）2022/11/14控制工程基礎

見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）2022/522.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式信號流圖中的網(wǎng)絡是由一些定向線段將一些節(jié)點連接起來組成的。其中，節(jié)點用來表示變量或信號，輸入節(jié)點也稱源點，輸出節(jié)點也稱阱點，混合節(jié)點是指既有輸入又有輸出的節(jié)點；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路稱為前向通路，起點與終點重合且與任何節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路。2022/11/14控制工程基礎2.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式信號流圖中的網(wǎng)絡是53從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式可表示為

——第k條前向通路的傳遞函數(shù)；—第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式Δ,將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的Δ即為。2022/11/14控制工程基礎從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式54例：2022/11/14控制工程基礎例：2022/11/11控制工程基礎55

2.7受控機械對象數(shù)學模型

一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質量－彈簧－阻尼系統(tǒng)表示。其中每部分的動力學特性可表示為如下傳遞函數(shù)

2022/11/14控制工程基礎2.7受控機械對象數(shù)學模型

一般整個機56為了得到良好的閉環(huán)機電系統(tǒng)性能，對于受控機械對象，應注意以下方面:

（1）高諧振頻率

一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質量－彈簧－阻尼系統(tǒng)表示。為了滿足機電系統(tǒng)的高動態(tài)特性，機械傳動的各個分系統(tǒng)的諧振頻率均應遠高于機電系統(tǒng)的設計截止頻率。各機械傳動分系統(tǒng)諧振頻率最好相互錯開。另外，對于可控硅驅動裝置，應注意機械傳動系統(tǒng)諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生機械噪聲并加速機械部件的磨損。2022/11/14控制工程基礎為了得到良好的閉環(huán)機電系統(tǒng)性能，對于受控機械對象，應57

（2）高剛度

在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性下降，與摩擦一起，造成反轉誤差，引起系統(tǒng)在被控位置附近振蕩。

在剛度的計算中，需要注意機械傳動部件的串并聯(lián)關系。對于串聯(lián)部件（例如在同一根軸上），總剛度k為

(2.36)

式中，—各分部件剛度。2022/11/14控制工程基礎（2）高剛度

在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性58對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為

(2.37)

式中，—各分部件剛度。

從低速軸上的剛度折算到高速軸上時，等效的剛度k為

(2.38)

式中，i—升速比。2022/11/14控制工程基礎對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為

59

（3）適當阻尼

機械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為

(2.39)

一般電機驅動裝置從驅動電壓到輸出轉速的數(shù)學模型是二階振蕩環(huán)節(jié),存在所需要的機械傳動環(huán)節(jié)較合適的阻尼比。增加機械傳動阻尼比往往引起摩擦力增加，進而產(chǎn)生摩擦反轉誤差的不利影響。另一方面，為了衰減機械振動和顫振現(xiàn)象，又需要增加機械傳動阻尼比。針對以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗，適當?shù)臋C械傳動阻尼比可選為0.10.2。2022/11/14控制工程基礎（3）適當阻尼

機械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為

60

（4）低轉動慣量

快速性是現(xiàn)代機電一體化系統(tǒng)的顯著特點。在驅動力矩一定的前提下，轉動慣量越小，加速性能越好。

機械傳動部件對于電動機等驅動裝置是負載，通常將其折算成電動機轉軸上的轉動慣量來評價它對快速性的影響。2022/11/14控制工程基礎（4）低轉動慣量

快速性是現(xiàn)代機電一體化系統(tǒng)的顯著61如圖齒輪傳動機構，主動輪由電動機驅動，從動輪通過軸帶動負載轉動。假設電動機軸上的轉矩為，轉角為，轉動慣量為

；從動軸上的負載轉矩為，轉角為，轉動慣量為，阻尼系數(shù)為；主動輪和從動輪的齒數(shù)分別為和，速比。,

2022/11/14控制工程基礎如圖齒輪傳動機構，主動輪由電動機驅動，從動輪通過軸帶動負載轉62依題意，有2022/11/14控制工程基礎依題意，有2022/11/11控制工程基礎63消去中間變量，可得

(2.45)

（2.46）

其中，方程（2.45）是折合到主動軸的關系式，方程（2.46）是折合到從動軸的關系式。2022/11/14控制工程基礎消去中間變量，可得

64當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動比的平方，負載轉矩除以傳動比。因此，減速傳動時，相當于電動機帶的負載變小了，也可以說電動機帶負載的力矩增大了。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要乘以傳動比的平方，輸入轉矩乘以傳動比。2022/11/14控制工程基礎當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動65將方程（2.45）和（2.46）進行拉氏變換后，可得2022/11/14控制工程基礎將方程（2.45）和（2.46）進行拉氏變換后，可得202266當從動軸彈性剛度為時，可列寫主動軸和從動軸的動力學方程為2022/11/14控制工程基礎當從動軸彈性剛度為時，可列寫主動軸和從動軸的動力學方程為2067可見，當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動比的平方，負載轉矩除以傳動比，從動軸的轉角則乘以傳動比。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要乘以傳動比的平方，輸入轉矩乘以傳動比，主動軸的轉角則除以傳動比。2022/11/14控制工程基礎可見，當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛68聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得

若，變?yōu)閯傂詡鲃樱懊嫱茖У耐耆珓傂郧闆r。2022/11/14控制工程基礎聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得

69絲杠螺母副傳動有類似的結果。如下圖，設電動機驅動轉矩為，轉角為，電動機轉子與絲杠一起的轉動慣量為；設工作臺連同工件一起的質量為m，位移為x，負載阻力為f，工作臺與導軌之間的粘性阻尼系數(shù)為D，基本導程為。

mx

D

f

m2022/11/14控制工程基礎絲杠螺母副傳動有類似的結果。如下圖，設電動機驅動轉矩為70根據(jù)上圖，可得

（2.55）

（2.56）

式中，絲杠螺母副傳動比定義為2022/11/14控制工程基礎根據(jù)上圖，可得

71若絲杠彈性剛度為，則有2022/11/14控制工程基礎若絲杠彈性剛度為，則有2022/11/11控制工程基礎72上述結果可以推廣到更加復雜的機械傳動系統(tǒng)。任何機械傳動系統(tǒng)，經(jīng)過簡化，都可以得到類似上述方程所描寫的動態(tài)數(shù)學模型。由這些方程可以看出，若阻尼系數(shù)D比較小，分母方括號中將有一對共軛復根。不考慮負載力（或轉矩），由輸入轉矩到主動軸轉角的傳遞函數(shù)，由于分子和分母多項式都有一對數(shù)值相近的共軛復根，可以作為一對偶極子相消，因而，可以近似為二階系統(tǒng)；而由輸入轉矩到工作臺位移的傳遞函數(shù)，由于分子為常數(shù)項，因而是一個四階系統(tǒng)，且有一對共軛復根。2022/11/14控制工程基礎上述結果可以推廣到更加復雜的機械傳動系統(tǒng)。任何機械傳動系統(tǒng)，73進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎74進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎75進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎76進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎77進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎78進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎79進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎80進給傳動鏈例2022/11/14控制工程基礎進給傳動鏈例2022/11/11控制工程基礎81

狀態(tài)空間方程

伴隨計算機的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為基礎的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學模型采用狀態(tài)空間方程，以時域分析為主，著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)及其內部聯(lián)系，研究的機電控制系統(tǒng)擴展為多輸入-多輸出的時變系統(tǒng)。

所謂狀態(tài)方程是由系統(tǒng)狀態(tài)變量構成的一階微分方程組;狀態(tài)變量是足以完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。狀態(tài)變量相互獨立但不唯一。2022/11/14控制工程基礎狀態(tài)空間方程

伴隨計算機的發(fā)82狀態(tài)空間方程可表示成

（狀態(tài)方程）（2.63）

（輸出方程）(2.64)

式中，

n維狀態(tài)矢量；

n×n維系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣；2022/11/14控制工程基礎狀態(tài)空間方程可表示成

（狀83

r維控制矢量；

n×r維系統(tǒng)控制系數(shù)矩陣；

m維輸出矢量；

2022/11/14控制工程基礎r維控制矢量；84

m×n維輸出狀態(tài)系數(shù)矩陣；

m×r維輸出控制系數(shù)矩陣；

2022/11/14控制工程基礎m×n維輸出狀態(tài)系數(shù)矩陣；

85

2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎86例如下圖所示系統(tǒng),和分別為輸入和輸出電壓。

該系統(tǒng)可表示為如下微分方程組2022/11/14控制工程基礎例如下圖所示系統(tǒng),和分別為輸入和輸出電壓。

87即

也可表示為

2022/11/14控制工程基礎即

也可表示為2022/11/11控制工程基礎88例：如下圖所示系統(tǒng)，為輸入力，為輸出位移。

該系統(tǒng)可表示為如下微分方程組

2022/11/14控制工程基礎例：如下圖所示系統(tǒng)，為輸入力，為輸出位移。

892022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎90例：2022/11/14控制工程基礎例：2022/11/11控制工程基礎91設,,之間的位移為

,則

整理,得

2022/11/14控制工程基礎設,,之間的位移92

2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎93

2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎94

本章作業(yè)（p67-p75)

2-1,

2-2,

2-6(b),2-8,2-9(b),2-10(a),2-11(c),2-12(b),2-19選做:2-3,2-26(b)2022/11/14控制工程基礎本章作業(yè)（p67-p75)202295控制工程基礎

（第二章）

清華大學2022/11/14控制工程基礎控制工程基礎

（第二章）202296第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型2.2 數(shù)學模型的線性化2.3 拉氏變換及反變換2.4 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.5 系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡化2.6 系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式2.7 受控機械對象數(shù)學模型2.8 繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖2.9 狀態(tài)空間方程2022/11/14控制工程基礎第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型297第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在此基礎上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，是機電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學模型。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學模型主要以傳遞函數(shù)為基礎。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎。2022/11/14控制工程基礎第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型建立控制系統(tǒng)的98本章要熟悉下列內容：1、建立基本環(huán)節(jié)（質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡）的數(shù)學模型及模型的線性化2、重要的分析工具：拉氏變換及反變換3、經(jīng)典控制理論的數(shù)學基礎：傳遞函數(shù)4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號流圖5、受控機械對象的數(shù)學模型6、繪制實際機電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖7、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學基礎：狀態(tài)空間模型2022/11/14控制工程基礎本章要熟悉下列內容：2022/11/11控制工程基礎992.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型

數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的運動規(guī)律、特性和輸入輸出關系的一個或一組方程式。系統(tǒng)的數(shù)學模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學模型。

靜態(tài)數(shù)學模型：反映系統(tǒng)處于平衡點（穩(wěn)態(tài)）時，系統(tǒng)狀態(tài)有關屬性變量之間關系的數(shù)學模型。即只考慮同一時刻實際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學關系，不管各變量隨時間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式，數(shù)學表達式中不含有時間變量。

2022/11/14控制工程基礎2.1基本環(huán)節(jié)數(shù)學模型數(shù)學模型是描述物理系統(tǒng)的100

動態(tài)數(shù)學模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實際系統(tǒng)各物理量隨時間演化的數(shù)學表達式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學模型。

對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學模型不是唯一的。工程上常用的數(shù)學模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學模型。

建立數(shù)學模型是控制系統(tǒng)分析與設計中最重要的工作！2022/11/14控制工程基礎動態(tài)數(shù)學模型：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性1012.1.1質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

機電控制系統(tǒng)的受控對象是機械系統(tǒng)。在機械系統(tǒng)中，有些構件具有較大的慣性和剛度，有些構件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構件的彈性忽略將其視為質量塊，而把后一類構件的慣性忽略而視為無質量的彈簧。這樣受控對象的機械系統(tǒng)可抽象為質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。2022/11/14控制工程基礎2.1.1質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

2022/11/1022022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎1032022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎104見光盤課件（第二章第一節(jié)）

2022/11/14控制工程基礎見光盤課件（第二章第一節(jié)）

2022/11/11控制工程基礎105有源電路網(wǎng)絡2022/11/14控制工程基礎有源電路網(wǎng)絡2022/11/11控制工程基礎1062.2數(shù)學模型的線性化線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來描述線性系統(tǒng)。疊加性指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和。齊次性指當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。即若為線性系統(tǒng)，則

非線性模型：不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。用來描述非線性系統(tǒng)。2022/11/14控制工程基礎2.2數(shù)學模型的線性化線性模型：滿足疊加性與齊次性，用來107

線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點附近，對非線性方程采用臺勞級數(shù)展開進行線性化，略去高階項，保留一階項，就可得到近似的線性模型。由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎108閥控液壓缸例2022/11/14控制工程基礎閥控液壓缸例2022/11/11控制工程基礎1092022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎1102022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎111線性化方法：假設變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點）偏差很小。設系統(tǒng)的函數(shù)關系為簡寫為。如果系統(tǒng)的工作平衡點為，則方程可以在點附近臺勞展開如果很小，可以忽略其高階項，因此上述方程可寫成增量方程形式

其中，，，2022/11/14控制工程基礎線性化方法：假設變量相對于某一工作狀態(tài)（平衡點）偏差很小。設1122.3拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的重要工具！2.3.1拉氏變換定義

定義

拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時域和復頻域間的聯(lián)系。

見光盤課件（第一章第二節(jié)）2022/11/14控制工程基礎2.3拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是1132.3.2 簡單函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sinωt1（t）和余弦函數(shù)cosωt1（t）的拉氏變換2022/11/14控制工程基礎2.3.2 簡單函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sinωt1（t）和114

2022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎115

的拉氏變換

證：

2022/11/14控制工程基礎的拉氏變換2022/11/11控制工程基礎116周期函數(shù)的象函數(shù)

設函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即x(t+T)=x(t)，則

證：2022/11/14控制工程基礎周期函數(shù)的象函數(shù)

設函數(shù)x(t)是以T為周期的周期函117

令

則

2022/11/14控制工程基礎

令

則

2022/11/11控制工程基礎118

拉氏反變換公式為

簡寫為2022/11/14控制工程基礎拉氏反變換公式為

簡寫為2022/11/119在一般機電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式

其中，使分母為零的s值稱為極點，使分子為零的s值稱為零點。則有

其中，2022/11/14控制工程基礎在一般機電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式

1202022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎121式中，是常值，為極點處的留數(shù)，可由下式求得

將式（2.19）拉氏反變換，可利用拉氏變換表得2022/11/14控制工程基礎式中，是常值，為極點處的留數(shù)，可由下式求122

例試求的拉氏反變換。

解：

2022/11/14控制工程基礎

例試求的拉氏反變換。1232022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎124含共軛復數(shù)極點情況2022/11/14控制工程基礎含共軛復數(shù)極點情況2022/11/11控制工程基礎125式中，是常值，可由以下步驟求得

將上式兩邊乘,兩邊同時令（或同時令），得

（2.21）

分別令式（2.21）兩邊實部、虛部對應相等，即可求得。

可通過配方，化成正弦、余

弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。2022/11/14控制工程基礎式中，是常值，可由以下步驟求得

將上式兩邊乘126例試求的拉氏反變換。

解：

將該式兩邊同乘，并令

，

2022/11/14控制工程基礎例試求的拉氏反變換。

127即

解

得

又2022/11/14控制工程基礎即

解

得

又2022/11/11控制128故

則2022/11/14控制工程基礎故

則2022/11/11控制工程基礎129含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時共軛復根相應兩個分式的分子和是共軛復數(shù)，只要求出其中一個值，另一個即可得到。

例求的拉氏反變換。

解：2022/11/14控制工程基礎含共軛復根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時130則

則2022/11/14控制工程基礎則

則2022/11/11控制工程基礎131含多重極點的情況

2022/11/14控制工程基礎含多重極點的情況2022/11/11控制工程基礎132式中，可由下式求得

2022/11/14控制工程基礎式中，可由下式求得2022/11/11控制工程基礎133

利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

例解方程，其中，

解：將方程兩邊取拉氏變換，得

將代入，并整理，得

所以2022/11/14控制工程基礎利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程

例解方程1342.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關系式，它表達了系統(tǒng)內在的固有特性，而與輸入量或驅動函數(shù)無關。它可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結構，許多物理性質不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。

見光盤課件（第二章第三節(jié)）

2022/11/14控制工程基礎2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞135表2-2等效彈性剛度說明2022/11/14控制工程基礎表2-2等效彈性剛度說明2022/11/11控制工程基礎136表2-2復阻抗說明2022/11/14控制工程基礎表2-2復阻抗說明2022/11/11控制工程基礎137比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11138比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎比例環(huán)節(jié)（其中k為常數(shù)）2022/11139一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）140一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎一階慣性環(huán)節(jié)（其中T為時間常數(shù)）141積分環(huán)節(jié)(其中k為常數(shù)）2022/11/14控制工程基礎積分環(huán)節(jié)(其中k為常數(shù)）202142二階振蕩環(huán)節(jié)（其中0<ζ<1）2022/11/14控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié)（其中1432022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎144二階振蕩環(huán)節(jié)（其中0<ζ<1）2022/11/14控制工程基礎二階振蕩環(huán)節(jié)（其中1452022/11/14控制工程基礎2022/11/11控制工程基礎146

見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）2022/11/14控制工程基礎

見光盤課件（第二章第四、五節(jié)）2022/1472.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式信號流圖中的網(wǎng)絡是由一些定向線段將一些節(jié)點連接起來組成的。其中，節(jié)點用來表示變量或信號，輸入節(jié)點也稱源點，輸出節(jié)點也稱阱點，混合節(jié)點是指既有輸入又有輸出的節(jié)點；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路稱為前向通路，起點與終點重合且與任何節(jié)點相交不多于一次的通路稱為回路。2022/11/14控制工程基礎2.6系統(tǒng)信號流圖及梅遜公式信號流圖中的網(wǎng)絡是148從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式可表示為

——第k條前向通路的傳遞函數(shù)；—第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式Δ,將與第k條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的Δ即為。2022/11/14控制工程基礎從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式149例：2022/11/14控制工程基礎例：2022/11/11控制工程基礎150

2.7受控機械對象數(shù)學模型

一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質量－彈簧－阻尼系統(tǒng)表示。其中每部分的動力學特性可表示為如下傳遞函數(shù)

2022/11/14控制工程基礎2.7受控機械對象數(shù)學模型

一般整個機151為了得到良好的閉環(huán)機電系統(tǒng)性能，對于受控機械對象，應注意以下方面:

（1）高諧振頻率

一般整個機械傳動系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質量－彈簧－阻尼系統(tǒng)表示。為了滿足機電系統(tǒng)的高動態(tài)特性，機械傳動的各個分系統(tǒng)的諧振頻率均應遠高于機電系統(tǒng)的設計截止頻率。各機械傳動分系統(tǒng)諧振頻率最好相互錯開。另外，對于可控硅驅動裝置，應注意機械傳動系統(tǒng)諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生機械噪聲并加速機械部件的磨損。2022/11/14控制工程基礎為了得到良好的閉環(huán)機電系統(tǒng)性能，對于受控機械對象，應152

（2）高剛度

在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性下降，與摩擦一起，造成反轉誤差，引起系統(tǒng)在被控位置附近振蕩。

在剛度的計算中，需要注意機械傳動部件的串并聯(lián)關系。對于串聯(lián)部件（例如在同一根軸上），總剛度k為

(2.36)

式中，—各分部件剛度。2022/11/14控制工程基礎（2）高剛度

在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性153對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為

(2.37)

式中，—各分部件剛度。

從低速軸上的剛度折算到高速軸上時，等效的剛度k為

(2.38)

式中，i—升速比。2022/11/14控制工程基礎對于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個軸承），總剛度k為

154

（3）適當阻尼

機械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為

(2.39)

一般電機驅動裝置從驅動電壓到輸出轉速的數(shù)學模型是二階振蕩環(huán)節(jié),存在所需要的機械傳動環(huán)節(jié)較合適的阻尼比。增加機械傳動阻尼比往往引起摩擦力增加，進而產(chǎn)生摩擦反轉誤差的不利影響。另一方面，為了衰減機械振動和顫振現(xiàn)象，又需要增加機械傳動阻尼比。針對以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗，適當?shù)臋C械傳動阻尼比可選為0.10.2。2022/11/14控制工程基礎（3）適當阻尼

機械傳動分系統(tǒng)的阻尼比為

155

（4）低轉動慣量

快速性是現(xiàn)代機電一體化系統(tǒng)的顯著特點。在驅動力矩一定的前提下，轉動慣量越小，加速性能越好。

機械傳動部件對于電動機等驅動裝置是負載，通常將其折算成電動機轉軸上的轉動慣量來評價它對快速性的影響。2022/11/14控制工程基礎（4）低轉動慣量

快速性是現(xiàn)代機電一體化系統(tǒng)的顯著156如圖齒輪傳動機構，主動輪由電動機驅動，從動輪通過軸帶動負載轉動。假設電動機軸上的轉矩為，轉角為，轉動慣量為

；從動軸上的負載轉矩為，轉角為，轉動慣量為，阻尼系數(shù)為；主動輪和從動輪的齒數(shù)分別為和，速比。,

2022/11/14控制工程基礎如圖齒輪傳動機構，主動輪由電動機驅動，從動輪通過軸帶動負載轉157依題意，有2022/11/14控制工程基礎依題意，有2022/11/11控制工程基礎158消去中間變量，可得

(2.45)

（2.46）

其中，方程（2.45）是折合到主動軸的關系式，方程（2.46）是折合到從動軸的關系式。2022/11/14控制工程基礎消去中間變量，可得

159當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動比的平方，負載轉矩除以傳動比。因此，減速傳動時，相當于電動機帶的負載變小了，也可以說電動機帶負載的力矩增大了。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要乘以傳動比的平方，輸入轉矩乘以傳動比。2022/11/14控制工程基礎當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動160將方程（2.45）和（2.46）進行拉氏變換后，可得2022/11/14控制工程基礎將方程（2.45）和（2.46）進行拉氏變換后，可得2022161當從動軸彈性剛度為時，可列寫主動軸和從動軸的動力學方程為2022/11/14控制工程基礎當從動軸彈性剛度為時，可列寫主動軸和從動軸的動力學方程為20162可見，當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動比的平方，負載轉矩除以傳動比，從動軸的轉角則乘以傳動比。反之，當折合到從動軸上時，主動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要乘以傳動比的平方，輸入轉矩乘以傳動比，主動軸的轉角則除以傳動比。2022/11/14控制工程基礎可見，當折合到主動軸上時，從動軸上的轉動慣量和阻尼系數(shù)以及剛163聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得

若，變?yōu)閯傂詡鲃?，前面推導的完全剛性情況。2022/11/14控制工程基礎聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-51）和（2-52），可得

164絲杠螺母副傳動有類似的結果。如下圖，設電動機驅動轉矩為，轉角為，電動機轉子與絲杠一起的轉動慣量為；設工作臺連同工件一起的質量為m，位移為x，負載阻力為f，工作臺與導軌之間的粘性阻尼系數(shù)為D，基本導程為。

mx

D

f

m2022/11/14控制工程基礎絲杠螺母副傳動有類似的結果。如下圖，設電動機驅動轉矩為165根據(jù)上圖，可得

（2.55）

（2.56）

式中，絲杠螺母副傳動比定義為2022/11/14控制工程基礎