【數(shù)學欣賞】柏拉圖多面體

你認識這些幾何體嗎？它們都叫做正多面體，也叫作柏拉圖多面體。正多面體

是指各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數(shù)都是一樣的凸多面體。正多面體又稱柏拉圖多面體，是因為柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名。大約公元前350年，柏拉圖在《蒂邁歐篇》（Timaeus）對話錄中，描述了這五個正多面體。這些正多面體的美妙與對稱性讓柏拉圖大受震撼，他甚至認為這些正多面體的形狀恰好可以描述組成宇宙四元素的結構，當時希臘人認為宇宙元素由火、氣、水、土四個元素構成。柏拉圖做出下列對應：正四面體因為其尖銳的造型，足以代表火焰的外貌。正八面體代表空氣，最平滑的正二十面體代表水。至于土，就由看起來既扎實又穩(wěn)固的正立方體所組成。最后，柏拉圖認為上帝就是用正十二面體規(guī)劃天上繁星的秩序。受柏拉圖對于正多面體的關注，歐幾里得在《幾何原本》中，第十三卷講立體幾何，主要就是講多面體。其中，命題13給出了正四面體的作法，命題14就是正八面體，命題15為立方體，命題16是正二十面體，命題17是正十二面體；命題18指出只存在這5種正多面體；等等。只存在5種正多面體！為什么？

364412853020這樣就給出了正四面體，正八面體和正二十面體．364412653012

這樣就給出了正四面體，正六面體（即正方體）和正十二面體．這就是為什么正多面體只有5種了．

這5種正多面體有很多性質(zhì)。如下表，仔細觀察，你會發(fā)現(xiàn)一些有意思的東西。名稱正四面體44633正方體681243正八面體861234正十二面體12203053正二十面體20123035

其實，這并不是巧合。名稱正四面體44633正方體681243正八面體861234正十二面體12203053正二十面體20123035如果作出正方體的每個面的中心，再把相鄰的面所對應的中心連在一起，就會得到一個正八面體。如果再作出正八面體的每個面的中心，并把它們連起來，就又會變回正方體。同樣的，取正十二面體每個面的中心，把相鄰面的中心都連接起來，就會得到一個正二十面體。取正二十面體每個面的中心，連接后就會得到一個正十二面體。我們把一個正多面體和以它的各面中心為頂點的正多面體，叫做互為對偶的正多面體。正六面體和正八面體是互為對偶的正多面體；正十二面體和正二十面體是互為對偶的正多面體。剩下孤零零的正四面體怎么辦呢？不急！正四面體和自己對偶，即正四面體的對偶多面體還是正四面體。自然界中有許多的柏拉圖正多面體。如甲烷、四氯化碳、硅烷、白磷,NH3等有機物的分子結構模型都是正四面體，食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體，硫化鐵結晶體有時會出現(xiàn)接近正十二面體的形狀。食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體，硫化鐵結晶體有時會出現(xiàn)接近正十二面體的形狀。甲烷分子模型金剛石分子結構氯化鈉分子結構正十二面體烷分子結構明礬結晶體硫化鐵結晶體有時會出現(xiàn)氯化鈉（食鹽）結晶體大部分的病毒都擁有正二十面體的衣殼。也就是人們常說的球狀病毒。為什么病毒喜歡選擇正二十面體結構呢？那是因為正多面體是多面體里最簡單的結構，搭建起來最容易，所以病毒喜歡采用正多面體的結構，而其中正二十面體是最接近球形的，也就是在體積相同的情況下，需要更少的材料，更為節(jié)省?？磥斫苹牟《疽病岸睌?shù)學！諾如病毒腺病毒結構模式乙肝病毒HIV病毒皰疹病毒美國數(shù)學會是一個擁有三萬多名會員的組織（學術團體），在世界上影響較大。美國數(shù)學會會徽，是一個以正20面體為主旨的圖案。而美國數(shù)學會會刊《美國數(shù)學月刊》上就刊登了這個LOGO。人們對它的權威性從未懷疑過。但是這個會徽一直犯著一個幾何學上的錯誤,直至上個世紀80年代初被一個會員看出來。這個會員是華盛頓大學的數(shù)學家布蘭高·格林鮑華，他在一次翻閱《美國數(shù)學月刊》時，注意到一張紀念偉大數(shù)學家歐拉的郵票，郵票上畫了一個正二十面體,但是畫錯了。更難以置信的是，他合上雜志后發(fā)現(xiàn)雜志封面上的會徽也是一個畫錯了的正二十面體。紀念歐拉的郵票修改前的會徽郵票中的錯誤如右圖中紅線所展示，把三個點畫在一條線上了（如果一個平面五邊形的五個頂點中有三個投影到一條直線上，那么另兩個頂點必須投影到同一條直線上）。布蘭高·格林鮑華為此寫了一篇題為《幾何罷工了》的文章寄給了《美國數(shù)學月刊》，一個象征美國數(shù)學會的會徽終于得以改正。會徽中的正三角形藍色邊所在的直線，應與圖中紅色虛線平行才正確，而會徽上的這兩條線卻不平行。正多邊形有很多，柏拉圖正多面體卻只有五個，而且還互為對偶多面體。自然界中有許多的柏拉圖正多面體，如甲烷、四氯化碳、硅烷、