初中數(shù)學競賽專題培訓(29)生活中的數(shù)學

初中數(shù)學競專題培訓

第二十九講生活的數(shù)學三)——鏡子的世界在日常生活中們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮，常常要照鏡子．如果鏡面是很平的，那么在鏡子中，人或物體與其像是完全一樣的．而且我們都有這樣的經驗：當人走近鏡面，人在鏡中的像也走進鏡面；當人遠離鏡面，人在鏡中的像也遠離鏡面．如果你留心的話，就可以發(fā)現(xiàn)：人和像與鏡面的距離保持相等(-155)，種現(xiàn)象叫作面對稱．如果我們只取一個側面，那么鏡面就可用一條直線來表示，人和人在鏡中的像可用一個平面圖形來表示樣與鏡就成了軸對稱叫直線對稱(2-155)．

取，C，和點，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，EQ=QE，后連結AB′，B′，D，E，F(xiàn)于是就得到完整的蝴蝶形′D′CB了(-157(b))．例2設直線l直線l行且ll的距離為a如果線ABl右側關于l對稱圖形是A′′AB關于對稱圖形是AB(2158)那么線段ABA″B有什么關系？如果實物是△ABC，那么它在鏡中的像就成了圖形eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′Cl表鏡稱l△ABC和△′C的對稱(圖2-156)．圖中，AAB與BC與C′是對稱點．以對稱點為端點所連結的線段′BB′CC′被對稱軸l垂直平分，因此果以直線l為折痕△折過來必與△A′′重合，所以成軸對稱的兩個圖形必全等．例設圖形半個蝴蝶形2-157(a))以直線l為對稱軸，畫出整個蝴蝶來．解為了畫出整個蝴蝶，只需要畫出圖形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形就可以了．因為、F在直線l，所以它們的對稱點分別和F是同一點，這樣，只要畫出B，C，E關于l的稱點就行了．為此，先分別BC，E向l作垂線，設垂足分別為N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的長線上

解因為l行于l并且AA′″垂直于當然也垂直于l，理BB′B也垂直于l和l我們知道：“在平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，所以AA′A″∥B″①另一方面，因為AP=PA，P′=P′A，所以AA′A″2PP=2a同理BB′=2a所以AA′A″B．②通過例我們可知，如果在平面上兩條直線互相平行，有一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作了兩次軸對稱移動，那么相當于這個圖形作了一次平行移動，平行移動的距離剛好是這兩個對稱軸間距離的倍．如果我們反復利用例2的原理，就可做成帶形的花邊圖案．例如，我們把一張等寬的長紙條像圖2159樣折疊起來，并在上面用小刀刻出一個三角形的洞，然后再展開這張紙條，就會得到如圖160樣的帶形圖案．

-1-2-3-如果我們把圖-160的m，，m，mm看成鏡子，-1-2-3-A作實物那A和A就是A鏡子中的像了實，-1-2圖中的A以m為對稱軸作對稱移動的對稱圖形，也可以把A作是作一次平行移到所得到的圖形．由此，怎樣看待A-1和A關系以及和A的關系呢？請同學們自己作出回答．

有了上面的知識，同學們不僅可以自己設計一些帶形花邊圖案，還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了．下面的圖2-161圖2-兩個帶形圖案，你能看出它們是怎樣設計的嗎？如果我們把前面圖160中的mmmmm等看作平行的鏡子A作一個人如果這個人在鏡子中mm之間反復映-1照，那么就會看到圖163情況．

由于∠AOP=∠A′，AOP′∠OP′，所以∠AOA″＝POP＝．同理∠BOB″∠POP′=2，所以∠AOA″∠″2．②由①，②可知：在平面上，如果兩條直線相交，一個圖形以這兩條直線為對稱軸，連續(xù)作兩次對稱移動，那么相當于這個圖形以這兩條直線的交點為旋轉中心，以這兩條直線的交角的2倍為旋轉角作了一個旋轉移動，在旋轉移動下圖形的大小不變．例4同學們小時候常常玩萬花筒，它是由三塊等寬、等長的玻璃片圍成的．為什么在萬花筒中會出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢？試用前邊的知識揭開萬花筒的秘密．解萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變萬化美而奇特的圖案主要是利用了圖形的對稱和旋轉原理．為具體說明，給出的圖2-165為萬花筒中的一個圖案，它是用一個小圓、一個平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形．為了清楚地說明上圖形成的原理，我們取出圖形中的一部分(-166)以分析．可以想象，在鏡子的像A，A，A?及在鏡m

中的像AA，?多的．還可以知道A鏡中-1-2-3像是A，A在鏡m中的像是A，A在鏡m中的像是?-1-2-2等等．因A和AAA軸對稱移動，所A到平行移動．例設直線直線l交，交點O其夾角為．如果線段AB關于l軸對稱圖形是AB而A′B關于l軸對稱圖形是BAB和A″B間有什么關系？(見圖2-164)解因為已知AB于l1對稱圖形是B，B′關于l2的稱圖形是AB，所以′B，A′=A″B″，所以AB=A″B″，①

正△ABO以為對稱軸作軸對稱移動，就得到CBO；CBO以OC為稱軸作軸對稱移動，就得到△．經過這樣兩軸對稱移動，實際上相當于ABO以O為心以為旋轉角，作了一個旋轉移動．這樣：點A→點C，邊AO→邊CO，點B→點D，邊AB→邊CD，點O→點O，邊BO→邊DO．在這樣旋轉移動下，△ABO的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉了次反復成了圖165的麗景色果同學們有興趣，可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界！練習二十1設和l是兩面行相對的鏡子，如果把一個小球放在ll間(圖2-，試問(1)小球A鏡l的像A在什么位置？(2)小球A鏡l的像A在鏡l的像A″又在什么位置？分別畫在圖上；(3)小AA之間的距離l和之間的距離有什關系？

(A)60°(B)120(C)180°；(D)上答案都不對．32-169游樂園中的大型旋轉車的簡圖，游人坐在旋轉車的車斗中，任憑旋轉車不停地旋轉，但總是頭朝上，絕不會掉下來．試問車斗所作的移動是什么移動？請在下面答案中選一個正確的答案．(A)旋；稱；(C)移；(D)上答案都不對．42170表示一張長方形球臺設P