反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及典型例題

.z.反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及考點(diǎn)：〔一〕反比例函數(shù)的概念：知識(shí)要點(diǎn)：1、一般地，形如y=(k是常數(shù),k=0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。注意：〔1〕常數(shù)k稱為比例系數(shù)，k是非零常數(shù)；〔2〕解析式有三種常見的表達(dá)形式：〔A〕y=〔k≠0〕，〔B〕*y=k〔k≠0〕〔C〕y=k*-1〔k≠0〕例題講解：有關(guān)反比例函數(shù)的解析式〔1〕以下函數(shù)，①②.③④.⑤⑥；其中是y關(guān)于*的反比例函數(shù)的有：_________________?！?〕函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是〔〕A．－1B．－2C．2D．2或－2〔3〕假設(shè)函數(shù)(m是常數(shù))是反比例函數(shù)，則m＝________，解析式為________．〔4〕如果是的反比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，則是的〔〕A．反比例函數(shù)B．正比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．反比例或正比例函數(shù)練習(xí)：〔1〕如果是的正比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，則是的〔〕〔2〕如果是的正比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，則是的〔〕〔5〕反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過〔—2，5〕和〔，〕，求1〕的值；2〕判斷點(diǎn)B〔，〕是否在這個(gè)函數(shù)圖象上，并說明理由〔6〕y與2*－3成反比例，且時(shí)，y＝－2，求y與*的函數(shù)關(guān)系式．〔7〕函數(shù)，其中與成正比例,與成反比例，且當(dāng)＝1時(shí)，＝1；＝3時(shí)，＝5．求：〔1〕求關(guān)于的函數(shù)解析式；〔2〕當(dāng)＝2時(shí)，的值．(二)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：知識(shí)要點(diǎn)：1、形狀：圖象是雙曲線。2、位置：〔1〕當(dāng)k>0時(shí),雙曲線分別位于第________象限內(nèi)；〔2〕當(dāng)k<0時(shí),雙曲線分別位于第________象限內(nèi)。3、增減性：〔1〕當(dāng)k>0時(shí),_________________,y隨*的增大而________；〔2〕當(dāng)k<0時(shí),_________________,y隨*的增大而______。4、變化趨勢(shì)：雙曲線無限接近于*、y軸,但永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交5、對(duì)稱性：〔1〕對(duì)于雙曲線本身來說，它的兩個(gè)分支關(guān)于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)____________；〔2〕對(duì)于k取互為相反數(shù)的兩個(gè)反比例函數(shù)〔如：y=和y=〕來說，它們是關(guān)于*軸，y軸___________。例題講解：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：〔1〕寫出一個(gè)反比例函數(shù)，使它的圖象經(jīng)過第二、四象限．〔2〕假設(shè)反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的值是〔〕A、－1或1;B、小于的任意實(shí)數(shù);C、－1;Ｄ、不能確定〔3〕以下函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大的是〔〕A．B．C．D．．〔4〕反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A〔，〕，B〔，〕，且，則的值是〔〕A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．不能確定〔5〕假設(shè)點(diǎn)〔，〕、〔，〕和〔，〕分別在反比例函數(shù)的圖象上，且，則以下判斷中正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．〔6〕在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，假設(shè)時(shí)，，則的取值范圍是．〔7〕教師給出一個(gè)函數(shù),甲、乙、丙三位同學(xué)分別指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì):甲:函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限;乙:函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限;丙:在每個(gè)象限內(nèi),y隨*的增大而增大.請(qǐng)你根據(jù)他們的表達(dá)構(gòu)造滿足上述性質(zhì)的一個(gè)函數(shù):.〔8〕作出反比例函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象答復(fù)：(1)當(dāng)*＝2時(shí)，y的值；(2)當(dāng)1＜*≤4時(shí)，y的取值范圍；(3)當(dāng)1≤y＜4時(shí)，*的取值范圍．PPyM*0N3〔三〕反比例函數(shù)與面積結(jié)合題型。PyPy*OMN圖11、反比例函數(shù)與矩形面積：假設(shè)P(*，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點(diǎn)如圖1所示，過P作PM⊥*軸于M，作PN⊥y軸于N，求矩形PMON的面積.分析：S矩形PMON=∵,∴*y=k,∴S=.OBOBy*AQ圖2假設(shè)Q(*，y)為反比例函數(shù)(k≠0)圖像上的任意一點(diǎn)如圖2所示，過Q作QA⊥*軸于A(或作QB⊥y軸于B)，連結(jié)QO，則所得三角形的面積為：S△QOA=〔或S△QOB=〕.說明：以上結(jié)論與點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上的位置無關(guān).〔1〕如圖3，在反比例函數(shù)〔*＜0〕的圖象上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形的面積為．MyN*MyN*O圖4圖6OACB圖7圖5圖7圖5〔2〕反比例函數(shù)的圖象如圖4所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，MN⊥*軸，垂足為N.如果S△MON=2，這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為______________(3)如圖5，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥軸于點(diǎn)B，連結(jié)BC．則ΔABC的面積等于〔〕A．1B．2C．4D．隨的取值改變而改變．〔4〕如圖6，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，BC∥軸，AC∥軸，△ABC的面積記為，則〔〕A．B．C．D．〔5〕如圖7，過y軸正半軸上的任意一點(diǎn)P，作*軸的平行線，分別與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，假設(shè)點(diǎn)C是*軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC的面積為〔〕(四)一次函數(shù)與反比例函數(shù)(1)一次函數(shù)y=﹣2*+1和反比例函數(shù)y=的大致圖象是〔〕A、 B、 C、(2)一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()〔3〕一次函數(shù)y1=k1*+b和反比例函數(shù)y2=QUOTE〔k1?k2≠0〕的圖象如下圖，假設(shè)y1＞y2，則*的取值范圍是〔〕 A、﹣2＜*＜0或*＞1 B、﹣2＜*＜1 C、*＜﹣2或*＞1 D、*＜﹣2或0＜*＜1〔4〕正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)．〔5〕正比例函數(shù)y=k1*(k1≠0)和反比例函數(shù)y=(k2≠0)的一個(gè)交點(diǎn)為(m,n),則另一個(gè)交點(diǎn)為_________.〔6〕設(shè)函數(shù)y=QUOTE與y=*﹣1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔a，B〕，則QUOTEQUOTE的值為QUOTE〔第〔7〕題〕(7)如圖，RtΔABO的頂點(diǎn)A是雙曲線與直線〔第〔7〕題〕在第二象限的交點(diǎn)，AB垂直軸于B，且S△ABO＝，則反比例函數(shù)的解析式．(8)假設(shè)反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝3*＋b都經(jīng)過點(diǎn)(1，4)，則kb＝________．〔9〕如圖，A〔4，a〕，B〔－2，－4〕是一次函數(shù)y＝k*＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝－QUOTE的圖象的交點(diǎn)．〔1〕求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解祈式；〔2〕求△A0B的面積．(10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)C，AB⊥軸，垂足為B，且＝1．求：〔1〕求兩個(gè)函數(shù)解析式；〔2〕求△ABC的面積．〔11〕平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交*軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B且與反比例函數(shù)圖象分別交于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CM⊥*軸于M，AO=6，BO=3，CM=5．求直線AB的解析式和反比例函數(shù)解析式．〔五〕反比例函數(shù)的應(yīng)用：例題講解：1．一個(gè)水池裝水12立方米，如果從水管中每小時(shí)流出*立方米的水，經(jīng)過y小時(shí)可以把水放完，則y與*的函數(shù)關(guān)系式是________，自變量*的取值范圍是________．2．三角形的面積為6cm2，如果它的一邊為ycm，這邊上的高為*cm，則y與*之間是________函數(shù)關(guān)系，以*為自變量的函數(shù)解析式為________．3．長方體的體積為40cm3，此長方體的底面積y(cm2)與其對(duì)應(yīng)高*(cm)之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為下面的()．4．以下各問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，不是反比例函數(shù)的是()．(A)小明完成百米賽跑時(shí)，所用時(shí)間t(s)與他的平均速度v(m/s)之間的關(guān)系(B)長方形的面積為24，它的長y與寬*之間的關(guān)系(C)壓力為600N時(shí)，壓強(qiáng)p(Pa)與受力面積S(m2)之間的關(guān)系(D)一個(gè)容積為25L的容器中，所盛水的質(zhì)量m(kg)與所盛水的體積V(L)之間的關(guān)系5．在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，測(cè)出每一次加壓后缸內(nèi)氣體的體積和氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，如下表：體積*(ml)10080604020壓強(qiáng)y(kpa)6075100150300則可以反映y與*之間的關(guān)系的式子是()．(A)y＝3000*(B)y＝6000*(C) (D)6．甲、乙兩地間的公路長為300km，一輛汽車從甲地去乙地，汽車在途中的平均速度為V(km/h)，到達(dá)時(shí)所用的時(shí)間為t(h)，則t是V________的函數(shù)，V關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為________．7．農(nóng)村常需要搭建截面為半圓形的全封閉蔬菜塑料暖房(如下圖)，則需要塑料布y(m2)與半徑R(m)的函數(shù)關(guān)系式是(不考慮塑料埋在土里的局部)________．8．有一面積為60的梯形，其上底是下底長的三分之一，假設(shè)下底長為*，高為y，則y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式是()．(A)(B)(C)(D)9．一個(gè)長方體的體積是100cm3，它的長是y(cm)，寬是5cm，高是*(cm)．(1)寫出長y(cm)關(guān)于高*(cm)的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量*的取值范圍；(2)畫出(1)中函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)高是3cm時(shí)，求長．10．一個(gè)氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如下圖．(1)寫出這一函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)氣體體積為1m3(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱似桨财鹨?，氣體的體積應(yīng)不小于多少？11．*學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)展消毒．藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間*(分鐘)成正比例，藥物燃燒完后，y與*成反比例(如下圖)，現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請(qǐng)根據(jù)題圖中所提供的信息解答以下問題：(1)藥物燃燒時(shí)y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式為________，自變量*的取值范圍是________；藥物燃燒后y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式為________．(2)研究說明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量小于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，則從消毒開場(chǎng)，至少需要經(jīng)過________分鐘后，學(xué)生才能回到教室；(3)研究說明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，則此次消毒是否有效？為什么？練習(xí)1．反比例函數(shù)的概念

〔1〕以下函數(shù)中，y是*的反比例函數(shù)的是〔〕．

A．y=3*B．C．3*y=1D．

〔2〕以下函數(shù)中，y是*的反比例函數(shù)的是〔〕．

A．B．C．D．

2．圖象和性質(zhì)

〔1〕函數(shù)是反比例函數(shù)，

①假設(shè)它的圖象在第二、四象限內(nèi)，則k=___________．

②假設(shè)y隨*的增大而減小，則k=___________．〔2〕一次函數(shù)y=a*+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第________象限．〔3〕假設(shè)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)〔，2〕，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_____象限〔4〕a·b＜0，點(diǎn)P〔a，b〕在反比例函數(shù)的圖象上，則直線不經(jīng)過的象限是〔〕．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限〔5〕假設(shè)P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則一次函數(shù)y=k*+m的圖象經(jīng)過〔〕．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限〔6〕函數(shù)和〔k≠0〕，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是〔〕．

A．B．C．D．

3．函數(shù)的增減性

〔1〕在反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，且，則的值為〔〕．

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù)D．非負(fù)數(shù)

〔2〕在函數(shù)〔a為常數(shù)〕的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是〔〕．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

〔3〕以下四個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④．

y隨*的增大而減小的函數(shù)有〔〕．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

〔4〕反比例函數(shù)的圖象與直線y=2*和y=*+1的圖象過同一點(diǎn)，則當(dāng)*＞0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨*的增大而〔填"增大〞或"減小〞〕．

4．解析式確實(shí)定

〔1〕假設(shè)與成反比例，與成正比例，則y是z的〔〕．

A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定

〔2〕假設(shè)正比例函數(shù)y=2*與反比例函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為〔2，m〕，則m=_____，k=________，它們的另一個(gè)交點(diǎn)為________．

〔3〕反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．

〔4〕一次函數(shù)y=*+m與反比例函數(shù)〔〕的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P〔*0，3〕．

①求*0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

5．面積計(jì)算

〔1〕如圖，在函數(shù)的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過這三個(gè)點(diǎn)分別向*軸、y軸作垂線，過每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與*軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則〔〕．

A．B．C．D．

第〔1〕題圖第〔2〕題圖

〔2〕如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC//y軸，BC//*軸，△ABC的面積S，則〔〕．

A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2

〔3〕如圖，Rt△AOB的頂點(diǎn)A在雙曲線上，且S△AOB=3，求m的值．

第〔3〕題圖第〔4〕題圖

〔4〕函數(shù)的圖象和兩條直線y=*，y=2*在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過P1分別作*軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為Q1，R1，過P2分別作*軸、y軸的垂線P2Q2，P2R2，垂足分別為Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長，并比擬它們的大?。?〕如圖，正比例函數(shù)y=k*〔k＞0〕和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過A作*軸垂線交*軸于B，連接BC，假設(shè)△ABC面積為S，