固體物理習題詳解

固體物理習題詳解固體物理習題詳解固體物理習題詳解第一章晶體結(jié)構(gòu)1.試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準晶、多晶和單晶的特點性質(zhì)。解：晶態(tài)固體資料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長程有序。非晶態(tài)固體資料中的原子不是長程有序地排列，但在幾個原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序。準晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體資料，其特點是原子有序排列，但不擁有平移周期性。其他，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完好一致的晶體稱為單晶體；而多晶體則是由好多取向不同樣的單晶體顆粒無規(guī)則積聚而成的。2.晶格點陣與實質(zhì)晶體有何差異和聯(lián)系？解：晶體點陣是一種數(shù)學抽象，其中的格點代表基元中某個原子的地址或基元質(zhì)心的位置，也能夠是基元中任意一個等價的點。當晶格點陣中的格點被詳盡的基元代替后才形成實質(zhì)的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點陣與實質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點陣＋基元＝實質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)3.晶體結(jié)構(gòu)可分為Bravais格子和復式格子嗎？解：晶體結(jié)構(gòu)能夠分為Bravais格子和復式格子，當基元只含一個原子時，每個原子的周圍情況完好同樣，格點就代表該原子，這類晶體結(jié)構(gòu)就稱為簡單格子或Bravais格子；當基元包含2個或2個以上的原子時，各基元中相應的原子組成與格點同樣的網(wǎng)格，這些格子互相錯開必然距離套構(gòu)在一起，這類晶體結(jié)構(gòu)叫做復式格子。4.圖1.34所示的點陣是布喇菲點陣（格子）嗎？為什么？若是是，指明它屬于那類布喇菲格子？若是不是，請說明這類復式格子的布喇菲格子屬哪一種？（a）（b）（c）（d）1.34a）“面心＋體心”立方；（b）“邊心”立方；（c）“邊心＋體心”立方；（d）面心四方解：（a）“面心＋體心”立方不是布喇菲格子。從“面心＋體心”立方體的任一頂角上的格點看，與它最周邊的有12個格點；從面心任一點看來，與它最周邊的也是12個格點；但是從體心那點來看，與它最周邊的有6個格點，所以頂角、面心的格點與體心的格點所處的幾何環(huán)境不同樣，即不滿足全部格點完好等價的條件，所以不是布喇菲格子，而是復式格子，此復式格子屬于簡立方布喇菲格子。b）“邊心”立方不是布喇菲格子。從“邊心”立方體豎直邊心任一點來看，與它最周邊的點子有八個；從“邊心”立方體水平邊心任一點來看，與它最周邊的點子也有八個。誠然兩者最周邊的點數(shù)同樣，距離相等，但他們各自擁有不同樣的排列。豎直邊心點的最周邊的點子處于互相平行、橫放的兩個平面上，而水平邊心點的最周邊的點子處于互相平行、豎放的兩個平面上，顯然這兩種點所處的幾何環(huán)境不同樣，即不滿足全部格點完好等價的條件，所以不是布喇菲格子，而是復式格子，此復式格子屬于簡立方布喇菲格子。（c）“邊心+體心”立方不是布喇菲格子。從“邊心+體心”立方任一極點來看，與它最周邊的點子有6個；從邊心任一點來看，與它最周邊的點子有2個；從體心點來看，與它最周邊的點子有12個。顯然這三種點所處的幾何環(huán)境不同樣，所以也不是布喇菲格子，而是屬于復式格子，此復式格子屬于簡立方布喇菲格子。（d）“面心四方”從“面心四方”任一極點來看，與它最周邊的點子有4個，次最周邊點子有8個；從“面1心四方”任一面心點來看，與它最周邊的點子有4個，次最周邊點子有8個，而且在空間的排列地址與極點的同樣，即全部格點完好等價，所以“面心四方”格子是布喇菲格子，它屬于體心四方布喇菲格子。5.以二維存心長方晶格為例，畫出固體物理學原胞、結(jié)晶學原胞，并說出它們各自的特點。解：以下給出了了二維存心長方晶格表示圖：由上圖，我們可給出其固體物理學原胞以以下列圖（a）所示，結(jié)晶學原胞以以下列圖（b）所示：（a）（b）從上圖（a）和（b）能夠看出，在固體物理學原胞中，只幸虧極點上存在結(jié)點，而在結(jié)晶學原胞中，既可在極點上存在結(jié)點，也可在面心地址上存在結(jié)點。6.倒格子的實質(zhì)意義是什么？一種晶體的正格矢和相應的倒格矢可否有一一對應的關(guān)系？解：倒格子的實質(zhì)意義是由倒格子組成的空間實際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點實質(zhì)上就是倒格子所對應的點子。設一種晶體的正格基矢為a1、a2、a3，依照倒格子基矢的定義：式中是晶格原胞的體積，即a1[a2a3]，由此能夠唯一地確定相應的倒格子空間。同樣，反過出處倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應的倒格矢有一一對應的關(guān)系。7.為什么說晶面指數(shù)（h1h2h3）和Miller指數(shù)（hkl）都能反響一個平行晶面族的方向？解：晶面指數(shù)（h1h2h3）是以固體物理學原胞的基矢a1、a2、a3為坐標軸來表示面指數(shù)的，而Miller指數(shù)（hkl）是以結(jié)晶學原胞的基矢a、b、c為坐標軸來表示面指數(shù)的，但它們都是以平行晶面族在坐標軸上的截距的倒數(shù)來表示的，而這三個截距的倒數(shù)之比就等于晶面族的法線與三個基矢的夾角余弦之比，從而反響了一個平行晶面族的方向。8.試畫出體心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格點分布。解：體心立方（100），（110）和（111）面上的格點分布為：體心立方（100）面體心立方（110）面體心立方（111）面面心立方（100），（110）和（111）面上的格點分布為：面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面9.一個物體或系統(tǒng)的對稱性高低如何判斷？有何物理意義？一個正八面體（見圖1.35）有哪些對稱操作？解：對于一個物體或系統(tǒng)，我們第一必定對其經(jīng)過測角和投影今后，才可對它的對稱規(guī)律，進行解析研究。若是一個物體或系統(tǒng)含有的對稱操作元素越多，則其對稱性越高；反之，含有的對稱操作元素越少，則其對稱性越低。晶體的好多宏觀物理性質(zhì)都與物體的對稱性相關(guān)，比方六角對稱的晶體有雙折射現(xiàn)象。而立方晶體，從光學性質(zhì)來講，是各向同性的。正八面體中有3個4度軸，其中任意2個位于同一個面內(nèi)，而另一個則垂直于這個面；6個2度軸；6個與2度軸垂直的對稱面；3個與4度軸垂直的對稱面及一個對稱中心。10.各種晶體的配位數(shù)（近來鄰原子數(shù)）是多少？解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)以下表1.1所示：晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)2面心立方12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6六角密積體心立方8氯化銫型結(jié)構(gòu)8簡立方6金剛石型結(jié)構(gòu)411.利用剛球密堆模型，求證球可能占有的最大體積與整體積之比為32（1）簡單立方6；（2）體心立方8；（3）面心立方623（4）六角密積6；（5）金剛石16。解：（1）在簡立方的結(jié)晶學原胞中，設原子半徑為R，則原胞的晶體學常數(shù)a2R，則簡立方的致密度（即球可能占有的最大體積與整體積之比）為：（2）在體心立方的結(jié)晶學原胞中，設原子半徑為R，則原胞的晶體學常數(shù)a4R/3，則體心立方的致密度為：（3）在面心立方的結(jié)晶學原胞中，設原子半徑為R，則原胞的晶體學常數(shù)a22R，則面心立方的致密度為：（4）在六角密積的結(jié)晶學原胞中，設原子半徑為R，則原胞的晶體學常數(shù)a2R，c(26/3)a(46/3)R，則六角密積的致密度為：（5）在金剛石的結(jié)晶學原胞中，設原子半徑為R，則原胞的晶體學常數(shù)a(8/3)R，則金剛石的致密度為：12.試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。解：我們知體心立方格子的基矢為：依照倒格子基矢的定義，我們很簡單可求出體心立方格子的倒格子基矢為：由此可知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。同理可得出頭心立方格子的倒格子為一體心立方格子，所以體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。對于六角密積結(jié)構(gòu)，固體物理學原胞基矢為試求倒格子基矢。解：依照倒格子基矢的定義可知：3aciacj22222(i＝j)3a2ca323aciacj22222＝i(j)3a2ca3233a2k222=k3a2cc214.一晶體原胞基矢大小a41010m，b61010m，c81010m，基矢間夾角90，90，120。試求：1）倒格子基矢的大??；2）正、倒格子原胞的體積；3）正格子(210)晶面族的面間距。解：(1)由題意可知，該晶體的原胞基矢為：由此可知：a2a3bc(3i1j)21b12=222(ia3]3=j)a1[a2a3abc2b22a3a1=2acj=22ja1[a2a3]3abcb32a1a2ab3k2b32=22k[a2a3]3abc=a1c2所以b1＝212(1)2＝41.81381010m1a33ab2＝2(2)2＝41.20921010m1b33bb3＝212＝20.78541010m1cc正格子原胞的體積為：a1[a2a3]＝(ai)[b(1i3j)(ck)]＝3abc1.66281028m3222倒格子原胞的體積為：b1[b2b3]＝2(i1j)[2(2j)2(k)]＝1631.49181030m3a3b3c3abc4(3)依照倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知，正格子(210)晶面族的面間距為：2=2=2dh2b11b244Kh0b34i)ja(3b3a=211.44121010m41)2(11)2(a3a3b15.如圖1.36所示，試求：1）晶列ED，F(xiàn)D和OF的晶列指數(shù)；2）晶面AGK,FGIH和MNLK的密勒指數(shù)；3）畫出晶面（120），（131）。1.36解：（1）依照晶列指數(shù)的定義易求得晶列ED的晶列指數(shù)為[111]，晶列FD的晶列指數(shù)[110]，晶列OF的晶列指數(shù)為[011]。2）依照晶面密勒指數(shù)的定義晶面AGK在x，y和z三個坐標軸上的截距依次為1，-1和1，則其倒數(shù)之比為:1:11:1:1，故該晶面的密勒指數(shù)為（111）。111晶面FGIH在x，y和z三個坐標軸上的截距依次為1/2，∞和1，則其倒數(shù)之比為11:1:12:0:1，故該晶面的密勒指數(shù)為（201）。/21晶面MNLK在x，y和z三個坐標軸上的截距依次為1/2，-1和∞，則其倒數(shù)之比為11:1:12:1:0，故該晶面的密勒指數(shù)為（210）。/21AMLk和晶面ABC所示：（3）晶面（120），（131）分別以以下列圖中晶面16.矢量a，b，c組成簡單正交系。證明晶面族(hkl)的面間距為解：由題意可知該簡單正交系的物理學原胞的基矢為：由此可求得其倒格子基矢為：依照倒格子矢量的性質(zhì)有：17.設有一簡單格子，它的基矢分別為a13i，a23j，a31.5(ijk)。試求：1）此晶體屬于什么晶系，屬于哪一各種類的布喇菲格子？2）該晶體的倒格子基矢；3）密勒指數(shù)為（121）晶面族的面間距；4）原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)是多少？5）[111]與[111]晶列之間的夾角余弦為多少？解：（1）由題意易知該晶體屬于立方晶系，并屬于體心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定義可知：5（3）依照倒格矢的性質(zhì)，可求得密勒指數(shù)為（121）晶面族的面間距為（4）由于面密度d，其中d是面間距，是體密度。對布喇菲格子，等于常數(shù)。所以，我們可設原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)為(h1h2h3)，則該晶面族的面間距dh1h2h3應為最大值，所以有由此可知，對面指數(shù)為（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面間距3/2，所以這些面即為原子排列最親近的晶面族。（5）[111]與[111]晶列之間的夾角余弦為18.已知半導體GaAs擁有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的近來距離d＝2.45×10-10m。試求：(1)晶格常數(shù)；(2)固體物理學原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角。解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復式面心立方晶格，其原胞包含一個Ga原子和一個As原子，其中Ga原子處于面心立方地址上，而As原子則處于立方單元體對角線上距離Ga原子1/4體對角線長的地址上，如左圖所示：由此可知：故a4d42.451010m=5.591010m33(2)由于GaAs的空間點陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學原胞基矢為：其倒格子基矢為：密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：依照倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢K110和K111之間的夾角，設為，則有：arccos(0.3015)107.5519.如圖1.37所示，設二維正三角形晶格相鄰原子間距為a，試求：正格子基矢和倒格子基矢；畫出第一布里淵區(qū)，并求出第一布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑。解：(1)取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使a1的方向和i的方向相同，于是有：a1aia2a3a那么有：ij22(2)依照第一布里淵區(qū)的定義，可作圖以下所示：圖1.37上圖中的陰影部分即為第一布里淵區(qū)，且由圖中能夠求出第一6布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑為：20.試求面心立方結(jié)構(gòu)、體心立方結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子；并談論其衍射相消條件。解：（1）在面心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有4個原子，其坐標為000，110，101，011222222由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為2f21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl)2∴Fhkl由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項為0。于是有由此可知，當nh、nk和nl奇偶混雜時，即nh、nk和nl不同樣為奇數(shù)或偶數(shù)時，此時20，即出現(xiàn)衍射相消。Fhkl（2）在體心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有2個原子，其坐標為000111和222由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為∴Fhkl2f21cosn(hkl)2sinn(hkl)2由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項為0。于是有由此可知，當n(hkl)為奇數(shù)時，此時有F20，即出現(xiàn)衍射相消。hkl（3）在金剛石結(jié)構(gòu)的原胞中含有8個原子，其坐標為000，111，110，101，011，133，331，313444222222444444444由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為222f21cosn(hkl)sinn(hkl)1cosn(hk)∴Fhkl22由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項為0。于是有由此可知，當nh、nk和nl奇偶混雜時，即nh、nk和nl不同樣為奇數(shù)或偶數(shù)時也許當nh、nk和nl全為偶數(shù)，且n(hkl)4(2m20，1)（其中m為整數(shù)）時，有有Fhkl即出現(xiàn)衍射相消。21.用鈀靶KX射線投射到NaCl晶體上，測得其一級反射的掠射角為5.9°，已知NaCl晶胞中Na＋與Cl－的距離為2.82×10-10m，晶體密度為2.16g/cm3。求：射線的波長；阿伏加德羅常數(shù)。解：（1）由題意可知NaCl晶胞的晶胞參數(shù)a22.8210105.641010m，又應為NaCl晶胞為面心立方結(jié)構(gòu)，依照面心立方結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律可知，其一級反射所對應的晶7面族的面指數(shù)為（111），而又易求得此晶面族的面間距為d111a5.6410103.261010m1212123又依照布拉格定律可知：2d111sin23.261010sin5.96.702109m（2）由題意有以下式子成立∴NA4MNaCl458.56.03823a3(5.641010)32.16106108第二章晶體的結(jié)合1.述離子、共價、金屬、范德瓦斯和的基本特點。解：（1）離子：無方向性，能相當；（2）共價：和性和方向性，其能也非常；（3）金屬：有必然的方向性和和性，其價子不定域于2個原子之，而是在整個晶體中巡游，于非定域狀，全部原子所“共有”；（4）范德瓦斯：依靠瞬偶極距或固有偶極距而形成，其合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，合能弱；（5）：依靠原子與2個性大而原子半徑小的原子（如O，F(xiàn)，N等）相合形成的。也既有方向性，也有和性，而且是一種弱的，其合能50kJ/mol。2.有人“晶體的內(nèi)能就是晶體的合能”，？解：句不，晶體的合能是指當晶體于定狀的能量（能和能）與成晶體的N個原子在自由的能量之差，即EbENE0。（其中Eb合能，EN成晶體的N個原子在自由的能量，E0晶體的能量）。而晶體的內(nèi)能是指晶體于某一狀（不用然是定平衡狀）的，其全部成粒子的能和能的和。3.當2個原子由相距很而逐湊近，二原子的力與能是如何逐化的？解：當2個原子由相距很而逐湊近，2個原子引力和斥力都開始增大，但第一引力大于斥力，的作用引力，f(r)0，而互相作用能u(r)逐減?。划?個原子慢慢湊近到平衡距離r0，此，引力等于斥力，的作用零，f(r)0，而互相作用能u(r)達到最??；當2個原子距離減小，由于斥力急增大，此，斥力開始大于引力，的作用斥力，f(r)0，而互相作用能u(r)也開始急增大。4.什么金屬比離子晶體、共價晶體易于行機械加工而且、性優(yōu)異？解：由于金屬晶體中的價子不像離子晶體、共價晶體那定域于2個原子之，而是在整個晶體中巡游，于非定域狀，全部原子所“共有”，所以金屬晶體的延展性、性和性都好。5.有一晶體，在平衡的體V0，原子之的互相作用能U0，若是原子互相作用能由下式出：u(r)rmrn，明性模量可由/(9)出。U0mnV0解：依照性模量的定可知KVdPVd2U???????（1）dVV0dV2V09上式中利用了PdU的關(guān)系式。dV系包含N個原子，系的內(nèi)能能夠?qū)懗蒛Nu(r)N(rmrn)?????（2）22r又因可把N個原子成的晶體的體表示成近來原子距的函數(shù)，即VNvNr3??????（3）上式中與晶體構(gòu)相關(guān)的因子（如面心立方構(gòu)，2/2）。又因(dU)1(dU)RNmn1??????（4）dV3Nr2dr02rm1rn13Nr2d2Udrd1Nmn(2)V0dVdr3Nr2(m1rn1dV2rrr01Nm2n23m3n?????（5）9V022r0mr0nr0mr0ndUmn考平衡條件(dV)r00，得r0mr0n，那么（5）式可化1NmnnmmnNr0mr0nmn(U0)??（6）9V022r0nr0m9V0229V02將（6）式代入（1）式得：6.上表示的互相作用能公式中，若m2，n10，且兩原子組成定分子距31010m，離解能4eV，算和之。解：在平衡地址有u(r)r02r010EK????（1）du(r)2100????（2）drr03r0110將離解能Ek4eV和r031010m3A代入（1）和（2）式可得：4.51019eV·m2，5.91096eV·m10。ABr02.81010m，合能7.某晶體每原子的能具r9r的形式，平衡1019810J，算A和B以及晶體的有效性模量。解：由意有以下方程成立：把r0，U的詳盡數(shù)代入上述方程，即得：由此可得：A1.057810105Jm9，B2.521028Jm晶體的有效性模量：KV0(d2u2)V0又∵VNvNr3dV（上式中N表示晶體中所含的原子個數(shù)，表示與晶體構(gòu)相關(guān)的因子）1d2u)r190A2B)＝111故K(＝(r033.2797109Nr0dr209Nr0r0119N8.KCl晶體的體性模量1.74×1010Pa，若要使晶體中相離子距小0.5%，需要施加多大的力。解：KCl晶體內(nèi)包含N個原胞，合考到吸引能和重疊排斥能，系的內(nèi)能能夠?qū)懗蒛AB??????（1）Nrnr其他，由于KCl每個原胞體2r3，晶體的體V2Nr3??????（2）其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶體中相K＋和Cl－之的距離。依照體性模量的定有：KVdPVd2U???????（3）dVV0dV2V0平衡晶體內(nèi)相離子的距離r0，平衡體V02Nr03，那么平衡的體性模量Kd2U。又依照KCl晶體內(nèi)能表達式（dU0，可V21）式及平衡條件()V0dVV0dV得AnB0或B1n1。r02r0n1Anr0將（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡條件可得上式中的前一由于平衡條件而等于0，后一求微商后利用平衡條件化得由此知A

18Kr04n111當使晶體中相離子距小0.5%，即便相離子距r1r0(10.5%)0.95r0，此需施加的外力中表2.2及表2.5可知，n9.0，r03.141010m，代入上式可得F2.17109N9.由N個原子（離子）所成的晶體的體可寫成VNvNr3。式中v每個原子（離子）平均所占有的體；r粒子的最短距離；與構(gòu)相關(guān)的常數(shù)。求以下各種構(gòu)的：求：立方點；面心立方點；體心立方點；金石點；NaCl點；解：（1）在立方點中，每個原子平均所占有的體va3r3，故1；（2）在面心立方點中，每個原子平均所占有的體v131323，故24a(2r)r；422（3）在體心立方點，每個原子平均所占有的體v13123433，故43a(r)r；22399（4）在金石點中，每個原子平均所占有的體v1314r)3833，故83a8(9r；839（5）在NaCl點中，每個原子平均所占有的體v1a31(2r)3r3；故1。8810.于由N個惰性氣體原子成的一原子，平均每2個原子：u(x)u0()122()6。xx求：（1）原子的平均距離x0；（2）每個原子的平均晶格能；（3）系數(shù)k。解：（1）在平衡，有下式成立du(x)u012122660?????（1）dxx013x07xx0由上式可得x0（2）N個惰性氣體原子成的一原子的的互相作用能U(x)，那么有U(x)Nu0()122()6??????（2）2jx1jx1j12X2個原子的最短距離，有x1iajX，那么（2）式可化U(X)Nu0A()12B()6??????（3）2XX其中（3）式中A1(111)2.00048，2212312ja12jB21211)4.07809。2(136ja6j26那么每個原子的平均晶格能（3）依照系數(shù)的定可知1dV111k2d??（4）VdPVdPdUNxdU2dX()dVV(dV2)NdX將（3）式代入（4）式得：011.若NaCl晶體的德隆常數(shù)Μ=1.75，晶格常數(shù)a=5.64A，指數(shù)n=9。晶體拉伸而達到定極限，求：離子距增加多少？的理是多大？解：（1）NaCl晶體的含有N個離子，其互相作用能U(r)NMq2B??????（1）240rrn上式中的r指NaCl晶體中相兩離子的距離。又NaCl晶體于平衡狀，相兩離子的距離r0，有r01a。2由平衡條件可知dU(r)NMq2nB0?????（2）dr240r2rn1rr0rr0Mq2n1由（2）式可得：Br0。40n當晶體拉伸而達到定極限，此相離子的引力達到最大，即有d2U(r)N2Mq2n(n1)B0??（3）dr2240r3rn2rr1rr1將BMq2r0n1代入（3）式可得40n0所以離子距增加了rr1r03.452.820.63A13（2）由（1）可求出晶體拉伸定的理11.75(1.91019)21.75(1.91019)2(2.821010)91243.148.8541012(3.451010)243.148.8541012(3.451010)911.91109Pa12.已知有N個離子成的NaCl晶體，其合能：r

U(r)N(e2rn)240r。若排斥rn由ce來代替，且當晶體于平衡，兩者互相作用能的獻同樣。求出n和的關(guān)系。解：由平衡條件可知dU(r)N(e2drr0240r0240n1由（1）式可求得r0n1e2???????（

nn1)0???（1）r02）r0又由意有r0nce???????（3）將（2）式代入（3）式可得：13.假設在某個離子晶體中，某離子的空能被一種介常數(shù)的平均流體滲而不至于影響離子的排斥作用，但互相作用減少原來的1/。算種情況下NaCl的點常數(shù)和合能。解：由意可知，當NaCl晶體被介常數(shù)的平均流體滲，其互相作用能：NMq2BU(r)2(40rrn)???????（1）由平衡條件可知有dU(r)N(Mq2nB)0???（2）drr240r02r0n10由（2）式可求得NaCl晶體于平衡狀，相兩個離子的距離1140nBn1a2r040nBn1r02那么NaCl的點常數(shù)：2Mq2MqN(Mq2n1(Mq2n12合能EbU(r0))n1(nB)n1)n1(nB)n12404014A14.察看一條直，其上有q交的2N個離子，近來之的排斥能Rn。（1）明在平衡，（2）令晶體被，使R0R0(1)。明在晶體被程中，外力做功的主1C每離子平均2

2。其中，(n1)q2ln2C0R04解：（1）型離子晶體的合能U(R)Nq211AMq2A')?????（1）(aj)janjN(40RjRn40RRn其中（1）式中的M(1)，即型離子晶體的德隆常數(shù)，等于2ln2；jajAA'janj當晶體于平衡，有平衡條件：dU(R)Mq2dRRN(40R020由（2）式可得2A'MqR0n140n將（3）式代入（1），并將M2ln2也代入（1）可得：

nA'R0n1)0????（2）?????????（3）（2）使R0R0(1)，當很小，在RR0周邊把U(R)張開泰勒數(shù)U[R0(1)]U(R0)dU(R)R01d2U(R)(R0)2（4）dRRR02dR2RR0dU(R)上式中依照平衡條件有0，還有dRRR0離子晶體被l2NR0，外力所作的功的主（略去二以上微量）得12Nq2ln2(n1)21C'2上式中，C'2Nq2ln2(n1)240R0240R0量l2NR0是屬于2N個離子所共有的，即2N個度R0的段的量l。所以，外力一個離子所做的功W平均15WFl1C'21C2上式中，CC'q2ln2(n1)。2N22N22N40R016第三章晶格振動與晶體的熱學性質(zhì)1.什么是近似？解：當原子在平衡地址周邊作渺小振，原子的互相作用能夠與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡地址周邊做振。個近似即稱近似。2.定性出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的關(guān)系曲，并要明其意。解：由一原子的色散關(guān)系的相速度

2qasinm2，可求得一原子中振格波qasinvpa2qmqa2??????（1）而其群速度vgdacosqadqm2??????（2）由（1）式和（2）式可做出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的關(guān)系曲以下3.1所示：3.1sinqavpa2AaqmqaBa。曲1代表2，曲上中m，2代表vgdamcosqadq2。由（1）式及合上3.1中能夠看出，由于原子的不性，相速度不再是常數(shù)。但當q0，vpam一常數(shù)。是因當波很，一個波范含有若干個原子，相原子的位相差很小，原子的不效很小，格波湊近與媒中的性波。由（2）式及合上3.1中能夠看出，格波的群速度也不等于相速度。但當q0，vgvpa當q于第一布區(qū)界上，q0，m，體出性波的特點，即a，vg17vp2a而m，表示波矢位于第一布里淵區(qū)界上的格波不能夠在晶體中播，上它是一種波。3.周期性界條件的物理含是什么？引入個條件后致什么果？若是晶體是無量大，的取將會怎？解：由于晶體的大小是有限的，存在界，而然界上原子所的境與體內(nèi)原子的不同樣，從而造成界原子的振狀和內(nèi)部原子有所差?？嫉浇鐑?nèi)部原子振狀的影響，波恩和卡引入了周期性界條件。其詳盡含是想在一Na的有限晶體界之外，依舊有無多個同樣的晶體，而且各晶體內(nèi)相的原子的運情況一，即第j個原子和第tNj個原子的運情況一，其中t＝1，2，3?。引入個條件后，致描述晶格振狀的波矢q只能取一些分立的不同樣。若是晶體是無量大，波矢q的取將于。4.什么叫聲子？于必定的晶體，它可否有必然種和必然數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振中的振子的能量量子，它是一種玻色子，遵從玻色－因斯坦，即擁有能量wj(q)的聲子平均數(shù)于必定的晶體，它所的聲子種和數(shù)目不是固定不的，而是在必然的條件下生化。5.比格波的量子聲子與黑體射的量子光子；“聲子氣體”與真諦想氣體有何同樣之和不同樣之？解：格波的量子聲子與黑體射的量子光子都是能量量子，都擁有必然的能量和量，但是聲子在與其他粒子互相作用，能量守恒，但量卻不用然守恒；而光子與其他粒子互相作用，能量和量卻都是守恒的?！奥曌託怏w”與真諦想氣體的同樣之是粒子之都無互相作用，而不同樣之是“聲子氣體”的粒子數(shù)目不守恒，但真諦想氣體的粒子數(shù)目倒是守恒的。6.晶格比容的因斯坦模型和德拜模型采用了什么化假？各獲取了什么成就？各有什么限制性？什么德拜模型在極低溫度下能出精確果？解：我知道晶體比容的一般公式由上式能夠看出，在用量子理求晶體比容，的關(guān)在于如何求角率的分布函數(shù)()。但是于詳盡的晶體來，()的算特別復。此，在因斯坦模型中，假晶體中全部的原子都以同樣的率振，而在德拜模型中，以介的性波來代表格波以求出()的表達式。因斯坦模型獲取的最大成就在于出了當溫度近于零，比容cV亦近于零的果，是典理所不能夠獲取的果。其限制性在于模型出的是比容cV以指數(shù)形式18近于零，快于出的以T3近于零的果。德拜模型獲取的最大成就在于它出了在極低溫度下，比和溫度T3成比率，與果相吻合。其限制性在于模型出的德拜溫度D恒定，適用于全部溫度區(qū)，但上在不同樣溫度下，德拜溫度D是不同的。在極低溫度下，其實不是全部的格波都能被激，而只有聲學波被激，比容生影響。而于聲學波，晶格能夠介，聲學波擁有性波的性，所以德拜的模型的假基本吻合事，所以能得出精確果。7.聲子碰撞的準量守恒什么不同樣于一般粒子碰撞的量守恒？U程物理像是什么？它背了寬泛的量守恒定律？解：聲子碰撞，其前后的量不用然守恒，而是足以下的關(guān)系式其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。于Gn0的情況，即有q1q2q3，在碰撞程中聲子的量沒有生化，種情況稱正程，或N程，N程可是改了量的分布，而不影響流的方向，它阻是沒有獻的。于Gn0的情況，稱翻程或U程，其物理像可由下3.2來描述：3.2U程物理表示在上3.2中，q1q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，從而破壞了流的方向，所以U程阻是有獻的。U程沒有背寬泛的量守恒定律，因聲子不是物量子，所以其足的是準量守恒關(guān)系。8.要明近似下晶體不會生膨的物理原因；能的非起了哪些作用？解：由于在近似下，原子互相作用能在平衡地址周邊是稱的，隨著溫度高升，原子的能量增高，但原子的距離的平均不會增大，所以，近似不能夠解膨象。能的非在晶體的和膨中起了至關(guān)重要的作用。9.已知由N個同樣原子成的一原子晶格格波的密度可表示2N(m22)1()2。式中m是格波的最高率。求它的振模數(shù)恰好等于N。解：由意可知晶格的振模數(shù)10.若格波的色散關(guān)系cq2和0cq2，出它的狀密度表達式。解：依照狀密度的定式可知()nlim0????????（1）19其中n表示在隔內(nèi)晶格振模式的數(shù)目。若是在q空中，依照(q)const作出等率面，那么在等率面和之的振模式的數(shù)目就是n。由于晶格振模在q空分布是平均的，密度V/(2)3（V晶體體），所以有VdSdq(2)3????????（2）將（2）式代入（1）式可獲取狀密度的一般表達式()VdS(2)3q(q)????????（3）（3）式中q(q)表示沿法方向率的改率。cq2，將之代入（3）式可得0cq2，將之代入（3）式可得11.求量m，原子距a/2，力常數(shù)交1，2的一原子振的色散關(guān)系。101，求在q0和q(q)，并大概畫優(yōu)異散關(guān)系。當2a的解：下3.3出了一原子的表示2β1m2β12x2n-2x2n+1x2nx2n+1x2n+2x2n+3a3.32在近來近似和近似下，第2n和第（2n+1）個原子的運方程d2x2n2(x2n1x2n)1(x2nx2n1)mdt2d2x2n1(x2n2x2n1)2(x2n1x2n)m21dt?????（1）2101，上述方程（1）可md2x2n101(x2n1x2n)1(x2nx2n1)dt2md2x2n1(x2n2x2n1)101(x2n1x2n)dt21?????（2）20求格波解，令i[(2n)qat]x2nAe2qai[(2n1)t]x2n1Be2?????（3）將（3）式代入（2）式，可出性方程(1112)A1(10eiqa/2eiqa/2)B0mm1112)B1(eiqa/210eiqa/2)A(0mm?????（4）12令m0，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得(11由（5）式可解出

22)24iqa/2eiqa/2iqa/210eiqa/2)000(10e)(e??（5）202(1120cosqa101)當q0，cosqa1，220，0qa，cosqa1，200，20當其色散關(guān)系曲以下3.4所示：3.4原子的力常數(shù)不相等的雙原子的晶格振色散關(guān)系曲12.如有一布喇菲格子，第2n個原子與第2n1個原子之的力常數(shù)；而第2n個原子與第2n1個原子的力常數(shù)'。1）寫出個格子振的力學方程；2）明種情況也有聲學波和光學波；（3）求q0，聲學波和光學波的率；（4）q2a（a晶格常數(shù)），聲學波和光學波的率。求解：（1）此與（11）基實情似，在近來近似和近似下，同能夠?qū)懗龅?n和第2n1個原子的力學方程21d2x2n(x2n1x2n)'(x2nx2n1)m2dtmd2x2n1'(x2n2x2n1)(x2n1x2n)dt2?????（1）（2）求出方程（1）的格波解，可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]?????（2）于是將（2）式代入（1）式，可出性方程('2)A(eiqa'eiqa)B0mmm('eiqaeiqa)A('2)B0mmm?????（3）'22'2m012從A、B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可令，m，m得(由（4）式可解出

22)2(44222cos2qa)001212?????（4）2244222cos2qa01212?????（5）由此可知，的取也有和之分，即存在聲學波和光學波（3）由（5）式可知當q0，cos2qa1，有222)，光學波率222聲學波率0(120(12)（4）同由（5）式可知q2a，cos2qa1，有當222222聲學波率012，光學波率01213.在一雙原子中，如M/m1，2(1112sinqa2mcos2qa)2（1）求：M；mM。（2）畫出與q的關(guān)系（M/m10）。22解：（1）在一雙原子中，其第2n個原子與第2n1個原子的運方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2d2x2n1(x2nx2n22x2n1)M2dt???????（1）x2nAei[(2n)qat]解方程（1）可令將（2）式代入（1）式可得出

x2n1Bei[(2n1)qat]??????（2）(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM???（3）從A、B有非零解，方程（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出，可得2()()24sin2qa可解出得MmMmMm?????（4）當（4）式中取“－”號，有(Mm)4Mm121(12sin2qa)21mM(Mm)?????（5）∵M/m1，∴（5）式中有(Mm)M4Mmsin2qa4Mmsin2qa4msin2qa1MmMmm，(Mm)2M2M那么（5）式可化12sinqaM∴當（4）式中取“＋”號，有122

(Mm)(Mm)4Mm22MmMm1(Mm)2cosqa?????（6）∵M/m1，∴（6）式中有(Mm)M(Mm)MMmMmm，MmMmm那么（6）式可化23122(1mcos2qa)2∴mM211121222sin2qa（2）當M/m10，（4）式可化10m100m25m2此，與q的關(guān)系，即色散關(guān)系以下3.5所示：3.5一雙原子振的色散關(guān)系曲14.在一復式格子中，若是m51.671024g，M/m4，1.5N/m。求：光學波率的最大、最小及聲學波率的最大；相的聲子能量是多少eV?3種聲子在300K各有多少個？若是用磁波激光振，要激最大光學率的聲子所用的磁波在什么波段？解：(1)由于光學波率的最大和最小的算公式分：mMm51.6710246.681024g上式中mMm/M11/41化量所以有：而聲學波率的最大的算公式：所以有：相的聲子能量：(3)由于聲子屬于玻色子，遵從玻色—因斯坦，有如用磁波來激光振，要激最大光學率的聲子所用的磁波足以下關(guān)系式：q15.在一雙原子晶格振的情況下，明在布里淵區(qū)界2a，聲學支格波中全部原子m靜止，而光學支格波中全部重原子M靜止。畫出原子振的像。解：第2n個原子原子，其量m，第2n1個原子重原子，其量M，它的運方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2Md2x2n1(x2nx2n22x2n1)dt2???????（1）解方程（1）可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]???????（2）將（2）式代入（1）式可得出24(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM???????（3）A、B有非零解，方程（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出，可得可解出得2()()24sin2qaMmMmMm?????（4）q222a，可求得聲學支格波率M，光學支格波率m令由方程（3）可知，在聲學支中，原子m與重原子M的振幅之比由此可知，聲學支格波中全部原子m靜止。而在光學支中，重原子M與原子m的振幅之比由此可知，光學支格波中全部重原子M靜止。此原子振的像以下3.6所示：3.6（a）聲學支格波原子振；（b）光學支格波原子振16.從一雙原子晶格色散關(guān)系出，當m逐湊近M和mM，在第一布里淵區(qū)中，晶格振的色散關(guān)系如何化？與一原子的色散關(guān)系比，并果行。解：一雙原子晶格的色散關(guān)系由此可做出以下3.7的一雙原子振的色散關(guān)系曲3.7一雙原子振的色散關(guān)系曲由上能夠看出，當m逐湊近M，在第一布里淵區(qū)界，即q2a，聲學波的率開始增大，而光學波的率開始減小，而當mM，聲學波的率和光學2q波的率在2a相等，都等于M而在一原子中，其色散關(guān)系

。24sin2qa2，由此可，在一原子O中只存在一支格波，其色散關(guān)系曲與一雙原子中的聲學波的色散關(guān)系曲基實情似，q2在其布里淵區(qū)界，即a，其格波率M，是雙原子的格波在布里淵25界的率的2倍。()9N2317.晶體由N個原子成，用德拜模型明格波的狀密度m。式中m格波的截止率。解：在德拜模型中，假晶體的振格波是介的性波，即有色散關(guān)系vpq????????（1）那么格波的狀密度()V14q22(2)3dVdq22v3p???（2）m又依照()d3N????????（3）0將（2）式代入（3）式得mV2vp3d3N022????????（4）由（4）式可得v3pVm3????????（5）182N()9N2把（5）式代入（2）式即可得3m118.晶體中每個振子的零點振能是2，用德拜模型求一、二和三晶體的零點振能。原子數(shù)N，一晶格度L，二晶格的面S，三晶格的體V。解：(1)一晶體的零點振能：()d表示角率在d之的格波數(shù)，而且m()dN0(1)???????????????上式中：m是最大的角率；N晶體中的原子數(shù)。上述的零點能能夠?qū)懗桑簃1()d02(2)???????????????26考到一晶體中，其狀密度：dZdZdq()dqdd???????????????(3)由于德拜模型考的是聲學波的影響，而聲學波能夠看作媒性波。于性波，一個波矢一個狀，有：dZL故dq???????????????(4)dvPvPq，dq于性波，?????(5)(L)將(4)和(5)式代入(2)式，得：vP???(6)mNvP將(6)L式代入(1)式，可得：將(6)式代入(2)式，可得一晶體的零點振能：于二晶體來，算其零點振能基本方法與一晶體的方法相似，可是(1)式要改：m()d2N0???????????????(7)S()而于二晶體，其狀密度函數(shù)：vP2?????(8)1224NvPm將(8)式代入(7)式可得：

S將(8)式代入(2)式可得二晶體的零點振能：于三晶體來，算其零點振能基本方法與一晶體的方法也基實情似，可是于(1)式要改：m()d3N0???????????????(9)()3V2而于三晶體，其狀密度函數(shù)：22vP3???(10)16N2vP33mV將(10)式代入(9)式可得：將(10)式代入(2)式可得三晶體的零點振能：19.用德拜模型，算一、二情況下晶格振的狀密度、德拜溫度、晶格比容。27解：在德拜模型中，假晶體的振格波是介的性波，即有色散關(guān)系vpq????????（1）L1L()d22vp（1）在一情況下，晶格振的狀密度dq（2）上式中，L表示一晶格的度。m又由關(guān)系式()dN????????（3）0mLNNvpdm將式（3）代入式（2）可得0vp，由此求得LDmNvpkBkBL于是德拜溫度晶體的比容2m/(kBT)2exkBTLxdxxvpx1)20(e（其中kBT）（2）在二情況下，晶體振的格波有2支，即一支波和一支橫波，在德拜模型中，假波和橫波的波速相等，都等于vp，即波和橫波都有以下的色散關(guān)系S1S1()d2q(2)22vp2先考率波，其狀密度dq2()S2vp2似地能夠?qū)懗鰴M波的狀密度()1()S2()加起來的狀密度vp2???????（4）m又由關(guān)系式()d2N????????（5）021m2Sd2N4NvP將（4）式代入（5）式得0v2pmS，由此可得28mD于是得德拜溫度為kBcVmkB(0而晶體的比熱容為kB3T2S

2124NvPkBS2e/(kBT))(e/(kBT)1)2kBTm/(kBT)3exx

Sv2p

d2v2p

(ex1)2dx0

x（其中kBT）20.已知金剛石的彈性模量為1×1012N/m2，密度為3.5g/cm3。試計算金剛石的德拜溫度D。解：假設金剛石的原子振動的格波為一連續(xù)介質(zhì)的彈性波，其波速為vpK110121.6943.510310m/snN03.51036.0210231.7561029而又金剛石的原子密度為MC12103個/m3由此可知金剛石的德拜溫度為2817K21.擁有簡單立方布喇菲格子的晶體，原子間距為2×10-10m，由于非線性互相作用，一個沿[100]方向流傳，波矢大小為q1.31010m-1的聲子同另一個波矢大小相等當沿[110]方向流傳的聲子互相作用，合成為第3個聲子，試求合成后的聲子波矢。解：易知簡單立方格子的倒格子仍是一簡單立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相223.143.141010垂直，長度為a21010m-1，第一布里淵區(qū)就是原點和六個近鄰格點連線的垂直均分面圍成的立方體。又由于由此可知q1q2落在第一布里淵區(qū)之外，即可知題所述兩聲子的碰撞過程是一個翻轉(zhuǎn)過程或U過程，此時兩聲子的碰撞產(chǎn)生第三聲子滿足準動量守恒，即有q1q2q3Gn（其中Gn表示一倒格矢）為使q3落在第一布里淵區(qū)里，取Gn3.141010i，則有q30.921010i0.921010j1.31010-1其大小為m29u(r)e2B40rr2。式中B為待定常數(shù)；r為22.設某離子晶體離子間的互相作用勢能為近鄰原子間距。求該晶體的線膨脹系數(shù)。已知近鄰原子的平均距離為3×10-10m。du(r)0dr解：由平衡條件r0，可得e22B0Be2r040r02r038由此可得0于是可求得1d2u(r)e21d3u(r)e2C2!(dr2)r080r03，g3!(dr3)r040r04那么線膨脹系數(shù)為5.4105K-130第四章金屬自由電子理論1.金屬自由子作了哪些假？獲取了哪些果？解：金屬自由假金屬中的價子在一個平均中互相獨立，仿佛理想氣體中的粒子一是“自由”的，每個子的運由薛定方程來描述；子足泡利不相容原理，所以，子不遵從典而遵從量子的米－狄拉克。依照個理，不出了魏德曼－佛定律，而且而得出子氣晶體比容的獻是很小的。2.金屬自由子在k空的等能面和米面是何形狀？米能量與哪些因素相關(guān)？解：金屬自由子在k空的等能面和米面都是球形。米能量與子密度和溫度相關(guān)。3.在低溫度下子比容比典理出的果小得多，什么？解：因在低溫，大多數(shù)子的能量低于米能，由于受泡利原理的限制基本上不能夠參加激，而只有在米面周邊的子才能被激從而比容有獻。4.豫的物理意是什么？它與哪些因素相關(guān)？解：豫的物理意是指子在兩次碰撞之的平均自由，它的引入是用來描述晶格子漂移運的阻攔能力的。豫的大小與溫度、子量、子度、子所量及金屬的率相關(guān)。5.當2金屬接觸，什么會生接觸差？解：由于2金屬中的子氣系的米能高低不同樣而使子射的逸出功不同樣，所以2金屬接觸，會生接觸差。6.已知一金屬晶體共含有N個子，晶體的度L，T0K。求：1）子的狀密度；2）子的米能；3）晶體子的平均能量。解：(1)一金屬晶體的子狀密度：dZdZdk??????????（1）(E)dkdEdE考在k空中，在半徑k和kdk的兩段之所含的狀數(shù)：dZ2dkLdk??????????（2）k又由于E2k22m所以dE2k??????????（3）dkm將（2）和（3）式代入（1）式，并考到每個狀可容2個自旋相反的子，得一金屬晶體中自由子的狀密度：31(E)2Lm??????????（4）2E（2）由于子是米子，遵從米—狄拉克，即在平衡，能量E的能被子占有的幾率：f(E)1??????????（5）EEFeKBT1于是，系中的子數(shù)可表示：Nf(E)(E)dE??????????（6）0由于T0K，所以當EEF0，有f(E)0，而當EEF0，有f(E)1，故（6）式可化：EF02LmdE＝4LmEF0＝202E由此可得：EF0N222??????????（7）8mL2（3）在T0K，晶體子的平均能量：E01Ef(E)(E)dE＝1EF0E2LmdEN0N02E32221EF0＝2L2m(EF0)2＝N3N24mL237.限制在L的正方形中的N個自由子，子的能量2E(kx,ky)(kx2ky2)。2m求：（1）能量E～EdE之的狀數(shù)；2）此二系在零度的米能量；3）子的平均能量。解：（1）K空中，在半徑k和kdk的兩面之所含的狀數(shù)dZL222kdkL2kdk??????????（1）42也就是能量在E～EdE之的狀數(shù)，由子的能量表達式可得kdk2mE2m1dEmdE??????（2）2222E32將（2）式代入（1）式，并考慮到每個狀態(tài)可容納2個自旋相反的電子，這樣可得能量dE之間的狀態(tài)數(shù)為dZ2mL22在E～E2dEmL2dE22）由（1）問可知，該系統(tǒng)的自由電子的狀態(tài)密度為在絕對零度下，由下式由此可得此二維系統(tǒng)在絕對零度的費米能量為3）電子的平均能量為8.金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數(shù)為a3.51010m。試計算絕對零度時電子氣的費米能量EF0（以eV表示）解：由題意可求得金屬鋰的電子濃度為n2(3.524.661028/m3a31010)3故絕對零度時金屬鋰的電子氣的費米能量為7.571019J4.72eV9.在低溫下金屬鉀的比摩爾熱容的實驗結(jié)果可寫成cv(2.08T2.57T3)mJ/(molK)若1mol的鉀有N61023個電子，試求鉀的費米溫度TF和德拜溫度D。解：依照金屬自由電子氣模型，低溫下金屬的總比摩爾熱容為：上式中，N02kB2，b124N0kB，所以有：2EF053D故：0N02kB2610233.142(1.381023)22.7081019EF2.081034.16103J2又由kBTF0EF0得TF02.708101.3810

19231.962104K3123.144610231.381023而D52.5710390.9K10.試比較1mol金屬鈉在30K和0.3K時的德拜比熱容，并與電子比熱容比較。已知鈉的德拜溫度D150K，鈉的費米能級EF03.23eV。解：在30K時，1mol金屬鈉的德拜比熱容為1.57J/K33而其電子比熱容為0.0328J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為在0.3K時1mol金屬鈉的德拜比熱容為1.57106J/K而其電子比熱容為3.28104J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為11.有一鎢絲，長0.05m，橫截面積的直徑為1×10-4m。試求2000K時鎢絲的熱電子發(fā)射電流。已知鎢的電子逸出功為4.5eV。解：由里查孫－杜師曼定律可知鎢絲的熱電子發(fā)射電流密度為7510420002e4.51.61019/(1.3810232000)14.05A/m2故熱電子發(fā)射電流為11042IjS14.053.141.103107A212.室溫下利用光電效應已測得銀及銫的光電效應閥值分別為4.8eV和1.8eV。求：1）采用里查孫－杜師曼公式分別估計銀及銫在室溫下的熱電子發(fā)射電流密度；2）若溫度上升至800K時，其熱電子發(fā)射電流密度為多少？3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，求出室溫下它們的接觸電勢差。解：（1）在室溫下銀的熱電子發(fā)射電流密度為8.3610在室溫下銫的熱電子發(fā)射電流密度為5.4710

A/m2202A/m（2）在800K時銀的熱電子發(fā)射電流密度為4.7210192A/m在室溫下銫的熱電子發(fā)射電流密度為4.80A/m2（3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，它們的接觸電勢差為VD1WCs)3V(WAgem(dvv)e13.利用電子漂移速度v的方程dt，證明在頻次下的電導率為：()(0)[1i)2]ne21(其中(0)/m0。解：設電場為0eit，則有34或dvve0eitdtm齊次方程dvv0的通解為dt設非齊次方程的特解為vAeit，則有從上式可求出特解的待定系數(shù)A為故非齊次方程的通解為上式中的第一項隨時間的增大迅速衰減，表示電子在電場作用下的馳豫過程，對電流沒有貢獻，對電流有貢獻是第二項，若是在電場的作用下，單位體積內(nèi)含有n個電荷為e的電子，則其電流密度j()n(e)vne20eit)m(1i()故()ne2(11(0)1imi)1()2其中(0)

ne2m35第五章固體的能帶理論1.布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論對照有哪些改進？解：布洛赫電子論作了3條基本假設，即①絕熱近似，認為離子實固定在其瞬時地址上，可把電子的運動與離子實的運動分開來辦理；②單電子近似，認為一個電子在離子實和其他電子所形成的勢場中運動；③周期場近似，假設全部電子及離子實產(chǎn)生的場都擁有晶格周期性。布洛赫電子論對照于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實之間的互相作用，也考慮了電子與電子的互相作用。2.周期場對能帶形成是必要條件嗎？解：周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電子的波函數(shù)是一個周期性調(diào)幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。3.一個能帶有N個準連續(xù)能級的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N平時都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應的能級也同樣十分密集，所以便形成了準連續(xù)的能級。4.禁帶形成的原因如何？您可否用一物理圖像來描述？解：對于在倒格矢Kh中垂面及其周邊的波矢k，即布里淵區(qū)界面周邊的波矢k，由于采用簡并微擾計算，致使能級間產(chǎn)生排斥作用，從而使E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶。能夠用下面的圖5.1來描述禁帶形成的原因：E(k)<0>0DBACOk5.近自由電子模型與緊拘束圖模5型.1各在有布何里特淵點區(qū)界？面它附們近有禁相帶同形成之的處物？理表示圖解：所謂近自由電子模型就是認為電子湊近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊拘束模型則認為電子在一個原子周邊時，將主要碰到該原子場的作用，把其他原子場的作用看作微擾作用。這兩種模型的同樣之處是：采用一個合適的擁有正交性和齊全性的布洛赫波形式的函數(shù)集，爾后將電子的波函數(shù)在所采用的函數(shù)集中張開，其張開式中有一組特定的張開系數(shù)，將張開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，能夠獲取一組36各張開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭穿出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。6.布洛赫電子的費米面與哪些因素相關(guān)？確定費米面有何重要性？解：布洛赫電子的費米面與晶體的種類及其電子數(shù)目相關(guān)。由于晶體的好多物理過程主若是由費米面周邊的電子行為決定的，如導電、導熱等，所以確定費米面對研究晶體的物理性質(zhì)及展望晶體的物理行為都有很重要的作用。7.試述晶體中的電子作準經(jīng)典運動的條件和準經(jīng)典運動的基本公式。解：在實責問題中，只有當波包的尺寸遠大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準經(jīng)典粒子。準經(jīng)典運動的基本公式有：晶體電子的準動量為pk；晶體電子的速度為v1E(k)；k晶體電子碰到的外力為Fdkdt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為112E(k)；m*2kk在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：8.試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用途？解：有效質(zhì)量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準經(jīng)典運動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學中牛頓第二定律同樣，這樣便于我們辦理外力作用下晶體電子的動力學問題。當滿帶頂周邊有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完好仿佛存在一個帶正電荷q和擁有正質(zhì)量m*、速度v(k)的粒子的情況同樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴?？昭ǖ囊胧沟脻M帶頂周邊缺少一些電子的問題和導帶底有少許電子的問題十分相似，給我們研究半導體和某些金屬的導電性能帶來了很大的方便。9.試述導體、半導體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特點。解：在導體中，除去完好充滿的一系列能帶外，還有可是部分地被電子填充的能帶，后者能夠起導電作用，稱為導帶。在半導體中，由于存在必然的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導帶中存有少許電子，或滿帶中缺了少許電子，從而致使必然的導電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在好多電子，其實不導電。10.說明德·哈斯－范·阿爾芬效應的基根源理及主要應用。解：在低溫下強磁場中，晶體的磁化率、電導率、比熱容等物理量隨磁場變化而表現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德·哈斯－范·阿爾芬效應。由于德·哈斯－范·阿爾芬效應同金屬費米面周邊電子在強磁場中的行為相關(guān)，所以同金屬費米面結(jié)構(gòu)親近相關(guān)，所以德·哈斯－范·阿爾芬效應成為人們研究費米面的有力工具。11.一維周期場中電子的波函數(shù)k(x)應當滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a，電子的波函37數(shù)為（1）k(x)sinx；a（2）k(x)icos3x；a（3）k(x)if(xia)（其中f為某個確定的函數(shù)）。試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成k(x)eikxuk(x)，其中，uk(xa)uk(x)或?qū)懗蒶(xa)eikak(x)（1）k(xa)sinxasinxk(x)aa故eika1ka顯然有uk(xa)uk(x)故k(x)sinx的波矢是。aa（2）k(xa)icos3(xa)icos3xk(x)aa所以eika1ka顯然有uk(xa)uk(x)故k(x)icos3x的波矢a。a（3）k(xa)f(xaia)f[x(i1)a]f(xma)k(x)iim故eika1k0故k(x)f(xia)的波矢為0。i要說明的是，上述所確定的波矢k其實不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。由于k空間中相差任一倒格矢的兩個k值所描述的狀態(tài)是同樣的。12.已知電子在周期場中的勢能為其中：a4b，為常數(shù)。（1）畫出勢能曲線，并求出其平均值；（2）用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個禁帶寬度。38解：（1）該周期場的勢能曲線以下所示：UO其勢能平均值為：（2）依照近自由電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為其中U1和U2表示周期場U(x)的張開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為13.已知一維晶體的電子能帶可寫成：2(71cos2ka)E(k)coskama288。式中a是晶格常數(shù)。試求1）能帶的寬度；2）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；3）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）在能帶底k0處，電子能量為在能帶頂k處，電子能量為a故能帶寬度為EE()22E(0)ama22）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為3）電子的有效質(zhì)量為于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為