人教版高中數(shù)學必修2同步章節(jié)訓練題及答案全冊匯編

2目錄棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1-2-1、2中心投影與平行投影空間幾何體的三視圖1-2-3空間幾何體的直觀圖柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的體積1-3-2球的體積和表面積高中數(shù)學第一章綜合素能檢測平面空間中直線與直線之間的位置關(guān)系、4空間中直線與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系直線與平面平行的判定平面與平面平行的判定直線與平面平行的性質(zhì)平面與平面平行的性質(zhì)直線與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)3-1-1傾斜角與斜率3-1-2兩條直線平行與垂直的判定直線的點斜式方程直線的兩點式方程直線方程的一般式兩條直線的交點坐標兩點間的距離公式、4高中數(shù)學第三章綜合檢測圓的標準方程圓的一般方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的應(yīng)用4-3-1、2空間直角坐標系空間兩點間的距離公式高中數(shù)學第四章綜合檢測PAGEPAGE363一、選擇題1．在棱柱中( )A．只有兩個面平B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也互相平[答案] D下列幾何體中，不屬于多面體的( )C．長方體[答案]D

D．球如圖所示的幾何體( A．五棱錐C．五棱[答案] C下列命題中，正確的(

B．五棱臺D．五面體有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面CD．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形[答案] D5．棱錐側(cè)面是有公共頂點的三角形，若圍成一個棱錐側(cè)面的角形都是正三角形，則這樣側(cè)面的個數(shù)最多有幾個)A．3 B．4 C．5 [答案] C[解析] 由于頂角之和小于360°，故選C.6．下面描述中，不是棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征的( A．三棱錐有四個面是三角形B．棱錐都是有兩個面是互相平行的多邊形C．棱錐的側(cè)面都是三角形D．棱錐的側(cè)棱交于一[答案] B7．下列圖形經(jīng)過折疊不能圍成一個棱柱的( )[答案] B8(201－2013·嘉興高一檢)如下圖都是正方體的表面展開圖還原成正方體后，其中兩個完全一樣的( )A．(1)(2)C．(3)(4)[答案] B

B．(2)(3)D．(1)(4)[解析] 在圖(2)、(3)中，⑤不動，把圖形折起，則②⑤為對面，①④為對面，③⑥為對面，故圖(2)、(3)完全一樣，而(1)、(4)則不同[解題提示] 讓其中一個正方形不動，其余各面沿這個正方形各邊折起，進行想象后判斷．二、填空題(1)中的幾何體叫BB等叫它，1 1A、B、C等叫它．1[答案] 棱柱 側(cè)棱 頂點圖(2)中的幾何體叫、PB叫它的 ，平面PBC、PCD叫做它，平面ABCD叫它的 ．[答案] 棱錐 側(cè)棱 側(cè)面 底面(3)中的幾何體叫它是由棱被平于底面ABCD的平面 截得的．AA′，BB′叫它 ，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的 ．[答案] 棱臺 O－ABCD A′B′C′D′ 側(cè)棱 側(cè)面ABCD－A1B1C1D1容器中灌BCEFGH的面積不變；③水面EFGH始終為矩形．其中正確的命題序號是 ．[答案] ①③[解析]EFGH的面積是會改變的，但仍為矩形故②錯誤；③正確．三、解答題13．判斷下列語句的對錯．(1)相等；五棱錐只有五條棱；三角形相似．[解析] (1)正確．以不相等．10條棱．正確．如右圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體[解析] 這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的正八面體．有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱已知正方體ABCD－ABCD，圖(1)中截去的是什么幾何111 1體？圖(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的幾何體是什么？成了一個什么幾何體？[解析] 三棱錐 五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG 長方體一個幾何體的表面展開平面圖如圖．該幾何體是哪種幾何體；對的是哪個面？[解析] (1)該幾何體是四棱臺；(2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊?，與“你”相對的面是“程”．一、選擇題1．下列說法不正確的( )A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓[答案] C[解析] 由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐．強調(diào)一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體( )圓柱C．圓臺[答案] 下列說法正確的(

圓錐DAB．圓柱的母線與軸垂直C．圓臺的母線與軸平行D．球的直徑必過球心[答案] D[解析] 圓錐的母線長與底面直徑的大小不確定則A項不正確圓柱的母線與軸平行，則B項不正確；圓臺的母線與軸相交，則C項不正確；很明顯D項正確．如右圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的何體形狀( )A．一個球體B．一個球體中間挖出一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方[答案] B[解析] 圓旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個柱，所以選B.一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的積為( )A．10C．40[答案] B

B．20D．15[解析] 圓柱的軸截面是矩形，其一邊為圓柱的母線，另一邊圓柱的底面圓的直徑．因而，軸截面的面積為5×4＝20.在空間，到定點的距離等于定長的所有點的集合( )A．球C．圓答案] D

BD7．(201－201312中的()[答案]A[解析]適當分割，只有A適合．故正確答案為A.圖中最左邊的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為幾何體，則截面圖形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)[答案] D[解析] 圓錐除過軸的截面外，其它截面截圓錐得到的都不是角形．二、填空題圖①中的幾何體叫叫它叫的 ，AB叫它．[答案] 球 球心 半徑 直徑圖②中的幾何體，AB、CD都是它，⊙O和⊙O′及其內(nèi)部是它． [答案]圓柱母線底面圖③中的幾何體叫，SB為叫它[答案]圓錐母線圖④中的幾何體叫 A′叫它 及其內(nèi)部叫它及其內(nèi)部叫它它還可看作直角梯形OAA′O′繞它旋轉(zhuǎn)一周后其各邊所形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體．[答案]圓臺母線上底面下底面垂直于兩底的腰OO′三、解答題7種幾何體的名稱．[解析] a是圓柱是圓錐是球e是棱柱是圓臺是棱錐．說出如圖所示幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征．[解析] (1)是一個六棱柱中挖去一個圓柱是一個圓臺與一圓柱的組合體；(3)是兩個四棱錐構(gòu)成的組合體．360°得到？畫出[解析] 先出畫幾何體的軸，然后再觀察尋找平面圖形．旋轉(zhuǎn)的平面圖形如下：ABCD－A′B′C′DcmAD＝4cm，AA′＝3cm.A、C′兩點的諸曲線的長度的最小值．[解析] 將長方體的表面展開為平面圖，這就將原問題轉(zhuǎn)化為面問題．本題所求必在下圖所示的三個圖中，從而，連接AC′的諸41曲線中長度最小的為 cm(如圖乙所示)．41一、選擇題一個空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等腰三角形俯視圖為一個圓及其圓心，那么這個幾何體( )棱錐C．圓錐[答案]

棱柱D已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體( )圓臺C．四棱[答案] D

四棱錐D下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體序號是( )A．(1)(2)C．(3)(4)[答案] D

B．(2)(3)D．(1)(4)4(201－2013·安徽淮南高三模下列幾何體各自的三視圖中有且僅有兩個視圖相同的( )A．①② B．①③ C．①④ [答案] D[解析] ①正方體，三視圖均相同；②圓錐，正視圖和側(cè)視圖同；③三棱臺，三視圖各不相同；④圓臺，正視圖和側(cè)視圖相同．[點評] 熟悉常見幾何體的三視圖特征，對于畫幾何體的直觀是基本的要求．幾何體直觀圖形正視圖幾何體直觀圖形正視圖側(cè)視圖俯視圖正方體長方體長方體圓柱圓錐圓臺球5.如左下圖所示的是物體的實物圖，其俯視圖( )[答案] C[解析] 結(jié)合俯視圖的定義，仔細觀察，易得答案C.6．一個幾何體的三視圖如圖，則組成該組合體的簡單幾何體( )A．圓柱與圓臺 B．四棱柱與四棱臺C．圓柱與四棱[答案] B

D．四棱柱與圓臺[解析] 該幾何體形狀如圖．上部是一個四棱柱，下部是一個棱臺．7．如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的( )[答案] B8．(2011·新課標全國高考)在一個幾何體的三視圖中，主視圖俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以( )[答案] D[解析] 此幾何體為一個半圓錐和一個半三棱錐的組合體，只有D項符合題意．二、填空題下列圖形：①三角形；②直線；③平行四邊形；④四面體；⑤球．其中投影不可能是線段的．[答案] ②④⑤[解析] 三角形的投影是線段成三角形；直線的投影是點或直線平行四邊形的投影是線段或平行四邊形四面體的投影是三角或四邊形；球的投影是圓．由若干個小正方體組成的幾何體的三視圖如下圖則組成個組合體的小正方體的個數(shù)．[答案] 5[解析] 由三視圖可作出直觀圖，由直觀圖易知共有5個小正體．)圖如圖所示，則下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有 ．[答案]①②③④12(201－2013·湖南高三十二校聯(lián))一個幾何體的三視如圖所示其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角角形，則用 個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為4的正方體．[答案]3[解析]該幾何體是四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高等于4，如圖(1)所示的四棱錐A－A1B1C1D1，如圖(2)所示，三個相同的四棱錐A－ABCD，A－BBCC，A111 1 11－DDCC可以拼成一個棱長為4的正方體．11三、解答題13．如圖，四棱錐的底面是正方形，頂點在底面上的射影是底面正方形的中心，試畫出其三視圖．[解析] 所給四棱錐的三視圖如下圖．[點評] (1)畫三視圖時，務(wù)必做到正視圖與側(cè)視圖的高度一致(即所謂的高平齊)、正視圖與俯視圖的長度一致(即所謂的“長對正”)、側(cè)視圖與俯視圖的寬度一致(即所謂的“寬相等”)．(2)習慣上將側(cè)視圖放在正視圖的右側(cè)，將俯視圖放在正視圖的下方．[拓展提高]1正視圖 中AB的長對應(yīng)原四棱錐底面多邊形的左右方向的長度BC的長則不對應(yīng)側(cè)棱的長，它們對應(yīng)四棱錐頂點到底面左、右兩邊的距離．側(cè)視圖 中的長度對應(yīng)原四棱錐底面的前后度，GE、GF的長度則是四棱錐頂點與底面前后兩邊的距離．俯視圖 中HIJK的大小與四棱錐底面的大小狀完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，則為四棱錐的頂點在面上的投影到底面各頂點的距離．2．誤區(qū)警示：正視圖、側(cè)視圖中三角形的腰長有的學生會誤認為是棱錐的側(cè)棱長，實則不然．弄清一些數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系，是后面進行相關(guān)計算的前提．依所給實物圖的形狀，畫出所給組合體的三視圖．[解析] 圖中所給幾何體是一個圓柱和一個正六棱柱的組合體在中心以中心軸為軸線挖去一個小圓柱，故其三視圖如下：說出下列三視圖表示的幾何體：[解析][答案] 所對應(yīng)的空間幾何體的圖形為：一、選擇題如果平面圖形中的兩條線段平行且相等，那么在它的直觀中對應(yīng)的這兩條線( )C．相等不平行[答案]A

平行不相等D給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論其中正確的個數(shù)( )①角的水平放置的直觀圖一定是角．②相等的角在直觀圖中仍相等．③相等的線段在直觀圖中仍然相等．④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行．A．0C．2[答案] C

B．1D．3[解析] 由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，∴④對，①對；而線段的長度，角的大小在直觀圖中都會發(fā)生改變，∴②③錯．利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上說法正確的( )①C．③④

①②D．①②③④[答案] B[解析] 根據(jù)畫法規(guī)則，平行性保持不變，與y軸平行的線段度減半．如圖所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的上角而繪制的，其中正確的( )[答案] A[解析] 由幾何體直觀圖畫法及立體圖形中虛線的使用可知A確．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是( )A．ABC．BC[答案] D

B．ADD．AC[解析] △ABC是直角三角形且則＞AD，AC＞BC.一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面20m,5m,108()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8[答案] C[解析]4cm,1cm,2cm1.6cm，再結(jié)合斜二測畫法，可知直觀圖的相應(yīng)尺4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.()[答案] C[解析]x′直角梯形．1ABC的直觀圖不是全等三角形的一組( )[答案] C[解析] C中前者畫成斜二測直觀圖時，底AB不變，原來高h 1變?yōu)?，后者畫成斜二測直觀圖時，高不變，邊AB變?yōu)樵瓉淼?.二、填空題斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀中的對應(yīng)點是M′，則點M′的坐標，點M′的找法 ．[答案]M′(4,2)在坐標系x′O′y′中，過點(4,0)和y′軸平行的直線與過點(0,2)和x′軸平行的直線的交點即是點M′.[解析]x′O1M1＝4軸上O′M2＝2M1M2軸的M′.如右圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是 ．[答案] 10[解析] 由斜二測畫法，可知是直角三角形，且90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，則AB＝ AC2＋BC2＝10.如圖，是△AOB用斜二測畫法畫出的直觀圖，則面積．[答案] 16[解析] 由圖易知△AOB中，底邊又∵底邊OB的高為8，1S＝2×4×8＝16.如圖所示，正方形O′A′B′C′的邊長為1，它是水平置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長？[答案] 8[解析] 原圖形為OABC為平行四邊形，OA＝1，AB＝ ∴四邊形OABC周長為8.三、解答題()．[解析]ABCD是一個梯形，CD∥AB，CD＝AOAODO為AB水平放置的直觀圖的面積．[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCDCDAB的長度都不變，2424如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝2OD，梯形的高D′E′＝ ，2424A′B′C′D′2×(1＋2)×

32＝8.已知幾何體的三視圖如下，用斜二測畫法，畫出它的直觀()．[解析]如圖．ABCD中，AD∥BCAD＞BC，該ADEF觀圖和三視圖．[分析]該幾何體是一個圓錐和一個圓柱拼接成的簡單組合體．[解析]直觀圖如圖a所示，三視圖如圖b所示．一、選擇題軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)積是底面積( )A．4倍C.2C.2倍[答案] D

B．3倍D．2倍S πrl l[解析] 由已知得l＝2r，S側(cè)＝πr2＝r＝2，底故選D.3長方體的高為底面積為垂直于底的對角面的面積是則長方體的側(cè)面積等( )37A．2C．67[答案] C

B．4D．3[解析] 設(shè)長方體的長、寬、高分別為、b、則c＝1，ab＝2， a2＋b2·c＝5，∴a＝2，b＝1

＝2(ac＋bc)＝6.側(cè)已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全積與側(cè)面積的比( )1＋2π2π1＋2πC. π[答案] A

1＋4πB. 4π1＋4πD. 2π[解析] 設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h＝2πr，∴S ＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)全又S ＝h2＝4π2

S 1＋2π全側(cè)r，∴S＝2π .側(cè)側(cè)[點評] 圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，矩形兩邊長分別為圓柱底面周長和高；圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，半徑為圓錐的母線，長為圓錐底面周長圓臺側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)其兩段弧長為圓臺兩底周長，扇形兩半徑的差為圓臺的母線長，對于柱、錐、臺的有問題，有時要通過側(cè)面展開圖來求解．將一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則面積增加( )6a2C．18a2[答案] B

2a2D．24a2[解析] 原來正方體表面積為S＝6a2，切割成27個全等的小正11 1 2方體后，每個小正方體的棱長為a，其表面積為6×a2＝a2，總表3 3 32面積S＝27×a2＝18a2，∴增加了S－S＝12a2.2 3 2 1如圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比長為10，則圓臺的側(cè)面積( )

，母線1πC．14π[答案] B

0πD．169π[解析] 圓臺的軸截面如圖設(shè)上底半徑為則下底半徑為高為4r.因為母線長為10，所以在軸截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.r＝2.

＝π(r＋4r)·10＝100π，故選B.圓臺側(cè)如圖，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的方形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的全面積( )A.2C．π

B．2πD．4π[答案] A[解析]

1 1的圓柱，由三視圖可知，該幾何體是底半徑為2，高為故其全面積S＝2π

1 122＋2π2

1＝3π×

×2× 2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如圖是一個幾何體的三視圖，其24，腰長為4()6πC．18π[答案]

2πD．24π[解析] 該幾何體是兩底面半徑分別為母線長為4的圓臺則其側(cè)面積是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、寧夏高考)一個棱錐的三視圖如圖所示，則該錐的全面(單位：cm2)為( )22A．48＋12C．36＋1222[答案] A

B．48＋24D．36＋2422[解析] 由三視圖可得：底面為等腰直角三角形，腰長為6，面221積為18；垂直于底面的面為等腰三角形，面積為2×62×4＝122；1其余兩個面為全等的三角形，每個三角形的面積都為2×6×5＝15.所以全面積為48＋122.二、填空題OOl＝4cm42πcm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝ [答案] 3[解析] 圓柱OO′的側(cè)面積為 2πrl＝8πr(cm2)，兩底面積為2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圓柱的底面半徑為3cm.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，該幾何體的表面積．3[答案] 24＋23[解析] 該幾何體是三棱柱且兩個底面是邊長為2的正三角形側(cè)面是全等的矩形，且矩形的長是4，寬是2，所以該幾何體的表面1積為2×(2×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23.如圖所示，一圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的頂點是圓柱底6，底面半徑為2，則該組合體的表面積等．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圓錐的母線長為62＋22＝210，410π.柱的一個底面面積為×＝44＋4π＝(410＋28)π.12 2．下圖中，有兩個相同的直三棱柱，高為a，底面三角形的三3a、4a、5a(a>0)所有可能的情況中表面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是 ．3[答案] 0<a<153[解析] 底面積為6a2，側(cè)面面積分別為6、8、10，拼成三棱時，有三種情況：S1＝2×6a2＋2(10＋8＋6)＝12a2＋48，S2＝24a2＋2(10＋8)＝24a2＋36，S3＝24a2＋2(10＋6)＝24a2＋32.拼成四棱柱時只有一種情況：表面積為(8＋6)×2＋4×6a2＝24a2＋28.1524a2＋28<12a2＋480<a<3.三、解答題5S－ABCD，如圖所示，求它的表面積．求各側(cè)面的面積[分析] →求各側(cè)面的面積求側(cè)面積求底面積求表面積- →求側(cè)面積求底面積求表面積[解析] ∵四棱錐S－ABCD的各棱長均為各側(cè)面都是全等的正三角形，EABSE⊥AB，∴S

＝4 1 5 5

253，側(cè)

×2××2＝S ＝52＝25，底∴S ＝S 表面積 側(cè)

＝253＋25＝25(3＋1)．底ab(a<b)．45°，求棱臺的側(cè)面積；若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高．[解析] (1)如圖，設(shè)、O分別為上、下底面的中心，過C1作CE⊥AC于E，過E作EF⊥BC，連接CF，則CF為正四棱臺的斜1 1 1高．由題意知∠CCO＝45°，1CE＝CO－EO＝CO－CO

2(b－a)，1 1 22在Rt△CCE中，CE＝CE＝ (b－a)，1 1 2又EF＝CE·sin45° 1b－a)，CE2＋EFCE2＋EF211

＝2(322 132＝ [2b－a]2＋[2b－a]2＝3232

(b－a)．2∴S ＝2側(cè)

(b－a)＝3(b2－a2)．(2) 2 2 1 2 2由S ＝a＋b，∴(4a＋4b)·h2側(cè)2

＝a＋b，斜a2＋b2∴h ＝ .

b－a斜

又EF＝2 ，ab∴h＝ h2－EF2＝ .斜 a＋b15．(2012－2013·嘉興高一檢測)如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱，求圓柱的表面積．[解析] 設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面為S.則AO＝ 42－22＝23.如圖所示易知△AEB∽△AOC，AE EB 3 r23∴AO＝OC，即 ＝2，∴r＝123S 底

＝2πr·h＝23π.側(cè)∴S＝S 底

＝2π＋23π＝(2＋23)π.側(cè)16．已知某幾何體的三視圖如圖，求該幾何體的表面積．(單位：cm)[解析] 幾何體的直觀圖如圖．這是底面邊長為4，高為2的同底的正四棱柱與正四棱錐的組體，易求棱錐的斜高 h′＝2 2，其表面積 S＝42＋4×4×2＋1 22×4×22×4＝48＋16 cm2.2 一、選擇題61長方體三個面的面積分別為6和則長方體的體積( )63A．6C．113[答案] A

B．3D．12[解析] 設(shè)長方體長、寬、高分別為abc，則bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝63.已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則積為( )33A．32C．2433[答案] B[解析] 上底面積S13

B．28D．20333334×22＝63，4下底面積S＝6×42

×42＝243，SS1SS12V＝(S＋S

)·h3 1 21＝3(63＋243＋ 63·243)×2＝283.3．(2012～2013學年棗莊模擬)一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，直角邊長為1，則這個幾何體的體積為()A．11C.3[答案] D

1B.21D.6[解析] 由三視圖知，該幾何體是三棱錐．1 1 1體積V＝3×2×1×1×1＝6.4．體積為52cm3的圓臺，一個底面面積是另一個底面面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積( )A．54C．58cm3[答案]A

．54πc358c3[解析]1:91:27，截得小圓錐1:262cm354cm3，故選A.5．(2012·江西(文科))若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為()11A.2C．4[答案]

B．59D.2[解析] 本題的幾何體是一個六棱柱，由三視圖可得底面為六形，面積為4，高為1，則直接代公式可求．6．(2009·陜西高考若正方體的棱長為2，則以該正方體各個的中心為頂點的凸多面體的體積( )6A.26C.3

B.23233[答案] B

D.322[解析] 由題意知，以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體正八面體即由兩個同底等高的正四棱錐組)，所有的棱長均為122其中每個正四棱錐的高均為

，故正八面體的體積V＝2V

＝正四棱錐231 2232×3×12×2＝

.故選B.1的正方形，1且體積2，則該幾何體的俯視圖可以( )[答案] C[解析] 若該幾何體的俯視圖是選項A，則該幾何體是正方體，

1≠2，所以

A選項不是；若該幾何體的俯視圖是選項1 π 1B，則該幾何體是圓柱，其體積V＝π× 2×1

B選項(2) ＝4≠2，所以不是；若該幾何體的俯視是選項D，則該幾何體是圓柱的四分之一，1 π 1其體積V＝4(π×12×1)＝4≠2，所以D選項不是；若該幾何體的俯視1 1圖是選項C，則該幾何體是三棱柱，其體積V＝2×1×1×1＝2，所以C選項符合題意，故選C.(1)1cm3cm20cm，當這個幾何體如圖(3)28()A．29cmC．32cm[答案]

B．30cmD．48cm[解析]圖(2)和圖(3)h＝29(cm)．二、填空題3已知圓錐SO的高為體積為則底面半徑r＝ [答案]31[解析] 設(shè)底面半徑為r，3πr2×4＝4π，解得r＝3，即底面半徑為3.ABC－A′B′CEFAC、AB的中點，平面EC′B′F將三棱柱分成體積為V(棱臺AEF－1A′C′B′的體積)，VV2 1[答案]

V.2[解析] 設(shè)三棱柱的高為h，底面面積為S，體積為V，則V＝V1＋V＝Sh.2S·4S因為E、F分別為ACS·4S

1 1 1 7＝所以VS＋ ＝V－V512＝ Sh.12

4

1 3 4

12 2 1所以V:V＝7:5.1 2如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是 ．πr2a＋b[答案] 2[解析]兩個同樣的該幾何體能拼接成一個高為a＋b的圓柱，則拼接成的圓柱的體積V＝πr2(a＋b)，πr2a＋b所以所求幾何體的體積為 2 .天津理一個幾何體的三視圖如圖所示則這個幾何的體積．3[答案] 103[解析] 由三視圖知，該幾何體由一個高為1，底面邊長為2正四棱錐和一個高為2，底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2×2×1 1 1×1×2 10×3＋三、解答題

＝3.63[答案]

27 272π或π [解析] 如圖所示，當BC為底面周長時，半徑r＝3 ＝3 27＝則體積V＝πr2·AB＝π( )2×6 ；

1 2π1 2π 2π＝當AB的底面周長時，半徑r＝6 3＝2 2π π3 27則體積V＝πr2·BC＝π()2×3＝ .2 π πAAAB1的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的體積．[解析] 如圖所示，作軸截面AABB，設(shè)圓臺的上、下底面半徑1 1和母線長分別為r，R，l，高為h.作AD⊥AB于點D，1則AD＝3.1又∵∠AAB＝60°，∴AD＝AD· 1 ，1 1 tan60°3即R－r＝3×3，∴R－r＝3.3又∵∠BAA＝90°，∴∠BAD＝60°.1 1∴BD＝AD·tan60°，即R＋r＝3×3，1∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，13∴V ＝πh(R2＋Rr＋r2)3圓臺1＝3π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.所以圓臺的體積為21π.已知△ABCAB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．旋轉(zhuǎn)體是兩個同底圓錐求表面積[分析] 應(yīng)用錐體的側(cè)面積和體積的計算公式求解旋轉(zhuǎn)體是兩個同底圓錐求表面積△ABC的特征AC△ABC的特征

底面半

高BD，求體積徑為CD AD求體積[解析] 如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，則AC⊥BC.所以BC·AC＝AB·CD，12 12CD＝5r＝5，那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底12r＝5AC＝3，BC＝4，

＝πr·(AC＋BC)＝π

(3＋4)

84π，表面積1

×5× ＝51V＝3πr2(AD＋BD)＝3πr2·AB1 12 48＝3π×(5)2×5＝5π.[特別提醒]體底面半徑及母線長，再分別代入公式求各自的表面積或體積．16．(2011·浙江高考)(單位：cm)求此幾何體的體積．[解析] 該空間幾何體的上部分是底面邊長為4，高為2的正四棱柱，體積為16×2＝32；下部分是上底面邊長為4，下底面邊長8，高為3

1 (16＋4×8＋64)×3＝112.故該空間的正四棱臺，體積為3×幾何體的體積為144.一、選擇題球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于( )1A.2 B．1 C．2 D．3[答案] D半徑為R的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積( )4A．22R3

B.3πR339C.9339C.93R38[答案] C3RR的圓柱，則圓柱的高為()A．R[答案]B．2RDC．3RD．4R一個正方體與一個球表面積相等那么它們的體積比( )6π2π26π2π2

π3π2π2D.3π2π2[答案] A2π332π33π2π3[解析] 由6a2＝4πR2得R＝ ，∴V1＝4 ＝4 3＝2 3πR3.6π.6已知軸截面是正方形的圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的全面積與球的表面積的比( A．6:5C．4:3[答案] D

B．5:4D．3:2[解析] 設(shè)球的半徑為則圓柱的高＝2底面的半徑也為，S 2πR2＋4πR2 3∴柱＝ 4πR2 ＝2.S球6．(2012～2013山東臨清中學高一第三次月考試題)已知長方體一個頂點上三條棱的長分別是34且它的頂點都在同一球面上則這個球的表面積( )2A．202C．50π[答案] C

B．252D．200π2[解析] 長方體的體對角線即為球的直徑32＋42＋52，5∴R＝22，S

＝4πR2＝50π.球7．下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何的表面積( )9πC．11π[答案] D

0πD．12π[解析] 本題是三視圖還原為幾何體的考查識圖能力，空間想像能力．由題設(shè)可知，該幾何體是圓柱的上面有一個球，圓柱的底面半徑為1，高為3，球的半徑為1，∴該幾何體的表面積為2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.a4的球，記它們的體積之和為

，表面積之和甲為S 一個直徑為a的球記其體積為甲

乙

則( )乙A．V

>V 且S >S甲 乙 甲 乙

B．V

<V 且S <S甲 乙 甲 乙C．V

＝V 且S >S甲 乙 甲 乙

D．V

＝V 且S ＝S甲 乙 甲 乙[答案] C1 1[解析] 計算得

＝6甲6

甲

＝6乙6

＝πa2，∴乙V 甲

乙

>S甲 乙．二、填空題用過球心的平面將一個球平均分成兩個半球，則兩個半球表面積和是原來整球表面積倍．2[答案] 32[解析]

＝4πR2,2S球

＝(2πR2＋πR2)×2＝6πR2，半2S 6πR2 3S半＝4πR2＝2.球若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱、錐、球的體積的比．[答案] 3:1:2[解析]

＝πR2×2R＝2πR3，柱1 2π錐V ＝3πR2×2R＝3R3，錐43V ＝πR3.3球V 柱

:V ＝3:1:2.錐 球2OO的半徑．36π[36π4[解析] 設(shè)球O的半徑為r，3πr3＝23，36π解得36π12．(2010·湖北高考)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的(球的半徑與圓柱的底面半徑相)后，水恰好淹沒上面的球如圖所示)，則球的半徑cm.[答案] 4[解析] 設(shè)球的半徑為則圓柱形容器的高為容積為2×r4＝6πr38cm8πr2,33×3πr3＝4πr3，由題意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.三、解答題13．(2012～2013·福建廈門高一檢測)如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求該幾何體的表面積和體積．[解析]由三視圖可知此幾何體是半徑為2的半球．＝2×S 4π＋＝12＝2×V V ＝3π ×2＝3π.hcmr108πcm3，1半球部分容量為全試管容量的6.rh；4cm積．[解析] (1) 1∵半球部分容量為全試管容量的6，1∴半球部分與圓柱體部分容量比為5，4πr3 11 3 ×2即 5 πr2×h10 4 1 1∴h＝3r，3πr3×2＝108π×6∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．(2)V＝4πr3×1＋πr2×(h－4)3 24 1＝3π×33×2＋π×32×6＝72π(cm3)．(S、S、S，試比較它們的大?。? 2 3[解析] 設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，等邊圓柱的底面半徑為r，則S＝6a2，S＝4πR2，S＝6πr2.1 2 34由題意知，3πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝3 3a，r＝3 1a，4π33∴S＝4π

2π9 39 3a2＝4π· a2＝ 36πa2，2

16π2312π 3 312πS＝6π a2＝6π· 2a2＝ 54πa2，π3 4π ∴S2<S3.6a2>332πa2＝354πa2S1>S3.∴S1、S2、S3的大小關(guān)系是S2<S3<S1.)嗎？請計算說明理由．1 4 128球[解析] V ＝2×3πR3＝3π，球1 1 160錐V ＝3πR2h＝π×42×10×3＝3π，錐128 1603π<3π∴不會溢出．第一章綜合素能檢測120150分。(12560)如下圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的( )C．③是棱錐[答案]C

②是圓臺D[解析] 圖①不是由棱錐截來的，所以①不是棱臺；圖②上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；圖④前、后兩個面平行，其他面平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱；明顯③是棱錐．下列光線所形成的投影不是中心投影的( )太陽光線C．手電筒的光[答案] A

臺燈的光線D[解析] 太陽比地球大得多，不能將其看成是點光源．下列選項中可能是四棱柱的側(cè)面展開圖的( )[答案] C[解析] 結(jié)合四棱柱的特征易得C正確還原后不能構(gòu)成規(guī)幾何體，B還原后構(gòu)成四棱錐還原后構(gòu)成四棱臺．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三形，那么原△ABC的面積為( )32a2

34a2D.6a2C.D.6a2C.2a2[答案] C[解析] 如圖由底邊長626 162

3a那么原來的高2a2＝6aS＝2×a×6a＝

a2.5．(2012·湖南卷)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，該幾何體的俯視圖不可能( )[答案] D[解析] 本題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知原圖下面圖為圓柱或直四棱柱上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱都可能是該幾何體的俯視圖D不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應(yīng)為如圖的矩形．[點評] 本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象力．是近年高考中的熱點題型．6．(2012－2013山東省郯城一中高一第二次月考試題)正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()A．1:3B．1:3C．1:33[答案] CD．1:9[解析] 設(shè)正方體棱長為a，內(nèi)切球半徑R，外接球半徑R.1 23a3R，R＝ a，1 2 2 2外a 3外V 內(nèi)

＝(2)3:(2a)3＝1:33.故選C.7．(2012～2013·浙江龍巖一模)有一個幾何體的三視圖及其尺如下圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積( )2πC．24π[答案]C

5πD．36π[解析] 由三視圖可知該幾何體是圓錐表＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)，故選C.2

＋S ＝πrl＋πr2側(cè) 底1倍，底面半徑縮短到原來的2，則圓錐的體積( )A．縮小到原來的一

B．擴大到原來的2倍C．不變 D 1[答案]

11 1

．縮小到原來的6[解析] V＝πr2h，故選A.32 6圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑( )A．7 B．6 C．5 [答案] A[解析] 設(shè)圓臺較小底面圓的半徑為r，由題意，另一底面圓半徑R＝3r.∴S ＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84πr＝7.側(cè)如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別( )3A.2，1

2B.3，13 3C.2，2[答案] C[解析] 設(shè)球的半徑為R，

2 3D.3，2則圓柱的底面半徑為R，高為2R，∴V 圓柱V 2πR3 3

R3，V

43＝πR3.3球V∴圓柱＝4V

＝2，球 3πR3S ＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S圓柱

＝4πR2.球S 6πR2 3∴圓柱＝4πR2＝2.S球廣東惠州一)某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形正視(或稱主視圖)是一個底邊長為8高為5的等腰三角形側(cè)視圖(或稱左視是一個底邊長為6、高為5的等腰三角形．則該幾何體的體積( )A．24C．64[答案] B

B．80D．240[解析] 該幾何體的四棱錐，高等于5，底面是長、寬分別為8、6的矩形，則底面積S＝6×8＝48

1 1，則該幾何體的體積V＝3Sh＝3×48×5＝80.如果用表示1個立方體用表示兩個立方體疊加用37()[答案] B[解析]畫出該幾何體的正視圖為，其上層有兩個立方體，下層中間有三個立方體，兩側(cè)各一個立方體，故B(4520)在幾何體①圓錐正方體圓柱球正四面體中三視圖完全一樣的．[答案] ②④用斜二測畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時如果在已知圖形中取的x軸和正三角形的一邊平行則這個正三角形的直觀的面積．[答案] 3/2圓臺的底半徑為12，母線長為3，則此圓臺的體積為 ．3[答案] 142π3[解析] 圓臺高h＝ 32－2－12＝22，141423∴體積V＝3(r2＋R2＋Rr)h＝ π.216(201－2013·安徽皖南八校聯(lián)一個幾何體的三視圖及其尺寸如下圖所示，其中主視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖等腰三角形，則這個幾何體的表面積．2[答案] 2(1＋3)π＋4[解析] 此幾何體是半個圓錐，直觀圖如圖所示，先求出圓錐的S

＝πrl＝π×2×23＝43π，S圓錐側(cè)1

＝π×22＝4π，底＝×4×22＝42，△SAB 2所以S表

4π43π22＋2＋43π22＝2(1＋3)π＋42.(670)17．(本小題滿分10分)畫出如圖所示幾何體的三視圖．[解析] 該幾何體的上面是一個圓柱，下面是一個四棱柱，其視圖如圖所示．12)12cm4πcm225π求：圓臺的體積；截得此圓臺的圓錐的母線長．[解析] (1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖)．由已知可得OA＝2cmOB＝5cm.12cm，∴高1AM＝ 122－5－22＝315(cm)

1 (4π＋ 4π×25π＋25π)×315＝3915πcm3.

，∴所求體積為3×(2)設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l，l－12 2則由△SAO∽△SBO可，1 l 5∴l(xiāng)＝20(cm)．即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.19．(本題滿分12分)如下圖所示是一個空間幾何體的三視圖，試用斜二測畫法畫出它的直觀圖(尺寸不限)．[解析] 由三視圖可知該幾何體是一個正三棱臺．畫法：(1)如圖①所示，作出兩個同心的正三角形，并在一個水平放置的平面內(nèi)畫出它們的直觀圖；軸，把里面的正三角形向上平移高的大?。痪€表示，如圖②所示，即得到要畫的正三棱臺．20．(12分)72高為 制造這個塔頂需要多少鐵板？7[解析ACBDOSO.SP⊥AB，OP.Rt△SOP中，SO＝所以SP＝22(m)，1

12BC＝1(m)，2則△SAB的面積是2×2×22＝22(m2)．所以四棱錐的側(cè)面積是4×22＝82(m2)，即制造這個塔頂需要82m2鐵板．21．(12分)(1)試判斷該幾何體是什么幾何體？(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．[解析] (1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一正六棱錐．AB＝AC，AD⊥BCBC的BC＝AD＝

133a，所以該平面圖形的面積2· 3a·33

3a＝2a2.SV，3 33則S＝6×4a2＝2a2，1 33 3所以V＝3×2a2×3a＝2a3.22．(12分)圖(1)P－EFGH，下半部分是長方體ABCD－EFGH.如圖(2)(3)所示的分別是該標識墩的正(主)視圖和俯視圖．左)(2)求該安全標識墩的體積．[解析] (1)如圖所示．該安全標識墩的體積V＝V ＋V

1 402×60＋＝×402×20＝32000＋32000＝×＝64000(cm3)．

P－EFGH

ABCD－EFGH 3一、選擇題1．下列說法中正確的( A．鏡面是一個平面B．一個平面長10寬5mC．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍D．所有的平面都是無限延展[答案] D[解析] 鏡面可以抽象成平面但不是平面所以選項A不正確平面沒有大小，所以選項B和選項C都不正確；故選D.如圖所示，下列符號表示錯誤的( )A．l∈αC．l?α[答案] A

B．P?lD．P∈α[解析] 觀察圖知：P?l，P∈α，l?α，則l∈α是錯誤的．下面四個說法表示平面)：①∵A?α，B?α，∴AB?α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A?a，a?α，∴A?α；④∵A?α，a?α，∴A?a.其中表述方式和推理都正確的命題的序號( )①④C．④[答案] C

②③D．③[解析] ①錯，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯，應(yīng)寫為AB 錯，推理錯誤，有可能A∈α；④推理與表述都正確．空間中四點可確定的平面( )A．1個C．4個[答案] D

B．3個D．1個或4個或無數(shù)個[解析] 當這四點共線時，可確定無數(shù)個平面；當這四點不共線且共面時，可確定一個平面；當這四點不共面時，其中任三點可確一個平面，此時可確定4個平面．下列命題中正確的( )A．圓心與圓周上兩點可以確定一個平B．梯形一定是平面圖形αβα和β重合兩組對邊都相等的四邊形是平面圖[答案] B[解析] 當圓心與圓周上兩點共線時，由于共線的三點可以確定無數(shù)個平面，所以選項A不正確；選項C中，當A，B，C，D共線時，平面α和平面β可能相交，所以選項C不正確；選項D中，兩組對邊都相等的四邊形可能不共面，所以選項D不正確；由于梯形的一組對邊平行，則確定一個平面，所以梯形是平面圖形，所以選B正確．設(shè)P表示一個點，ab表示兩條直線、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題( )①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b①②C．①④

②③D．③④[答案] D[解析] 當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?aa與Pα，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確，選7．若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的圖形( )[答案] A8．下圖中正確表示兩個相交平面的( [答案] D[解析]A中無交線；B中不可見線沒有畫成虛線；C中虛、實線沒按畫圖規(guī)則畫，也不正確．D的畫法正確．畫兩平面相交時，一定要畫出交線，還要注意畫圖規(guī)則，不可見線一般應(yīng)畫成虛線，有時也可以不畫．二、填空題經(jīng)過一點可以作 個平面；經(jīng)過兩點可作 個平面；經(jīng)過不在同一直線上的三點可個平面．[答案] 無數(shù)，無數(shù)，一“若AB在平面α內(nèi)在直線AB上則C在平面α內(nèi)用符號語言敘述這一命題．[答案] A∈α，B∈α，C∈AB?C∈α若平面α與平面β相交于直線l，點A∈α，A∈β，則A l；其理由．[答案] ∈，同時在兩個不重合平面上的點一定在兩個平面的線上已知α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點P與直線l的位置關(guān)系用符號表示．[答案] P∈l[解析] 又α∩β＝l，∴P∈l.三、解答題用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．α，β，γPαβαγPBβγPC；ABDBCDBDABCADCAC.[解析] (1)符號語言＝PC.圖形表示如圖1.(2)符號語言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD＝AC.圖形表示如圖2.用符號語言表示下列圖形中幾何元素之間的位置關(guān)系．[解析] 圖(1)平面平面直線直線＝M；圖(2)平面α∩平面β＝PQ，直線a∩α＝A，a∩β＝B；圖(3)平面α∩平面β＝CD，直線a?α，直線b?β，a∩b＝A，A∈CD.ABCDAB?α，CD?β，求證：AB，CD，l交于一點．[證明] ∵AD，BC是梯形ABCD的兩底邊，∴AB與CD必交于一點．設(shè)AB∩CD＝M，則M∈DC，且M∈AB.又∵AB?α，CD?β，∴M∈α，且M∈β.Mαβ又∵α∩β＝l，由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一點．lABCDAB，AD，CDE，F(xiàn)，G.求證：四邊形ABCD是平面四邊形．[證明] 設(shè)AB，AD確定的平面為α，則E∈α，F(xiàn)∈α.于是EF?α.又∵G∈EF，∴G∈α.∴DG?αDC?α.∴C∈α.故A，B，C，D四點共面，即四邊形ABCD為平面四邊形．一、選擇題1．異面直線是( )A．空間中兩條不相交的直B．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線C．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線[答案] D[解析] 對于A，空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平(共面)，另一個是異面．∴A應(yīng)排除．對于應(yīng)排除．Ca，bαaαbD定義．∴應(yīng)選D.規(guī)律總結(jié)：解答這類立體幾何的命題的真假判定問題，一方a，b為異面直線，且a?α，b?β，若α∩β＝l，則直線l定( )與a，b都相交C．至少與a，b之一相[答案] C

a，b都不相交D．至多與a，b之一相交[解析] 若a，b與l都不相交，則a∥l，b∥l，即a∥b，與a，b是異面直線矛盾．故選C.直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a直線c的位置關(guān)系( )相交C．異面[答案]

平行D[解析] 如圖所示長方體ABC－ABCD中AB與AA相交，111 1 1ABAAAB∥ABADAAAB與11 1 11 1ADADAAABADD.1 1 1 1 1正方體ABCD－ABCD中與對角線AC異面的棱( )111 1 1A．3條C．6條[答案] C

B．4條D．8條[解析] 畫一個正方體，不難得出有6條．()()A．1個B．2個C．3個D．4個[答案]B[解析]②④是正確的．ABCD中，E、FAC、BDCD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為( )0°C．60°

5°D．90°[答案] A[解析] 取AD的中點連FE在△EFH中∠EF＝90，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°，故選A.正方體A1B1C1D1－ABCD中，BD與B1C所成的角是( )0°C．60°[答案] C

5°D．90°[解析] ∵AD∥BC，∴AD與BD所成的銳角或直角即為所1 1 1求角，連接AB.∵△ADB為正三角形，1 1∴∠ADB＝60°.1空間四邊形ABCD中BCCD的中點分別為P且AC＝4，BD＝25，PR＝3，則AC和BD所成的角為( )A．90°C．45°[答案] A

B．60°D．30°[解析] 如圖R分別為BCCD中點QR∥BD，∴∠PQR為AC和BD所成角1又PQ＝2AC＝2，1QR＝2BD＝5，RP＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角為90°，故選A.二、填空題分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 ，不行的兩條直線的位置關(guān)系兩條直線沒有公共點則它的位置關(guān)系是 ，垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系為 ．[答案]平行、相交、異面相交、異面平行、異面平行、相交、異面．AB∥A′B′，AC∥A′C′，則下列結(jié)論：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的．[答案] ③ABCD－A1B1C1D1aNPQ分別為AB、BC、C1D1CC1的中點，則①MN與PQ的位置關(guān)系它們所成的角．②DB1與MN的位置關(guān)系它們所成的角．[答案] ①相交 60° ②異面 90°[解析] ①連接AC、D1C由于、Q分別為C1D1、C1C的中點，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，1 則AC與DC所成角即為MN與PQ所成角，∠DCA＝1 ②連接AC、BD交于O，取BB1的中點H，連OH，則OH∥B1D，AH，HCMN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD所成角度．1②AC和DC所成的角度．11③AC和BD所成的角度．1 1④AC和AB所成的角度．1⑤O為BD中點，AC和BO所成角是 度．1 1⑥AB和BD所成角度．1 1 1[答案] ①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.[解析] ①DD⊥面ABCD，∴DD⊥AC；1 1②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1與AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC為等邊三角形，∴成60°角；B1D1中點，∴OA1C1A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC與BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD為等邊三角形，∴成60°角．三、解答題ABCD－A1B1C1D1A1C1內(nèi)有一PPBC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由．[分析] 由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直線只需要平行于B1C1即可．[解析] 如圖所示，在面A1C1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交EC1D1FEF即為所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.OCABE分別是VB、VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．[解析] 由已知得又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分別為VB、VC中點，∴DE∥BC，∴DE與AB所成的角為∠ABC＝45°.如右圖，等腰直角三角形ABC⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．[分析]BEDCBE(CD)．設(shè)想平移CDDADECACF，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF或其補角，解△EFB即可獲解．[解析] 取AC的中點F，連接、EF，在△ACD中，E、F別是、AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．1 1 5在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝ .2 2 21 1 1 2在Rt△AEF中，AE＝，∴EF＝ .2 2 2 21 5在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝2，∴BF＝2.21EF2在等腰△EBF中，cos

2 4 10＝ ＝∠FEB＝BE

5 10，2BECD

1010.ABCD－ABCD、F、E、F分111 1 1 1AD、AB、BC、CD的中點．11 1 1求證：∠EAF＝∠ECF.1 1 1[證明] 如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中點1M，則BF＝AM＝AB.1 2又∵BF∥AM，1∴四邊形AFBM為平行四邊形．1∴AF∥BM.1F、MCD、AB的中點，1 1 1 11則FM綊CB，1 11CBBC，∴FM∥BCFM＝BC.11 1 1∴四邊形FMBC為平行四邊形，1∴BM∥FC.又BM∥AF，∴AF∥CF.1 1 1 1ADNDN，EN，1 1 1則AN綊DE，1∴四邊形ANDE為平行四邊形．1∴AE∥DN.1又EN∥CD，且EN＝CD，1 1∴四邊形ENDC為平行四邊形．1∴DN∥CE.∴AE∥CE.1 1 1∴∠EAF與∠ECF

的兩邊分別對應(yīng)平行，1 1 1且方向都相反．∴∠EAF＝∠ECF.1 1 1規(guī)律總結(jié)：證明角的相等問題，等角定理及其推論是較常用的方法．另外，通常證明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的證明，如本例還可通過證明△EAF與△ECF

全等來證明角相等．1 1 1一、選擇題正方體的六個面中相互平行的平面( )A．2對C．4對[答案] B

B．3對D．5對棱臺的一條側(cè)棱所在的直線與不含這條側(cè)棱的側(cè)面所在的面的位置關(guān)系( )平行C．平行或相[答案] B

相交D[解析]M∈l，N∈l，N?α，M∈α，則有( )l∥αC．lα相交[答案] C[解析] 如圖所示

l?αD給出以下結(jié)論：(1)αb?α(2)a?α，b?αab無公共點．(3)a?αaα相交．(4)若a∩α＝A，則a?α.正確的個數(shù)為( )A．1個C．3個 [答案] B[解析] 其中(3)，(4)正確

B．2個．4個ααab的位置關(guān)系是( )平行C．異面[答案]

相交D[解析] 如圖所示長方體ABC－ABCD中AB平面A，111 1 11AD∥平面AC，有AB∩AD＝A；又DC∥平面AC，有AB∥1 1 11 1 1 1 11 11DCBBCCCAC，11 1 1 11有A1B1與MN異面，故選D.平面平面β，直線則( )C．a(chǎn)β相交[答案] D

β上D．a(chǎn)∥β或a?β[解析] 如圖(1)滿足此時如圖(2)滿足此時a?β，故選D.已知平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，那么( )C．α與β重[答案] D

B．αβ相交αβ[解析] 如下圖設(shè)則在α內(nèi)與l平行的直線可以有無βα∩β＝l.已知m、n為異面直線平面平面β，α∩β＝l，則l( )m、n都相交m、n中至少一條相交m、n都不相交m、n中只有一條相交[答案] C[解析] 平面則m與平面α沒有公共點與l無公點，同理由知n與l無公共點，故l與、n都沒有公共點．二、填空題若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直與另一平面的位置關(guān)系．[答案] 平行或在平面內(nèi)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行那么這兩個平面的位置關(guān)系．[答案] 平行或相交[解析] 可根據(jù)題意作圖判斷如圖(1)(2)所示分別為兩個平平行、相交的情形．下列命題正確的．①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；lαlαlα直線；定與該平面相交；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面；⑥若平面平面β，直線a?α，直線b?β，則直線[答案] ①⑤[解析] ①顯然是正確的；②中，直線l還可能與α相交，所以lαlα交點的直線都相交而內(nèi)，所以④是錯誤的；⑤中，直線lα沒有公共點，所以直線lα內(nèi)的直線沒有公共點，即它們平行或異面，所以⑤是正確以⑥是錯誤的．以下結(jié)論中，正確的結(jié)論序號．αPα平行；αPα平行；lPl平行；lPl平行；⑤與兩個相交平面的交線平行的直線必與兩相交平面都平行；⑥l∥α，A∈α，過A與l平行的直線l1必在α內(nèi)．[答案] ②③⑥[解析] ①錯，②對，見圖一，過P有無數(shù)條直線都與α平行這無數(shù)條直線都在平面β內(nèi)，有且只有一個③對，④錯，見圖二，想一想打開的書頁，一支筆與書脊平行；lαl1Aβα又，∴l(xiāng)這與l∩l′＝A矛盾，故l α.1 1 1 1三、解答題完成下列作圖(1)在圖中畫出兩個平行平面；(2)在圖中畫出兩個相交平面；(3)在圖中畫出三個平行平面；(4)在圖中畫出一個平面與兩個平行平面相交；(5)在圖中分別畫出三個兩兩相交的平面．[解析][規(guī)律總結(jié)] 兩個相交平面的畫法：(1)．(2)．③過圖(1)中線段的端點分別引線段，使它平行且等于(2)中表示交線的線段，如圖(3)．④畫出圖(3)中表示兩個平面的平行四邊形的第四邊(被遮住的線，可以用虛線，也可以不畫)．ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，試判斷(1)AMABCD的位置關(guān)系？(2)CNABCD的位置關(guān)系？(3)AMCDD1C1(4)CNCDD1C1的位置關(guān)系？[解析] (1)AM所在的直線與平面ABCD相交(2)CN所在的直線與平面ABCD相交．(3)AMCDD1C1(4)CNCDD1C1相交．αβγαa與b、a與β的關(guān)系并證明你的結(jié)論．[解析] 證明如下由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b無公共點．又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α與β無公共點，又a?α，∴a與β無公共點，∴a∥β.如圖所示，已知平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α，點，直線ABl不平行，那么平面ABCβ的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．[解析] 平面ABC與平面β的交線與l相交證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α，∴ABlP∈AB，P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.PABCβCβP，C是不同的兩點，∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線．即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線與l相交．一、選擇題圓臺的底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個底面的位置關(guān)系( )平行C．在平面[答案] A

相交D[解析] 圓臺底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個底面無公共點，它們平行．已知兩條相交直線a平面則b與α的位置關(guān)( )C．b?α[答案] D

α相交D．b∥α或b與α相交[解析] ∵a，b相交，∴a，b確定一個平面為β，如果則如果β不平行α，則b與α相交．直線ab是異面直線，直線a和平面α平行，則直線b和面α的位置關(guān)系是( )b?αC．bα相交[答案] D

D．以上都有可能[解析] 可構(gòu)建模型來演示，三種位置關(guān)系都有可能．ABCDE－ABCD

中，F(xiàn)，G

和BB上AF

111 11 1 1的點，且＝GB，則FG與平面ABCDE的位置關(guān)系( )1 1平行 B．相交C．異面[答案]

AF BG

D．FG在平面ABCDE內(nèi)[解析] ＝GB，1 1平ABCDE.ABCD中，E，F(xiàn)ABBC上的點，若AEEB＝CFFB＝，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．在平面內(nèi)D．異面[答案] AAE CF[解析] 如圖，由EB＝FB，得又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.6．給出下列結(jié)論：(1)平行于同一條直線的兩條直線平行；(2)平行于同一條直線的兩個平面平行；(3)平行于同一平面的兩條直線平行；(4)平行于同一個平面的兩個平面平行．其中正確的個數(shù)( )個C．3個[答案] B

B．2個D．4個[解析] 由公理4知(1)正確，正方體ABCD－ABCD中，DD111 1 1ABBA，DDBBCC(3)錯；同11 1 11ABCD－ABCDBBCABCD平行，111 1 11 11故(3)錯；(4)正確，故選B.ABCD－ABCD中，E、FBC、111 1CD的中點，則EF與平面BBDD的位置關(guān)系是( )1 1 1 1A．EF∥平面BBDD1 1B．EF與平面BBDD相交1 1C．EF?平面BBDD1 1D．EF與平面BBDD的位置關(guān)系無法判斷1 1[答案] A[證明] 取DB的中點O，連OF，OB，111 1∵OF綊BC，BE綊BC，∴OF綊BE，211 211OFEB∵EF?BBDD，BO?BBDD，1 1 1 1∴EF∥平面BBDD，故選A.1 1ABCDABαABCDα置關(guān)系是()A．平行B．相交CαD．平行或在平面α[答案] D[解析] 在旋轉(zhuǎn)過程中由直線與平面平行的判定定理得或CD α，故選D.二、填空題9．P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為PB的中點，O為AC，BD的交點，則EO與圖中平行的平面?zhèn)€．[答案] 2[解析] 在△PBD中，E、O分別為中點，所以EO∥PD，因此EO∥面PCD，EO∥面PAD.ABC－ABC111平面ABBA平行的條．11[答案] 6[解析] 如圖：DD1、EE1、DE、D1E1、DE1、ED1都平行于面ABB1A1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中點則直線MD與平面A1ACC1的位置關(guān)系．直線MD與平面BCCB的位置關(guān)系．11[答案] 相交 平行[解析] 因為M是AD的中點所以直線DM與直線

相交，1 1 1DMAACCDMAACC相1 1 1 1交．BCM，MMCD，C

綊CD，11 1 1 1 1 1 1∴四邊形DMMC為平行四邊形，∴DM綊CM，1 1∴DM∥平面BCCB.11如下(1)，已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的點，將△ADE沿DE折起，如圖(2)所示，則BF與平面ADE的位關(guān)系．[答案] 平行[解析] ∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點又∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴BF∥ED.∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，∴BF∥平面ADE.三、解答題如圖，在三棱錐P－ABCODACPC點．求證：OD∥平面PAB.[證明] ∵點、D分別是AC、PC的中點∵OD?平面PAB，AP?平面PAB.∴OD∥平面PAB.A1B1C1－ABCACDBC1.[證明] ∵ABC－ABC是三棱柱，111BBCC是平行四邊形．1 1BCBCEBE＝EC.1 1 1在△ABC中，∵AD＝DC，∴DE∥AB.1 1又AB?平面DBC，DE?平面DBC，1 1 1∴AB1∥平面DBC1.PABCDN分別是AB、PC的中點．MN所成的角的大?。甗解析] (1)取PD的中點H，連接是PC的中點，12∴NH綊DC.由M是AB的中點，且DC綊AB，2∴NH綊AM，即四邊形AMNH為平行四邊形．∴MN∥AH.由MN?平面PAD，AH?平面PAD，∴MN∥平面PAD