微積分-ch53-定積分幾何應(yīng)用

§

4

定積分的應(yīng)用§

4

.

1§

4

.

2§

4

.

3§

4

.

4平面圖形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長物理應(yīng)用xyy

f

(x)曲邊梯形的面積設(shè)曲線

與直線及x

軸所圍曲邊梯形面積為S.分割:o

a

xx

dxbaf

(x)

dxf

(x)x

S

lim0S

f

(x)

dx

dSS

S

f

(x)

dx近似:求和:極限:badS面積元素babaS

f

(x)

dxdS

max(x)baS

f

(x)

dxiiv(

)

t0

i1能用定積分解決的問題:所求量Q

與區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f

(x)有關(guān)；即可通過Q

對區(qū)間[a

,b]具有可加性,“分割,

近似,

求和,

取極限”n

i

if

(表示為

Q

lim0

i1

)x

baf

(x)

dx變速直線運動位移：s

lim例如.

曲邊梯形面積:變力沿直線作功：baW

f

(x)

dxn1T2

v(t)

dtT積分表達式(定積分)af

(x)

dxQ

整體量的精確值b原則：

“分割,

近似,

求和,

取極限”分割近似求微元dQ

：部分量的近似值

微分表達式（微元）Q

d

Q

f

(x)

dx求和取極限得Q

：y

f2

(x)y

f1(x)xyo

a

xx

dx§

4.1

平面圖形的面積由曲線

y

f1

(x)

,

y

f2

(x)

及直線x

a,

x

b圍成的平面圖形的面積S.[x,

x

dx] (a

x

b)S

dS

f1

(x)

f2

(x)

dxbaf1

(x)

f2

(x)

dxS

caS

1

2[

f

(x)

f

(x)]dx

cbc[

f

(x)

f

(x)]dx21在第一象限例1.

計算兩條拋物線所圍成的圖形的面積

.解:由得交點(0

,

0)

,

(1,

1)2(

x

x

)

dx

1310S

xxy2

xy

x2(1,1)oyx

dx

1由曲線x

g1

(y),x

g2

(y)及直線y

c,y

d圍成的平面圖形的面積S.dcg1

(

y)

g2

(

y)

dyS

ox

g2

(

y)x

g1

(

y)xyy

ddyyc[

y,

y

dy] (c

y

d

)S

dS

g1

(

y)

g2

(

y)

dy例2.計算拋物線

y2

2x

與直線

y

x

4

所圍ox8y4ydyy2(8,

4)2(2,

2)2x

1

y2x

y42

182S

(

y

4

1

y2)

dy(P254.

例1)圖形的面積.解:由得交點(2,

2),(8,4)選取y作積分變量,4例3.解:112A

(x

1x)

dx1

(

1

x2

ln

x)

221221(1yA

2

11212y

)

y)

dy

(ln

yxoy計算下列平面圖形的面積2

3

ln

28

ln

2

3例4.求橢圓oybx解:利用對稱性,x

a

sin

t022cos

t

dt

4ab

4

ab212

ab當(dāng)a

=b

時得圓面積公式aba0

x2

d

xS

40a2a

cos

t

a

cos

t

dt4b

a2y

b

a2

x2aa

xa或

S

04b

a

aba2

x2

d

x

4b

a2a

4所圍圖形的面積.(P255.

例3)及r

(

)xd

o分割:求由曲線圍成的曲邊扇形的面積.上任取小區(qū)間[

,

d

]近似:區(qū)間上曲邊扇形面積元為2S

dS

1

(

)2

d

(

)

d122S

例5.對應(yīng)

從0

變到2

與x

軸所圍圖形面積.計算阿基米德螺線解:212(a

)

d20S

2

a21

3

23

03

4

3

a2xo2a

(

)

d122S

sin

2

例6.解:代入極坐標(biāo)21

cos2

d

S

4

4400cos

2

d

(2

)

1利用對稱性,則所求面積為所圍圖形面積.(P261.例6)有即求雙紐線r

cos

2yox4

4

(

)

d122S

xbyy

f

(x)設(shè)曲線與直線及x軸所圍曲邊梯形面積為S.o

a

xab

baS

f

(x)

dxdS

|

y(t)x

(t)

|

dtS

x

dxd

x

x(t)

dt例7.S

4|

a

sin3t

3a

cos2t

(

sin

t)|dt求星形線(內(nèi)擺線)oa

x(P274.3(3)a

yaa所圍平面圖形的面積.解:曲線的參數(shù)方程為利用對稱性

,

則所求面積為202

12

a(sin4t

sin6t)dt20§

4.2

旋轉(zhuǎn)體的體積baA(x)

d

xV

b

xx

x

dx已知平行截面面積函數(shù)的

體積設(shè)所給

垂直于x

軸的截面面積為A(x),上連續(xù),求

體積.區(qū)間[

x

,

x

dx]

上體積元素V

dV

A(x)

d

x

a

x

b

A(x)體積：yo

x1.由連續(xù)曲線旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積為b

[

f

(x)]2

dxaxV

2.連續(xù)曲線段繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的

體積為2

[(

y)]

dydcyV

xoyx

(

y)dycxyobay

f

(x)x例8.所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積.計算由橢圓xyb解:ba02

222

2(利用對稱性)a

ab3

a0222x

]13[a

x

(a

x

)

dx

243

ab2oax0V

22

y

dxx3特別當(dāng)b

=

a

時,就得半徑為a

的球體的體積

4

a3例9.求圓繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積xy31ox

1下解:

上

半圓為1

x2

)2

(3

10xV

2

(3

1

x2

)2

dx

6

210

2

1241

x2

d

x

24

Vx

V1

V2

,

利用對稱性xyoy

f

(x)bayV

求由連續(xù)曲線V

dV

2

x

dS

2

x f

(x)

dx旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積.[x,

x

dx] (a

x

b)2

x f

(x)

dx

b

[

f

(x)]2dxaxV

x

x

dx

b例10.x0162024dxxx

yV

2

2xoyx解:

V

20224)

dxx

(bayV

2

x f

(x)

dxb

[

f

(x)]2dxaxV

16

5x4dx

2522

45

2

0x3dx

22

42例11.bayV

2

x f

(x)

dxb

[

f

(x)]2dxaxV

12122

1

dxx2xx

dx

V

1x8321)dx

x(

x

V

2yxoy求旋轉(zhuǎn)體體積yyV

dVx

2

x

dS

2

x

(x

1

)dx116212

)dx

1x2(x

例11.求旋轉(zhuǎn)體體積xoy1122xV

21x

dx

241(

12

y2

)

dy

65

1

y2V

y2

1

x212dx

(

)

(2 )

512§

4.3

平面曲線的弧長0iMi1

MnA

MoB

Mx此極限為曲線弧AB

的弧長,并稱此曲線弧為可求長的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)n0

i1s

lim

Mi1Mi定義:

若在弧

AB上任意作內(nèi)接折線

,

當(dāng)折線段的最大邊長→0

時,

折線的長度趨向于一個確定的極限

,

則稱ydsyao(1)

曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:y

f

(x)x

x

d

x

b

xba2s

ba1

f

2

(x)

dx1

y

dx

弧長元素(弧微分):ds

(dx)2

(dy)2

1

y2

dx因此所求弧長d

yd

x(2)

曲線弧由參數(shù)方程給出:s

2

(t)

2

(t)

d

t

2

(t)

2

(t)

dt弧長元素(弧微分):ds

(dx)2

(dy)2因此所求弧長(3)

曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長[x(

)]2

[

y(

)]2

d

ds

令x

r(

)cos

,y

r(

)sin

,弧長元素(弧微分):則得r

2

(

)

r2

(

)

d(自己驗證)r

2

(

)

r2

(

)

ds

y

1

(ex

e

x

) (a

x

a)2求這一段弧長.下垂成懸鏈線.懸鏈線方程為例11.

兩根電線桿之間的電線,

由于其本身的重量,c

aa

xoy41

1

(ex

e

x

)2

dx解:

ds

1

y2

dx

2

1

(ex

e

x)

dxaa

s

12ax

e

a(ex

e

x

)

dx

0(e

e

x

)

dx

ea4

2)

dx1

(e2

x

e

2

x相應(yīng)于