一次函數(shù)、反比例函數(shù)知識點總結(jié)及典型題

-.z.一次函數(shù)、反比例函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典試題函數(shù)1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量*和y，并且對于*的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，則我們就把*稱為_______，把y稱為______，y是*的______。＊判斷Y是否為*的函數(shù)，只要看*取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、定義域：一般的，一個函數(shù)的_______允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：〔1〕關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為_________；〔2〕關(guān)系式含有分式時，分式的______________；〔3〕關(guān)系式含有二次根式時，____________________；〔4〕實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解析式.6、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，則坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：____〔表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值〕；第二步：____〔在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點〕；第三步：_____〔按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來〕。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。一次函數(shù) 1、一次函數(shù)的定義一般地，形如〔，是常數(shù)，且〕的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中*是自變量。當(dāng)時，一次函數(shù)，又叫做正比例函數(shù)。⑴一次函數(shù)的解析式的形式是，要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式．⑵當(dāng)，時，仍是一次函數(shù)．⑶當(dāng)，時，它不是一次函數(shù)．⑷正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)．2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=k*(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=k*(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②*指數(shù)為1=3\*GB3③b取零當(dāng)k>0時，直線y=k*經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨*的增大y也增大；當(dāng)k<0時，直線y=k*經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨*增大y反而減小．解析式：y=k*〔k是常數(shù)，k≠0〕必過點：〔0，0〕、〔1，k〕走向：k>0時，圖像經(jīng)過______象限；k<0時，圖像經(jīng)過_________象限增減性：k>0，y隨*的__________；k<0，_____________傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近*軸3、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=k*＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，則y叫做*的一次函數(shù).當(dāng)b=0時，y=k*＋b即y=k*，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=k*+b(k不為零)=1\*GB3①k不為零=2\*GB3②*指數(shù)為1=3\*GB3③b取任意實數(shù)一次函數(shù)y=k*+b的圖象是經(jīng)過〔0，b〕和〔-，0〕兩點的一條直線，我們稱它為直線y=k*+b,它可以看作由直線y=k*平移|b|個單位長度得到.〔當(dāng)b>0時，向上平移；當(dāng)b<0時，向下平移〕〔1〕解析式：y=k*+b(k、b是常數(shù)，k0)〔2〕必過點：〔0，b〕和〔-，0〕〔3〕走向：直線經(jīng)過___________象限直線經(jīng)過_____________象限直線經(jīng)過___________象限直線經(jīng)過______________象限增減性：k>0，__________________；k<0，_________________〔5〕傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于*軸.〔6〕圖像的平移：當(dāng)b>0時，將直線y=k*的圖象向上平移b個單位；當(dāng)b<0時，將直線y=k*的圖象向下平移b個單位.一次函數(shù)，符號圖象性質(zhì)隨的增大而增大隨的增大而減小4、一次函數(shù)y=k*＋b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點：〔0，b〕，.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點.b>0b<0b=0k>0經(jīng)過__________象限經(jīng)過__________象限經(jīng)過______象限圖象從左到右上升，________________________k<0經(jīng)過___________象限經(jīng)過__________象限經(jīng)過_______象限圖象從左到右下降，____________________________5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系一次函數(shù)y=k*＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=k*平移|b|個單位長度而得到〔當(dāng)b>0時，向上平移；當(dāng)b<0時，向下平移〕6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)及性質(zhì)正比例函數(shù)一次函數(shù)概念一般地，形如y=k*(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)一般地，形如y=k*＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，則y叫做*的一次函數(shù).當(dāng)b=0時，是y=k*，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量圍*為全體實數(shù)圖象一條直線必過點〔0，0〕、〔1，k〕〔0，b〕和〔-，0〕走向k>0時，直線經(jīng)過一、三象限；k<0時，直線經(jīng)過二、四象限k＞0，b＞0,直線經(jīng)過第一、二、三象限k＞0，b＜0直線經(jīng)過第一、三、四象限k＜0，b＞0直線經(jīng)過第一、二、四象限k＜0，b＜0直線經(jīng)過第二、三、四象限增減性k>0，y隨*的增大而增大；〔從左向右上升〕k<0，y隨*的增大而減小?！矎淖笙蛴蚁陆怠硟A斜度|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近*軸圖像的平移b>0時，將直線y=k*的圖象向上平移個單位；b<0時，將直線y=k*的圖象向下平移個單位.7、直線〔〕與〔〕的位置關(guān)系〔1〕兩直線平行且〔2〕兩直線相交〔3〕兩直線重合且〔4〕兩直線垂直8、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：〔1〕根據(jù)條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕將*、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；〔3〕解方程得出未知系數(shù)的值；〔4〕將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.反比例函數(shù)：〔一〕反比例函數(shù)的概念

1．〔〕可以寫成〔〕的形式，注意自變量*的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；

2．〔〕也可以寫成*y=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；

3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與*軸、y軸無交點．

〔二〕反比例函數(shù)的圖象

在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時，應(yīng)注意自變量*的取值不能為0，且*應(yīng)對稱取點〔關(guān)于原點對稱〕．

〔三〕反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

1．函數(shù)解析式：〔〕

2．自變量的取值范圍：3．圖象：〔1〕圖象的形狀：雙曲線．

越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．越小，圖象的彎曲度越大．

〔2〕圖象的位置和性質(zhì)：

與坐標(biāo)軸沒有交點，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線．

當(dāng)時，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨*的增大而減小；

當(dāng)時，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨*的增大而增大．

〔3〕對稱性：圖象關(guān)于原點對稱，即假設(shè)〔a，b〕在雙曲線的一支上，

則〔，〕在雙曲線的另一支上．

圖象關(guān)于直線對稱，即假設(shè)〔a，b〕在雙曲線的一支上，

則〔，〕和〔，〕在雙曲線的另一支上．4．k的幾何意義：如圖1，設(shè)點P〔a，b〕是雙曲線上任意一點，作PA⊥*軸于A點，PB⊥y軸于B點，則矩形PBOA的面積是〔三角形PAO和三角形PBO的面積都是〕．

如圖2，由雙曲線的對稱性可知，P關(guān)于原點的對稱點Q也在雙曲線上，作QC⊥PA的延長線于C，則有三角形PQC的面積為．

圖1圖2

5．說明：

〔1〕雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論．

〔2〕直線與雙曲線的關(guān)系：

當(dāng)時，兩圖象沒有交點；當(dāng)時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關(guān)于原點成中心對稱．〔四〕充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．典型測試題1.以下函數(shù)中，自變量*的取值范圍是*≥2的是〔〕A．y=B．y=C．y=D．y=·2正比例函數(shù)，當(dāng)m時，y隨*的增大而增大.3函數(shù)y=(k-1)*，y隨*增大而減小，則k的范圍是()A.B.C.D.4假設(shè)m＜0,n＞0,則一次函數(shù)y=m*+n的圖象不經(jīng)過〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限5用圖象法解*二元一次方程組時，在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象〔如下圖〕，則所解的二元一次方程組是().A．B．C．D．6.假設(shè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限，且與軸負半軸相交，那〔〕A．， B．， C．， D．，2y7.一次函數(shù)y=k*+b〔k,b是常數(shù)，k≠0〕的圖象如圖9所示，則不等式k*+b＞0的解集是〔〕2yA．*＞-2B．*＞0C．*＜-2D．*＜00*8.如圖，一次函數(shù)圖象經(jīng)過點，且與正比例0*函數(shù)的圖象交于點，則該一次函數(shù)的表達式為〔〕A． B． C． D．O*yO*yAB2第4題9.如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿一樣路線從甲港出發(fā)到乙港行駛過程隨時間變化的圖象.根據(jù)圖象以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕A.輪船的速度為20千米/時B.快艇的速度為40千米/時C.輪船比快艇先出發(fā)2小時D.快艇不能趕上輪船*yO3一次函數(shù)與的圖象如圖，則以下結(jié)論①；*yO3②；③當(dāng)時，中，正確的個數(shù)是〔〕11.函數(shù)y=a*+b與y=b*+a的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的選項是〔〕12、一次函數(shù)y=k*＋b的自變量的取值范圍是－3≤*≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是－5≤y≤－2，求這個一次函數(shù)的解析式。13函數(shù)y=中自變量*的取值范圍是___________．14．函數(shù)y=k*+b〔k≠0〕的圖象平行于直線y=2*+3，且交y軸于點〔0，-1〕，則其解析式是_________．15.假設(shè)直線y=－*+k不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為。16.把直線y=向下平移3個單位得到的函數(shù)解析式為。17.假設(shè)y=k*+〔2k－1〕的圖象經(jīng)過原點，則k=；當(dāng)時k=時，這個函數(shù)的圖象與軸交于〔0，1〕18.甲、乙兩家體育用品商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定價20元，乒乓球每盒定價5元.現(xiàn)兩家商店搞促銷活動，甲店:每買一付球拍贈一盒乒乓球；乙店:按定價的9折優(yōu)惠。*班級需購球拍4付，乒乓球假設(shè)干盒(不少于4盒)。(1)設(shè)購置乒乓球盒數(shù)為*(盒)，在甲店購置的付款數(shù)為y甲(元)，在乙店購置的付款為y(元)，分別寫出在這兩家商店購置的付款數(shù)與乒乓球盒數(shù)*之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)就乒乓球盒數(shù)討論去哪家商店買合算。19.求以下一次函數(shù)的解析式：〔1〕圖像過點〔1，－1〕且與直線平行；〔2〕圖像和直線在y軸上相交于同一點，且過〔2，－3〕點.20.一次函數(shù).求：〔1〕m為何值時，y隨*的增大而減?。弧?〕m，n滿足什么條件時，函數(shù)圖像與y軸的交點在*軸下方；〔3〕m，n分別取何值時，函數(shù)圖像經(jīng)過原點；〔4〕m，n滿足什么條件時，函數(shù)圖像不經(jīng)過第二象限.21.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點及點〔1，6〕，求此函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．22.如圖，直線L：與*軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C〔0，4〕,動點M從A點以每秒1個單位的速度沿*軸向左移動?！?〕求A、B兩點的坐標(biāo)；〔2〕求△的面積S與M的移動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕當(dāng)t何值時△≌△AOB，并求此時M點的坐標(biāo)。23.如圖，A、B分別是軸上位于原點左、右兩側(cè)的點，點P(2,p)在第一象限，直線PA交軸于點C(0,2)，直線PB交軸于點D，.(1)的面積是多少？〔2〕求點A的坐標(biāo)及p的值.〔3〕假設(shè)，求直線BD的函數(shù)解析式.24.直線經(jīng)過點〔－1，6〕和〔1，2〕，它和*軸、y軸分別交于B和A；直線經(jīng)過點〔2，－4〕和〔0，－3〕，它和*軸、y軸的交點分別是D和C?！?〕求直線和的解析式；〔2〕求四邊形ABCD的面積；〔3〕設(shè)直線與交于點P，求△PBC的面積。25.網(wǎng)絡(luò)時代的到來，很多家庭都拉入了網(wǎng)絡(luò)，電信局規(guī)定了撥號入網(wǎng)兩種收費方式，用戶可以任選其一：A：計時制0.05元/分；B：全月制：54元/月〔限一局部人住宅入網(wǎng)〕此個B種上網(wǎng)方式要加收通信費0.02元/分。*用戶月上網(wǎng)的時間為*小時，兩種收費方式的費用分別為y1〔元〕y2〔元〕，寫出y1、y2與*之間的函數(shù)關(guān)系式；在上網(wǎng)時間一樣的條件下，請你幫該用戶選擇哪一種方式上網(wǎng)更省錢？反比例函數(shù)：1．反比例函數(shù)的概念

〔1〕以下函數(shù)中，y是*的反比例函數(shù)的是〔〕．

A．y=3*B．C．3*y=1D．

〔2〕以下函數(shù)中，y是*的反比例函數(shù)的是〔〕．

A．B．C．D．2．圖象和性質(zhì)

〔1〕函數(shù)是反比例函數(shù)，

①假設(shè)它的圖象在第二、四象限內(nèi)，則k=_________

②假設(shè)y隨*的增大而減小，則k=___________．

〔2〕一次函數(shù)y=a*+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第________象限．〔3〕假設(shè)反比例函數(shù)經(jīng)過點〔，2〕，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_____象限．a(chǎn)·b＜0，點P〔a，b〕在反比例函數(shù)的圖象上，則直線不經(jīng)過的象限是〔〕．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限〔5〕假設(shè)P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則一次函數(shù)y=k*+m的圖象經(jīng)過〔〕．

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限

〔6〕函數(shù)和〔k≠0〕，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是〔〕．

A．B．C．D．3．函數(shù)的增減性

〔1〕在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，，且，則的值為〔〕．

A．正數(shù)B．負數(shù)C．非正數(shù)D．非負數(shù)

〔2〕在函數(shù)〔a為常數(shù)〕的圖象上有三個點，，，則函數(shù)值、、的大小關(guān)系是〔〕．

A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜

〔3〕以下四個函數(shù)中：①；②；③；④．

y隨*的增大而減小的函數(shù)有〔〕．

A．0個B．1個C．2個D．3個

〔4〕反比例函數(shù)的圖象與直線y=2*和y=*+1的圖象過同一點，則當(dāng)*＞0時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨*的增大而______〔填"增大〞或"減小〞〕．4．解析式確實定

〔1〕假設(shè)與成反比例，與成正比例，則y是z的〔〕．

A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定

〔2〕假設(shè)正比例函數(shù)y=2*與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為〔2，m〕，則m=_____，k=________，它們的另一個交點為________．

〔3〕反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值．

〔4〕一次函數(shù)y=*+m與反比例函數(shù)〔〕的圖象在第一象限內(nèi)的交點為P〔*0，3〕．

①求*0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．5．面積計算

〔1〕如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C，過這三個點分別向*軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與*軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、，則〔〕．

A．B．C．D．

第〔1〕題圖第〔2〕題圖

〔2〕如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，AC//y軸，BC//*軸，△ABC的面積S，則〔〕．

A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2

〔3〕如圖，Rt△AOB的頂點A在雙曲線上，且S△AOB=3，求m的值．

第〔3〕題圖第〔4〕題圖

〔4〕函數(shù)的圖象和兩條直線y=*，y=2*在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點，過P1分別作*軸、y軸的垂線P1Q1，P1R1，垂足分別為Q1，R1，過P2分別作*軸、y軸的垂線P2Q2，P2R2，垂足分別為Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長，并比擬它們的大小．如圖，正比例函數(shù)y=k*〔k＞0〕和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作*軸垂線交*軸于B，連接BC，假設(shè)△ABC面積為S，則