建筑力學(xué)-高職06全解課件

第六章扭轉(zhuǎn)主要內(nèi)容：受扭桿件的外力和內(nèi)力計算；

圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形；

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度計算；

矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)。第六章扭轉(zhuǎn)主要內(nèi)容：受扭桿件的外力和內(nèi)力計算；扭轉(zhuǎn)的概念

直桿的兩端各受到一個外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉(zhuǎn)向相反，作用面與桿件的軸線垂直，那么桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，稱為扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)前的桿件扭轉(zhuǎn)后的桿件扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)前的桿件扭轉(zhuǎn)后的桿件6.1

工程實(shí)例與計算簡圖

工程中承受扭轉(zhuǎn)的桿件：汽車方向盤的操縱桿[圖(a)]，機(jī)器中的傳動軸

[圖(b)]，鉆機(jī)的鉆桿[圖(c)]以及房屋中的雨篷梁和邊梁[圖(d)、(e)]等。工程中常把以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。6.1工程實(shí)例與計算簡圖工程中承受扭轉(zhuǎn)的

受扭桿件的受力特點(diǎn)：在桿件兩端受到兩個作用面垂直于桿軸線的力偶的作用，兩力偶大小相等、轉(zhuǎn)向相反。

變形特點(diǎn)是：桿件任意兩個橫截面都繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動，兩橫截面之間的相對角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，用

表示。受扭桿件的受力特點(diǎn)：在桿件兩端受到兩個作用面6.2

扭矩與扭矩圖6.2.1

外力偶矩的計算

工程中作用于軸上的外力偶矩一般不直接給出，而是給出軸的轉(zhuǎn)速和軸所傳遞的功率。

由物理學(xué)，矩為Me的外力偶產(chǎn)生角位移時，它所作的功為：軸轉(zhuǎn)動一周時外力偶所作的功為：

若軸的轉(zhuǎn)速為n，單位為r/min（轉(zhuǎn)/分），則外力偶每分鐘所作的功為：6.2扭矩與扭矩圖工程中作用于軸上的外

若功率用P表示，單位為kW（千瓦），則外力偶每分鐘所作的功也可表示為：

由此可得外力偶矩的計算公式為：式中：Me—軸上某處的外力偶矩，單位

N·m；

P

—

軸上某處輸入或輸出功率，單位

kW；

n

—

軸的轉(zhuǎn)速，單位

r/min。若功率用P表示，單位為kW（千瓦），則外力偶6.2.2扭矩

確定了作用于軸上的外力偶矩，可用截面法求橫截面上的內(nèi)力。

取左段為研究對象。由于左端有外力偶作用，為使其保持平衡，m

—m

橫截面上必存在一個內(nèi)力偶矩。它是截面上分布內(nèi)力的合力偶矩，稱為扭矩，用

T

來表示。列空間力系平衡方程：

∑Mx

＝0

T－Me

＝0∴

T＝Me

若取右段為研究對象，也可得到相同的結(jié)果，但扭矩的轉(zhuǎn)向相反。6.2.2扭矩確定了作用于軸上的外力偶為了使同一截面上扭矩的符號相同，規(guī)定扭矩T的正負(fù)號為：使右手四指的握向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致，若拇指指向截面外法線，則扭矩T為正[圖(a)]，反之為負(fù)[圖(b)]。為了使同一截面上扭矩的符號相同，規(guī)定扭矩T的6.2.3扭矩圖為了直觀地表示出軸的各個橫截面上扭矩的變化規(guī)律，與軸力圖一樣用平行于軸線的橫坐標(biāo)表示各橫截面的位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)表示各橫截面上扭矩的數(shù)值，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，將扭矩隨截面位置的變化規(guī)律繪制成圖，稱為扭矩圖。在扭矩圖中，把正扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)扭矩畫在下方。6.2.3扭矩圖為了直觀地表示出軸的各個【例6.1】已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n＝300r／min，主動輪A的輸入功率PA＝29kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別為PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。繪制該軸的扭矩圖?！纠?.1】已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n＝300r／min，主動輪A的【解】1）計算外力偶矩。軸上的外力偶矩為：【解】1）計算外力偶矩。軸上的外力偶矩為：

用截面法，取1-1橫截面以左部分為研究對象，列平衡方程：

得：

T1為負(fù)值表示假設(shè)的扭矩方向與實(shí)際方向相反。2）計算各段軸內(nèi)橫截面上的扭矩。用截面法，取1-1橫截面以左部分為研究對象，

取2-2截面左邊部分為研究對象，列平衡方程：得:

取3-3截面右邊部分為研究對象，列平衡方程：取2-2截面左邊部分為研究對象，列平衡方程：得:3）繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，最大扭矩發(fā)生在CA段軸的各橫截面上,其值為：223573350－＋T

圖（單位：N·m）3）繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，最大扭矩發(fā)6.3

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算6.3.1圓軸的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)1、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析

圖（a）所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網(wǎng)格。扭轉(zhuǎn)變形后[圖（b）]，在彈性范圍內(nèi)，可以觀察到以下現(xiàn)象：1）各縱向線都傾斜了一個微小的角度，矩形網(wǎng)格變成了平行四邊形。2）各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉(zhuǎn)動了不同的角度。6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算1、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析

根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推斷：①

由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設(shè)圓軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)。②由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應(yīng)力。③由于矩形網(wǎng)格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，故可推斷橫截面上必有切應(yīng)力τ，且切應(yīng)力的方向垂直于半徑。④

由于各縱向線都傾斜了一個角度，故各矩形網(wǎng)格的直角都改變角，直角的改變量稱為切應(yīng)變。切應(yīng)變是由切應(yīng)力τ引起的。根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推2、切應(yīng)力互等定理

設(shè)矩形網(wǎng)格

ABCD

沿縱向長為dx，沿圓周向長為dy

，以它作為一個面，再沿半徑方向取長為

dz

，截出一個微小正

六面體

，稱為單元體

，如圖所示

。當(dāng)圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時

，橫截面上有切應(yīng)力

，故單元體左、右面上有切應(yīng)力。根據(jù)平衡條件，兩個面上的切應(yīng)力大小相等、方向相反，組成一個力偶，其矩為(dydz)dx。

為了保持單元體的平衡，在上、下面上必定還存在著切應(yīng)力

′，組成一個方向相反的力偶，其矩為（′dxdz）dy。由平衡方程

∑

Mz=0，得:(

dydz)dx=(′dxdz)dy

故=′2、切應(yīng)力互等定理設(shè)矩形網(wǎng)格ABCD沿上式表明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，方向則共同指向或背離該兩面的交線。這一結(jié)論稱為切應(yīng)力互等定理。圖示單元體的兩對面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力，這種應(yīng)力情況稱為純剪切。上式表明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂6.3.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力從變形的幾何關(guān)系、力和變形的物理關(guān)系及靜力學(xué)關(guān)系推導(dǎo)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律。（1）幾何關(guān)系

從圓軸中截取長為dx的一段進(jìn)行分析，如圖所示。假想橫截面m—m

固定不動，則橫截面n—n

相對橫截面m—m

繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度d，其上的半徑O2D也轉(zhuǎn)過了角度d，而到達(dá)位置O2D′。相應(yīng)地，縱向線

AD傾斜了一個微小角度，該傾斜角即為圓軸表面A點(diǎn)處的切應(yīng)變。同理，設(shè)半徑O2D上任一點(diǎn)G的縱向線EG的傾斜角為，

即為E點(diǎn)處的切應(yīng)變。6.3.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力從變令G點(diǎn)到軸線的距離為，由幾何關(guān)系可知由于在同一橫截面處為一個常量，因此上式表明，橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。這就是變形的幾何關(guān)系。令G點(diǎn)到軸線的距離為，由幾何關(guān)系可知rdA（2）物理關(guān)系設(shè)橫截面上距圓心為點(diǎn)處的切應(yīng)力為

，由剪切胡克定律，有:將式代入上式，

得:因?yàn)槌?shù)，所以上式表明切應(yīng)力的大小與成正比，在同一半徑的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相同，截面邊緣各點(diǎn)處的切應(yīng)力最大。rdA（2）物理關(guān)系將式rdA（3）靜力平衡關(guān)系如圖所示，距圓心為

的微面積上的微內(nèi)力為dA，其對圓心的矩為dA。因扭矩T為截面上的分布內(nèi)力的合力，則有：將式代入上式，整理得:rdA（3）靜力平衡關(guān)系將式令

可得圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式:將上式代入式得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計算公式:式中：T

—橫截面上的扭矩；

—

橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離；

—橫截面對圓心的極慣性矩，單位為mm4或m4。令可得圓軸扭轉(zhuǎn)變

當(dāng)

=R時，切應(yīng)力最大值為:

令

則有:

式中:WP

—

扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為mm3或m3。當(dāng)=R時，切應(yīng)力最大值為:令圓形截面：圓環(huán)形截面：為圓環(huán)內(nèi)、外徑的比值。注意：扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力的計算公式只適用于圓軸。

極慣性矩IP

和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)WP

是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。直徑為D的圓形截面和外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面，它們對圓心的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為：圓形截面：圓環(huán)形截面：為圓環(huán)內(nèi)、外徑的比值。注意：扭轉(zhuǎn)【例6.2】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，橫截面上的扭矩T

=

1.5kN·m。求橫截面上內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力，并繪制橫截面上切應(yīng)力的分布圖?！纠?.2】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85m【解】1）計算極慣性矩。極慣性矩為2）計算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力分別為畫橫截面上的切應(yīng)力分布圖?！窘狻?）計算極慣性矩。極慣性矩為2）計算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣6.3.3圓軸的強(qiáng)度計算

為使圓軸扭轉(zhuǎn)時能正常工作，必須要求軸內(nèi)的最大切應(yīng)力max

不超過材料的許用切應(yīng)力[

]，若用Tmax

表示危險截面上的扭矩，則圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件為：式中：[

]－材料的許用切應(yīng)力。利用上式可以對圓軸進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計截面尺寸和確定許用荷載等三類強(qiáng)度計算問題。6.3.3圓軸的強(qiáng)度計算為使圓軸扭轉(zhuǎn)時【例6.3】如圖所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應(yīng)力[]=50MPa，試進(jìn)行強(qiáng)度校核。【例6.3】如圖所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內(nèi)徑Tmax=4kN·m【解】1）求危險截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖所示，BC段各橫截面為危險截面,其上的扭矩為:

Tmax=4kN·m【解】軸的最大切應(yīng)力為:所以軸是安全的。2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:

軸的最大切應(yīng)力為:所以軸是安全的。2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。【例6.4】實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應(yīng)力[]=20MPa。（1）選擇實(shí)心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內(nèi)外徑比值為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實(shí)心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實(shí)心部分與空心部分的重量比?！纠?.4】實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所【解】

軸承受的外力偶矩為：故軸任一橫截面上的扭矩為：T

=

Me

=

955N·m1）選擇實(shí)心軸的直徑。由強(qiáng)度條件得：【解】軸承受的外力偶矩為：故軸任一橫截面上的扭矩為：T2）選擇空心軸的外徑D2。圓環(huán)形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:由強(qiáng)度條件:

得:2）選擇空心軸的外徑D2。圓環(huán)形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:由強(qiáng)3）實(shí)心部分與空心部分的重量比為:

顯然空心軸比實(shí)心軸節(jié)省材料。工程中有許多受扭桿件采用圓環(huán)形截面。3）實(shí)心部分與空心部分的重量比為:顯然空心6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算6.4.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形通常是用兩個橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動的相對扭轉(zhuǎn)角

來度量的。扭轉(zhuǎn)變形的基本公式：式中：d

—相距為dx的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角。上式也可寫成：6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T

的數(shù)值相同，則上式中的T、G、IP均為常量，積分后得：扭轉(zhuǎn)角

的單位為

rad。相距為l

的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為：若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截

由上式可知，扭轉(zhuǎn)角

與GIP成反比，即GIP越大，軸就越不容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。因此把GIP稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。

工程中通常采用單位長度扭轉(zhuǎn)角，即：單位長度扭轉(zhuǎn)角

的單位為

rad/m。由上式可知，扭轉(zhuǎn)角與GIP成反比，即GI6.4.2圓軸的剛度條件對于承受扭轉(zhuǎn)的圓軸，除了滿足強(qiáng)度條件外，還要求它的扭轉(zhuǎn)變形不能過大。因此，必須對軸的扭轉(zhuǎn)變形加以限制，使其滿足剛度條件：式中：[

]—單位長度許用扭轉(zhuǎn)角，單位為rad/m，其數(shù)值由軸上荷載的性質(zhì)及軸的工作條件等因素決定，可從相關(guān)設(shè)計手冊中查到。在工程實(shí)際中，[

]的單位通常為/m，因此剛度條件寫為：6.4.2圓軸的剛度條件對于承受扭轉(zhuǎn)的圓【例6.5】圖示傳動軸，在橫截面A、B、C三處輸入或輸出的功率分別為PA=100kW、PB=60kW、PC

=40kW，軸的轉(zhuǎn)速

n

=200r／min，軸的直徑

D=90mm，材料的切變模量G=80103MPa，材料的許用切應(yīng)力[

]=60MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[

]=1.1/m。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。【例6.5】圖示傳動軸，在橫截面A、B、C三處輸入或輸出的功【解】1）計算外力偶矩?！窘狻?）計算外力偶矩。2）求危險截面上的扭矩。繪出扭矩圖。由圖可知，BA段各橫截面為危險截面，其上的扭矩為:Tmax=2.86kN·m2）求危險截面上的扭矩。3）強(qiáng)度校核。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和極慣性矩分別為:

軸的最大切應(yīng)力為:強(qiáng)度滿足要求。3）強(qiáng)度校核。軸的最大切應(yīng)力為:4）剛度校核。單位長度最大扭轉(zhuǎn)角為:

剛度滿足要求。4）剛度校核。剛度滿足要求?！纠?.6】一鋼制傳動圓軸。材料的切變模量G=79×103MPa，許用切應(yīng)力[

]=88.2MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角

[

]=0.5/m，承受的扭矩為T=39.6kN·m。試根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計圓軸的直徑D?！纠?.6】一鋼制傳動圓軸。材料的切變模量G=79×103M【解】1）按強(qiáng)度條件設(shè)計圓軸的直徑。由強(qiáng)度條件:得：【解】2）按剛度條件設(shè)計軸的直徑。由剛度條件：得：取D＝160mm

，能同時滿足強(qiáng)度和剛度條件。2）按剛度條件設(shè)計軸的直徑。取D＝160mm，能6.5

矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及變形

在工程中還經(jīng)常會遇到非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題。在圖(a)所示矩形截面桿在扭轉(zhuǎn)后所有橫向線都變成了曲線[圖(b)]，這說明橫截面不再保持為平面而變?yōu)榍?，這種現(xiàn)象稱為翹曲。試驗(yàn)表明，非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時都會發(fā)生翹曲，圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)不再成立，應(yīng)力和變形的計算公式也不再適用。6.5矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力及變形在非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，必須用彈性力學(xué)的方法來研究。當(dāng)非圓截面桿不受任何約束時，橫截面能自由翹曲，各截面翹曲的程度相同，此時橫截面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。若桿件受到約束，例如一端固定，則各截面的翹曲受到限制，橫截面上不僅有切應(yīng)力，而且還有正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。對于實(shí)體截面桿，由約束扭轉(zhuǎn)所引起的正應(yīng)力數(shù)值很小，可忽略不計；而對于薄壁截面桿，這種正應(yīng)力往往較大，不能忽略。圓軸扭轉(zhuǎn)非圓軸扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，必須用彈性力學(xué)的方法來研究。（1）矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖所示。截面周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力平行于周邊且與扭矩方向一致；在對稱軸上，各點(diǎn)處的切應(yīng)力垂直于對稱軸；其他各點(diǎn)處的切應(yīng)力是斜向的；角點(diǎn)及形心處的切應(yīng)力為零；最大切應(yīng)力max

發(fā)生在長邊中點(diǎn)處；短邊中點(diǎn)處有較大的切應(yīng)力1

。矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的主要結(jié)論：（1）矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖所示。最大切應(yīng)力為：短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力為：單位長度扭轉(zhuǎn)角為：式中：WP—

矩形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，WP=hb2；

It

—

矩形截面的相當(dāng)極慣性矩，It

=

hb3；

、、

—

與矩形截面高寬比h/b有關(guān)的系數(shù)，可由

p.115表6.1

查得。（2）計算公式最大切應(yīng)力為：短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力為：單位長度扭轉(zhuǎn)角為：表6.1矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的系數(shù)、、

h/b1.01.52.02.53.04.06.08.010.00.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.3330.1400.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.3331.0000.8580.7960.7660.7530.7450.7430.7430.7430.743表6.1矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的系數(shù)、、h/b1.01【例6.7】有一矩形截面的等直鋼桿，其橫截面尺寸為h＝100mm，b＝50mm，桿兩端作用一對扭轉(zhuǎn)力偶

Me，已知

Me＝4kN·m，鋼的許用切應(yīng)力[

]＝100MPa，切變模量G＝80×103MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[

]＝1.2/m。試對此桿進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核。

由矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形的計算公式，可建立與圓軸扭轉(zhuǎn)相同的強(qiáng)度、剛度條件，并對其進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計算?！纠?.7】有一矩形截面的等直鋼桿，其橫截面尺寸為h＝100【解】桿的扭矩為：T=Me=4kNm

由h/b=100mm/50mm=2，查表6.1得：

=0.246，=0.229強(qiáng)度校核：【解】桿的扭矩為：T=Me=4kNm此桿能滿足強(qiáng)度和剛度要求。剛度校核：此桿能滿足強(qiáng)度和剛度要求。第六章扭轉(zhuǎn)主要內(nèi)容：受扭桿件的外力和內(nèi)力計算；

圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形；

圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度計算；

矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)。第六章扭轉(zhuǎn)主要內(nèi)容：受扭桿件的外力和內(nèi)力計算；扭轉(zhuǎn)的概念

直桿的兩端各受到一個外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉(zhuǎn)向相反，作用面與桿件的軸線垂直，那么桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，稱為扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)前的桿件扭轉(zhuǎn)后的桿件扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)前的桿件扭轉(zhuǎn)后的桿件6.1

工程實(shí)例與計算簡圖

工程中承受扭轉(zhuǎn)的桿件：汽車方向盤的操縱桿[圖(a)]，機(jī)器中的傳動軸

[圖(b)]，鉆機(jī)的鉆桿[圖(c)]以及房屋中的雨篷梁和邊梁[圖(d)、(e)]等。工程中常把以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。6.1工程實(shí)例與計算簡圖工程中承受扭轉(zhuǎn)的

受扭桿件的受力特點(diǎn)：在桿件兩端受到兩個作用面垂直于桿軸線的力偶的作用，兩力偶大小相等、轉(zhuǎn)向相反。

變形特點(diǎn)是：桿件任意兩個橫截面都繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動，兩橫截面之間的相對角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，用

表示。受扭桿件的受力特點(diǎn)：在桿件兩端受到兩個作用面6.2

扭矩與扭矩圖6.2.1

外力偶矩的計算

工程中作用于軸上的外力偶矩一般不直接給出，而是給出軸的轉(zhuǎn)速和軸所傳遞的功率。

由物理學(xué)，矩為Me的外力偶產(chǎn)生角位移時，它所作的功為：軸轉(zhuǎn)動一周時外力偶所作的功為：

若軸的轉(zhuǎn)速為n，單位為r/min（轉(zhuǎn)/分），則外力偶每分鐘所作的功為：6.2扭矩與扭矩圖工程中作用于軸上的外

若功率用P表示，單位為kW（千瓦），則外力偶每分鐘所作的功也可表示為：

由此可得外力偶矩的計算公式為：式中：Me—軸上某處的外力偶矩，單位

N·m；

P

—

軸上某處輸入或輸出功率，單位

kW；

n

—

軸的轉(zhuǎn)速，單位

r/min。若功率用P表示，單位為kW（千瓦），則外力偶6.2.2扭矩

確定了作用于軸上的外力偶矩，可用截面法求橫截面上的內(nèi)力。

取左段為研究對象。由于左端有外力偶作用，為使其保持平衡，m

—m

橫截面上必存在一個內(nèi)力偶矩。它是截面上分布內(nèi)力的合力偶矩，稱為扭矩，用

T

來表示。列空間力系平衡方程：

∑Mx

＝0

T－Me

＝0∴

T＝Me

若取右段為研究對象，也可得到相同的結(jié)果，但扭矩的轉(zhuǎn)向相反。6.2.2扭矩確定了作用于軸上的外力偶為了使同一截面上扭矩的符號相同，規(guī)定扭矩T的正負(fù)號為：使右手四指的握向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致，若拇指指向截面外法線，則扭矩T為正[圖(a)]，反之為負(fù)[圖(b)]。為了使同一截面上扭矩的符號相同，規(guī)定扭矩T的6.2.3扭矩圖為了直觀地表示出軸的各個橫截面上扭矩的變化規(guī)律，與軸力圖一樣用平行于軸線的橫坐標(biāo)表示各橫截面的位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)表示各橫截面上扭矩的數(shù)值，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，將扭矩隨截面位置的變化規(guī)律繪制成圖，稱為扭矩圖。在扭矩圖中，把正扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)扭矩畫在下方。6.2.3扭矩圖為了直觀地表示出軸的各個【例6.1】已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n＝300r／min，主動輪A的輸入功率PA＝29kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別為PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。繪制該軸的扭矩圖?！纠?.1】已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n＝300r／min，主動輪A的【解】1）計算外力偶矩。軸上的外力偶矩為：【解】1）計算外力偶矩。軸上的外力偶矩為：

用截面法，取1-1橫截面以左部分為研究對象，列平衡方程：

得：

T1為負(fù)值表示假設(shè)的扭矩方向與實(shí)際方向相反。2）計算各段軸內(nèi)橫截面上的扭矩。用截面法，取1-1橫截面以左部分為研究對象，

取2-2截面左邊部分為研究對象，列平衡方程：得:

取3-3截面右邊部分為研究對象，列平衡方程：取2-2截面左邊部分為研究對象，列平衡方程：得:3）繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，最大扭矩發(fā)生在CA段軸的各橫截面上,其值為：223573350－＋T

圖（單位：N·m）3）繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，最大扭矩發(fā)6.3

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算6.3.1圓軸的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)1、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析

圖（a）所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網(wǎng)格。扭轉(zhuǎn)變形后[圖（b）]，在彈性范圍內(nèi)，可以觀察到以下現(xiàn)象：1）各縱向線都傾斜了一個微小的角度，矩形網(wǎng)格變成了平行四邊形。2）各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉(zhuǎn)動了不同的角度。6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強(qiáng)度計算1、扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析

根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推斷：①

由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設(shè)圓軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對轉(zhuǎn)動。這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè)。②由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應(yīng)力。③由于矩形網(wǎng)格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，故可推斷橫截面上必有切應(yīng)力τ，且切應(yīng)力的方向垂直于半徑。④

由于各縱向線都傾斜了一個角度，故各矩形網(wǎng)格的直角都改變角，直角的改變量稱為切應(yīng)變。切應(yīng)變是由切應(yīng)力τ引起的。根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推2、切應(yīng)力互等定理

設(shè)矩形網(wǎng)格

ABCD

沿縱向長為dx，沿圓周向長為dy

，以它作為一個面，再沿半徑方向取長為

dz

，截出一個微小正

六面體

，稱為單元體

，如圖所示

。當(dāng)圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時

，橫截面上有切應(yīng)力

，故單元體左、右面上有切應(yīng)力。根據(jù)平衡條件，兩個面上的切應(yīng)力大小相等、方向相反，組成一個力偶，其矩為(dydz)dx。

為了保持單元體的平衡，在上、下面上必定還存在著切應(yīng)力

′，組成一個方向相反的力偶，其矩為（′dxdz）dy。由平衡方程

∑

Mz=0，得:(

dydz)dx=(′dxdz)dy

故=′2、切應(yīng)力互等定理設(shè)矩形網(wǎng)格ABCD沿上式表明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，方向則共同指向或背離該兩面的交線。這一結(jié)論稱為切應(yīng)力互等定理。圖示單元體的兩對面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力，這種應(yīng)力情況稱為純剪切。上式表明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂6.3.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力從變形的幾何關(guān)系、力和變形的物理關(guān)系及靜力學(xué)關(guān)系推導(dǎo)橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律。（1）幾何關(guān)系

從圓軸中截取長為dx的一段進(jìn)行分析，如圖所示。假想橫截面m—m

固定不動，則橫截面n—n

相對橫截面m—m

繞軸線轉(zhuǎn)動了一個角度d，其上的半徑O2D也轉(zhuǎn)過了角度d，而到達(dá)位置O2D′。相應(yīng)地，縱向線

AD傾斜了一個微小角度，該傾斜角即為圓軸表面A點(diǎn)處的切應(yīng)變。同理，設(shè)半徑O2D上任一點(diǎn)G的縱向線EG的傾斜角為，

即為E點(diǎn)處的切應(yīng)變。6.3.2圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力從變令G點(diǎn)到軸線的距離為，由幾何關(guān)系可知由于在同一橫截面處為一個常量，因此上式表明，橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。這就是變形的幾何關(guān)系。令G點(diǎn)到軸線的距離為，由幾何關(guān)系可知rdA（2）物理關(guān)系設(shè)橫截面上距圓心為點(diǎn)處的切應(yīng)力為

，由剪切胡克定律，有:將式代入上式，

得:因?yàn)槌?shù)，所以上式表明切應(yīng)力的大小與成正比，在同一半徑的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相同，截面邊緣各點(diǎn)處的切應(yīng)力最大。rdA（2）物理關(guān)系將式rdA（3）靜力平衡關(guān)系如圖所示，距圓心為

的微面積上的微內(nèi)力為dA，其對圓心的矩為dA。因扭矩T為截面上的分布內(nèi)力的合力，則有：將式代入上式，整理得:rdA（3）靜力平衡關(guān)系將式令

可得圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式:將上式代入式得圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計算公式:式中：T

—橫截面上的扭矩；

—

橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離；

—橫截面對圓心的極慣性矩，單位為mm4或m4。令可得圓軸扭轉(zhuǎn)變

當(dāng)

=R時，切應(yīng)力最大值為:

令

則有:

式中:WP

—

扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為mm3或m3。當(dāng)=R時，切應(yīng)力最大值為:令圓形截面：圓環(huán)形截面：為圓環(huán)內(nèi)、外徑的比值。注意：扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力的計算公式只適用于圓軸。

極慣性矩IP

和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)WP

是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。直徑為D的圓形截面和外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面，它們對圓心的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為：圓形截面：圓環(huán)形截面：為圓環(huán)內(nèi)、外徑的比值。注意：扭轉(zhuǎn)【例6.2】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，橫截面上的扭矩T

=

1.5kN·m。求橫截面上內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力，并繪制橫截面上切應(yīng)力的分布圖?！纠?.2】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85m【解】1）計算極慣性矩。極慣性矩為2）計算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力分別為畫橫截面上的切應(yīng)力分布圖?！窘狻?）計算極慣性矩。極慣性矩為2）計算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣6.3.3圓軸的強(qiáng)度計算

為使圓軸扭轉(zhuǎn)時能正常工作，必須要求軸內(nèi)的最大切應(yīng)力max

不超過材料的許用切應(yīng)力[

]，若用Tmax

表示危險截面上的扭矩，則圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件為：式中：[

]－材料的許用切應(yīng)力。利用上式可以對圓軸進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計截面尺寸和確定許用荷載等三類強(qiáng)度計算問題。6.3.3圓軸的強(qiáng)度計算為使圓軸扭轉(zhuǎn)時【例6.3】如圖所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應(yīng)力[]=50MPa，試進(jìn)行強(qiáng)度校核?！纠?.3】如圖所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內(nèi)徑Tmax=4kN·m【解】1）求危險截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖所示，BC段各橫截面為危險截面,其上的扭矩為:

Tmax=4kN·m【解】軸的最大切應(yīng)力為:所以軸是安全的。2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:

軸的最大切應(yīng)力為:所以軸是安全的。2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度?！纠?.4】實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應(yīng)力[]=20MPa。（1）選擇實(shí)心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內(nèi)外徑比值為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實(shí)心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實(shí)心部分與空心部分的重量比。【例6.4】實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所【解】

軸承受的外力偶矩為：故軸任一橫截面上的扭矩為：T

=

Me

=

955N·m1）選擇實(shí)心軸的直徑。由強(qiáng)度條件得：【解】軸承受的外力偶矩為：故軸任一橫截面上的扭矩為：T2）選擇空心軸的外徑D2。圓環(huán)形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:由強(qiáng)度條件:

得:2）選擇空心軸的外徑D2。圓環(huán)形截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為:由強(qiáng)3）實(shí)心部分與空心部分的重量比為:

顯然空心軸比實(shí)心軸節(jié)省材料。工程中有許多受扭桿件采用圓環(huán)形截面。3）實(shí)心部分與空心部分的重量比為:顯然空心6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算6.4.1圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形通常是用兩個橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動的相對扭轉(zhuǎn)角

來度量的。扭轉(zhuǎn)變形的基本公式：式中：d

—相距為dx的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角。上式也可寫成：6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T

的數(shù)值相同，則上式中的T、G、IP均為常量，積分后得：扭轉(zhuǎn)角

的單位為

rad。相距為l

的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為：若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截

由上式可知，扭轉(zhuǎn)角

與GIP成反比，即GIP越大，軸就越不容易發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。因此把GIP稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。

工程中通常采用單位長度扭轉(zhuǎn)角，即：單位長度扭轉(zhuǎn)角

的單位為

rad/m。由上式可知，扭轉(zhuǎn)角與GIP成反比，即GI6.4.2圓軸的剛度條件對于承受扭轉(zhuǎn)的圓軸，除了滿足強(qiáng)度條件外，還要求它的扭轉(zhuǎn)變形不能過大。因此，必須對軸的扭轉(zhuǎn)變形加以限制，使其滿足剛度條件：式中：[

]—單位長度許用扭轉(zhuǎn)角，單位為rad/m，其數(shù)值由軸上荷載的性質(zhì)及軸的工作條件等因素決定，可從相關(guān)設(shè)計手冊中查到。在工程實(shí)際中，[

]的單位通常為/m，因此剛度條件寫為：6.4.2圓軸的剛度條件對于承受扭轉(zhuǎn)的圓【例6.5】圖示傳動軸，在橫截面A、B、C三處輸入或輸出的功率分別為PA=100kW、PB=60kW、PC

=40kW，軸的轉(zhuǎn)速

n

=200r／min，軸的直徑

D=90mm，材料的切變模量G=80103MPa，材料的許用切應(yīng)力[

]=60MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[

]=1.1/m。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度?！纠?.5】圖示傳動軸，在橫截面A、B、C三處輸入或輸出的功【解】1）計算外力偶矩。【解】1）計算外力偶矩。2）求危險截面上的扭矩。繪出扭矩圖。由圖可知，BA段各橫截面為危險截面，其上的扭矩為:Tmax=2.86kN·m2）求危險截面上的扭矩。3）強(qiáng)度校核。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和極慣性矩分別為:

軸的最大切應(yīng)力為:強(qiáng)度滿足要求。3）強(qiáng)度校核。軸的最大切應(yīng)力為:4）剛度校核。單位長度最大扭轉(zhuǎn)角為:

剛度滿足要求。4）剛度校核。剛度滿足要求?！纠?.6】一鋼制傳動圓軸。材料的切變模量G=79×103MPa，許用切應(yīng)力[

]=88.2MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角

[

]=0.5/m，承受的扭矩為T=39.6kN·m。試根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計圓軸的直徑D?！纠?.6】一鋼制傳動圓軸。材料的切變模量G=79×103M【