電磁場與電磁波基礎第二版電子工業(yè)第4章動態(tài)場課件

時變電磁場的邊界條件4.3第4章動態(tài)場靜態(tài)場方程在時變條件下的推廣4.1輔助動態(tài)位4.2時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律4.4時諧電磁場4.5動態(tài)場的應用4.6麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義4.7時變電磁場的邊界條件4.3第4章動態(tài)場靜態(tài)場方程在時變1概要

在靜止電荷和穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的靜態(tài)場中，其電場和磁場相互無關，彼此獨立存在，稱為靜態(tài)電、磁場。在時變電流產(chǎn)生的動態(tài)場中，變化磁場能激發(fā)電場，變化電場也能激發(fā)磁場，電場和磁場構成了不可分割的統(tǒng)一整體，稱為時變電磁場。一般時變電磁場可以隨時間做任意變化，它能夠分解為時諧電磁場的線性疊加。隨時間做特殊的時諧（穩(wěn)態(tài)正弦或余弦）變化的場稱為時諧電磁場。概要在靜止電荷和穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的靜態(tài)場中，其電場和2

本章在時變條件下將僅有空間變化的靜態(tài)場基本方程進行修正，引出渦旋電場概念和位移電流假設，進而推廣為具有時空變化的動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程。在此基礎上討論動態(tài)場應用中的重要問題：輔助動態(tài)位、時變電磁場的邊界條件、時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律、時諧電磁場、動態(tài)場的應用。最后介紹麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義。本章在時變條件下將僅有空間變化的靜態(tài)場基本方程進行修3

問題：如何推廣靜態(tài)場基本方程？

4.1.1

法拉第電磁感應定律的啟示—渦旋電場實驗觀察發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象：穿過導體回路的磁通量隨時間變化，會在導體回路中引起感應電動勢和感應電流。

4.1

靜態(tài)場方程在時變條件下的推廣靜態(tài)場基本方程問題：如何推廣靜態(tài)場基本方程？4

麥克斯韋深入研究電磁感應現(xiàn)象后得到新的啟示：唯有電場才能在導體回路上引起感應電流，而這個電場正是由變化磁場激勵的感應電場，它與導體回路的存在無關。

對靜止導體回路，由式（2.45a、b）

利用斯托克斯定理得

麥克斯韋深入研究電磁感應現(xiàn)象后得到新的啟示：5

Ein——渦旋電場（變化磁場產(chǎn)生的感應電場，他是非保守的有旋場）。

式（4.2）中將保守的靜電場Ec考慮進去，其合成場，得

看出靜態(tài)場方程（4.1a）在時變條件（）下，只須加上修正項（激勵渦旋電場的旋渦源），即推廣為動態(tài)場方程。Ein——渦旋電場（變化磁場產(chǎn)生的感應電場，他是非64.1.2

問題的提出—位移電流

問題：既然變化磁場能產(chǎn)生渦旋電場，那么變化電場能否產(chǎn)生磁場呢？圖4.1中接交變電源的電容器的斷路回路上為什么存在傳導電流？4.1.2問題的提出—位移電流7

看出靜磁場的安培環(huán)路定理不滿足普適的電流連續(xù)性原理，如何解決這個矛盾？圖4.1（b）中穿過S1的導線上存在J，而穿過電容器極板間的S2中不存在J，但交變電流在極板上形成的交變電荷土Q要產(chǎn)生交變的電場變化，麥克斯韋將這個附加項考慮進去，得兩邊取散度，得比較看出靜磁場的安培環(huán)路定理不滿足普適的電流連續(xù)性原理，8滿足電流連續(xù)性原理。

令附加假設項為位移電流

加于式（4.1b）右邊，得動態(tài)場的全電流定律

看出靜態(tài)場方程（4.1b）在時變條件（）下，只需加上修正項（激勵有旋磁場的漩渦源）,即推廣為動態(tài)場方程。

滿足電流連續(xù)性原理。令附加假設項為位移電流9

4.1.3

動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程

●麥克斯韋方程

由靜態(tài)場方程推廣而成的動態(tài)場方程，構成麥克斯韋理論的核心，是宏觀電磁理論的普適性方程。4.1.3動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程10

●電荷守恒定律和本構方程

式（4.7a～f）構成一個完備方程組，它定量描述了場量、源量和媒質(zhì)間的相互作用規(guī)律和轉(zhuǎn)化關系，全面反映了電磁場與波的基本性質(zhì)和普遍的運動規(guī)律，是宏觀電磁理論的基礎，所有的電磁現(xiàn)象都可以由它得到說明?！耠姾墒睾愣珊捅緲嫹匠淌剑?114.2

輔助動態(tài)位4.2.1

時變電磁場的標量電位和矢量磁位

由麥克斯韋方程引入輔助動態(tài)位可簡化分析和計算。已知4.2輔助動態(tài)位4.2.1時變電磁場的標量電位和矢量12

（1）由磁場的無散性引入矢量磁位方程（4.8d）與矢量恒等式對比,令，得

（2）將電場的旋度式變?yōu)闊o旋性方程式（4.9a）代入方程（4.8a），得電場的旋度式變?yōu)闊o旋性方程

建立輔助動態(tài)位與電磁場量微分關系的步驟：式中A為時變電磁場的矢量磁位。（1）由磁場的無散性引入矢量磁位（2）將電場的旋度13

（3）由電磁場的無旋性引入標量電位將式（4.9b）與矢量恒等式對比，令，得，寫為

式中，為時變電磁場的標量位。（3）由電磁場的無旋性引入標量電位式中，為時變144.2.2

時變電磁場動態(tài)位的波動方程

先由動態(tài)位的波動方程解得動態(tài)位，再由位場關系得到時變場量。方法是用位場關系代入麥克斯韋方程，以動態(tài)位置換時變場量后，得到動態(tài)位的波動方程。

式（4.9c）代入方程（4.8c），并交換和的運算次序，得

式（4.9a，c）代入方程（4.8b），并利用式（4.8e，f），可得4.2.2時變電磁場動態(tài)位的波動方程先由15

應用矢量恒等式，令F=A，移項整理后，得

按亥姆霍茲定理，A只取了旋度，尚未確定其散度，方程（4.10）的解具有多值性。

問題：如何得動態(tài)位波動方程的單值解？按什么原則選擇A的散度之值？應用矢量恒等式16選擇等于，可分離和簡化方程（4.10）。令

得選擇等于，可分離和簡化方程（4.10）17

動態(tài)場方程與靜態(tài)場方程的區(qū)別：動態(tài)場方程中比靜態(tài)場方程多了一突變量和，這個方程的附加項在邊界面上為有限量。表明跨邊界面閉合回路所圍面積dS趨于零時，附加項與無限小面積元點積的積分零。方程（4.7a、b）中的附加積分項為零。例如

4.3

時變電磁場的邊界條件

4.3.1

邊界條件的一般形式動態(tài)場方程與靜態(tài)場方程的區(qū)別：動態(tài)場方程中比靜態(tài)場方18

邊界面上場量在時間變化上的突變性不會影響原來邊界條件形式的改變，得邊界面上場量在時間變化上的突變性不會影響原來邊194.3.2

邊界條件的特殊形式

理想介質(zhì)——電導率極小的低耗介質(zhì)（、為實數(shù)、=0）；理想導體——電導率極大的良導體（

=）。

●不同理想介質(zhì)邊界面（S=0，JS=0）：

●理想介質(zhì)和理想導體邊界面（S≠0,JS≠0）：4.3.2邊界條件的特殊形式理想介質(zhì)——電導率極204.4

時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律

在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，已知靜電場的能量密度（單位體積電場能量）、靜磁場的能量密度（單位體積磁場能量）和穩(wěn)恒電場損耗功率密度（單位體積損耗電能）4.4.1

時變電磁場的能量

4.4時變電磁場的能量、能流和能量守恒21

將靜態(tài)場公式（4.16）推廣到時變電磁場中，有

4.4.2

時變電磁場的能流和坡印廷矢量

為了描述時變電磁場能量流動的大小和方向，引入能量流動密度矢量，其大小為單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積的能量，或垂直穿過單位面積的功率，其方向為能量流動的方向，所以能量流動密度矢量（或能流密度矢量）又稱為功率流密度矢量，通常稱為坡印廷矢量將靜態(tài)場公式（4.16）推廣到時變電磁場中，有22

由式（4.18）可知，S

和

E，H

相互正交，且成右旋關系，如圖4.2所示。S

的單位為W/m2（瓦特/米2）。

由式（4.18）可知，S和E，H相互正交，且成23

4.4.3

時變電磁場的能量守恒定律——坡印廷定理4.4.3時變電磁場的能量守恒定律——坡印廷定理24式（4.20）稱為時變電磁場坡印廷定理的微分形式。它表示媒質(zhì)空間某點能流密度的空間減少率轉(zhuǎn)化為該點電磁能量密度的時間增長率與電磁損耗功率密度之和。式（4.20）稱為時變電磁場坡印廷定理的微分形式。它表示媒質(zhì)25

圖4.3表示由曲面S包圍的有限媒質(zhì)空間體積V。將式（4.20）兩邊在體積V上進行積分，并利用散度定理圖4.3表示由曲面S包圍的有限媒質(zhì)空間體積V。26

可得

上兩式稱為時變電磁場坡印廷定理的積分形式。它表示進入有限媒質(zhì)空間體積的電磁能流轉(zhuǎn)化為該體積內(nèi)電磁能量隨時間的增長率與電磁損耗功率之和。也可以說，它表示單位時間內(nèi)流入有限媒質(zhì)空間體積的電磁能量轉(zhuǎn)化為該體積內(nèi)電磁儲能的增量與損耗的電磁能量?？傻蒙蟽墒椒Q為時變電磁場坡印廷定理的積分形式。27

【例4.1】一段長直圓柱導體上通過穩(wěn)恒電流I。假設導體半徑為a，長度為l，電導率為，如圖4.4所示。（1）求導體表面附近的坡印廷矢量；（2）求導體的損耗功率。

【例4.1】一段長直圓柱導體上通過穩(wěn)恒電流I。假設導體28

解：（1）選擇圓柱坐標系，令圓柱軸線為圓柱坐標系的z軸，則導體內(nèi)的穩(wěn)恒電流場和穩(wěn)恒電場

利用電場切向分量的邊界條件可知E內(nèi)

=

E外，得

利用安培環(huán)路定理，可以求出導體內(nèi)、外的磁場強度解：利用電場切向分量的邊界條件可29因此，在圓柱導體表面附近內(nèi)、外處的坡印廷矢量因此，在圓柱導體表面附近內(nèi)、外處的坡印廷矢量30看出坡印廷矢量的方向沿徑向處處指向?qū)w軸線。

（2）在導線表面處，，沿圓柱導體表面對S求面積分，利用，有

式中，表示半徑為,長度為的圓柱導體的電阻。進入導體的穩(wěn)恒電場能流轉(zhuǎn)化為導體的電能損耗功率，完全服從坡印廷定理?？闯銎掠⊥⑹噶康姆较蜓貜较蛱幪幹赶?qū)w軸線。（231

4.5

時諧電磁場

時諧電磁場——場強方向與時間無關，而場強大小僅按角頻率隨時間作正弦或余弦變化的穩(wěn)態(tài)正弦或余弦電磁場。問題：為什么在工程應用中常采用時諧電磁場求解電磁問題？

●電路理論的復數(shù)表示法沿z向傳輸隨時間t作余弦（或正弦）變化的電壓（或電流）是一維標量瞬時值

4.5.1

時諧電磁場的復數(shù)表示法4.5時諧電磁場時諧電磁場——場強方向與32式中為振幅，為角頻率，為余弦初相位。

為簡化運算，引入具有實、虛軸的復平面，并以歐拉公式為基礎，建立復數(shù)運算法，將具有時空變化的瞬時值運算轉(zhuǎn)化為僅具空間變化的復數(shù)值運算。

在中令，上式改寫為稱為復振幅（復標量）。它表示物理量的振幅和初相位只有空間變化關系，與具有時間變化的時諧因子實施了時空分離。只需對復振幅進行運算，再將結果乘以，并取實部（或虛部），即可得相應的瞬時值。

式中式中為振幅，為角頻率，為余弦初相位。33

●電磁場理論的復數(shù)表示法

在一定條件下，復數(shù)表示法可從電路理論推廣到電磁場理論中。在直角坐標系中，取i=x，y和z，E的分量形式

式中沿ax，ay和az方向的標量分量可以寫成時諧場的瞬時形式

●電磁場理論的復數(shù)表示法在一定條件下，復數(shù)34按歐拉公式將式（4.23）寫成如下指數(shù)形式

定義按歐拉公式將式（4.23）寫成如下指數(shù)形式定義35

則式（4.24）可以寫成

式中，和稱為，和的復標量。式（4.26a～c）分別乘ax，ay和az相疊加，即可將式（4.22）按復數(shù)形式合成為如下瞬時形式

式中則式（4.24）可以寫成式中，36是時諧電場瞬時形式E（r，t）的復矢量。問題：推廣復數(shù)法的“一定條件”是指什么？為什么？對于任意時諧場矢量或位矢量，可以用F將式（4.27）和（4.28）推廣為如下一般形式式中是時諧電場瞬時形式E（r，t）的復矢量。式中37對時間的導數(shù)則交換與Re的順序，得

式中，是Fi（r,t）的復標量，是F(r,t)的復矢量。其中(r)不能寫成

i(r)，表示

的各初相位相等。

在時諧電磁場中，對空間的導數(shù)可用復數(shù)形式表示，交換與Re的順序后，得對時間的導數(shù)則交換與Re的順序，得式中，是38式（4.31b）表明時諧場對時間的微分用復數(shù)形式來表示時，相當于將代換為j；同理可知，對于積分，則相當于將代換為1/j。

4.5.2

時諧電磁場的麥克斯韋方程和本構方程式（4.31a，b）應用于時變電磁場方程（4.8），可以轉(zhuǎn)化為時諧電磁場的復數(shù)形式。例如，對方程（4.8a），可做如下運算式（4.31b）表明時諧場對時間的微分用復數(shù)形式來表示時，39

對于任意時刻t，上式均成立，故可以消去方程兩邊的實部。對方程（4.8）所有各式做同樣運算，最后得時諧電磁場的復數(shù)形式

由于復數(shù)與實數(shù)兩種形式的方程之間存在明顯區(qū)別，方程（4.32）已略去所加“·”的符號，并不會引起混淆。對于任意時刻t，上式均成立，故可以消去方程兩邊的實部40

4.5.3

時諧電磁場的輔助動態(tài)位

由式（4.12a，b）和（4.11）得動態(tài)位的非齊次波動方程和洛侖茲條件

令，方程（4.33）變?yōu)榉驱R次亥姆霍茲方程4.5.3時諧電磁場的輔助動態(tài)位由式（441

在無源區(qū)（

），得齊次亥姆霍茲方程

由洛倫茲條件式（4.34）可知，再由式（4.9a、c）便得時諧電磁場解的復數(shù)形式在無源區(qū)（），得齊次亥姆霍茲方程42

【例4.2】假定自由空間中時諧電磁場的電場強度瞬時值

求：（1）電場強度的復數(shù)形式；（2）磁場強度的復數(shù)形式和瞬時形式；（3）當E0y=3V/m，電場強度和磁場強度的復數(shù)值和瞬時值?！纠?.2】假定自由空間中時諧電磁場的電場強度瞬時值43

解：（1）將E（z，t）的瞬時形式改寫為可知電場強度的復矢量

（2）式（4.38）代入麥克斯韋方程的旋度式（4.32a），得

解：44由式（4.39）得的分量為零，而的分量故得磁場強度的復數(shù)形式將復數(shù)形式，取實部，即得的瞬時形式由式（4.39）得的分量為零，而45

（3）已知的值求得波阻抗代入數(shù)字計算，最后得（3）已知的值46

4.5.4

時諧電磁場的復坡印廷定理

●瞬時形式

1．坡印廷矢量的三種表示形式

可得

4.5.4時諧電磁場的復坡印廷定理47

對周期函數(shù)在一個周期內(nèi)對時間dt取積分，得S（r，t）的時間平均值，或時均形式

問題：在功率運算中為什么不能采用瞬時形式？麥克斯韋方程是線性方程，其解要求滿足線性疊加性，而在S（r，t）中涉及的功率運算，其運算結果中出現(xiàn)的

二次諧波是非線性項，違背了時諧量運算的線性要求，需尋求其他表示法

●時均形式

對周期函數(shù)在一個周期48上式右邊倍頻余弦項在一個周期內(nèi)積分的時均值為零，使該式變?yōu)榕c時間無關的恒定量。取時均值消除了二次諧波，滿足了時諧場的線性疊加要求。

●復數(shù)形式為避免時均形式的積分運算困難，也可采用復數(shù)共軛運算消除二次諧波。

問題：為什么采用復數(shù)共軛運算可以消除二次諧波的非線性項？上式右邊倍頻余弦項在一個周期內(nèi)積分的時均值為零，使該式變?yōu)榕c49

觀察2．坡印廷矢量三種形式的關系

上式表示坡印廷矢量復數(shù)形式的實部等于其時均形式。所以，能流密度矢量用復數(shù)值和時均值表示是等效的，但復數(shù)形式比時均形式更簡單。3．復坡印廷定理應用取復數(shù)共軛的方法，式（4.17a，b）寫為2．坡印廷矢量三種形式的關系50

利用式（4.42c）和（4.44a、b），可將式（4.21b）寫為或利用式（4.42c）和（4.44a、b），51

【例4.3】已知無源空間區(qū)域電場強度的瞬時值求：（1）復坡印廷矢量；（2）時均坡印廷矢量。

解：將上式改寫為復數(shù)形式由【例4.3】已知無源空間區(qū)域電場強度的瞬時值52

（1）復坡印廷矢量

（2）時均坡印廷矢量（1）復坡印廷矢量（2）時均53

4.6

動態(tài)場的應用閱讀材料：自學或選講。選講用圖：4.6動態(tài)場的應用54電磁場與電磁波基礎第二版電子工業(yè)第4章動態(tài)場課件55電磁場與電磁波基礎第二版電子工業(yè)第4章動態(tài)場課件56

4.7

麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義閱讀材料：自學。4.7麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義57

時變電磁場的邊界條件4.3第4章動態(tài)場靜態(tài)場方程在時變條件下的推廣4.1輔助動態(tài)位4.2時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律4.4時諧電磁場4.5動態(tài)場的應用4.6麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義4.7時變電磁場的邊界條件4.3第4章動態(tài)場靜態(tài)場方程在時變58概要

在靜止電荷和穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的靜態(tài)場中，其電場和磁場相互無關，彼此獨立存在，稱為靜態(tài)電、磁場。在時變電流產(chǎn)生的動態(tài)場中，變化磁場能激發(fā)電場，變化電場也能激發(fā)磁場，電場和磁場構成了不可分割的統(tǒng)一整體，稱為時變電磁場。一般時變電磁場可以隨時間做任意變化，它能夠分解為時諧電磁場的線性疊加。隨時間做特殊的時諧（穩(wěn)態(tài)正弦或余弦）變化的場稱為時諧電磁場。概要在靜止電荷和穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的靜態(tài)場中，其電場和59

本章在時變條件下將僅有空間變化的靜態(tài)場基本方程進行修正，引出渦旋電場概念和位移電流假設，進而推廣為具有時空變化的動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程。在此基礎上討論動態(tài)場應用中的重要問題：輔助動態(tài)位、時變電磁場的邊界條件、時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律、時諧電磁場、動態(tài)場的應用。最后介紹麥克斯韋和麥克斯韋理論建立的意義。本章在時變條件下將僅有空間變化的靜態(tài)場基本方程進行修60

問題：如何推廣靜態(tài)場基本方程？

4.1.1

法拉第電磁感應定律的啟示—渦旋電場實驗觀察發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象：穿過導體回路的磁通量隨時間變化，會在導體回路中引起感應電動勢和感應電流。

4.1

靜態(tài)場方程在時變條件下的推廣靜態(tài)場基本方程問題：如何推廣靜態(tài)場基本方程？61

麥克斯韋深入研究電磁感應現(xiàn)象后得到新的啟示：唯有電場才能在導體回路上引起感應電流，而這個電場正是由變化磁場激勵的感應電場，它與導體回路的存在無關。

對靜止導體回路，由式（2.45a、b）

利用斯托克斯定理得

麥克斯韋深入研究電磁感應現(xiàn)象后得到新的啟示：62

Ein——渦旋電場（變化磁場產(chǎn)生的感應電場，他是非保守的有旋場）。

式（4.2）中將保守的靜電場Ec考慮進去，其合成場，得

看出靜態(tài)場方程（4.1a）在時變條件（）下，只須加上修正項（激勵渦旋電場的旋渦源），即推廣為動態(tài)場方程。Ein——渦旋電場（變化磁場產(chǎn)生的感應電場，他是非634.1.2

問題的提出—位移電流

問題：既然變化磁場能產(chǎn)生渦旋電場，那么變化電場能否產(chǎn)生磁場呢？圖4.1中接交變電源的電容器的斷路回路上為什么存在傳導電流？4.1.2問題的提出—位移電流64

看出靜磁場的安培環(huán)路定理不滿足普適的電流連續(xù)性原理，如何解決這個矛盾？圖4.1（b）中穿過S1的導線上存在J，而穿過電容器極板間的S2中不存在J，但交變電流在極板上形成的交變電荷土Q要產(chǎn)生交變的電場變化，麥克斯韋將這個附加項考慮進去，得兩邊取散度，得比較看出靜磁場的安培環(huán)路定理不滿足普適的電流連續(xù)性原理，65滿足電流連續(xù)性原理。

令附加假設項為位移電流

加于式（4.1b）右邊，得動態(tài)場的全電流定律

看出靜態(tài)場方程（4.1b）在時變條件（）下，只需加上修正項（激勵有旋磁場的漩渦源）,即推廣為動態(tài)場方程。

滿足電流連續(xù)性原理。令附加假設項為位移電流66

4.1.3

動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程

●麥克斯韋方程

由靜態(tài)場方程推廣而成的動態(tài)場方程，構成麥克斯韋理論的核心，是宏觀電磁理論的普適性方程。4.1.3動態(tài)場基本方程——麥克斯韋方程67

●電荷守恒定律和本構方程

式（4.7a～f）構成一個完備方程組，它定量描述了場量、源量和媒質(zhì)間的相互作用規(guī)律和轉(zhuǎn)化關系，全面反映了電磁場與波的基本性質(zhì)和普遍的運動規(guī)律，是宏觀電磁理論的基礎，所有的電磁現(xiàn)象都可以由它得到說明?！耠姾墒睾愣珊捅緲嫹匠淌剑?684.2

輔助動態(tài)位4.2.1

時變電磁場的標量電位和矢量磁位

由麥克斯韋方程引入輔助動態(tài)位可簡化分析和計算。已知4.2輔助動態(tài)位4.2.1時變電磁場的標量電位和矢量69

（1）由磁場的無散性引入矢量磁位方程（4.8d）與矢量恒等式對比,令，得

（2）將電場的旋度式變?yōu)闊o旋性方程式（4.9a）代入方程（4.8a），得電場的旋度式變?yōu)闊o旋性方程

建立輔助動態(tài)位與電磁場量微分關系的步驟：式中A為時變電磁場的矢量磁位。（1）由磁場的無散性引入矢量磁位（2）將電場的旋度70

（3）由電磁場的無旋性引入標量電位將式（4.9b）與矢量恒等式對比，令，得，寫為

式中，為時變電磁場的標量位。（3）由電磁場的無旋性引入標量電位式中，為時變714.2.2

時變電磁場動態(tài)位的波動方程

先由動態(tài)位的波動方程解得動態(tài)位，再由位場關系得到時變場量。方法是用位場關系代入麥克斯韋方程，以動態(tài)位置換時變場量后，得到動態(tài)位的波動方程。

式（4.9c）代入方程（4.8c），并交換和的運算次序，得

式（4.9a，c）代入方程（4.8b），并利用式（4.8e，f），可得4.2.2時變電磁場動態(tài)位的波動方程先由72

應用矢量恒等式，令F=A，移項整理后，得

按亥姆霍茲定理，A只取了旋度，尚未確定其散度，方程（4.10）的解具有多值性。

問題：如何得動態(tài)位波動方程的單值解？按什么原則選擇A的散度之值？應用矢量恒等式73選擇等于，可分離和簡化方程（4.10）。令

得選擇等于，可分離和簡化方程（4.10）74

動態(tài)場方程與靜態(tài)場方程的區(qū)別：動態(tài)場方程中比靜態(tài)場方程多了一突變量和，這個方程的附加項在邊界面上為有限量。表明跨邊界面閉合回路所圍面積dS趨于零時，附加項與無限小面積元點積的積分零。方程（4.7a、b）中的附加積分項為零。例如

4.3

時變電磁場的邊界條件

4.3.1

邊界條件的一般形式動態(tài)場方程與靜態(tài)場方程的區(qū)別：動態(tài)場方程中比靜態(tài)場方75

邊界面上場量在時間變化上的突變性不會影響原來邊界條件形式的改變，得邊界面上場量在時間變化上的突變性不會影響原來邊764.3.2

邊界條件的特殊形式

理想介質(zhì)——電導率極小的低耗介質(zhì)（、為實數(shù)、=0）；理想導體——電導率極大的良導體（

=）。

●不同理想介質(zhì)邊界面（S=0，JS=0）：

●理想介質(zhì)和理想導體邊界面（S≠0,JS≠0）：4.3.2邊界條件的特殊形式理想介質(zhì)——電導率極774.4

時變電磁場的能量、能流和能量守恒定律

在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，已知靜電場的能量密度（單位體積電場能量）、靜磁場的能量密度（單位體積磁場能量）和穩(wěn)恒電場損耗功率密度（單位體積損耗電能）4.4.1

時變電磁場的能量

4.4時變電磁場的能量、能流和能量守恒78

將靜態(tài)場公式（4.16）推廣到時變電磁場中，有

4.4.2

時變電磁場的能流和坡印廷矢量

為了描述時變電磁場能量流動的大小和方向，引入能量流動密度矢量，其大小為單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積的能量，或垂直穿過單位面積的功率，其方向為能量流動的方向，所以能量流動密度矢量（或能流密度矢量）又稱為功率流密度矢量，通常稱為坡印廷矢量將靜態(tài)場公式（4.16）推廣到時變電磁場中，有79

由式（4.18）可知，S

和

E，H

相互正交，且成右旋關系，如圖4.2所示。S

的單位為W/m2（瓦特/米2）。

由式（4.18）可知，S和E，H相互正交，且成80

4.4.3

時變電磁場的能量守恒定律——坡印廷定理4.4.3時變電磁場的能量守恒定律——坡印廷定理81式（4.20）稱為時變電磁場坡印廷定理的微分形式。它表示媒質(zhì)空間某點能流密度的空間減少率轉(zhuǎn)化為該點電磁能量密度的時間增長率與電磁損耗功率密度之和。式（4.20）稱為時變電磁場坡印廷定理的微分形式。它表示媒質(zhì)82

圖4.3表示由曲面S包圍的有限媒質(zhì)空間體積V。將式（4.20）兩邊在體積V上進行積分，并利用散度定理圖4.3表示由曲面S包圍的有限媒質(zhì)空間體積V。83

可得

上兩式稱為時變電磁場坡印廷定理的積分形式。它表示進入有限媒質(zhì)空間體積的電磁能流轉(zhuǎn)化為該體積內(nèi)電磁能量隨時間的增長率與電磁損耗功率之和。也可以說，它表示單位時間內(nèi)流入有限媒質(zhì)空間體積的電磁能量轉(zhuǎn)化為該體積內(nèi)電磁儲能的增量與損耗的電磁能量?？傻蒙蟽墒椒Q為時變電磁場坡印廷定理的積分形式。84

【例4.1】一段長直圓柱導體上通過穩(wěn)恒電流I。假設導體半徑為a，長度為l，電導率為，如圖4.4所示。（1）求導體表面附近的坡印廷矢量；（2）求導體的損耗功率。

【例4.1】一段長直圓柱導體上通過穩(wěn)恒電流I。假設導體85

解：（1）選擇圓柱坐標系，令圓柱軸線為圓柱坐標系的z軸，則導體內(nèi)的穩(wěn)恒電流場和穩(wěn)恒電場

利用電場切向分量的邊界條件可知E內(nèi)

=

E外，得

利用安培環(huán)路定理，可以求出導體內(nèi)、外的磁場強度解：利用電場切向分量的邊界條件可86因此，在圓柱導體表面附近內(nèi)、外處的坡印廷矢量因此，在圓柱導體表面附近內(nèi)、外處的坡印廷矢量87看出坡印廷矢量的方向沿徑向處處指向?qū)w軸線。

（2）在導線表面處，，沿圓柱導體表面對S求面積分，利用，有

式中，表示半徑為,長度為的圓柱導體的電阻。進入導體的穩(wěn)恒電場能流轉(zhuǎn)化為導體的電能損耗功率，完全服從坡印廷定理?？闯銎掠⊥⑹噶康姆较蜓貜较蛱幪幹赶?qū)w軸線。（288

4.5

時諧電磁場

時諧電磁場——場強方向與時間無關，而場強大小僅按角頻率隨時間作正弦或余弦變化的穩(wěn)態(tài)正弦或余弦電磁場。問題：為什么在工程應用中常采用時諧電磁場求解電磁問題？

●電路理論的復數(shù)表示法沿z向傳輸隨時間t作余弦（或正弦）變化的電壓（或電流）是一維標量瞬時值

4.5.1

時諧電磁場的復數(shù)表示法4.5時諧電磁場時諧電磁場——場強方向與89式中為振幅，為角頻率，為余弦初相位。

為簡化運算，引入具有實、虛軸的復平面，并以歐拉公式為基礎，建立復數(shù)運算法，將具有時空變化的瞬時值運算轉(zhuǎn)化為僅具空間變化的復數(shù)值運算。

在中令，上式改寫為稱為復振幅（復標量）。它表示物理量的振幅和初相位只有空間變化關系，與具有時間變化的時諧因子實施了時空分離。只需對復振幅進行運算，再將結果乘以，并取實部（或虛部），即可得相應的瞬時值。

式中式中為振幅，為角頻率，為余弦初相位。90

●電磁場理論的復數(shù)表示法

在一定條件下，復數(shù)表示法可從電路理論推廣到電磁場理論中。在直角坐標系中，取i=x，y和z，E的分量形式

式中沿ax，ay和az方向的標量分量可以寫成時諧場的瞬時形式

●電磁場理論的復數(shù)表示法在一定條件下，復數(shù)91按歐拉公式將式（4.23）寫成如下指數(shù)形式

定義按歐拉公式將式（4.23）寫成如下指數(shù)形式定義92

則式（4.24）可以寫成

式中，和稱為，和的復標量。式（4.26a～c）分別乘ax，ay和az相疊加，即可將式（4.22）按復數(shù)形式合成為如下瞬時形式

式中則式（4.24）可以寫成式中，93是時諧電場瞬時形式E（r，t）的復矢量。問題：推廣復數(shù)法的“一定條件”是指什么？為什么？對于任意時諧場矢量或位矢量，可以用F將式（4.27）和（4.28）推廣為如下一般形式式中是時諧電場瞬時形式E（r，t）的復矢量。式中94對時間的導數(shù)則交換與Re的順序，得

式中，是Fi（r,t）的復標量，是F(r,t)的復矢量。其中(r)不能寫成

i(r)，表示

的各初相位相等。

在時諧電磁場中，對空間的導數(shù)可用復數(shù)形式表示，交換與Re的順序后，得對時間的導數(shù)則交換與Re的順序，得式中，是95式（4.31b）表明時諧場對時間的微分用復數(shù)形式來表示時，相當于將代換為j；同理可知，對于積分，則相當于將代換為1/j。

4.5.2

時諧電磁場的麥克斯韋方程和本構方程式（4.31a，b）應用于時變電磁場方程（4.8），可以轉(zhuǎn)化為時諧電磁場的復數(shù)形式。例如，對方程（4.8a），可做如下運算式（4.31b）表明時諧場對時間的微分用復數(shù)形式來表示時，96

對于任意時刻t，上式均成立，故可以消去方程兩邊的實部。對方程（4.8）所有各式做同樣運算，最后得時諧電磁場的復數(shù)形式

由于復數(shù)與實數(shù)兩種形式的方程之間存在明顯區(qū)別，方程（4.32）已略去所加“·”的符號，并不會引起混淆。對于任意時刻t，上式均成立，故可以消去方程兩邊的實部97

4.5.3

時諧電磁場的輔助動態(tài)位

由式（4.12a，b）和（4.11）得動態(tài)位的非齊次波動方程和洛侖茲條件

令，方程（4.33）變?yōu)榉驱R次亥姆霍茲方程4.5.3時諧電磁場的輔助動態(tài)位由式（498

在無源區(qū)（

），得齊次亥姆霍茲方程

由洛倫茲條件式（4.34）可知，再由式（4.9a、c）便得時諧電磁場解的復數(shù)形式在無源區(qū)（），得齊次亥姆霍茲方程99

【例4.2】假定自由空間中時諧電磁場的電場強度瞬時值

求：（1）電場強度的復數(shù)形式；（2）磁場強度的復數(shù)形式和瞬時形式；（3）當E0y=3V/m，電場強度和磁場強度的復數(shù)值和瞬時值?！纠?.2】假定自由空間中時諧電磁場的電場強度瞬時值100

解：（1）將