電磁場(chǎng)與電磁波：第4章 靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法1

第4章靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的解法

靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)的邊值問(wèn)題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。

常用的方法有

本章在解析法中將介紹分離變量法；數(shù)值法中將介紹有限差分法；而間接法中將介紹鏡像法。直接法間接法解析法數(shù)值法11/20/20221§4.1靜態(tài)電磁場(chǎng)的方程與邊界條件11/20/20222

內(nèi)容場(chǎng)的名稱(chēng)場(chǎng)方程位函數(shù)的依據(jù)位與場(chǎng)的關(guān)系微分方程位與源的關(guān)系邊界條件靜電場(chǎng)電位(有源或無(wú)源）恒流電場(chǎng)電位U=I/G=IR恒流磁場(chǎng)磁位m(無(wú)源）磁矢位A(有源或無(wú)源）11/20/20223一、第一類(lèi)邊值問(wèn)題——狄里赫利問(wèn)題已知邊界上的位函數(shù)的值，求場(chǎng)中的位分布11/20/20224解：忽略邊緣效應(yīng)圖(a)圖(b)（a）（b）

例題1

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,圖(a)已知極板間電壓U0,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。11/20/20225邊界條件積分之，得通解例題2設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位體電荷分布的球形域電場(chǎng)

11/20/20226解得電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布。電位：11/20/20227例題3:

試用邊值問(wèn)題求解電弧片中電位、電場(chǎng)及分界面面電荷的分布？

解：選用圓柱坐標(biāo)，邊值問(wèn)題為：場(chǎng)域邊界條件銜接條件

不同媒質(zhì)弧形導(dǎo)電片

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知:

故

同理11/20/20228電位

電場(chǎng)強(qiáng)度電荷面密度E,與無(wú)關(guān)，是的函數(shù)。11/20/20229例4

半徑為a的帶電導(dǎo)體球，其電位為U（無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為零），試計(jì)算球外空間的電位。解：

球外空間的電位滿(mǎn)足拉氏方程

電位滿(mǎn)足的邊界條件由題意可知電位及電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性在球坐標(biāo)系下直接積分因此11/20/202210例5

半徑分別為a和b的同軸線(xiàn)，外加電壓U。圓柱電極間在圖示角部分填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，其余部分為空氣，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)。解：?jiǎn)栴}具有軸對(duì)稱(chēng)性，選用柱坐標(biāo)系，待求函數(shù)，在圓柱坐標(biāo)系下于是電位滿(mǎn)足的拉普拉斯方程其通解為同理11/20/202211其中系數(shù)A、B、C、D可由邊界條件確定邊界條件于是由此可知內(nèi)導(dǎo)體表面單位長(zhǎng)度的電荷由內(nèi)導(dǎo)體和區(qū)域1的邊界條件由內(nèi)導(dǎo)體和區(qū)域2的邊界條件得同軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度上的電容11/20/202212二、第二類(lèi)邊值問(wèn)題——諾依曼問(wèn)題已知邊界上的位函數(shù)法向?qū)?shù)，求場(chǎng)中位分布11/20/202213解：忽略邊緣效應(yīng)圖(a)圖(b)（a）（b）

例題1

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,圖(a)已知極板間電壓U0,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。11/20/202214三、第三類(lèi)邊值問(wèn)題——混合邊值問(wèn)題已知部分場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)的值和其余所有場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)法向?qū)?shù)，求場(chǎng)中位分布11/20/202215如果邊界是導(dǎo)體，則上述邊界條件成為導(dǎo)體的電位和導(dǎo)體表面的電荷密度。通常，泊松方程和拉普拉斯方程難于用直接積分的方法解出，需用間接的方法。這些方法是否正確?四、輔助邊界條件——銜接條件靜電場(chǎng)恒流電場(chǎng)11/20/202216一、格林恒等式

由散度定理*§4.2靜態(tài)電磁場(chǎng)的唯一性定理靜態(tài)電磁場(chǎng)的唯一性定理（UniqunessTheorem

）：

上述三類(lèi)邊值問(wèn)題都有唯一解。11/20/202217格林第一恒等式

設(shè)：，是空間區(qū)域內(nèi)兩個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)，矢量場(chǎng)格林第二恒等式

11/20/202218二、唯一性定理的證明證明(反證法)設(shè)場(chǎng)中任一點(diǎn)有兩個(gè)電位函數(shù)與均滿(mǎn)足泊松方程,則其差值必滿(mǎn)足拉普拉斯方程,即在格林第一恒等式中，令＝＝1

-

211/20/202219a.第一類(lèi)邊值問(wèn)題：|s＝1|s

-

2|s=0=0＝C1=

2+CC=01=

2b.第二類(lèi)邊值問(wèn)題：=0＝C1=

2+CC=01=

211/20/202220c.第三類(lèi)邊值問(wèn)題：s:si

(i=1,2,...,k)sj

(j=k+1,k+2,...,n)=0＝C1=

2+CC=01=

211/20/202221

唯一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。

平板電容器外加電源U0答案：(C

）例題:圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？可判斷不同解的等效性。三、唯一性定理的重要意義可以不求解微分方程,通過(guò)其它方法求出解的正確性;明確邊界條件,完全而且唯一地確定靜電磁場(chǎng)的解;11/20/202222習(xí)題4.1求感應(yīng)電荷qh0yx一方面題目要證的結(jié)果是感應(yīng)電荷總量為-q另一方面由靜電感應(yīng)，知無(wú)限大導(dǎo)電平面上感應(yīng)電荷總量為-qP(x,y,h)r為場(chǎng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離11/20/202223qh問(wèn)題出在什么地方？由折射定律和靜電感應(yīng)現(xiàn)象知：這個(gè)二階偏微分方程怎么解？我們以前研究的問(wèn)題，不管是直接求解，還是解偏微分方程，都是對(duì)稱(chēng)場(chǎng)，即一維場(chǎng)，場(chǎng)量只是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。11/20/202224圖2球殼內(nèi)的電場(chǎng)圖1球殼外的電場(chǎng)圖1點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場(chǎng)圖2點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場(chǎng)11/20/202225圖2球殼外的電場(chǎng)?圖1球殼內(nèi)的電場(chǎng)?圖1點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場(chǎng)圖2點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場(chǎng)11/20/202226§4.3鏡像法鏡像法的實(shí)質(zhì)：用鏡像電荷（或源）代替邊界，使邊界上的未知函數(shù)（電位/電場(chǎng)/磁位/磁場(chǎng)）值，或其法向?qū)?shù)值保持不變，即邊界條件不變。也可以理解為電力線(xiàn)或磁力線(xiàn)在求解的區(qū)域保持不變。所以鏡像源一定在求解區(qū)域的外邊。源附近場(chǎng)強(qiáng)無(wú)限大，不可能是真實(shí)解，故鏡像源一定不能在求解區(qū)域里。無(wú)限大導(dǎo)電平面：1）點(diǎn)電荷。2）線(xiàn)電荷。11/20/202227

待求區(qū)域的電位由其電荷分布與邊界條件共同決定。

鏡像法則是在研究區(qū)域之外，用一些假想的電荷分布代替場(chǎng)問(wèn)題的邊界。

這些假想的電荷稱(chēng)為像電荷，大多是一些點(diǎn)電荷或線(xiàn)電荷。

鏡像法只適用于一些特殊邊界。

鏡像法求解電位問(wèn)題的理論依據(jù)是惟一性定理。

本節(jié)將分別討論平面鏡像、球面鏡像和柱面鏡像。11/20/202228一、無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡像法

設(shè)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面（z=0）附近有一點(diǎn)電荷q，與導(dǎo)體平面的距離為z=h，求上半空間的電位。介質(zhì)中的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷和導(dǎo)電平板上感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。但感應(yīng)電荷的分布未知。由于解的唯一性，采用間接的方法求解場(chǎng)的分布。11/20/202229設(shè)想將導(dǎo)電板撤去，使整個(gè)空間充滿(mǎn)介電常數(shù)為的介質(zhì)。在與q成鏡像的位置上放置一點(diǎn)電荷－q?；蛘呒僭O(shè)導(dǎo)體平面不存在，在z=0平面下面與點(diǎn)電荷q

對(duì)稱(chēng)地放置一個(gè)電量為-q

的點(diǎn)電荷，仍能保證z=0的平面電位為零。11/20/202230此時(shí)對(duì)于上半空間，原來(lái)的所有條件未變：除點(diǎn)電荷處外，；以無(wú)限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，導(dǎo)電平板與介質(zhì)的交界面電位為零。根據(jù)唯一性定理，可用此設(shè)想的電荷分布來(lái)求解實(shí)際上半空間中電場(chǎng)的分布。-q稱(chēng)為鏡像電荷，代替了導(dǎo)電板上的感應(yīng)電荷的作用。下半空間不存在電場(chǎng)，用虛線(xiàn)11/20/202231邊值問(wèn)題：（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S為包圍q的閉合面）上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題：（除q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）11/20/202232則在z>0區(qū)域中任意一點(diǎn)P的電位11/20/202233（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為（用極坐標(biāo)）例題1:求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。(習(xí)題4.1)解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則11/20/202234習(xí)題4.2設(shè)有一點(diǎn)電荷q置于相交成直角的兩個(gè)半無(wú)限大導(dǎo)電平板之前，試分析如何求解這一電場(chǎng)。解：設(shè)想將導(dǎo)電板撤出，使整個(gè)空間充滿(mǎn)介電常數(shù)為的介質(zhì)。在如圖所示的位置上，放入三個(gè)鏡像電荷。這樣能保證原電場(chǎng)的邊界條件不變。

11/20/202235原問(wèn)題中的電場(chǎng)可看成由此四個(gè)電荷產(chǎn)生。注意：這種方法只能用來(lái)求第一象限的電場(chǎng)。。

11/20/202236點(diǎn)電荷對(duì)于夾角為垂直的接地兩塊相連導(dǎo)電平面的鏡像:對(duì)于夾角為的兩個(gè)相連無(wú)限大導(dǎo)電平板間置有點(diǎn)電荷的問(wèn)題，只要n為整數(shù)，在區(qū)域內(nèi)的鏡像:無(wú)限長(zhǎng)帶電線(xiàn)(柱體)的情況:11/20/2022371.鏡像法的基本原理和理論依據(jù)基本原理:用放置在所求場(chǎng)域之外的假想電荷(即像電荷)等效地替代導(dǎo)體表面(或介質(zhì)分界面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)對(duì)場(chǎng)分布的影響,從而將實(shí)際的有邊界的問(wèn)題代之以無(wú)邊界的問(wèn)題。理論依據(jù):唯一性定理2.確定像電荷的兩條原則1)像電荷必須位于所求區(qū)域以外的空間中;2)像電荷的個(gè)數(shù)、位置以及電荷量的大小以滿(mǎn)足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。11/20/202238二、球面鏡像

球外區(qū)域任意一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷決定。一半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心O相距d1的P1點(diǎn)有一點(diǎn)電荷q1，求達(dá)到靜電平衡狀態(tài)后球外的電位分布。

在求解區(qū)域外（球內(nèi)）用一點(diǎn)電荷（像電荷）代替球面上感應(yīng)電荷的影響。解：電位函數(shù)滿(mǎn)足的條件是：除點(diǎn)電荷所在處外，到處有：,金屬球面上＝0。

1.接地導(dǎo)體球面鏡像11/20/202239

像電荷的位置及大小由以下原則決定:點(diǎn)電荷與像電荷的共同作用應(yīng)使球面的電位為零。球外任意一點(diǎn)P的電位為確定像電荷的位置及大小，可在球面上取兩個(gè)特殊點(diǎn)、。它們的電位均為零。聯(lián)立求解得于是球外任意點(diǎn)的電位11/20/202240采用球坐標(biāo)系，取原點(diǎn)為球心O

點(diǎn)，Z

軸與重合，則球外任意點(diǎn)處有點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷11/20/202241

例1在兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷q1和（-q2）的電場(chǎng)中，要獲得一個(gè)零值的等位球面，這兩個(gè)點(diǎn)電荷的量值之間和所處位置之間應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系。11/20/202242解：在聯(lián)接兩個(gè)點(diǎn)電荷的直線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上，以O(shè)作為原點(diǎn)。設(shè)q1與原點(diǎn)的距離為d，（-q2）與原點(diǎn)的距離為b。P點(diǎn)為零值等位球面上的任意點(diǎn)（半徑為R）。11/20/202243等位面是球面，電位與無(wú)關(guān)。即為任意值時(shí)，上述式成立。因而二點(diǎn)電荷必須滿(mǎn)足關(guān)系:如果滿(mǎn)足上述兩式，兩點(diǎn)電荷q1，q2就能在空間中形成半徑為R的零值等位球面。其位置對(duì)球心是互為反演點(diǎn)。11/20/202244例題4.3.1圖1點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場(chǎng)b

-q’d(金屬球殼內(nèi))11/20/202245(除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）

(S為球面面積

)2.不接地導(dǎo)體球面鏡像試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷時(shí)的電場(chǎng)分布。

邊值問(wèn)題：11/20/202246在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ(chēng)性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等。正鏡像電荷只能位于球心。11/20/202247任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖11/20/202248不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷的絕對(duì)值等于鏡像電荷

嗎?為什么？補(bǔ)充題：試確定用鏡像法求解下列問(wèn)題時(shí)，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置?

點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像11/20/202249三、柱面鏡像——電軸法1.接地導(dǎo)體與線(xiàn)電荷如圖，半徑為a的接地導(dǎo)體圓柱外有一根和它平行的線(xiàn)電荷，密度為rl1，與圓柱軸線(xiàn)相距為d1。求空間的電位函數(shù)。

分析方法與球面鏡像相同，并用的關(guān)系進(jìn)行試探求解。同樣在圓周上取兩個(gè)特殊點(diǎn)S1、S2，因?yàn)閳A柱接地，它們的電位為零。11/20/202250于是圓柱外任意點(diǎn)的電位代入解得由式2.1.12得可以驗(yàn)證在圓周上任意點(diǎn)的電位的確等于零。11/20/202251邊值問(wèn)題：

（導(dǎo)線(xiàn)以外的空間）根據(jù)唯一性定理，尋找等效線(xiàn)電荷——電軸。2.問(wèn)題提出能否用高斯定理求解？

長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)riri11/20/2022523.兩根細(xì)導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電勢(shì)和電場(chǎng)pdd+ri-riyxor2r1上式中零電位參考點(diǎn)取的是什么？由P38得:11/20/202253R、x0、d三者之間的關(guān)系滿(mǎn)足

當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。圓心坐標(biāo)圓半徑等位線(xiàn)方程為：應(yīng)該注意到,線(xiàn)電荷所在的兩個(gè)點(diǎn),對(duì)每一個(gè)等位圓的圓心來(lái)說(shuō),互為反演。即圓半徑導(dǎo)線(xiàn)(電軸)到中性面的距離等位圓到中性面的距離hhpdd+ri-riyxor2r111/20/202254根據(jù)及E線(xiàn)的微分方程得E線(xiàn)方程為

?

若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問(wèn)。?

若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼，是否會(huì)影響電場(chǎng)分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？

兩細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的場(chǎng)圖11/20/2022554.電軸法

用置于電軸上的等效線(xiàn)電荷,來(lái)代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場(chǎng)的方法,稱(chēng)為電軸法。例題1:試求圖示線(xiàn)電荷和不接地長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)間的電場(chǎng)及電位分布。11/20/202256上式中零電位參考點(diǎn)取的是什么？和1比較一下.11/20/202257例題2:試求圖示兩帶電長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)的電場(chǎng)及電位分布。(以y軸為電位為參考點(diǎn)

)解：11/20/202258例題3:已知兩根不同半徑,相互平行,軸線(xiàn)距離為d

的帶電長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。解:根據(jù)方程有解方程得:b,h1,h211/20/202259解：例題4:試確定圖示偏心電纜的電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。解方程得:b,h1,h211/20/20226011/20/202261解得a)確定電軸的位置例題5:已知一對(duì)半徑為a,相距為d的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體傳輸線(xiàn)之間電壓為，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。解:11/20/20226211/20/202263邊值問(wèn)題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)四無(wú)限大介質(zhì)交界平面的鏡像法不同介質(zhì)分界面的鏡像11/20/202264和

?

中的電場(chǎng)是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。

?

中的電場(chǎng)是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖11/20/202265

為求解圖示與區(qū)域的電場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。

點(diǎn)電荷與分別置于與區(qū)域中鏡像法（電軸法）小結(jié)應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電