勾股定理知識點梳理

勾股定理知識點梳理勾股定理知識點梳理勾股定理知識點梳理xxx公司勾股定理知識點梳理文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設(shè)計，管理制度勾股定理知識點梳理1.直角三角型有哪些特殊的性質(zhì);①角，直角三角型的兩銳角互余；②邊，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，用符號表示：在Rt△ABC中，；③面積，兩種計算面積的方法。2.如何判定一個三角形是直角三角形呢①有一個內(nèi)角為直角的三角形是直角三角形；②兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形的三邊長為a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形3．勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4．互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；，8,15,17；9,40,41等6.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，，化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡得證典型例題類型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路點撥:寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。

舉一反三【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少？

類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用

2、如圖，已知：在中，，，.求：BC的長.

思路點撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有

，，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.

舉一反三【變式1】如圖，已知：，，于P.求證：.

【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。

類型三：勾股定理的實際應(yīng)用

（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題

3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。

（1）求A、C兩點之間的距離。

（2）確定目的地C在營地A的什么方向。

舉一反三

【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？

【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH．如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥ＡＢ，與地面交于H．

（二）用勾股定理求最短問題

4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結(jié)論．

舉一反三

【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

解：

如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０cm，根據(jù)勾股定理得

（提問：勾股定理）

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：最短路程約為１０．７７cm．

類型四：利用勾股定理作長為的線段

5、作長為、、的線段。

思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。

舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點。

解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，，

為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，

而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。

類型五：逆命題與勾股定理逆定理

6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確

1．原命題：貓有四只腳．（正確）

2．原命題：對頂角相等（正確）

3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．（正確）

4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．（正確）

思路點撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。

解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）

2.逆命題：相等的角是對頂角（不正確）

3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（正確）

4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．（正確）

總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習勾股定理的逆命題做準備。

7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。

舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.

分析:本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明:a2+b2=c2即可

證明：

所以△ABC是直角三角形.

【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。

請問FE與DE是否垂直請說明。

經(jīng)典例題精析

類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。

總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。

舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。

【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。

思路點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，

【變式5】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

類型二：勾股定理的應(yīng)用

2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒

思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。

同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉機行駛的速度為:18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。

總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。

舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

解析：他們原來走的路為3+4＝7(m)

設(shè)走“捷徑”的路長為xm，則

故少走的路長為7－5＝2(m)

又因為2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?

【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。

（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。

（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形平行四邊形ABCD的面積是多少？

（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。

類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法

我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．

3、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。

思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD．

總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形