五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題- 奧數(shù)培優(yōu)-牛吃草問(wèn)題(解析版) 全國(guó)通用

小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)——牛吃草問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】牛吃草問(wèn)題是牛頓問(wèn)題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡(jiǎn)單，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了。因?yàn)椴菝刻熳咴谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類(lèi)工作總量不固定（均勻變化）的問(wèn)題就是“牛吃草”問(wèn)題?！窘虒W(xué)重難、點(diǎn)】解題思路培養(yǎng)：解答這類(lèi)題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就容易解決了。掌握四個(gè)基本：公式解決牛吃草問(wèn)題常用到四個(gè)基本公式，分別是︰

假設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”

1）草的生長(zhǎng)速度＝（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；

2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長(zhǎng)速度×吃的天數(shù)；`

3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長(zhǎng)速度）；

4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長(zhǎng)速度?！镜湫屠}講解】1.牧場(chǎng)上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長(zhǎng)，可供21頭牛吃幾周？答案：12周解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生長(zhǎng)數(shù)162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周2.有一口水井，如果水位降低，水就不斷地勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升。現(xiàn)在用水桶吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干?，F(xiàn)在需要5分鐘吊干，每分鐘應(yīng)吊多少桶水？答案：11桶解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分鐘涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）52、5+/(5×0.5)/5=11桶3.有一片牧草，每天以均勻的速度生長(zhǎng)，現(xiàn)在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？答案：49人解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生長(zhǎng)量510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人4.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？答案：4人解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉數(shù)24+4×4=40原有數(shù)這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天5.一水庫(kù)存水量一定，河水均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？答案：12臺(tái)解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入庫(kù)數(shù)100-20×2=60原有庫(kù)存數(shù)60+2×6=7272/6=12臺(tái)6.自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走20梯級(jí)，小紅每分鐘走14梯級(jí)，結(jié)果小明4分鐘到達(dá)樓上，小紅用5分鐘到達(dá)樓上，求扶梯共有多少級(jí)？答案：120解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分鐘減少數(shù)80+4×10=120原有數(shù)70+5×10=120課堂自測(cè)小練習(xí)A組題1.牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿(mǎn)了牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問(wèn)：這片牧草可供25頭牛吃多少天？答案：5天解析：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份草每天的生長(zhǎng)量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份……原草量+20天的生長(zhǎng)量原草量：200-20×5=100或150-10×5=100份15×10=150份……原草量+10天的生長(zhǎng)量100÷（25-5）=5天2.牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿(mǎn)了青草，而且每天還在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，如果要供18頭牛吃，可吃幾天？解析：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份草每天的生長(zhǎng)量：（180-150）÷（20-10）=3份9×20=180份……原草量+20天的生長(zhǎng)量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份15×10=150份……原草量+10天的生長(zhǎng)量120÷（18-3）=8天3.由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？解析：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份草每天的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份20×5=100份……原草量-5天的減少量原草量：100+5×10=150或90+6×10=150份15×6=90份……原草量-6天的減少量（150-10×10）÷10=5頭4.由于天氣逐漸寒冷，牧場(chǎng)上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測(cè)算，牧場(chǎng)上的草可供30頭牛吃8天，可供25頭牛吃9天，那么可供21頭牛吃幾天？解析：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份草每天的減少量：（240-225）÷（9-8）=15份30×8=240份……原草量-8天的減少量原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份25×9=225份……原草量-9天的減少量360÷（21+15）=10天5.自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？解析：男孩：20×5=100（級(jí)）自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-5分鐘減少的級(jí)數(shù)女孩;15×6=90（級(jí)）自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-6分鐘減少的級(jí)數(shù)每分鐘減少的級(jí)數(shù)=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)=20×5+5×10=150（級(jí)）B組題6.兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)階梯，女孩每秒可走2級(jí)階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問(wèn)該扶梯共有多少級(jí)？解析：3×100=300自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)+100秒新增的級(jí)數(shù)2×300=600自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)+300秒新增的級(jí)數(shù)每秒新增的級(jí)數(shù)：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（級(jí)）自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)=3×100-100×1.5=150（級(jí)）7.有一片牧場(chǎng)，操每天都在勻速生長(zhǎng)（每天的增長(zhǎng)量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完草，如果放牧21頭牛，則8天吃完草，設(shè)每頭牛每天的吃草量相等，問(wèn)：要使草永遠(yuǎn)吃不完，最多只能放牧幾頭牛？解析：假設(shè)1頭1天吃1個(gè)單位24*6=14421*8=168168-144=24每天長(zhǎng)的草可供24/2=12頭牛吃最多只能放12頭牛8.有一片草地，草每天生長(zhǎng)的速度相同。這片草地可供5頭牛吃40天，或6供頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天后，又增加2頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天？解析：假設(shè)1頭1天吃1個(gè)單位5*40=200；6*30=180200-180=20每天長(zhǎng)的草:20/(40-30)=2原有草：200-2*40=1204*30=120，30*2=6060/4=15天9.假設(shè)地球上新增長(zhǎng)資源的增長(zhǎng)速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年，為了人類(lèi)不斷繁衍，那么地球最多可以養(yǎng)活多少億人？解析：假設(shè)1億人頭1天吃1個(gè)單位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=7510.兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個(gè)白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結(jié)果一只蝸牛5晝夜到達(dá)井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問(wèn)井深是多少？解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑數(shù)100+5×10=15015×6+10×6=150C組題11.李村組織農(nóng)民抗旱，從一個(gè)有地下泉的池塘擔(dān)水澆地。如果50人擔(dān)水，20小時(shí)可把池水擔(dān)完。如果70人擔(dān)水，10小時(shí)可把池水擔(dān)完?，F(xiàn)有130人擔(dān)水，幾小時(shí)可把池水擔(dān)完？解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小時(shí)增加1000-30×20=400原有400/(130-30)=4小時(shí)12.一片青草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？解析：這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來(lái)的草的數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是勻速生長(zhǎng)，因而這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量也是不變的。假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時(shí)新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時(shí)新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長(zhǎng)出的草的數(shù)量的總和；207份是原有的草的數(shù)量與9周新長(zhǎng)出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長(zhǎng)出的草的份數(shù)為：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的數(shù)量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長(zhǎng)草15份相當(dāng)于可安排15頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出來(lái)的草，于是這片草地可供21頭牛吃72÷（21-15）＝12（周）13.一塊1000平方米的牧場(chǎng)能讓12頭牛吃16個(gè)星期，或讓18頭牛吃8個(gè)星期，那么一塊4000平方米的牧場(chǎng)6個(gè)星期能養(yǎng)活多少頭牛？解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生長(zhǎng)數(shù)192-16×6==96原有數(shù)96+6×6=132132/6=2222×4=88頭14.有一只船有一個(gè)漏洞，水用均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果用12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完。如果只有5個(gè)人淘水，要10小時(shí)才能淘完?，F(xiàn)在要想2小時(shí)淘完，需要多少人？解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小時(shí)增加數(shù)36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人15.有一個(gè)水井，水不斷由泉涌出，井滿(mǎn)則溢出。若用4臺(tái)抽水機(jī)，15小時(shí)可把井水抽干。若用8臺(tái)抽水機(jī)，7小時(shí)可把井水抽干?，F(xiàn)在要用幾臺(tái)抽水機(jī)，能5小時(shí)把井水抽干？解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11臺(tái)課堂過(guò)關(guān)小練習(xí)1.一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草。如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天吃完。那么可供19頭牛吃幾天？答案：12天解析：6天時(shí)共有草：24×6＝14410天時(shí)共有草：20×10＝200草每天生長(zhǎng)的速度為：（200－144）÷（10－6）＝14原有草量：144－6×14＝60可供19頭牛：60÷（19－14）＝12（天）2.牧場(chǎng)有一片青草，每天生成速度相同?，F(xiàn)在這片牧場(chǎng)可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一頭牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？解析：思路，把羊轉(zhuǎn)化為牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相當(dāng)于“20頭牛吃12天”

現(xiàn)在是“10頭牛與60只羊一起吃這一片草”相當(dāng)于“10＋60÷4＝25頭牛吃草”

[16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y

x=10

y=8

3.某牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿(mǎn)牧草,,每天勻速生長(zhǎng),這片牧草供17頭牛吃30天,19頭牛吃24天,現(xiàn)有一群牛吃了6天,主人賣(mài)掉了4頭牛,余下的牛吃了兩天后剛好把草吃完,問(wèn)這群牛原有幾頭?

解析：設(shè)原有Y頭，x還是“剪草的”

[17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2

注意：剩下的2天已經(jīng)賣(mài)掉了4頭牛，要分開(kāi)計(jì)算

（y-x-4）*（6+2），這樣列式就錯(cuò)了

x=9

y=40

4.某市水庫(kù)水量的增長(zhǎng)速度是一定的，可供全市12萬(wàn)人使用20年，在遷入3萬(wàn)人之后，只能供全市人民使用15年，市政府號(hào)召大家節(jié)約用水，希望將水庫(kù)的使用壽命延長(zhǎng)至30年，那么居民平均需要節(jié)約用水量的比例是多少?()

A.2/5B.2/7C.1/3D.1/4

答案：A解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30

x=3

y=9

15-9=6

即多出6萬(wàn)人，這6萬(wàn)人要用15萬(wàn)人的6/15=2/5

5.有一個(gè)水池，池底有一個(gè)出水口，用3臺(tái)抽水機(jī)24小時(shí)可將水抽完，用9臺(tái)抽水機(jī)12小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間將水漏完？

解析：（3-X）*24=（9-X）*12得X=-3(不要理會(huì)負(fù)數(shù)，按正3理解好了)

帶入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48課后自測(cè)小練習(xí)1.旅客在車(chē)站候車(chē)室等車(chē),并且排隊(duì)的乘客按一定速度增加,檢查速度也一定,當(dāng)車(chē)站放一個(gè)檢票口,需用半小時(shí)把所有乘客解決完畢,當(dāng)開(kāi)放2個(gè)檢票口時(shí),只要10分鐘就把所有乘客OK了求增加人數(shù)的速度還有原來(lái)的人數(shù)解析：設(shè)一個(gè)檢票口一分鐘一個(gè)人1個(gè)檢票口30分鐘30個(gè)人2個(gè)檢票口10分鐘20個(gè)人(30-20)÷(30-10)=0.5個(gè)人原有1×30-30×0.5=15人或2×10-10×0.5=15人2.有三塊草地，面積分別是5，15，24畝。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問(wèn)第三塊地可供多少頭牛吃80天？解析：這是一道是比較復(fù)雜的牛吃草問(wèn)題。把每頭牛每天吃的草看作1份。因?yàn)榈谝粔K草地5畝面積原有草量＋5畝面積30天長(zhǎng)的草＝10×30＝300份所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長(zhǎng)的草是300÷5＝60份因?yàn)榈诙K草地15畝面積原有草量＋15畝面積45天長(zhǎng)的草＝28×45＝1260份所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長(zhǎng)的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天，每畝面積長(zhǎng)84－60＝24份所以，每畝面積每天長(zhǎng)24÷15＝1.6份所以，每畝原有草量60－30×1.6＝12份第三塊地面積是24畝，所以每天要長(zhǎng)1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份新生長(zhǎng)的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288÷80＝3.6頭牛所以，一共需要38.4＋3.6＝42頭牛來(lái)吃。兩種解法：解法一：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1，則每畝30天的總草量為：10*30/5=60；每畝45天的總草量為：28*45/15=84那么每畝每天的新生長(zhǎng)草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6*30=12，那么24畝原有草量為12*24=288，24畝80天新長(zhǎng)草量為24*1.6*80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭)解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15畝，可以推出15畝每天新長(zhǎng)草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24×45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭3.一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？解析：這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為

1×5×10－1×12×3＝14因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為

14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時(shí)淘完17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是30÷（17－2）＝2（小時(shí)）答：17人2小時(shí)可以淘完水。牧場(chǎng)上有一片均勻生長(zhǎng)的牧草，可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天。那么它可供21頭牛吃幾天？

解析：將它想象成一個(gè)非常理想化的數(shù)學(xué)模型：假設(shè)27頭牛中有X頭是“剪草工”

，這X頭牛只負(fù)責(zé)吃“每天新長(zhǎng)出的草，并且把它們吃完”，這樣以來(lái)草場(chǎng)相當(dāng)于不長(zhǎng)草，永遠(yuǎn)維持原來(lái)的草量，而剩下的(27－X)頭牛是真正的“顧客”，它們負(fù)責(zé)把草場(chǎng)原來(lái)的草吃完。（請(qǐng)慢慢理解，這是關(guān)鍵）

設(shè)每天新增加草量恰可供X頭牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均為此意）

可供27頭牛吃6天，列式:（27－X）·6注：（27－X）頭牛6天把草場(chǎng)吃完

可供23頭牛吃9天，列式:（23－X）·9注：（23－X）頭牛9天把草場(chǎng)吃完

可供21頭牛吃幾天？列式：（21－X）·Y注：（21－X）頭牛Y天把草場(chǎng)吃完

因?yàn)椴輬?chǎng)草量已被“清潔工”修理過(guò)，總草量相同，所以，聯(lián)立上面1、2、3

（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y

（27－X）·6＝（23－X）·9【1】

（23－X）·9＝（21－X）·Y【2】

解這個(gè)方程組，得

X＝15（頭）

Y＝12（天）

5.有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃．草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快．第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天．問(wèn)：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

解析：現(xiàn)在是三塊面積不同的草地．為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要將三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)．（這是面積不同時(shí)得解題關(guān)鍵）

求【5，6，8】得最小公倍數(shù)為120

1、因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5＝24，所以120公頃草地可供11*24＝264(頭)牛吃10天．

2、因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6＝20，所以120公頃草地可供12*20＝240(頭)牛吃14天．

3、120÷8＝15，問(wèn)題變?yōu)椋?20公頃草地可供19*15＝285(頭)牛吃幾天？

這樣一來(lái)，例2就轉(zhuǎn)化為例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y

（264－X）·10＝（240－X）·14

【1】

（24