小學(xué)數(shù)學(xué)5年級(jí)培優(yōu)奧數(shù)講義 第18講 分解質(zhì)因數(shù)(教師版)

教學(xué)目標(biāo)第18講 分解質(zhì)因數(shù)教學(xué)目標(biāo)理解質(zhì)因數(shù)的概念；利用我們分解質(zhì)因數(shù)來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問題；通過學(xué)生解決問題的過程,理解質(zhì)因數(shù)的概念；利用我們分解質(zhì)因數(shù)來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問題；通過學(xué)生解決問題的過程,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、勇于知識(shí)梳理一、分解質(zhì)因數(shù)知識(shí)梳理一個(gè)自然數(shù)的因數(shù)中,為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù),用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái),叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24=2×2×2×3,75=3×5×5。我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù),是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。其實(shí),把一個(gè)數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式,能啟發(fā)我們尋找解答許多難題的突破口,從而順利解題。二、解題策略典例分析許多題目,特別是一些競(jìng)賽題,初看起來(lái)很玄妙,但它們都與乘積有關(guān),對(duì)于這類題目,我們可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法求解。因此,掌握并靈活應(yīng)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí),能解答許多一般方法不能解答的與積有關(guān)的應(yīng)用題典例分析考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單的分解質(zhì)因數(shù)例1、把18個(gè)蘋果平均分成若干份,每份大于1個(gè),小于18個(gè)。一共有多少種不同的分法？181、、、、9、18,118,4個(gè)約數(shù),所以,一共有4種不同的分法。例2、有168顆糖,平均分成若干份,每份不得少于10顆,也不能多于50顆。共有多少種分法？【解析】先把168分解質(zhì)因數(shù),168=2×2×2×3×7,由于每份不得少于10顆,也不能多于50顆,所以,每份有2×2×3=12顆,2×7=14顆,3×7=21顆,2×2×2×3=24顆,2×3×7=42顆,共有5種分法。例3、將下面八個(gè)數(shù)平均分成兩組,使這兩組數(shù)的乘積相等。2、5、14、24、27、55、56、99【解析】14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11,2,3,5,7且積相等所以2,3,5,7992414)和(552756、2)。例、學(xué)生恰好分成4539棵。這個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生？每人植樹多少棵？【解析】根據(jù)每人植樹棵數(shù)×人數(shù)=539棵,把539分解質(zhì)因數(shù)。539=7×7×11,如果每人植7棵,這個(gè)班就有7×11－1=76人；如果每人植樹11棵,這個(gè)班共有7×7－1=48人。例5、下面的算式里,□里數(shù)字各不相同,求這四個(gè)數(shù)字的和?！酢酢痢酢?19951995,那么19951995=3×5×7×19,35×57=199521×95=199521×95=1995,字的和是：2＋1＋9＋5=17。考點(diǎn)二：復(fù)雜的分解質(zhì)因數(shù)例1、三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是80,這三個(gè)數(shù)的積最大可以是多少？必有一個(gè)質(zhì)數(shù)是280－2=78,剩下兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是78,大,4137、37。最大積是2×37×41=3034例2、長(zhǎng)方形的面積是375平方米,已知它的寬比長(zhǎng)少10米,長(zhǎng)和寬的和是多少米？【解析】這道題如果用方程來(lái)解會(huì)比較麻煩,我們可以把375分解質(zhì)因數(shù)看一看。375=5×5×5×3,因?yàn)?×5比5×3正好多10,所以,此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5×5=25米,寬是5×3=15米,它們的和是40米。,1073棵,那么,平均每人種了多少棵？【解析】根據(jù)每人種樹棵數(shù)×參加人數(shù)=1073,把1073分解質(zhì)因數(shù)：1073=29×37,再根據(jù)學(xué)生恰好平均分成三組可知：參加種樹的人數(shù)是3的倍數(shù)多1,由于只有37比3的倍數(shù)多1,所以有37人,平均每人種29棵。例4、把155/186和221/187約分?！窘馕觥?母的差,如果差是質(zhì)數(shù),就直接用這個(gè)質(zhì)數(shù)去約分；如果差是合數(shù),就把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù),然后用其中的一個(gè)質(zhì)數(shù)去約分。(1)186－155=31,31是質(zhì)數(shù),用31約分得：155/186=5/6；(2)221－187=34,34=2×17,用17約分得：221/187=13/11。52.16,13多少?gòu)埉嬈?？?shí)戰(zhàn)演練=216分它們乘積的質(zhì)因數(shù)和216216再寫成兩數(shù)相乘的形式分析：216=2^3×3^3=8×27=9×24,,216分可以買8分的畫片27張,92424符合題意。實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、195個(gè)同學(xué)排成長(zhǎng)方形隊(duì)伍做早操,行數(shù)和列數(shù)都大于1,共有幾種排法？【解析】根據(jù)195=3×65,195=5×39,195=13×15可得排法如下3行65列,5行39列,13行15列,65行3列,39行5列,15行13列。2、4621025及分成的組數(shù)。【解析】462=21×22=14×33每組的人數(shù)是(21)人,共分成(22)組?；蛎拷M的人數(shù)是(22)人,共分成(21)組?；蛎拷M的人數(shù)是(14)人,共分成(33)組?；蛎拷M的人數(shù)是(11)人,共分成(42)組。3、下面四張小紙片各蓋住一個(gè)數(shù)字,如果這四個(gè)數(shù)字是連續(xù)的偶數(shù),請(qǐng)寫出這個(gè)完整的算式?！酢酢痢酢?1288【解析】1288=2×2×2×7×23=28×464、3月12日是植樹節(jié),李老師帶領(lǐng)同學(xué)們排成兩路人數(shù)相等的縱隊(duì)去植樹。已知李老師和同學(xué)們每人植樹的棵數(shù)相等,一共植了111棵樹,求有多少個(gè)學(xué)生。【解析】分解質(zhì)因數(shù)111=3×37也就是說(shuō)有三人減去老師一人就說(shuō)明只有兩名學(xué)生三人每人值37棵樹。5、在下面算式的框內(nèi),各填入一個(gè)數(shù)字,使算式成立?！酢酢酢痢?1995【解析】665×3=19956、有三個(gè)質(zhì)數(shù),它們的乘積是1001,這三個(gè)質(zhì)數(shù)各是多少？【解析】因?yàn)槭?個(gè)數(shù),乘積為1001,又知10×10×10=1000,所以三個(gè)素?cái)?shù)必有一個(gè)小于10,小于10的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,顯然2,3,5都不是,只剩下7,驗(yàn)證下1001/7=143,143由2個(gè)素?cái)?shù)相乘,12×12=144,所以必有個(gè)數(shù)小于12,小于12的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11驗(yàn)證取11,最后三個(gè)數(shù)分別為7,11,137、237除以一個(gè)兩位數(shù),所得的余數(shù)是6,請(qǐng)寫出適合于這個(gè)條件的所有兩位數(shù)。237-6＝231所以這樣的兩位數(shù)為21＝3×733＝3×118、一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是9240立方厘米,那么,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？【解析】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬.高是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),有:9240=20×21×22表面積=2×(20×21+20×22+21×22)=2644平方厘米9、求2310的約數(shù)中,除它本身以外最大的約數(shù)是多少？【解析】2310=231×10=231×5×2,所以最大約數(shù)為231×5=1155(因?yàn)楸?小的約數(shù)只有1了,所以2對(duì)應(yīng)的這個(gè)約數(shù)是除了2310本身外最大的)課后反擊1、甲數(shù)比乙數(shù)大9,兩個(gè)數(shù)的積是792,求甲、乙兩數(shù)分別是多少。【解析】792=2×2×2×3×3×11=33×24甲數(shù)是33,乙數(shù)是24.2、四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是19305,這個(gè)四奇數(shù)分別是多少？【解析】把19305分解質(zhì)因數(shù)得：19305=3×3×3×5×11×13所以19305=9×11×13×153、有三個(gè)自然數(shù)a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,c×a=42,求a×b×c的積是多少？【解析】因?yàn)槿齻€(gè)自然數(shù)a、b、c,a×b=30,b×c=35,所以b可能為：1或5；當(dāng)b=1時(shí),a=30,c=35,c×a=30×35≠42,所以b=1當(dāng)b=5時(shí),a=30÷5=6,c=35÷5=7,c×a=7×6=42,正確．a(chǎn)×b×c=6×5×7=210．4、小青去看電影,他買的票的排數(shù)與座位號(hào)數(shù)的積是391,而且排數(shù)比座位號(hào)數(shù)大6。小青買的電影票是幾排幾座？【解析】391=23×17所以小青買的電影票是23排17號(hào)。5、有三個(gè)自然數(shù)a,b,c,已知a×b=35,b×c=55,a×c=77,求三個(gè)數(shù)之積是多少？【解析】a×b=35=5×7,b×c=55=5×7,c×a=77=7×11a×b×c=5×7×11=3856,,所得的名次、分?jǐn)?shù)和他的歲數(shù)三者的積是2910績(jī)、名次和年齡分別是多少？【解析】這樣的題目一般先將數(shù)分解為幾個(gè)數(shù)的乘積,直到不能再分解,然后根據(jù)題目給出的隱含條件來(lái)判斷2910=2×1455=2×3×485=2×3×5×97=2×15×97=6×5×97=10×3×97初中學(xué)生一般10歲以上,則張明應(yīng)是15歲,第二名,97分7、有4個(gè)孩子,恰好一個(gè)比一個(gè)大1歲,4人的年齡積是3024,這4個(gè)孩子中最大的幾歲？【解析】將3024分解質(zhì)因數(shù)得：3024=6×7×8×9,∴這四個(gè)孩子的年齡分別=6、7、8、9歲。8、王老師帶同學(xué)們擦玻璃,同學(xué)們恰好平均分成3組。如果師生每人擦的塊數(shù)同樣多,一共擦111塊,那么,平均每人擦了多少塊？【解析】.因?yàn)閹熒查卟Ａ?11塊,111=3×37,可理解為師生每人檫3塊玻璃,37-1=36人,共有老師1人,學(xué)生36人；36/3=12人,即,每組12人,共分3組；9、自然數(shù)a乘以2376,所得的積正好是自然數(shù)b的平