連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析課件

2022/11/221第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2022/9/241第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2022/11/2222.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

LTI連續(xù)系統(tǒng)的描述：微分方程的建立

LTI連續(xù)系統(tǒng)的分析：微分方程的求解經(jīng)典法：自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)

雙零法：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2

沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.3卷積積分2.4

卷積積分的性質(zhì)2.5沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性本章的主要內(nèi)容2022/9/2422.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)本章的主要2022/11/223難點(diǎn)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)的求解；利用卷積積分的性質(zhì)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。本章的主要內(nèi)容2022/9/243難點(diǎn)：本章的主要內(nèi)容2022/11/224系統(tǒng)分析的任務(wù)：對(duì)給定的系統(tǒng)模型和輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)引言數(shù)學(xué)模型LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸入輸入激勵(lì)信號(hào)（t的函數(shù)）輸出響應(yīng)信號(hào)（t的函數(shù)）線性常系數(shù)微分方程2022/9/244系統(tǒng)分析的任務(wù)：引言數(shù)學(xué)模型LTI連續(xù)時(shí)2022/11/225引言

n階常系數(shù)線性微分方程的求解法微分方程求解時(shí)域分析法變換域法（第四、五章）

全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程特解（自由響應(yīng)）（強(qiáng)迫響應(yīng)）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程）（齊特法或

卷積積分法）

沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)經(jīng)典法雙零法2022/9/245引言n階常系數(shù)線性微分方程的求解法微分2022/11/226經(jīng)典法求齊次解和特解建立自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)概念雙零法建立零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)概念用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)雙零法是系統(tǒng)分析的基本方法優(yōu)點(diǎn)：物理概念明確，運(yùn)算過(guò)程方便。是近代計(jì)算分析系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具，是時(shí)域與變換域分析線性系統(tǒng)的一條紐帶，給變換域分析賦予清晰的物理概念。引言2022/9/246經(jīng)典法引言2022/11/227電路微分方程建立的依據(jù)KCL和KVL定律電容電感電阻引言電路微分方程建立的依據(jù)2022/9/247電路微分方程建立的依據(jù)電容電感電阻引言2022/11/228KCL:KVL:引言描述輸入與輸出之間關(guān)系的微分方程輸入輸出2022/9/248KCL:KVL:引言描述輸入與輸出之間2022/11/229設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為，響應(yīng)為，則連續(xù)線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的特性可用一個(gè)n階常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述：2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述或縮寫為：2022/9/249設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為，響2022/11/22102.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典法解法微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成

齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定

特解yp(t)的形式由等號(hào)右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定2022/9/24102.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2211齊次方程的求解特征根的求解

齊次方程為即特征方程為解得此方程的n個(gè)根稱為微分方程的特征根。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2411齊次方程的求解稱為微分方程的特征根。22022/11/22122.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解

齊次解yh(t)的形式(1)特征根是不等實(shí)根λ1,λ2,,λn(2)特征根是等實(shí)根λ1=λ2==λn=λ

(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根2022/9/24122.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2213對(duì)應(yīng)的齊次解為：特征根：因式分解：其中C1，C2為待定系數(shù)，在求得全解后，由初始條件確定。例：求如下所示的微分方程的齊次解解：系統(tǒng)的特征方程為2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2413對(duì)應(yīng)的齊次解為：特征根：因式分解：其中2022/11/2214特解的求解微分方程的特解yp(t)的函數(shù)形式與t≥0+時(shí)，等號(hào)右邊的激勵(lì)信號(hào)的形式有關(guān)。確定特解形式后，代入原微分方程，求出其待定系數(shù)。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解

常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式(有限)2022/9/2414特解的求解2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2215例：求給定微分方程的特解上式對(duì)所有的t≥0成立，故有：其一、二階導(dǎo)數(shù)分別為：將它們代入方程：

解得P=Q=1，所以特解為：解：，故可設(shè)方程的特解為：2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2415例：求給定微分方程的特解上式對(duì)所有的t2022/11/2216例：求給定微分方程的全解解：由前兩例，可知：則系統(tǒng)的全響應(yīng)為：其一階導(dǎo)數(shù)為：令t=0，并代入初始條件，得：2.1.LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2416例：求給定微分方程的全解解：由前兩例，2022/11/2217由上式可解得C1

=2，C2

=-1：所以全響應(yīng)為：2.1.LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2417由上式可解得2.1.LTI連續(xù)系統(tǒng)的響2022/11/22182.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)：微分方程的齊次解表示系統(tǒng)的自由響應(yīng)。它是由表示系統(tǒng)特性的特征方程根λ決定。λ又稱為系統(tǒng)的“固有頻率”（或“自由頻率”、“自然頻率”）。強(qiáng)迫響應(yīng)：微分方程的特解表示系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，只與t≥0+時(shí)，等號(hào)右邊的激勵(lì)信號(hào)的形式有關(guān)。自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2022/9/24182.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2219

若初始條件不變，輸入信號(hào)發(fā)生變化，方程的特解是否變化

？

齊次解是否變化？2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解2022/9/2419若初始條件不變，輸入信號(hào)發(fā)2022/11/22202.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)關(guān)于0-與0+值響應(yīng)區(qū)間確定激勵(lì)信號(hào)f(t)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。用0-時(shí)刻表示0時(shí)刻之前瞬間的時(shí)刻，

0+時(shí)刻表示0時(shí)刻之后瞬間的時(shí)刻。一般激勵(lì)f(t)都是從t=0時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：起始狀態(tài)系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài),

稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，簡(jiǎn)稱0-狀態(tài)。系統(tǒng)0-狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。起始狀態(tài)包含了計(jì)算未來(lái)響應(yīng)的全部“過(guò)去”信息。2022/9/24202.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2221初始條件系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入后瞬間的一組狀態(tài),

稱為系統(tǒng)的初始條件，簡(jiǎn)稱0+狀態(tài)。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)關(guān)于0-與0+值

系統(tǒng)完全響應(yīng)中齊次解的系數(shù)由初始條件確定。

初始條件確定：須根據(jù)系統(tǒng)的0-狀態(tài)(易求)和激勵(lì)信號(hào)情況求出系統(tǒng)的0+狀態(tài)。2022/9/2421初始條件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2222經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程由特征根寫出齊次解形式（系數(shù)待定）由等號(hào)右邊的激勵(lì)信號(hào)寫出特解形式，代入方程求出系數(shù)。完全解=齊次解（系數(shù)待定）+特解求系數(shù)給定系統(tǒng)狀態(tài)0-求出對(duì)應(yīng)狀態(tài)0+2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)完全解(系統(tǒng)的響應(yīng))(沖激函數(shù)匹配法)2022/9/2422經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流2022/11/22232.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解經(jīng)典法的缺點(diǎn)：(1)

y(0+)的導(dǎo)出比較麻煩；(2)當(dāng)激勵(lì)信號(hào)形式很復(fù)雜或者系統(tǒng)階次較高時(shí)，難以給出特解形式；(3)若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，需重新求解；(4)無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。2022/9/24232.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/22242.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)0t0-0+0f(t)僅與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)僅與系統(tǒng)的激勵(lì)有關(guān)雙零法系統(tǒng)完全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)2022/9/24242.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/22251.

零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

數(shù)學(xué)模型:

求解方法：根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式；

再由零輸入響應(yīng)的初始條件確定待定系數(shù)。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)2022/9/24251.零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系2022/11/2226解:系統(tǒng)的特征方程為[例]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t)

系統(tǒng)的起始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。系統(tǒng)的特征根為yzi(0+)=yzi(0-)=

y(0-)=K1+K2=1

y'zi(0+)=y'zi(0-)=y'(0-)=-2K1-3K2=3解得

K1=6，K2=-52.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)零輸入響應(yīng)2022/9/2426解:系統(tǒng)的特征方程為[例]已知2022/11/22272.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)方法：

1)直接用經(jīng)典法求解起始狀態(tài)為零的微分方程

2)卷積法

當(dāng)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)的外部激勵(lì)f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzs(t)表示。2.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

2022/9/24272.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2022/11/2228卷積法的思路如下：(a)將任意信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合；(b)求出單位沖激信號(hào)作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)－單位沖激響應(yīng)；(c)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性，即可求出任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)

。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)全響應(yīng)2022/9/2428卷積法的思路如下：2.1LTI連續(xù)2022/11/22292.2沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)

在系統(tǒng)起始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號(hào)d(t)激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，以符號(hào)h(t)表示。2022/9/24292.2沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)2022/11/2230n階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足2.2沖激響應(yīng)n階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)滿足2022/9/2430n階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(2022/11/22312.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)一般而言，若微分方程等號(hào)右端僅含f(t)：可推得各初始條件為：2022/9/24312.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2022/11/2232可利用LTI系統(tǒng)的線性進(jìn)行沖激響應(yīng)的求解2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)一般而言，若描述LTI系統(tǒng)的微分方程為：2022/9/2432可利用LTI系統(tǒng)的線性進(jìn)行沖激響應(yīng)的求2022/11/2233可利用LTI系統(tǒng)的線性進(jìn)行沖激響應(yīng)的求解2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)一般而言，若描述LTI系統(tǒng)的微分方程為：2022/9/2433可利用LTI系統(tǒng)的線性進(jìn)行沖激響應(yīng)的求2022/11/2234例.描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為:

試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：由上例，可得所以2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)2022/9/2434例.描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為:解：2022/11/22352.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)2022/9/24352.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2022/11/2236例求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

g(t)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為解：利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得2.2沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)h(t)=2e-3t

u(t)2022/9/2436例求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)系統(tǒng)2022/11/22372.3卷積積分卷積積分的物理意義卷積積分是將信號(hào)分解為沖激信號(hào)之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。2022/9/24372.3卷積積分2022/11/22382.3卷積積分卷積積分的物理意義因?yàn)長(zhǎng)TI系統(tǒng)具有線性時(shí)不變性，所以可得2022/9/24382.3卷積積分2022/11/22392.3卷積積分卷積積分定義

在因果系統(tǒng)中，故因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可寫為：2022/9/24392.3卷積積分2022/11/22402.3卷積積分圖解法

卷積積分的圖解法計(jì)算步驟：2022/9/24402.3卷積積分2022/11/22412.3卷積積分圖解法t<0，表示將波形左移|t|個(gè)單位；t>0，表示將波形右移|t|個(gè)單位。2022/9/24412.3卷積積分2022/11/22422.3卷積積分圖解法過(guò)程概括為：兩信號(hào)自變量代換；將其中一個(gè)信號(hào)反轉(zhuǎn)，向左平移至無(wú)限遠(yuǎn)，再逐漸向右平移，求此過(guò)程中兩信號(hào)乘積的面積。關(guān)鍵：確定積分限。即確定不為0的公共區(qū)間。動(dòng)畫演示2022/9/24422.3卷積積分2022/11/2243[例]

計(jì)算

y(t)=p1(t)*p1(t)a)-

<t

-1b)-1

<

t

0y(t)=02.3卷積積分圖解法2022/9/2443[例]計(jì)算y(t)=p1(2022/11/2244c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0

2.3卷積積分圖解法2022/9/2444c)0<t1d)t>12022/11/2245c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0

a)-

<t

-1b)-1

<

t

0

y(t)=02.3卷積積分圖解法2022/9/2445c)0<t1d)t>12022/11/2246反轉(zhuǎn)較為簡(jiǎn)單的圖形。選擇相交部分的積分限的方法：下限取為左邊界的較大者，上限取為右邊界的較小者。卷積結(jié)果：起點(diǎn)等于起點(diǎn)之和，終點(diǎn)等于終點(diǎn)之和。等寬度矩形信號(hào)卷積結(jié)果是等腰三角形，高度為兩矩形高度的乘積乘以寬度。不等寬矩形信號(hào)卷積結(jié)果是等腰梯形，高度為兩矩形高度的乘積乘以較窄矩形的寬度，上底為兩矩形寬度之差，下底為寬度之和，腰的寬度是較窄矩形的寬度。

2.3卷積積分圖解法卷積積分圖解法的若干結(jié)論：2022/9/2446反轉(zhuǎn)較為簡(jiǎn)單的圖形。2.3卷積積分2022/11/22472.4卷積的性質(zhì)卷積的代數(shù)運(yùn)算卷積的代數(shù)運(yùn)算卷積性質(zhì)可以使卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化前提：兩兩卷積存在!2022/9/24472.4卷積的性質(zhì)2022/11/2248函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積就是它本身推廣：2.4

卷積的性質(zhì)函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積波形搬移2022/9/2448函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積就是它本身推廣：2022/11/2249平移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)

則f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)證明：2.4卷積的性質(zhì)平移特性

2022/9/2449平移特性已知f1(t)2022/11/2250例：例：解：2.4卷積的性質(zhì)2022/9/2450例：例：解：2.4卷積的性質(zhì)2022/11/22512.4卷積的性質(zhì)2022/9/24512.4卷積的性質(zhì)2022/11/2252解:[例]

利用平移特性及ε(t)*ε(t)=r(t)

，計(jì)算y(t)=f(t)*h(t)

y(t)=f(t)*h(t)=[ε(t)-

ε(t-1)]*[ε(t)-

ε(t-2)]=ε(t)*ε(t)-ε(t-1)*ε(t)-ε(t)*ε(t-2)+ε(t-1)*ε(t-2)=r(t)–r(t-1)-

r(t-2)+r(t-3)2.4卷積的性質(zhì)2022/9/2452解:[例]利用平移特性及ε(t)*2022/11/22532.4卷積的性質(zhì)卷積的微分和積分2022/9/24532.4卷積的性質(zhì)2022/11/2254推廣：2.4卷積的性質(zhì)卷積的微分和積分2022/9/2454推廣：2.4卷積的性質(zhì)2022/11/2255例：畫出下列兩信號(hào)的卷積結(jié)果解：-11t1212t3(2)(-2)12t3-11t12-22t2351042.4卷積的性質(zhì)卷積的微分和積分2022/9/2455例：畫出下列兩信號(hào)的卷積結(jié)果解：-112022/11/22562.4卷積的性質(zhì)

卷積積分有三種解法：(1)圖解法；(2)定義法；(3)利用卷積積分性質(zhì)的方法。（常用）2022/9/24562.4卷積的性質(zhì)2022/11/22572.4卷積的性質(zhì)[例]

計(jì)算下列卷積積分。

(1)(2)(3)解:

(1)2022/9/24572.4卷積的性質(zhì)[例]計(jì)算下列卷2022/11/22582.4卷積的性質(zhì)(3)[例]

計(jì)算下列卷積積分。

(1)(2)解:

(2)利用卷積的平移性質(zhì)和題(1)的結(jié)論

(3)2022/9/24582.4卷積的性質(zhì)(3)[例]計(jì)算2022/11/2259系統(tǒng)框圖基本單元的沖激響應(yīng)2.4卷積的性質(zhì)