二次函數(shù)壓軸題分類精選-矩形

222222221．如圖，已知二次函數(shù)x﹣﹣（m是常數(shù)，＞0）的圖象x軸分別相交于點A、（點位于點B的左側(cè)y軸交于點，對稱軸為直線l．點C關(guān)于l的對稱點為D連接AD．點E為該函數(shù)圖象上一點，平分∠DAE（1）①線段AB的長為．②求點E的坐標(biāo)、②中的結(jié)論均用含的代數(shù)式表示）（2）M是該函數(shù)圖象上一點，N在l上．探索：是否存在點使得AE、MN為頂點的四邊形是矩形？如果存在求出點坐標(biāo)如果不存在說明理由．【分析①令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；②根據(jù)拋物線解析式確定出對稱軸，和軸交點坐標(biāo)；（2）先設(shè)出M點的坐標(biāo)，分兩種情況計算，利用矩形的對角線互相平分來確定出點M的坐標(biāo)，再用勾股定理計算即可．【解答】解①令y=0則（mx﹣3+1）=0∴x=﹣或x=，∴A（﹣，0（，0∴AB=，故答案為；②∵二次函數(shù)y=mx﹣2mx﹣∴（0，﹣3稱軸l：x=，2222222222∴D，﹣3）∵AB平分∠DAE，∴點D關(guān)于x軸的對稱點Q（，3）在直線AE上，∴直線AE的解析式為+1，∵點E是拋物線和直線AE的交點，∴E（，5（2）設(shè)M（，mx﹣2mx﹣3（，a）∵A（﹣，0（，5以A、E、M、為頂點的四邊形是矩形，①以AE，MN為對角線時，AE，MN的中點重合，∴﹣+=x+，∴x=，∴M，﹣3∵MA+ME=AE，∴+9++64=

+25∴m=﹣（舍m=，∴M4，﹣3②以ANME為對角線時，ANME的中點重合，∴﹣+=x+，∴x=﹣，22222222∴M﹣，21∵AE

2

+AM

=ME

2

，∴+25+441=

+256，∴m=﹣∴

（舍）或m=，③以AM，NE為對角線時，∴AM，NE的中點重合，∴x+（﹣）=+，∴x=，∴M，21∵AE+EM=AM，∴+25+256=

+441，此方程無解，即：存在，M4﹣3）或．【點評此題是二次函數(shù)綜合題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)對稱軸，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用角平分線得到直線AB解析式．2．如圖，拋物y=﹣x+2x+3與x軸交于AB兩點（點A在點B的左邊y軸交于點，點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E222222求直線AD的解析式；如圖1直線AD上方的拋物線上有一點F，過點作⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的最大值；點是拋物線的頂點，點是軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以A，MPQ為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形．若T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點T的坐標(biāo)．【分析）先求出C（，（﹣1，（3，再利用配方法得y=﹣（﹣1）+則拋物線對稱軸為直線，于是可確定D23則可利用待定系數(shù)法求直線AD的解析式；（2）由E0，1）可判斷△為等腰直角三角形，則∠EAO=45°，由于FH∥，則可得到△FGH為等腰直角三角形，過點作FNx軸交AD于如圖，則FNH為等腰直角三角形，所以GH=NG，于是得到△周長等于△的周長，由于FG=GN=FN則△FGN周長1+FN所以當(dāng)FN最大時eq\o\ac(△,，)FGN周長的最大，設(shè)（x，x+2x+3N（，+1FN=﹣+2x+3x﹣利用二次函數(shù)的最值問題可得當(dāng)x=時，F(xiàn)N有最大值，于是△FGN周長的最大值為；（3）直線AM交y軸于R，M（4利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式為y=2x+2，則R（0，然后分類討論：當(dāng)AQ為矩形AMPQ的對角線，如圖1，利用Rt△AOR∽POA，可計算出，則P點坐標(biāo)為（﹣著利用平移可得到Q（2于是由點和點Q關(guān)于所在直線對稱，根據(jù)線段中點坐標(biāo)221222221222公式易得T點坐標(biāo)為0，AP為矩形APQM的對角線，反向延長QA交y軸于S，如2，同理可得S點坐標(biāo)為（﹣得點為AM的中點，R點為PS的中點，所以PM=SA（0上PM=AQ，AQ=AS，于是可判斷Q關(guān)于AM的對稱點為S，即T點坐標(biāo)為（0﹣【解答】解當(dāng)x=0時，y=﹣x

+2x+3=3，則（0，3當(dāng)y=0時，﹣x+2x3=0，解得x=﹣1，x=3則A（﹣10（，0∵y=﹣x+2x+3=（x﹣1）+∴拋物線對稱軸為直線x=1而點D和點C關(guān)于直線x=1對稱，∴D2，3設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b把A（﹣102，分別代入得，解得，∴直線AD的解析式為y=x+1；（2）當(dāng)x=0時，y=x+1=1，則E（，1∵∴△OAE為等腰直角三角形，∴∠EAO=45°，∵FH∥OA，∴△FGH為等腰直角三角形，過點F作FNx軸交AD于N如圖，∴FNFH，∴△FNH為等腰直角三角形，而FGHN，∴GH=NG，∴△FGH周長等于△FGN的周長，2222222222∵FG=GN=FN，∴△FGN周長=（1+

）FN∴當(dāng)FN最大時，△FGN周長的最大，設(shè)F（x，﹣x+2x+3則Nx，+1∴FN=x+2x+3﹣x﹣1=﹣（x﹣）+，當(dāng)x=時，F(xiàn)N有最大值，∴△FGN周長的最大值為（+即△FGH周長的最大值為

）×=；

，（3）直線AM交y軸于，y=﹣x設(shè)直線AM的解析式為+n

+2x+3=（x﹣）

+4則M（，4）把A（﹣10（，4）分別代入得

，解得，∴直線AM的解析式為y=2x+當(dāng)x=0時，y=2x+2=2，則（0，2當(dāng)AQ為矩形APQM的對角線，如圖1，∵∠RAP=90°，而⊥PR，∴Rt△AOR∽POA，∴：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得OP=，∴P點坐標(biāo)為（0﹣∵點A（﹣10向上平移個單位，向右平移2個單位得到M（，4∴點P（0，﹣）向上平移個單位，向右平移2個單位得到Q（2，∵點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，∴T點坐標(biāo)為（0當(dāng)AP為矩形AMPQ的對角線，反向延長交y軸于S，如圖，同理可得S點坐標(biāo)為（0﹣∵R點為AM的中點，∴R點為PS的中點，∴PM=SA，P（∵PM=AQ，∴，∴點Q關(guān)于AM的對稱點為S即T點坐標(biāo)為（0﹣綜上所述，點T的坐標(biāo)為（0）或（0﹣【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與x軸的交點問題和矩形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算線段的長；記住坐標(biāo)系中點平移的規(guī)律．2212△212212△2123如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=ax﹣2ax﹣（a＜與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)經(jīng)過點A的直線l：y=kxb與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D且CD=4AC．直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達式（其中，b用含a的式子表示點E是直線上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點在拋物線上，以點A，DP，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【分析）由拋物y=ax﹣﹣（a＜0與軸交于兩點A、，求A點的坐標(biāo)，作x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達式．（2）設(shè)點E（m，a（m+1﹣3=kx+，利用待定系數(shù)法確定y=a（m﹣3x+（m﹣3而確S

=（m+1[（m﹣3a]=（m﹣）

﹣

a，根據(jù)最值確定a的值即可；（3）分以AD為對角線、以AC為邊，AP為對角線、以為邊AQ為對角線三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點P的坐標(biāo)即可．【解答】解令y=0則ax﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1x=321=S21=S∵點A在點B的左側(cè)，∴A（﹣10如圖1，作DF⊥軸于F，∴DF∥，∴

=

，∵CD=4AC，∴

==4∵∴OF=4∴D點的橫坐標(biāo)為4，代入y=ax﹣﹣3a得，y=5a，∴D4，5a把A、D坐標(biāo)代入y=kx+得

，解得，∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+．（2）如圖1，過點E作EN⊥軸于點N設(shè)點E（m，am1﹣3=kx+b，則，解得：，∴y=a（m﹣3）x+a（﹣30，a（m﹣∵MC=am﹣3﹣a，∴S

△

+S

△

=[（m﹣3﹣]+[（m﹣﹣]m=（m+1）（m﹣32221221DPADQ2222222221221DPADQ222222222222222221﹣a]=（m﹣）﹣

a，∴有最大值﹣

a=，∴a=﹣；（3）令ax﹣﹣+a，即ax﹣﹣4a=0，解得x=﹣1x=4，∴D4，5a∵y=ax﹣﹣3a∴拋物線的對稱軸為x=1設(shè)P（1，m①若AD是矩形的一條邊，由AQ∥DP知x﹣x=x﹣x可知點橫坐標(biāo)為﹣4將﹣4帶入拋物線方程得（﹣4，21am=y+y=21a+5a=26a，P1，26a∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，∴AD+PD=AP，∵AD=[4（﹣]（5a=5+（）PD=（4+（26a﹣）=5+（，∴[4﹣（﹣1）

+（）

+（1﹣4）

2

+（26a5a

2

=（﹣11）

+（26a）

2

，即a=，∵a＜0∴a=﹣∴P（1，﹣

，222222222222222222222222222222222222212②若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標(biāo)為（，（2，﹣3am=5a（﹣3a=8a，P（18a∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，∴AP+PD=AD，∵AP

2

=[1（﹣1）]

+（）

2

=2

2

+（）

2

，PD=（1+（8a﹣）=3+（，AD=[4（﹣]+（5a）=5+（）∴2+（8a+3+）=5+（5a，解得a=，∵a＜0∴a=﹣，∴P（1，﹣4綜上可得，P點的坐標(biāo)為P（1﹣4（，﹣2222【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，以及矩形的判定，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．4如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線

+bx+（＜0與x軸交于（﹣0B（0）兩點，與y軸交于點C，且試求拋物線的解析式；直線y=kx+1k＞）與y軸交于點，與拋物線交于點與直線交于點M記m=

，試求m的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在（）的條件下，Q是x軸上的一個動點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點Q、N，使得以P、Q、N四點組成的四邊形是矩形？如果存在，請求出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【分析因為拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0（40）兩點，所以可以假設(shè)y=a（x+﹣4出點C坐標(biāo)代入求出a即可；222222（2）由△CMD∽△FMP，可m=

=

，根據(jù)關(guān)于m關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（3）存在這樣的點Q、N使得以P、、Q、N四點組成的四邊形是矩形．分兩種情形分別求解即可：①當(dāng)DP是矩形的邊時，有兩種情形；②當(dāng)DP是對角線時；【解答】解因為拋物線y=ax+bx+經(jīng)過A（﹣20（，0）兩點，所以可以假設(shè)y=a（x+2﹣4∵OA=2，∴（0，4入拋物線的解析式得到﹣，∴y=﹣（x+2﹣4或y=﹣x

+x+4或y=﹣（x﹣）

2

+．（2）如圖1中，作PE⊥軸于E，交BC于F．∵CD∥PE∴△CMD△FMP，∴m==

，∵直線y=kx+k＞0）與y軸交于點D則D（1∵BC的解析式為y=﹣x+4，設(shè)P（n，﹣n+4F（n，﹣+422222222∴PF=﹣n+n+﹣（﹣n+4=﹣（n2+∴m==﹣（n﹣）+，∵﹣＜0，∴當(dāng)n=2時，m有最大值，最大值為，此時P（2，4（3）存在這樣的點Q、N使得以PDQ、四點組成的四邊形是矩形．①當(dāng)DP是矩形的邊時，有兩種情形，a、如圖21中，四邊形是矩形時，有（2）可知P（2，入y=kx1中，得到，∴直線DP的解析式為y=x+1可得D01（﹣，0由△DOEQOD可得

=

，∴OD=OE?OQ，∴1=?OQ，∴OQ=，∴Q（，0根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點P向右平移個單位，向下平移1個單位得到點N，2222222222222222∴N2，41（，3b如圖2﹣2中，四邊形是矩形時，∵直線PD的解析式為y=x+1PQ⊥PD，∴直線PQ的解析式為y=﹣x+

，∴Q（0根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點D向右平移6個單位，向下平4個單位得到點N，∴N06，1﹣N6﹣3②當(dāng)DP是對角線時，設(shè)（x，QD=x+1，QP=（x﹣2+，PD=13，∵Q是直角頂點，∴QD+QP=PD，∴x

+1+（﹣2）

2

+16=13，整理得x﹣2x+4=0，方程無解，此種情形不存在，綜上所述，滿足條件的點N坐標(biāo)為（，3或（﹣3【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行線的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．5．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=﹣x+bx+（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為，過點C作CA∥軸交拋物線于點A，在延長線上取點B，使AC，連接OA，OB，和AD222222（1）若點A的坐標(biāo)是（﹣4，求bc的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析①將拋物線上的點的坐標(biāo)代入拋物線即可求出、c的