高中數(shù)學(xué)選修21第三章空間向量與立體幾何測(cè)試題(含詳解)(精華)

(完滿word版)高中數(shù)學(xué)選修21第三章空間向量與立體幾何測(cè)試題(含詳解)(精華版)(完滿word版)高中數(shù)學(xué)選修21第三章空間向量與立體幾何測(cè)試題(含詳解)(精華版)9/9(完滿word版)高中數(shù)學(xué)選修21第三章空間向量與立體幾何測(cè)試題(含詳解)(精華版)高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章+空間向量與立體幾何+測(cè)試題(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，滿分60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是吻合題目要求的)1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b共線，則()A．x＝1，y＝11，y＝－1B．x＝221312C．x＝6，y＝－2D．x＝－6，y＝3剖析11，y＝－3.由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝，x＝236答案C2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，則x的值是()A．6B．5C．4D．3剖析a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5.答案B3．設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m的值為()1A．3B．2C．1D.2剖析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2.答案B4．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a與b共線的()．必要不充分條件．充分不用要條件C．充分必要條件．既不充分也不用要條件剖析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，而a·b＝|a||b|.cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0.∴a與b共線．反之，若a與b共線，也可能a·b＝－|a|·|b|，因此應(yīng)選B.答案B→→→→→5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若點(diǎn)D滿足BD＝2DC，則AD＝()21522112A.3b＋3cB.3c－3bC.3b－3cD.3b＋3c-1-→→→剖析如圖，AD＝AB＋BD→→2AB＋3BC→→2AB＋3(AC－AB)→23AB＋3AC23c＋3b.答案A6．已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，設(shè)p＝a＋b，q＝a－b，則以下向量中可以與p，q一起構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()A．a(chǎn)B．bC．cD．以上都不對(duì)剖析∵a，b，c不共面，∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．答案C7．已知△ABC的三個(gè)極點(diǎn)A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長(zhǎng)為()6465A．2B．3C.7D.7剖析BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1,4)，→∴AD＝(－1，－2,2)．→∴|AD|＝1＋4＋4＝3.答案B8．與向量a＝(2,3,6)共線的單位向量是()236236A．(，，)B．(－，－，－)777777-2-2，－3，－62362362，－36C．(7)和(－，7，)D．(，，)和(－7，－)777777777剖析|a|＝1(2,3,6)，故應(yīng)選D.22＋32＋62＝7，∴與a共線的單位向量是±7答案D9．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，則x＋y為()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1剖析由|a|＝6，a⊥b，4＋16＋x2＝36，x＝4，x＝－4，得解得或4＋4y＋2x＝0，y＝－3，y＝1.x＋y＝1，或－3.答案A10．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．x>4B．x<－4C．0<x<4D．－4<x<0.剖析∵〈a，b〉為鈍角，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉<0，即3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.答案B11．已知空間四個(gè)點(diǎn)A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，則直線AD與平面ABC所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°剖析設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，→→AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)，→→n·AB＝0及n·AC＝0，得5x－y＋z＝0，z＝1，4x－2y－z＝0，1313得x＝2，y＝－2，∴n＝(2，－2，1)．→又AD＝(－2，－1,3)，設(shè)AD與平面ABC所成的角為θ，則→3|AD·n|－1＋2＋31sinθ＝→＝14×14＝2，|AD||n|2-3-∴θ＝30°.答案A12．已知二面角α－l－β的大小為50°，P為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線的條數(shù)為()A．2B．3C．4D．5剖析過點(diǎn)P分別作平面α，β的垂線l1和l2，則l1與l2所成的角為130°或50°，問題轉(zhuǎn)變成過點(diǎn)P與直線l12成65°角的直線有幾條，與1，l2共面的有一條，不共面的有2條．因此，共有3條．，ll答案B二、填空題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分．把答案填在題中橫線上)13．已知{i，j，k}為單位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，則向量a＋b與向量a－2b的坐標(biāo)分別是________；________.剖析依題意知，a＝(－1,1,3)，b＝(2，－3，－2)，則a＋b＝(1，－2,1)，a－2b＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)．答案(1，－2,1)(－5,7,7)→→14．在△ABC中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝________.→→→→AB·BC102剖析cos〈AB，BC〉＝＝→→1022|AB||BC|→→ππ3π∴〈AB，BC〉＝4，∴∠ABC＝π－4＝4.答案3π415．正方體ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1與面B1BD1所夾角的大小為________．剖析-4-建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．→→→∴D1＝(1,0，－1)，D1＝(1,1，－1)，D1B1＝(1,1,0)．AB設(shè)平面ABD1→＝0，的法向量為111112221m＝(x，y，z)，平面BBD的法向量為n＝(x，y，z)，則由m·DA→→m·n11B＝0，可得m＝(1,0,1)111m·D，由n·DB＝0，n·DB＝0，得n＝(1，－1,0)，∴cos〈m，n〉＝|m||n|＝2.∴所求二平面的大小為60°.答案60°16．在以下命題中：①若a，b共線，則a，b所在的直線平行；②若a，b所在的直線是異面直線，則a，b必然不共面；③若a，b，c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta，b，c三向量必然也共面；④已知三向量a，b，c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc，其中不正確的命題為________．剖析①a，b共線，包括a與b重合，因此①錯(cuò)．②空間任意兩個(gè)向量均共面，因此②錯(cuò)．③以空間向量的一組基底{a，b，c}為例，知它們兩兩共面，但它們?nèi)齻€(gè)不共面，因此③錯(cuò)．④當(dāng)與a，b，c共面時(shí)，不行立，因此④錯(cuò)．答案①②③④三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖，空間四邊形OABC中，E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點(diǎn)，-5-→→→→OA＝a，OB＝b，OC＝c，試用a，b，c表示EF.→→→1→→→111解EF＝EO＋OF＝－1c.2OA＋(OB＋OC)＝－2a＋b＋22218．(12分)設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，試問可否存在實(shí)數(shù)a，b，c使a4＝aa1＋ba2＋ca3建立？若是存在，求出a，b，c的值；若是不存在，請(qǐng)說明原由．解假設(shè)a4＝aa1＋ba2＋ca3建立．由已知a1＝(2，－1,1)，a2＝(1,3，－2)，a3＝(－2,1，－3)，a4＝(3,2,5)，可得(2a＋b－2c，－a＋3b＋c，a－2b－3c)＝(3,2,5)．2a＋b－2c＝3，∴－a＋3b＋c＝2，a－2b－3c＝5，解得：a＝－2，b＝1，c＝－3.故有a4＝－2a1＋a2－3a3.綜上知，滿足題意的實(shí)數(shù)存在，a＝－2，b＝1，c＝－3.19．(12分)四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，求AC′的長(zhǎng)．→→→→→→→AC′＝AB＋BC＋CC′＝AB＋AD＋AA′，→→→→22∴(AC′)＝(AB＋AD＋AA′)→→→→→→→→→222＝AB＋AD＋AA′＋2(AB·AD＋AB·AA′＋AD·AA′)＝25＋9＋49＋2(5×3cos60＋°5×7cos45＋°3×7cos45)°＝98＋562.-6-→|AC′|＝98＋562，AC′的長(zhǎng)為98＋562.20．(12分)以下列圖，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC與平面ABCD所成角是45°，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)．求證：DM∥平面PFB.證明以D為原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，由PC與平面ABCD所成的角為45°，即∠PCD＝45°，得PD＝2，則P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，F(xiàn)(1,0,0)，D(0,0,0)，M(0,1,1)，→→→FB＝(1,2,0)，F(xiàn)P＝(－1,0,2)，DM＝(0,1,1)．設(shè)平面PFB的法向量為n＝(x，y，z)，則→FB·n＝0，x＋2y＝0，∴即→－x＋2z＝0.FP·n＝0，令y＝1，則x＝－2，z＝－1.故平面PFB的一個(gè)法向量為n＝(－2,1，－1)．→→DM·n＝0，∴DM⊥n.DM?平面PFB，則DM∥平面PFB.21．(12分)如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA12AB＝4，點(diǎn)E在C1C上，且C1E＝3EC.(1)證明A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．-7-解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz.依題設(shè)B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．→→DE＝(0,2,1)，DB＝(2,2,0)，→→A1C＝(－2,2，－4)，DA1＝(2,0,4)．→→→→(1)∵A1C·DB＝0，A1C·DE＝0，A1C⊥BD，A1C⊥DE.DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE.→(2)設(shè)向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則n⊥DE、→n⊥DA1.2y＋z＝0,2x＋4z＝0.令y＝1，則z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．→→n·AC14∴cos〈n，A1C〉＝1＝.→42|n||A1C|→∵〈n，A1C〉等于二面角A1－DE－B的平面角，14∴二面角A1－DE－B的余弦值為42.22．(12分)正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)．-8-(1)證明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一點(diǎn)M，使得A1M⊥平面DAE.(1)證明：建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，不如設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)．設(shè)平面AED的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則→n1·DA＝x1，y1，z1·2，0，0＝0，→n1·DE＝x1，y1，z1·2，2，1＝0.2x1＝0，∴2x1＋2y1＋z