武大信號與系統(tǒng)課件2-lecture

4.5用LT法分析電路&S域模型對于連續(xù)時間系統(tǒng)而言，微分方程、同一個h(t)以及H(s)都可以系統(tǒng)。用LT法分析系統(tǒng)的方法：對系統(tǒng)的微分方程進行LTS域模型*方法一：對系統(tǒng)微分方程進行LT對響應為y(t)的微分方程逐項進行LT，利用微積分性質代入初始條件；對LT變換后的方程進行代數(shù)運算，求出Y(s)；對Y(s)進行ILT，得到全響應的時域表示y(t)。y(2)

(t)

5

y(1)

(t)

6

y(t)

x(t)其中x(t)和y(t)是機床控制的位置和得到的位置。對t

0求解y(t),x(t)

u(t),初始條件是y(0

)

2,y(1)(0

)

12。例：一臺機床中的二階

可用下面的微

分方程描述sss122sY)(s)s65(sYs

sy

sY2

y(1)

s解：由于

tu)(t)x(LT

1。利用時域微分定理和22把輸入信號的拉氏變換和初始條件代入上式并合并，得到變換為0())5]([)0()0()(

sX)線性定理，得到方程的s(s2

5s2s2

2s

Y

(s)

6所

y

t)

1

u(t)

13

6

s

2s

1

*方法二：s域模型R,L,C元件的時域關系(1)vR

(t)

RiR

(t)CdttCC(3)v

(t)

1Li

(

)ddi

(t)L(2)v

(t)

LVR

(s)

RIR

(s)VL

(s)

L[sI

L

(s)

iL

(0

)]

sLI

L

(s)

LiL

(0

)C

CC

C

Cs

I

(s)

1

v

(0

)sCs

C1(3)V

(s)

1

[

1

I

(s)

v

(0

)]s域模型一：1s域模型二：L

L

(3)IC

(s)

C[sVC

(s)

vC

(0

)]

sCVC

(s)

CvC

(0

)

1

V

(s)

1

i

(0

)LVL

(s)

iL

(0

)]R

RsL

ss

L(2)I

(s)

1

[R(1)I

(s)＝

1

V

(s)*相應的s域模型電路表示VR

(s)

RI

R

(s)RR

RI

(s)

1

V

(s)電阻RIR

(s)V

(s)RIR

(s)RV

(s)RVL

(s)

sLIL

(s)

LiL

(0

)L

L1

V

(s)

1

i

(0

)sL

sIL

(s)

電感SLL

1

i

(0

)IL

(s)sV

(s)LsLLiL

(0

)V

(s)LIL

(s)C

c1

I

(s)

1

v

(0

)sC

sVC

(s)

IC

(s)

sCVC

(s)

CvC

(0

)電容1sCC

1

v

(0

)sIC

(s)V

(s)C1sCCCv

(0

)IC

(s)V

(s)C步驟：將普通電路圖改畫為s域模型的形式利用KCL和KVL根據(jù)指定的激勵與響應列寫方程化簡得到所求響應的拉氏變換經(jīng)由拉氏逆變換得到響應的時域形式例：考慮下圖所示RC濾波器和輸入信號v1

(t),求出輸出信號v2

(t),t

0.v1(t)v2

(t)0.1F101tv1(t)0

1解：對t

0，因為v1

(t)是常數(shù)，所以電路中沒有電流s對t

0,有v1

(t)

u(t

1)

V1

(s)流過，這時v

(0

)

v

(0

)

1；2

1es(t

1)

t因此v2

(t)

u(t

1)

e u(t

1)

e

u(t)110(s

1)1

I

(s)

10

12sss

s

e

e又V

(s)

10

I

(s)

1es10I

(s)

I

(s)

0s

sses對t

0的s域變換電路如右圖所示。利用KVL定律，有s

s

1

s

1se

sV1

(s)

2V

(s)1

10sc

s10

2

sv

(0

)

1sI

(s)4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)定義：系統(tǒng)零狀態(tài)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比稱為“系統(tǒng)函數(shù)”（或網(wǎng)絡函數(shù)），以H(s)表示。H

(s)

Y

(s)

R(s)F

(s)

E(s)s域模型在初始條件為零時為V

(s)

Z

(s)I

(s)或者I

(s)

Y

(s)V

(s)其中Z

(s)稱為s域阻抗，Y

(s)稱為s域導納。*基本形式*網(wǎng)絡分類單口網(wǎng)絡雙口網(wǎng)絡V

(s)

I

(s)V1

(s)I1

(s)I2

(s)V2

(s)多口網(wǎng)絡在網(wǎng)絡分析中，激勵和響應既可以是電壓也可以是電流；對多端口網(wǎng)絡，其激勵和響應可以設定在任何一個端口。因此產生以下分類：激勵與響應的位置激勵響應系統(tǒng)函數(shù)名稱在同一端口（策動點函數(shù)）電流電壓策動點阻抗電壓電流策動點導納分別在各自的端口（轉移函數(shù)）電流電壓轉移阻抗電壓電流轉移導納電壓電壓轉移電壓比電流電流轉移電流比*沖激響應與系統(tǒng)函數(shù)：10h(t

)

H

(s)e

st

dsH

(s)

h(t

)e

st

dt

j2j

jh(t

)

H

(s)*H(s)與H(p)的差別：H

(s)是變量s的函數(shù),而H

(p)是一個運算,函數(shù)中分子分母公因子可以消去,運算中則不能相消.在形式上,只有分子分母沒有公因子時,H

(p)與H

(s)的形式才完全對應相同.H

(s)只能說明零狀態(tài)特性,而H

(p)即可說明零狀態(tài)特性,又可說明零輸入特性.課堂練習(253頁)4-134.7由系統(tǒng)函數(shù)零極點分布決定時域特性如果在S平面上有某點pi

,使得lim

F

(s)

,s

pi則把pi稱為F

(s)在S平面上的一個極點。*零極點定義如果在S平面上有某點zi

,使得lim

F

(s)

0,szi則把zi稱為F

(s)在S平面上的一個零點。有限值，則s＝pi處有一階極點。ii

s

ps

pi若lim

H

(s)

,

但[(s

p

)H

(s)]

為*零極點階數(shù)有限值，則s＝pi處有n階極點。k為直到k

n才等于i

s

pi若[(s

p

)

H

(s)]的極點1H

(s)H

(s)的零點即為n(s

pi

)i1mk(s

z

j

)H

(s)

j

1

*系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布jz01zz2p0p2p1

零點用O表示，極點用表示。n重零極點用(n)注明。般也用在同一個點上疊畫兩個相同符號表示2重。(s

1)2

(s

j2)(s

j2)

s(s

1

j)(s

1

j)

s[(s

1)2

1](s

1)2

(s2

4)s4

2s3

5s2

8s

4s3

2s2

2sH

(s)

01

j11jj2

(2)1

j1

j2

（一）H(s)零極點分布與h(t)波形特征的對應nm(s

pi

)i1k(s

z

j

)H

(s)

j

1

反變換

ninp

tn

i

s

pi

kii

1

ii

1

i

11k

e

h

(t)h(t)

L第i個極點決定ki與零點分布有關以一階極點為例幾種典型的極點分布(a)一階極點在原點j0H

(s)

1sh(t)

u(t)th(t)0（b）一階極點在負實軸1s

aH

(s)

h(t)

eatu(t)j0ath(t)0(c)一階極點在正實軸1s

aH

(s)

h(t)t0h(t)

eatu(t)j0a(d)一階共軛極點在虛軸上2121s

H

(s)

h(t)

sin

1tu(t)0jj1

j1

th(t)0212s

sH

(s)

h(t)

cos1tu(t)th(t)0(e)共軛極點在虛軸上，原點有一零點j01

j1

j

(f)共軛極點在左半平面2121(s

a)

H

(s)

1sin

tu(t)ath(t)

eth(t)0j01j1

j

a(g)共軛極點在右半平面211(s

a)2

H

(s)

1atsin

tu(t)h(t)

eth(t)0jj10

j1a二重極點分布——(a)在原點有二重極點s2H

(s)

1h(t)t0h(t)

tu(t)j(2)01(s

a)2H

(s)

h(t)

teatu(t)h(t)t0(b)在負實軸上有二重極點j(2)02

21(s2

)H

(s)

2s

h(t)

t

sin

1tu(t)h(t)t0(c)在虛軸上有二重極點j0(2)(2)（d）在左半平面有二重共軛極點2

21[(s

a)2

]H

(s)

2

(s

a)

1h(t)

teat

sin

tu(t)h(t)t0jj11

j(2)(2)

0

a極點分布與時域函數(shù)的對應關系：極點落在左半平面—h(t)呈衰減趨勢極點落在右半平面—h(t)呈增長趨勢落在虛軸上一階極點—h(t)等幅振蕩落在虛軸上二階極點—h(t)增長趨勢極點落在原點—h(t)等于u(t)注意:與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關系.零點的影響(s

a)2

21H

(s)

s

a(s

a)2

22H

(s)

sh(t)

eat

cos

t

a

2h(t)

1

tg

1

(

a

)

eat

cos(t

)零點移動到原點z00z響應+強迫響應系統(tǒng)響應的分解方式:(1)由經(jīng)典微分方程求解：完全解=齊次解+特解=

(2)由工作狀態(tài)：完全解=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應(3)由因果系統(tǒng)：完全解=零輸入響應+零狀態(tài)響應（二）H(s)、E(s)極點分布與自由響應、強迫響應特征的對應極點分布&響應與強迫響應vunm(s

zl

)l

1(s

pk

)k

1(s

z

j

)j

1(s

pi

)i1R(s)

H

(s)

E(s)

s

pkkks

pikiv

k

1nR(s)

i

1p

tkp

tikin

vr(t)

k

e

k

ei

1

k

1來自H(s)的極點來自E(s)的極點響應強迫響應結論響應的振蕩頻率，H(s)的極點決定了與激勵無關響應的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點有關，即零點影響

K

i

, K

k

系數(shù)E(s)的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，與H(s)無關用H(s)只能研究零狀態(tài)響應，H(s)中零極點相消將使某固有頻率丟失。極點分布&暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)H(s)的極點一般是復數(shù)，

它們實部和虛部對研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要不穩(wěn)定系統(tǒng)增幅臨界穩(wěn)定系統(tǒng)等幅穩(wěn)定系統(tǒng)衰減iRep

0iRep

0iRep

0E(s)極點的影響激勵E(s)的極點也可能是復數(shù)增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作用下穩(wěn)定下來，或與系統(tǒng)某零點相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)衰減，暫態(tài)Re[pk

]

0Re[pk

]

0Re[pk

]

0極點的位置與響應系統(tǒng)響應的極點=系統(tǒng)函數(shù)極點+激勵信號極點暫態(tài)響應：在左半S平面上的極點產生的響應。穩(wěn)態(tài)響應：在j

軸或右半平面上的極點所產生的響應。H(s)的極點左半平面---- 響應屬于E(s)的極點暫態(tài)響應j軸或右半平面-- 響應屬于穩(wěn)態(tài)響應左半平面----強迫響應屬于暫態(tài)響應j軸或右半平面--強迫響應屬于穩(wěn)態(tài)響應4.8由系統(tǒng)函數(shù)零極點分布決定頻響特性系統(tǒng)頻響特性？不同頻率的正弦激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應.一般為復數(shù)，可表示為：

)(e)H(jH()而

()s(H)|Hsj

e(t)

Em

sin

0t20

s2E(s)

Em0

nkis

pii1R(s)

E(s)H

(s)k

j

k

j0

0s

j0

s

j0000000j

jH

(

)

H

e令H

(

)

H

e對于穩(wěn)定系統(tǒng)而言,此項將隨時間的增長而趨于零.00

2

j

m

0

E

H

e

j0k

j

(s

j

)R(s)

s

j00E

H

e

j0k

j

m

0

2

j

(s

j

)R(s)

s

j00e2

jE

H

Em

H0

sin(0t

0

)j

(

t

)

e

j

(0t

0)

m

0穩(wěn)態(tài)響應rss