數(shù)學(xué)建模-第一章-建立數(shù)學(xué)模型課件

第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的分類1.5數(shù)學(xué)模型與能力培養(yǎng)第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米）。航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和對于一

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建模——即建立數(shù)學(xué)模型。4.模型求解。5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應(yīng)當(dāng)借助計算機(jī)求出數(shù)值解。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資模型評價模型應(yīng)用模型檢驗?zāi)Ｐ驮u價模型應(yīng)用模型檢驗1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用分析與設(shè)計預(yù)報與決策控制與優(yōu)化規(guī)1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意，f()、g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預(yù)報人口的增長背景年16251830指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為2應(yīng)用領(lǐng)域人口,生態(tài),交通,環(huán)境,經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué),網(wǎng)絡(luò),微分方程,運(yùn)籌,隨機(jī)模型等表現(xiàn)特性描述,分析,預(yù)報,決策,控制等建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.4數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口,生態(tài),交通,環(huán)境,經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué),網(wǎng)絡(luò)①數(shù)學(xué)建模實踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè)時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會在盡可能短的時間內(nèi)查到并學(xué)會想應(yīng)用的知識的本領(lǐng)。③還需要你多少要有點創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會。1.5

數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的本領(lǐng)。撰寫論文的初步方法.數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù),不如說是一門藝術(shù).

技術(shù)大致有章可循,藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則.①數(shù)學(xué)建模實踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究示例:可口可樂飲料罐的形狀可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少?為什么?它們的形狀為什么是這樣的?示例:可口可樂飲料罐的形狀可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大數(shù)學(xué)建模-第一章-建立數(shù)學(xué)模型課件示例:

可口可樂飲料罐的形狀找一個雪碧飲料罐具體測量一下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米,胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升(即355立方厘米).根據(jù)有關(guān)的數(shù)據(jù),要求通過數(shù)學(xué)建模的方法來回答相關(guān)的問題.

示例:可口可樂飲料罐的形狀找一個雪碧飲料罐具體測量一下:它我們先看這樣的數(shù)學(xué)題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使用料最省，這時圓柱的直徑和高之比為多少?”(一般數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(極值問題)部分的一道例題).實際上,用幾何語言來表述就是:體積給定的圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?

我們先看這樣的數(shù)學(xué)題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為1:1表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為問題分析和模型假設(shè)飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內(nèi)體積一定時,求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上,飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.問題分析和模型假設(shè)飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.模型的建立

飲料罐的半徑為r(因此,直徑為2r),罐的高為.h罐內(nèi)體積為.V除頂蓋外的材料的厚度.b頂蓋的厚度為(頂蓋就能感覺到更硬)其中r,h是自變量,所用材料的體積SV是因變量,而b和V是固定參數(shù),是待定參數(shù)模型的建立飲料罐的半徑為r(因此,直徑為2r),飲料罐側(cè)面所用材料的體積

罐內(nèi)體積所用材料的體積頂蓋和底部所用材料飲料罐側(cè)面所用材料的體積罐內(nèi)體積所用材料的體積頂蓋和底

因,所以帶,的項可以忽略,所以,

這是極其重要的合理假設(shè)或簡化!

其中S是目標(biāo)函數(shù),是約束條件,V是已知的(即罐內(nèi)體積一定),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的r,h和使得r,h和測量結(jié)果吻合.這是一個求條件極值的問題.

因,所以帶,的項模型的求解從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題使原問題化為:求使S最小,即,求r使下式最小.模型的求解從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的求臨界點:令其導(dǎo)數(shù)為零得測量數(shù)據(jù)為,即即頂蓋厚度是其他材料厚度3倍

本題還可Lagrange乘子法來解(增加一個變量化條件極值問題為多元函數(shù)無條件極值問題)求臨界點:令其導(dǎo)數(shù)為零得測量數(shù)據(jù)為模型驗證及進(jìn)一步的分析

有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其體積為裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對不對？模型驗證及進(jìn)一步的分析有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚實際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米,下底半徑為3.3厘米,高為1厘米的錐臺,二是半徑為3.3厘米,高為10.2厘米的圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米.測量結(jié)果為:未打開罐時飲料罐的重量為370克,倒出來的可樂確實重355克,空的飲料罐重量為15克,裝滿水的飲料罐重量為380克.這和我們的近似計算380.2立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料(365克),而是留有10立方厘米的空間余量.實際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.測進(jìn)一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實際上是半徑為3+0.4+0.2=3.6厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為0.3,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐壓.所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求,必須要有有關(guān)方面的實際工作者或?qū)＜襾泶_定.因此,我們也可以體會到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來進(jìn)行設(shè)計是很復(fù)雜的過程,只依靠數(shù)學(xué)知識是不夠的,必須和實際工作者的經(jīng)驗緊密結(jié)合.進(jìn)一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實際上也不是一個雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。示例：雨中行走一個雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時來描述，降雨強(qiáng)度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你以定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設(shè)及符號說明1）把人體視為長方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來記。由于人身體的表面非常復(fù)雜,為了使問題簡化,假設(shè)將人視為長方體.1建模準(zhǔn)備2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時來描述，降3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時間降雨強(qiáng)度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡可能快跑能減少淋雨量。3模型建立與計算1）不考慮雨的方向，此時，你的前后左右和上從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問題過于簡化。從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041（升）。原因：不考慮2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。情形1結(jié)果表明情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計算得情形3此時，雨滴將從后面向你身上落下。情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時情出現(xiàn)這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上情形。因此，對于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動速度，即這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為出現(xiàn)這個矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對雨從當(dāng)行走速度慢再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應(yīng)該以此時，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下,這時的策略很簡單,應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下,你應(yīng)控制你在雨中的行走速度,讓它剛好等于落雨速度的水平分量。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的分類1.5數(shù)學(xué)模型與能力培養(yǎng)第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米）。航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和對于一

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建?！唇?shù)學(xué)模型。4.模型求解。5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應(yīng)當(dāng)借助計算機(jī)求出數(shù)值解。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資模型評價模型應(yīng)用模型檢驗?zāi)Ｐ驮u價模型應(yīng)用模型檢驗1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用分析與設(shè)計預(yù)報與決策控制與優(yōu)化規(guī)1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意，f()、g()至少一個為0數(shù)學(xué)問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)1.3.2商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.3如何預(yù)報人口的增長背景年16251830指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代可用于短期人口增長預(yù)測不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為2應(yīng)用領(lǐng)域人口,生態(tài),交通,環(huán)境,經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué),網(wǎng)絡(luò),微分方程,運(yùn)籌,隨機(jī)模型等表現(xiàn)特性描述,分析,預(yù)報,決策,控制等建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.4數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口,生態(tài),交通,環(huán)境,經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué),網(wǎng)絡(luò)①數(shù)學(xué)建模實踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè)時，又需要用到想象力和歸納簡化能力。②在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會在盡可能短的時間內(nèi)查到并學(xué)會想應(yīng)用的知識的本領(lǐng)。③還需要你多少要有點創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會。1.5

數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)開設(shè)數(shù)學(xué)建模課的主要目的為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的本領(lǐng)。撰寫論文的初步方法.數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù),不如說是一門藝術(shù).

技術(shù)大致有章可循,藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則.①數(shù)學(xué)建模實踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究示例:可口可樂飲料罐的形狀可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少?為什么?它們的形狀為什么是這樣的?示例:可口可樂飲料罐的形狀可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大數(shù)學(xué)建模-第一章-建立數(shù)學(xué)模型課件示例:

可口可樂飲料罐的形狀找一個雪碧飲料罐具體測量一下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米,胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升(即355立方厘米).根據(jù)有關(guān)的數(shù)據(jù),要求通過數(shù)學(xué)建模的方法來回答相關(guān)的問題.

示例:可口可樂飲料罐的形狀找一個雪碧飲料罐具體測量一下:它我們先看這樣的數(shù)學(xué)題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使用料最省，這時圓柱的直徑和高之比為多少?”(一般數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(極值問題)部分的一道例題).實際上,用幾何語言來表述就是:體積給定的圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?

我們先看這樣的數(shù)學(xué)題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為1:1表面積用S表示,體積用V表示,則,即圓柱的直徑和高之比為問題分析和模型假設(shè)飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內(nèi)體積一定時,求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上,飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.問題分析和模型假設(shè)飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.模型的建立

飲料罐的半徑為r(因此,直徑為2r),罐的高為.h罐內(nèi)體積為.V除頂蓋外的材料的厚度.b頂蓋的厚度為(頂蓋就能感覺到更硬)其中r,h是自變量,所用材料的體積SV是因變量,而b和V是固定參數(shù),是待定參數(shù)模型的建立飲料罐的半徑為r(因此,直徑為2r),飲料罐側(cè)面所用材料的體積

罐內(nèi)體積所用材料的體積頂蓋和底部所用材料飲料罐側(cè)面所用材料的體積罐內(nèi)體積所用材料的體積頂蓋和底

因,所以帶,的項可以忽略,所以,

這是極其重要的合理假設(shè)或簡化!

其中S是目標(biāo)函數(shù),是約束條件,V是已知的(即罐內(nèi)體積一定),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的r,h和使得r,h和測量結(jié)果吻合.這是一個求條件極值的問題.

因,所以帶,的項模型的求解從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題使原問題化為:求使S最小,即,求r使下式最小.模型的求解從約束中解出一個變量,化條件極值問題為求一元函數(shù)的求臨界點:令其導(dǎo)數(shù)為零得測量數(shù)據(jù)為,即即頂蓋厚度是其他材料厚度3倍

本題還可Lagrange乘子法來解(增加一個變量化條件極值問題為多元函數(shù)無條件極值問題)求臨界點:令其導(dǎo)數(shù)為零得測量數(shù)據(jù)為模型驗證及進(jìn)一步的分析

有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其體積為裝不下那么多飲料，為什么？模型到底對不對？模型驗證及進(jìn)一步的分析有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚實際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米,下底半徑為3.3厘米,高為1厘米的錐臺,二是半徑為3.3厘米,高為10.2厘米的圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米.測量結(jié)果為:未打開罐時飲料罐的重量為370克,倒出來的可樂確實重355克,空的飲料罐重量為15克,裝滿水的飲料罐重量為380克.這和我們的近似計算380.2立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料(365克),而是留有10立方厘米的空間余量.實際上,飲料罐的形狀是左平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體.測進(jìn)一步討論此外,諸如底部的形狀,上拱的底面,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱,頂蓋實際上是半徑為3+0.4+0.2=3.6厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為0.3,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐壓.所有這些都