多旋翼無人機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)課件第六章教學(xué)課件

多旋翼無人機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)

（6）符長(zhǎng)青博士多旋翼無人機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)

（6）1多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的定義

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是一門在多旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)中受到普遍重視且仍處于不斷發(fā)展中的學(xué)科，它主要研究多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)、自由振動(dòng)和動(dòng)穩(wěn)定性，不考慮空氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)的彈性力、阻尼力和慣性力之間的相互作用，如果涉及空氣動(dòng)力，也只把它作為與結(jié)構(gòu)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)無關(guān)的外力對(duì)待，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究氣動(dòng)彈性響應(yīng)的基礎(chǔ)。

（1）結(jié)構(gòu)

（2）振動(dòng)

（3）結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)

（4）振動(dòng)固有特性結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)輸入（激勵(lì)）輸出（響應(yīng)）多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的定義多旋2多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)目的

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的目的就是研究關(guān)于多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)振動(dòng)固有特性，它在外激勵(lì)作用下產(chǎn)生動(dòng)響應(yīng)的基本理論和分析方法，以使多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的動(dòng)力學(xué)特性。根據(jù)多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)輸入、輸出與系統(tǒng)特性三者之間的關(guān)系，可歸納為三類問題。

①響應(yīng)計(jì)算：已知激勵(lì)和系統(tǒng)模型求響應(yīng)，也稱正問題

②系統(tǒng)識(shí)別：已知激勵(lì)和響應(yīng)求系統(tǒng)特性，也稱參數(shù)識(shí)

別或稱為第一類逆問題。

③載荷識(shí)別：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵(lì)，也稱第二類逆

問題。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)目的多旋翼3多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)

（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題包含時(shí)間變量

靜載荷是不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)力，靜力問題具有單一的解答。動(dòng)力問題則不同，動(dòng)載荷（輸入）是隨時(shí)間變化的速變力，因此，在動(dòng)力分析中，輸入（激勵(lì)）的大小、方向甚至作用點(diǎn)，一般都是隨時(shí)間而變化的。這就決定了動(dòng)力系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）也隨時(shí)間而變化，使動(dòng)力問題不像靜力問題那樣具有單一的解答，我們必須在動(dòng)載荷作用的時(shí)間范圍內(nèi)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時(shí)間歷程。（2）慣性力的存在

結(jié)構(gòu)動(dòng)力的突出特征是存在振動(dòng)現(xiàn)象。在振動(dòng)過程中組成結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度，從而在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了慣性力。慣性力的存在是動(dòng)力學(xué)問題的又一特性。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，必須十分重視結(jié)構(gòu)的質(zhì)量大小與分布情況，注意研究振動(dòng)中慣性力的狀況。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題包含時(shí)間變量4多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方法

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究方法可分為分析的方法和試驗(yàn)的方法兩大類。對(duì)多旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)來說，兩種方法是相輔相成的，缺一不可。

（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)包括模態(tài)試驗(yàn)、動(dòng)力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)、模擬試驗(yàn)等。這些試驗(yàn)既可以直接考核產(chǎn)品的動(dòng)力學(xué)性能，也為結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析提供必要的驗(yàn)證和數(shù)據(jù)。

（2）結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法是先確定外激勵(lì)的性質(zhì)、大小與變化規(guī)律，確定初始條件，再將它的實(shí)際結(jié)構(gòu)經(jīng)過去粗取精、去偽存真的過程，簡(jiǎn)化成結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型（物理模型），進(jìn)而研究建立起與之相應(yīng)的振動(dòng)微分方程（運(yùn)動(dòng)方程），即數(shù)學(xué)模型。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方法多5多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型

由于多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)同其他學(xué)科一樣，不可能將原始結(jié)構(gòu)拿來分析計(jì)算，必須根據(jù)分析的目的、要求的計(jì)算精度、結(jié)構(gòu)的受力、傳力特點(diǎn)、現(xiàn)有的計(jì)算條件來分析結(jié)構(gòu)各部分在振動(dòng)中的作用，綜合簡(jiǎn)化成正確反映結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的力學(xué)（物理）模型即分析模型。

一般說來，力學(xué)模型可分為連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)或稱集中參數(shù)系統(tǒng)模型，實(shí)際模型有時(shí)還可能是它們的復(fù)合模型。同一實(shí)際結(jié)構(gòu)，根據(jù)分析的目的、內(nèi)容、精度要求，可以簡(jiǎn)化成不同的模型。除了外激勵(lì)外，構(gòu)成結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型還必須包含質(zhì)量、彈性、阻尼三大要素。對(duì)于集中質(zhì)量系統(tǒng)，這些要素可以具體化為質(zhì)量件、彈性件與阻尼件。

（1）質(zhì)量件是離散系統(tǒng)中產(chǎn)生慣性力、儲(chǔ)存動(dòng)能的功能件，通常假定它是剛體，它具有慣性。

（2）彈性件是系統(tǒng)中產(chǎn)生彈性恢復(fù)力、提供結(jié)構(gòu)剛度、儲(chǔ)存勢(shì)能的功能件，一般假定它的質(zhì)量略去不計(jì)。

（3）阻尼件是系統(tǒng)中產(chǎn)生阻尼力，使能量從動(dòng)力系統(tǒng)中耗散出去的功能件。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型由于6多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（1）

1．按照振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)目分類

結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的自由度是指在振動(dòng)過程的任何瞬時(shí)，為完全確定系統(tǒng)所處的空間位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所必需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。

（1）單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

（2）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

（3）連續(xù)體振動(dòng)多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（1）1．按照振動(dòng)系統(tǒng)的自7多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（2）

2．按照振動(dòng)的輸入特性（激勵(lì)）或控制方式分類

（1）自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受初始干擾產(chǎn)生的振動(dòng)，或者外激勵(lì)力消失

后存在的振動(dòng)。

（2）自激振動(dòng)：沒有周期外力作用下，由系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)及反饋的相互

作用而產(chǎn)生的穩(wěn)定周期振動(dòng)。自由振動(dòng)和自激振動(dòng)

的區(qū)別在于，自由振動(dòng)的激勵(lì)來自外界，只在初始受

激勵(lì)；而自激振動(dòng)的激勵(lì)來自自身，并一直存在。

（3）強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下被迫產(chǎn)生的振動(dòng)。

（4）參數(shù)振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身參數(shù)變化激發(fā)的振動(dòng)。

（5）共振：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所受激勵(lì)的頻率與該系統(tǒng)某階固有頻率相接近時(shí)，

系統(tǒng)振幅顯著增大的現(xiàn)象。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（2）2．按照振動(dòng)的輸入特性（激8多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（3）

3．按照振動(dòng)的輸出（響應(yīng)）性質(zhì)分類

（1）確定性振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性是確定性的，

不論它是常參數(shù)系統(tǒng)還是變參數(shù)系統(tǒng)，在

受到確定性激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)也是確定性的，

包括簡(jiǎn)諧振動(dòng)、周期振動(dòng)、瞬態(tài)振動(dòng)等。

（2）隨機(jī)振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在受到隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，

系統(tǒng)的響應(yīng)亦將是隨機(jī)的。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（3）3．按照振動(dòng)的輸出（響9多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（4）

4．按照系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分類

（1）周期振動(dòng)：振動(dòng)量（如位移、速度、加速度等）是

時(shí)間的周期函數(shù)。

（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)：振動(dòng)量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)的周期

振動(dòng)，是最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)。

（3）非周期振動(dòng)和瞬態(tài)振動(dòng)：非周期振動(dòng)的振動(dòng)量是

時(shí)間的非周期函數(shù)，如果這種振動(dòng)只在很短的時(shí)間內(nèi)

存在，則稱為瞬態(tài)振動(dòng)。

（4）隨機(jī)振動(dòng)：振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)，因而不

能預(yù)測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行研究。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（4）4．按照系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)10多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（5）

5．按照系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分類

（1）線性振動(dòng)：線性振動(dòng)是系統(tǒng)內(nèi)的恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)位移、速度和加速度成線性關(guān)系的振動(dòng)，可用常系數(shù)線性微分方程來描述。線性振動(dòng)疊加原理成立，系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率及模態(tài)是系統(tǒng)所固有的，其特性不隨時(shí)間改變。

（2）非線性振動(dòng)：非線性振動(dòng)是系統(tǒng)內(nèi)的恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)位移、速度和加速度有一組以上不成線性關(guān)系時(shí)的振動(dòng)，微分方程中將出現(xiàn)非線性項(xiàng)。疊加原理不成立。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（5）5．按照系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分11多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（6）

6．按振動(dòng)位移的特征分類

（1）直線振動(dòng)：直線振動(dòng)的特征是振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)軌跡是直線。

（2）圓振動(dòng)：圓振動(dòng)的特征是振動(dòng)上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

為圓弧線。

（3）彎曲振動(dòng)：彎曲振動(dòng)是指振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)沿軸方向

振動(dòng)的縱向振動(dòng)和振動(dòng)體上做垂直于軸方向振動(dòng)

的橫向振動(dòng)。

（4）扭轉(zhuǎn)振動(dòng)：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是指振動(dòng)體上的質(zhì)點(diǎn)只作繞

軸線的振動(dòng)，也稱之為角振動(dòng)。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（6）6．按振動(dòng)位移的12簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方法

簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用正弦或余弦函數(shù)表示，如圖所示，其典型的運(yùn)動(dòng)方程為

式中簡(jiǎn)諧振動(dòng)三要素（振幅、頻率、初相位）分別是：A為

振幅，表示振動(dòng)中的最大位移量；??初相位；ω0圓頻率或角

頻率，表示頻率f的2π倍，單位為弧度/秒(rad/s)；T=1/f為周期ω0=2πf=2π/T簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以13簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)數(shù)表示方法

根據(jù)復(fù)數(shù)的矢量表示法，在復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)數(shù)Z代表該復(fù)平面(Re，Im)上的一個(gè)矢量，如圖矢量0P所示。圖中Re表示實(shí)軸，Im表示虛軸，矢量的模就是復(fù)數(shù)Z的模A，其位置由復(fù)角θ確定。如果矢量0P繞0點(diǎn)以等角速度ω在復(fù)平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，就是一復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量。它在任一瞬時(shí)的復(fù)角θ=ωt，則復(fù)數(shù)Z的表達(dá)式為

式中i為虛軸的單位長(zhǎng)度，即

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)z所代表的復(fù)旋轉(zhuǎn)矢量來表示。簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)數(shù)表示方法根據(jù)復(fù)數(shù)的矢量表14簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度仍然為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

式中u(t)和

分別表示速度、加速度，簡(jiǎn)諧振動(dòng)加速度的大小與位移成正比而方向相反，始終指向振動(dòng)的靜平衡位置。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度仍15無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)不存在阻尼，沒有能量損耗，只受到重力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)作用，故屬于保守系統(tǒng)，一旦振動(dòng)起來，將永遠(yuǎn)振動(dòng)下去。現(xiàn)取質(zhì)量為m的質(zhì)量件的靜平衡位置為獨(dú)立坐標(biāo)原點(diǎn)，建立線位移x坐標(biāo)系（向下為正），λ靜位移，彈簧剛度為k。單自由度系統(tǒng)固有振動(dòng)或無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

二階齊次常系數(shù)線性微分方程

其通解為無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程無16無阻尼單自由度系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率因?yàn)橥l率簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其通解可寫成式中可得到無阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)固有圓頻率（單位是rad/s）為固有頻率（單位是Hz）為無阻尼單自由度系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率因?yàn)橥l率簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和仍為同頻17無阻尼自由振動(dòng)的特性（1）單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率只與系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（彈性和慣性）有關(guān)，故稱為系統(tǒng)的固有頻率。（2）剛度相同的兩個(gè)單自由度系統(tǒng)，其固有頻率隨質(zhì)量的增大而減小；質(zhì)量相同的兩個(gè)系統(tǒng)，其固有頻率隨系統(tǒng)剛度的增大而增大。（3）系統(tǒng)的初始條件對(duì)系統(tǒng)固有頻率沒有影響，而振幅X與初相位φ均由初始條件決定。振幅和初相位都決定于初始條件，這是自由振動(dòng)的共同特性。（4）數(shù)值不變的常力（如重力W）作用在系統(tǒng)上，只改變系統(tǒng)的平衡位置，而不影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動(dòng)固有特性。無阻尼自由振動(dòng)的特性（1）單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振18旋翼的結(jié)構(gòu)型式（1）鉸接式（2）半鉸接式：萬向接頭式和蹺蹺板式（3）無鉸式（4）無軸承式（5）空氣螺旋槳式旋翼的結(jié)構(gòu)型式（1）鉸接式19旋翼槳葉的外形和材料（1）槳葉氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)①翼型②先進(jìn)的槳尖形狀（2）槳葉的結(jié)構(gòu)型式及材料①金屬槳葉：上世紀(jì)50～60年代，使用壽命可達(dá)1000小時(shí)

②復(fù)合材料槳葉：上世紀(jì)70年代以后，旋翼采用復(fù)合材料槳葉。經(jīng)過優(yōu)化的槳葉懸停效率可達(dá)到0.8，旋翼升阻比達(dá)到10.5，功率減少10%。旋翼槳葉的外形和材料（1）槳葉氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)20旋翼槳葉揮舞方向彎曲振動(dòng)

假設(shè)旋翼槳葉為繞y軸旋轉(zhuǎn)的梁，該旋轉(zhuǎn)梁剖面dr在離心力N和氣動(dòng)力載荷T作用下，利用牛頓法（力平衡法）得到槳葉揮舞平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)方程。如果槳葉氣動(dòng)力載荷T=0，可得到旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)方程

式中EJβ為槳葉剖面揮舞彎曲剛度，m為槳葉單位長(zhǎng)度質(zhì)量，y為槳葉揮舞變形。其中為槳葉剖面r承受的離心力。應(yīng)用分離變量法及固有振型正交性可得出積分表達(dá)式：

式中yi為i階振型函數(shù)；ωβi為

i階振動(dòng)固有頻率。ΩRryrNdrTy旋翼槳葉揮舞方向彎曲振動(dòng)假設(shè)旋翼槳21槳葉揮舞彎曲振動(dòng)頻率第i階振型的頻率ωi

式中Ki、Mi分別為第i階振動(dòng)模態(tài)的廣義剛度和廣義質(zhì)量。其中廣義剛度為

式中右端第一項(xiàng)為彈性剛度，第二項(xiàng)為離心力剛度：第i階振動(dòng)模態(tài)的廣義質(zhì)量為

槳葉揮舞彎曲振動(dòng)頻率第i階振型的頻率ωi22槳葉揮舞彎曲振動(dòng)邊界條件旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)微分方程的邊界條件：①鉸接式：

②無鉸式：

槳葉揮舞彎曲振動(dòng)邊界條件旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)微分方程的邊界23旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)特點(diǎn)①鉸接式：0階振型是一條直線，振型隨轉(zhuǎn)速變化。②無鉸式：其一階振型對(duì)應(yīng)鉸接式零階、二階振型對(duì)應(yīng)鉸接式一階，區(qū)別在槳葉根部：鉸接式根部鉸支，而無鉸式及無軸承式根部固支，模態(tài)彎矩根部最大旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)特點(diǎn)①鉸接式：0階振型是一條直線，振型隨24旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算

鉸接式0階振動(dòng)頻率：旋翼槳葉是剛體揮舞，基階模態(tài)的固有頻率為：

式中l(wèi)pj、Mpj、Ipj分別為揮舞鉸外伸量、繞揮舞鉸的質(zhì)量靜矩及慣矩。

當(dāng)揮舞鉸外伸量lpj=0時(shí)（中心鉸），如翹翹板式旋翼，ωβ0=1Ω。當(dāng)揮舞鉸外伸量lpj>0時(shí)，由于構(gòu)造上的限制，揮舞鉸外伸量不可能太大，即使是帶彈性鉸的旋翼一般lpj/R也不超過5%，所以，鉸接式旋翼槳葉ωβ0=1Ω~1.04Ω，,一般不會(huì)超過1.04Ω。旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算鉸接式0階振動(dòng)頻率：25旋翼槳葉擺振方向彎曲振動(dòng)

槳葉氣動(dòng)阻力TC=0，可得槳葉擺振面內(nèi)自由振動(dòng)微分方程

式中X為旋轉(zhuǎn)面振動(dòng)位移，J??為槳葉剖面慣性矩，i階固有頻率為ωξi，利用分離變量、固有振型正交性，得能量方程（積分表達(dá)式）及固有頻率：

式中αi表示彈性變形位能與離心力位能之比。槳葉擺振第0階固有頻率：

式中l(wèi)cj為擺振鉸外伸量，Mcj為槳葉繞垂直鉸質(zhì)量靜矩，Icj為槳葉繞垂直鉸質(zhì)量慣矩。顯然，擺振鉸外伸量越大，槳葉擺振頻率越大。旋翼槳葉擺振方向彎曲振動(dòng)槳葉氣動(dòng)阻力TC=0，可26槳葉繞軸向鉸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程

旋翼槳葉的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)除作用有慣性力矩、結(jié)構(gòu)彈性回復(fù)力矩外，還有離心力引起的回復(fù)力矩，即槳葉上的離心力也附加了剛度。槳葉繞軸向鉸軸線的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為

式中GJnz為槳葉剖面扭轉(zhuǎn)剛度，Inz為槳葉單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣矩，φ為槳葉扭轉(zhuǎn)角位移，InzΩ2φ項(xiàng)是離心力回復(fù)力矩。槳葉繞軸向鉸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程旋翼槳葉的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)27旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程

用分離變量法求解扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)微分方程，得扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程

式中ωi為槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率。旋轉(zhuǎn)槳葉的扭轉(zhuǎn)固有頻率的平方等于不旋轉(zhuǎn)槳葉扭轉(zhuǎn)固有頻率平方與旋翼轉(zhuǎn)速平方之和。

旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程用分離變量法求解扭轉(zhuǎn)28旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特點(diǎn)

（1）離心力影響小。（2）槳葉根部受槳距操縱線系的彈性約束，彈性變

形位能包括槳距操縱線系部分，而且槳距操縱

線系剛度是主要的。必須指出，旋翼各片槳葉

扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可以受不同槳距操縱線系約束，不同

線系的剛度不同，扭轉(zhuǎn)頻率也不同。（3）槳葉旋轉(zhuǎn)與不旋轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)振型相同。旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特點(diǎn)（1）離心力影響小。29旋翼槳葉共振圖

共振圖上槳葉各階固有頻率與轉(zhuǎn)速整倍數(shù)的交點(diǎn)即是共振點(diǎn)，為了避免發(fā)生共振，旋翼工作轉(zhuǎn)速必須避開所有的共振點(diǎn)。旋翼槳葉共振圖共振圖上槳葉各階固有頻率與轉(zhuǎn)速整倍數(shù)30多旋翼無人機(jī)旋翼整體振型1．集合型振動(dòng)模態(tài)：旋翼集合型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間相位差為零（或2π的整數(shù)倍數(shù)），也就是說振動(dòng)是同相的。2．后退型振動(dòng)模態(tài)：旋翼后退型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間的相位順旋翼旋轉(zhuǎn)方向依次遞增2π／k（k為槳葉片數(shù)），對(duì)于四葉旋翼也就是依次遞增π／2。這種振型的幾何圖像也有明顯的特點(diǎn)，槳葉揮舞振動(dòng)時(shí)，各片槳葉的槳尖處在一個(gè)傾斜的平面（槳尖平面）中。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，槳尖平面保持其傾斜角不變而以與葉振動(dòng)角頻率ω相同的角速度繞旋翼軸線逆旋翼旋轉(zhuǎn)方向而轉(zhuǎn)動(dòng)，即槳尖平面最高點(diǎn)以角速度ω逆旋翼旋轉(zhuǎn)方向而轉(zhuǎn)動(dòng)。3．前進(jìn)型振動(dòng)模態(tài)：旋翼前進(jìn)型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間的相位順旋翼旋轉(zhuǎn)方向依次遞減2π/k，對(duì)于四槳葉旋翼也就是依次遞減π/2。這種振型的幾何特點(diǎn)與后退型相類似，區(qū)別只在于對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系前進(jìn)型是順旋翼旋轉(zhuǎn)方向以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，這也就是前進(jìn)型取名的由來，而對(duì)于固定坐標(biāo)系前進(jìn)型就以角速度（ω+Ω）順旋翼轉(zhuǎn)向而轉(zhuǎn)動(dòng)。4．無反作用型振動(dòng)模態(tài)：旋翼無反作用型振動(dòng)模態(tài)對(duì)于四槳葉旋翼各片槳葉之間的相位依次遞增（或減）π。由于兩對(duì)槳葉的振動(dòng)是反相的，所以旋翼以這種振型振動(dòng)時(shí)對(duì)于旋翼支持系統(tǒng)沒有反作用力。無反作用型的擺振振動(dòng)槳葉的運(yùn)動(dòng)類似子剪刀的運(yùn)動(dòng)，因而又可以稱為“剪刀型”振型。多旋翼無人機(jī)旋翼整體振型1．集合型振動(dòng)模態(tài)：旋翼集合型振動(dòng)模31旋翼整體振型的特點(diǎn)（1）旋翼整體振型的數(shù)目總是與槳葉片數(shù)相同的。對(duì)于三葉旋翼就只可能有集合型、后退型及前進(jìn)型這三種振型。對(duì)于五葉旋翼，則除了集合型、后退型及前進(jìn)型之外，還存在兩種所謂“翹曲型”振型，這兩種振型同樣也不對(duì)旋翼支持系統(tǒng)引起反作用力。（2）不同的旋翼振型與旋翼交承系統(tǒng)的耦合關(guān)系也不同。①無反作用型不存在耦合問題，其固有特性可以認(rèn)為與孤立槳葉相同。②集合型的揮舞振動(dòng)旋翼對(duì)旋翼支承系統(tǒng)的作用力是垂直方向的，會(huì)與

包括機(jī)體在內(nèi)的旋翼支持系統(tǒng)在槳轂中心處有垂直運(yùn)動(dòng)的振型發(fā)生耦

合。集合型的擺振振動(dòng)會(huì)與旋翼軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)發(fā)生耦合。③后退型或前進(jìn)型擺振振動(dòng)在槳轂中心處作用有縱向及橫向的水平力，

這種振型也就會(huì)與槳轂中心處有水平運(yùn)動(dòng)的機(jī)體振型發(fā)生耦合。④無鉸式旋翼及水平鉸外移量不等于零的鉸接式旋翼其后退型或前進(jìn)型

的揮舞振動(dòng)會(huì)在槳轂中心處引起縱向及橫向的力矩，也就會(huì)與相應(yīng)的

機(jī)體振型發(fā)生耦合。（3）有幾個(gè)旋翼整體振型也就會(huì)有幾個(gè)不同的固有特性。旋翼整體振型的特點(diǎn)（1）旋翼整體振型的數(shù)目總是與槳葉片數(shù)相同32多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速定義

當(dāng)多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)在發(fā)動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)本身總會(huì)存在一些微小的質(zhì)量不平衡（例如，轉(zhuǎn)軸的質(zhì)心軸線偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸線）和初始彎曲變形，在這些動(dòng)不平衡因素的作用下就會(huì)產(chǎn)生以離心力為表征的周期性干擾力，從而引起傳動(dòng)軸的橫向彎曲振動(dòng)。如果這種強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率與傳動(dòng)軸的彎曲固有頻率接近或相等時(shí)，就出現(xiàn)了共振現(xiàn)象，產(chǎn)生共振現(xiàn)象時(shí)傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速就是臨界轉(zhuǎn)速。

多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與其結(jié)構(gòu)零部件材料的彈性特性、傳動(dòng)軸系的形狀和尺寸、支撐形式和零部件質(zhì)量等有關(guān)。理論上傳動(dòng)系統(tǒng)有無窮多個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，因?yàn)閭鲃?dòng)軸在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中總會(huì)發(fā)生振動(dòng)，其振動(dòng)固有頻率和振型的數(shù)值由小到大可分解為一階、二階、三階直到n階。多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速定義當(dāng)33傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)方式

在傳動(dòng)系統(tǒng)的橫向彎曲振動(dòng)設(shè)計(jì)上，必須在傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)充分地避開任何橫向彎曲的頻率。

（1）亞臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)最低階臨界轉(zhuǎn)速高于最大工作轉(zhuǎn)速，并留有一定余量。采用亞臨界設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是其固有的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便性，因?yàn)閬喤R界軸系經(jīng)檢驗(yàn)是可靠的，除了需要進(jìn)行平衡調(diào)整來減小振動(dòng)外，并無其他的動(dòng)力學(xué)問題。缺點(diǎn)是傳動(dòng)軸系笨重龐大，且不適合于高轉(zhuǎn)速下工作。

（2）超臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速在一階和二階臨界轉(zhuǎn)速之間

（3）高超臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速在二階和三階臨界轉(zhuǎn)速之間

超臨界設(shè)計(jì)和高超臨界設(shè)計(jì)方案的優(yōu)點(diǎn)是可讓傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，振動(dòng)更小，從而減輕重量；傳動(dòng)軸質(zhì)心更趨于接近旋轉(zhuǎn)中心，需要的支撐彈性剛度更小，對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的敏感性更低等。因此這兩種設(shè)計(jì)方式目前已成為一種趨勢(shì)。傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)方式在傳動(dòng)系統(tǒng)34超臨界和高超臨界設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)1、附加外部阻尼器：超臨界設(shè)計(jì)和高超臨界設(shè)計(jì)的傳動(dòng)軸系不僅要求有較大的臨界轉(zhuǎn)速裕度，而且在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中必須滿足苛刻的振動(dòng)限制條件要求，以保證有足夠的疲勞壽命，因此需要首先為傳動(dòng)系統(tǒng)提供外部阻尼器，然后在系統(tǒng)啟動(dòng)階段很快地通過低階臨界轉(zhuǎn)速。2、穩(wěn)定性條件：由于超臨界和高超臨界傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部阻尼會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定問題，為了消除這種不穩(wěn)定性，系統(tǒng)在超臨界和高超臨界轉(zhuǎn)速下，對(duì)于傳動(dòng)軸的第i階橫向振動(dòng)模態(tài)，該運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的條件為：

式中ωi第i階橫向彎曲模態(tài)固有頻率，ζ1無外部阻尼時(shí)傳動(dòng)軸橫向彎曲模態(tài)的阻尼比，ζ2有外部阻尼時(shí)傳動(dòng)軸橫向彎曲模態(tài)的阻尼比，ζint內(nèi)阻尼比，ζext外阻尼比，Ω?jìng)鲃?dòng)軸轉(zhuǎn)速。超臨界和高超臨界設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)1、附加外部阻尼器：超臨界設(shè)計(jì)和高35傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速和振型計(jì)算

多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速ωi和振型的計(jì)算

式中m為質(zhì)量，Ks為廣義總剛度系數(shù)。顯然，兩個(gè)支承的剛度系數(shù)K1的存在總使Ks減小，使傳動(dòng)軸的臨界轉(zhuǎn)速降低。當(dāng)K1無限增大時(shí)Ks=K（剛性支承）。

轉(zhuǎn)矩的存在會(huì)使傳動(dòng)軸的抗彎剛性降低，因而使臨界轉(zhuǎn)速下降。對(duì)于一階臨界轉(zhuǎn)速，修正公式為

式中ω10為無轉(zhuǎn)矩軸的臨界轉(zhuǎn)速；M為轉(zhuǎn)矩，M1為臨界轉(zhuǎn)矩，即在此轉(zhuǎn)矩作用下，傳動(dòng)軸將失穩(wěn)，撓度無限增加。傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速和振型計(jì)算多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)36傳動(dòng)軸段剛度表示法

計(jì)算其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)行當(dāng)量轉(zhuǎn)化后的軸段剛度稱為當(dāng)量剛度。當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是指系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)所具有的動(dòng)能與轉(zhuǎn)化前剛體旋轉(zhuǎn)所具有的動(dòng)能一樣，轉(zhuǎn)化后的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱為當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在一長(zhǎng)度為L(zhǎng)截面積慣性矩為Jp，材料剪切模量為G的軸段的兩端施以扭矩MK，則此軸段被扭轉(zhuǎn)的角度為?φ，它們的關(guān)系為

K（剛度）是表征軸段的物理性能的非向量參數(shù)，代表軸段被扭轉(zhuǎn)單位角度（弧度）時(shí)所需扭矩，單位N?m／rad。傳動(dòng)軸段剛度表示法計(jì)算其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)37.傳動(dòng)軸在串聯(lián)工作時(shí)總剛度表示法

傳動(dòng)軸在串聯(lián)工作時(shí)，在軸的兩端作用以扭矩MK則各軸段間的內(nèi)部彈性力矩均為MK。這時(shí)整根軸的總變形為

式中Ki表示各軸段的剛度。

這表明：一個(gè)軸段在串聯(lián)工作時(shí)總剛度的倒數(shù)為各個(gè)分軸段剛度倒數(shù)之和.傳動(dòng)軸在串聯(lián)工作時(shí)總剛度表示法38.實(shí)心錐形軸的剛度表示法

將錐形軸當(dāng)作無窮多個(gè)長(zhǎng)度為dx，直徑逐漸由d1增大到d2的圓柱形軸段串聯(lián)而成，應(yīng)用串聯(lián)軸段的剛度計(jì)算概念，可將dx軸段的剛度dKx積分而得錐形軸之剛度。對(duì)于鋼材料有

式中

，為了便于計(jì)算起見，ξ之?dāng)?shù)值根據(jù)不同的

作成曲線。.實(shí)心錐形軸的剛度表示法將錐形軸39.園柱孔錐形軸的剛度表示法

應(yīng)用串聯(lián)軸段的剛度計(jì)算概念，推導(dǎo)得到園柱孔錐形軸

段的扭轉(zhuǎn)剛度

式中d0為圓柱孔直徑，當(dāng)x=ɑ1和x=ɑ2時(shí)，函數(shù)f(ɑ1)和f(ɑ2)按曲線圖決定。.園柱孔錐形軸的剛度表示法應(yīng)用串聯(lián)軸段的剛度計(jì)40.彈性聯(lián)軸節(jié)的剛度表示法

大多數(shù)彈性聯(lián)軸節(jié)呈非線性，作為近似可把這條曲線分成兩部分，斜率比較低的為剛度K1，斜率較高的為剛度K2。實(shí)際計(jì)算時(shí)根據(jù)工作系統(tǒng)彈性聯(lián)軸節(jié)所傳遞的平均扭矩Mcp所對(duì)應(yīng)的那根曲線的直線段的剛度作為計(jì)算用的剛度，則振動(dòng)系統(tǒng)就成為線性的，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量。

對(duì)于設(shè)計(jì)階段，可以根據(jù)每個(gè)減振橡皮圈的尺寸和材料，按下列公式估算徑向（Y方向）的剛度KY

式中G為橡皮圈的剪切模量。一般彈性聯(lián)軸節(jié)是由幾個(gè)橡皮圈按半徑為R沿圓周均勻排列來傳遞扭矩，總的彈性聯(lián)軸節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度為：K=nR2KY。.彈性聯(lián)軸節(jié)的剛度表示法大多數(shù)彈41.傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)固有特性計(jì)算

以具有三片槳葉的旋翼為例，旋翼（三片槳葉）的動(dòng)能為：

式中Tye為旋翼（三片槳葉）的動(dòng)能，Igu為槳轂轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Iye為槳葉繞垂直餃軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（一片），S為槳葉繞垂直鉸軸線的靜矩（一片），Iye為槳葉繞旋翼軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（一片），lcj為垂直鉸外移量，φgu為槳轂后擺角，φye為槳葉繞垂直餃軸線的后擺角。

旋翼系統(tǒng)中槳葉的運(yùn)動(dòng)方程為：

槳轂的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中I3為槳葉等效到槳轂后的槳轂有效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

式中P為傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)頻率。.傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)固有特性計(jì)算以具有三片槳葉的旋翼為42.傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)共振圖各階激振力作用下的傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)共振圖.傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)共振圖各階激振力作用下的傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)共振圖43.多旋翼無人機(jī)機(jī)體結(jié)構(gòu)的構(gòu)件

（1）一維構(gòu)件：機(jī)體一維構(gòu)件的長(zhǎng)度比其截面尺寸要大得多，如桿、管、桁條、桁梁等，用它的沿長(zhǎng)度方向的坐標(biāo)即可確定其構(gòu)型。

（2）二維構(gòu)件：機(jī)體二維構(gòu)件的厚度比其長(zhǎng)寬尺寸要小得多，如蒙皮、薄板等，用它的面內(nèi)長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向的坐標(biāo)即可確定其構(gòu)型。

（3）三維構(gòu)件：機(jī)體三維構(gòu)件即是指一般的立體構(gòu)件，三個(gè)方向尺寸相當(dāng)，如厚板、實(shí)體等，它用三維空間坐標(biāo)來確定其構(gòu)型。

機(jī)體構(gòu)件的組合稱之為部件，又稱為子結(jié)構(gòu)。例如隔框是一種二維的平面部件，它是由桁條、蒙皮等構(gòu)件組成的平面薄壁結(jié)構(gòu)。一段機(jī)身則是一種三維的空間部件，它是由長(zhǎng)桁、桁粱，隔框、蒙皮等構(gòu)件組成的空間薄壁結(jié)構(gòu)。.多旋翼無人機(jī)機(jī)體結(jié)構(gòu)的構(gòu)件（1）一維構(gòu)44.機(jī)體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)

1、機(jī)體結(jié)構(gòu)的構(gòu)型是由一個(gè)復(fù)雜的有界、連續(xù)、三維空間給出的，它所充滿的空間是連續(xù)的，無間隙的。當(dāng)機(jī)體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移后，它的構(gòu)型仍是連續(xù)的，所產(chǎn)生的變形是協(xié)調(diào)的，不會(huì)產(chǎn)生間隙，即可假設(shè)認(rèn)為構(gòu)型和變形具有連續(xù)性和協(xié)調(diào)性。

2、機(jī)體構(gòu)件是由某種具有一定力學(xué)性能的材料組成，宏觀地說，材料是均勻的，即各處材料的性能皆相同。對(duì)于金屬材料，它還具有各向同性性質(zhì)，即材料在不同方向上的性能也相同。但對(duì)復(fù)合材料，這種均勻性和各向同性性質(zhì)往往不再存在，先進(jìn)的層迭復(fù)合材料具有明顯的方向性，呈現(xiàn)出各向異性性質(zhì)。3、材料的力學(xué)性能可采用線彈性假設(shè)，材料是在小應(yīng)變范圍內(nèi)，產(chǎn)生的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義虎克定律，這是力學(xué)性能（物理）上的線性假設(shè)。.機(jī)體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)1、機(jī)體結(jié)構(gòu)的45.機(jī)體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型和研究方法1．機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是由它的剛度特性、慣性特性與阻尼特性所決定，在線性假設(shè)下，它的數(shù)學(xué)模型可表示為

式中M、C、K為機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，x為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)為作用在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的激振力列陣。2．機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方法

（1）分析建模：分析建模是建立在有限元法基礎(chǔ)上。

（2）試驗(yàn)建模：試驗(yàn)建模是建立在響應(yīng)的離散時(shí)間序列基礎(chǔ)之上，它通進(jìn)實(shí)測(cè)響應(yīng)，采集其時(shí)間序列，采用各種數(shù)據(jù)處理方法，包括予處理、譜分析和時(shí)序分析等手段，以及采用模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)來獲取模態(tài)信息，建立數(shù)學(xué)模型。.機(jī)體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型和研究方法1．機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型46.機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)線性理論

機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是產(chǎn)生機(jī)體動(dòng)力學(xué)問題的內(nèi)在因素。機(jī)體結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)可以用應(yīng)變能密度加以描述。機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的應(yīng)變能為：

式中E為材料彈性模量，εij為應(yīng)變張量，dV為微分體積。

結(jié)構(gòu)的慣性性質(zhì)用動(dòng)能描述，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)能為：

式中

i為速度向量，ρ為密度。

結(jié)構(gòu)阻尼機(jī)理是一個(gè)復(fù)雜因素。但從能量觀點(diǎn)來說，它將耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所具有的機(jī)械能：位能和動(dòng)能之和。為便于分析，采用線性粘性阻尼模型，即阻尼力與運(yùn)動(dòng)速度大小成正比，與運(yùn)動(dòng)速度方向相反。.機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)線性理論機(jī)體結(jié)47.機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元法基本過程（1）結(jié)構(gòu)離散化：選擇適當(dāng)?shù)膯卧獙⒔Y(jié)構(gòu)離散化。按形狀可分為直線邊單元和曲線邊單元兩大類。（2）單元力學(xué)特性分析：為單元假定合理的近似位移函數(shù)。（3）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷：用等效節(jié)點(diǎn)載荷代替作用在單元上的載荷。（4）建立整體結(jié)構(gòu)的平衡方程：集合單元?jiǎng)偠染仃嚱M成總體剛度矩陣，集合等效的單元節(jié)點(diǎn)載荷列矢量來組成總體載荷列矢量，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程。（5）應(yīng)用位移邊界條件求解結(jié)構(gòu)平衡方程：以總體剛度矩陣為系數(shù)的線性方程組。求解該線性方程組，得到所有位置節(jié)點(diǎn)的位移。（6）計(jì)算單元應(yīng)變及單元應(yīng)力：機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析與靜力分析的過程基本相同，只是在分析過程中要考慮慣性力和阻尼力作用，建立的是有限元系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。.機(jī)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元法基本過程（1）結(jié)構(gòu)離散化：選擇適當(dāng)?shù)?8.機(jī)體結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)的有限元分析

機(jī)體結(jié)構(gòu)離散化為有限元模型后構(gòu)成為一個(gè)多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。無阻尼機(jī)體的數(shù)學(xué)模型是用下列矩陣方程表示

式中M、K為機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，u為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)為作用在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的激振力列陣。無阻尼情況下，在沒有任何外界的激勵(lì)作用時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)產(chǎn)生的固有振動(dòng)是由下列方程給出

由它所決定的固有振動(dòng)呈諧振動(dòng)形式，得特征方程

式中ω為機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率。由此，求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有振動(dòng)歸結(jié)為一個(gè)廣義特征問題。

式中ωi稱之為機(jī)體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i階固有頻率。

.機(jī)體結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)的有限元分析機(jī)49謝謝!

謝謝!

50多旋翼無人機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)

（6）符長(zhǎng)青博士多旋翼無人機(jī)技術(shù)基礎(chǔ)

（6）51多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的定義

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是一門在多旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)中受到普遍重視且仍處于不斷發(fā)展中的學(xué)科，它主要研究多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)、自由振動(dòng)和動(dòng)穩(wěn)定性，不考慮空氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)的彈性力、阻尼力和慣性力之間的相互作用，如果涉及空氣動(dòng)力，也只把它作為與結(jié)構(gòu)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)無關(guān)的外力對(duì)待，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究氣動(dòng)彈性響應(yīng)的基礎(chǔ)。

（1）結(jié)構(gòu)

（2）振動(dòng)

（3）結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)

（4）振動(dòng)固有特性結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)輸入（激勵(lì)）輸出（響應(yīng)）多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的定義多旋52多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)目的

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的目的就是研究關(guān)于多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)振動(dòng)固有特性，它在外激勵(lì)作用下產(chǎn)生動(dòng)響應(yīng)的基本理論和分析方法，以使多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)具有優(yōu)良的動(dòng)力學(xué)特性。根據(jù)多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)輸入、輸出與系統(tǒng)特性三者之間的關(guān)系，可歸納為三類問題。

①響應(yīng)計(jì)算：已知激勵(lì)和系統(tǒng)模型求響應(yīng)，也稱正問題

②系統(tǒng)識(shí)別：已知激勵(lì)和響應(yīng)求系統(tǒng)特性，也稱參數(shù)識(shí)

別或稱為第一類逆問題。

③載荷識(shí)別：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵(lì)，也稱第二類逆

問題。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)目的多旋翼53多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)

（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題包含時(shí)間變量

靜載荷是不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)力，靜力問題具有單一的解答。動(dòng)力問題則不同，動(dòng)載荷（輸入）是隨時(shí)間變化的速變力，因此，在動(dòng)力分析中，輸入（激勵(lì)）的大小、方向甚至作用點(diǎn)，一般都是隨時(shí)間而變化的。這就決定了動(dòng)力系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）也隨時(shí)間而變化，使動(dòng)力問題不像靜力問題那樣具有單一的解答，我們必須在動(dòng)載荷作用的時(shí)間范圍內(nèi)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的時(shí)間歷程。（2）慣性力的存在

結(jié)構(gòu)動(dòng)力的突出特征是存在振動(dòng)現(xiàn)象。在振動(dòng)過程中組成結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度，從而在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生了慣性力。慣性力的存在是動(dòng)力學(xué)問題的又一特性。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，必須十分重視結(jié)構(gòu)的質(zhì)量大小與分布情況，注意研究振動(dòng)中慣性力的狀況。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的特點(diǎn)（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題包含時(shí)間變量54多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方法

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究方法可分為分析的方法和試驗(yàn)的方法兩大類。對(duì)多旋翼無人機(jī)設(shè)計(jì)來說，兩種方法是相輔相成的，缺一不可。

（1）結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)包括模態(tài)試驗(yàn)、動(dòng)力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)、模擬試驗(yàn)等。這些試驗(yàn)既可以直接考核產(chǎn)品的動(dòng)力學(xué)性能，也為結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析提供必要的驗(yàn)證和數(shù)據(jù)。

（2）結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析

多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法是先確定外激勵(lì)的性質(zhì)、大小與變化規(guī)律，確定初始條件，再將它的實(shí)際結(jié)構(gòu)經(jīng)過去粗取精、去偽存真的過程，簡(jiǎn)化成結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型（物理模型），進(jìn)而研究建立起與之相應(yīng)的振動(dòng)微分方程（運(yùn)動(dòng)方程），即數(shù)學(xué)模型。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究方法多55多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型

由于多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)同其他學(xué)科一樣，不可能將原始結(jié)構(gòu)拿來分析計(jì)算，必須根據(jù)分析的目的、要求的計(jì)算精度、結(jié)構(gòu)的受力、傳力特點(diǎn)、現(xiàn)有的計(jì)算條件來分析結(jié)構(gòu)各部分在振動(dòng)中的作用，綜合簡(jiǎn)化成正確反映結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的力學(xué)（物理）模型即分析模型。

一般說來，力學(xué)模型可分為連續(xù)系統(tǒng)模型與離散系統(tǒng)或稱集中參數(shù)系統(tǒng)模型，實(shí)際模型有時(shí)還可能是它們的復(fù)合模型。同一實(shí)際結(jié)構(gòu)，根據(jù)分析的目的、內(nèi)容、精度要求，可以簡(jiǎn)化成不同的模型。除了外激勵(lì)外，構(gòu)成結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型還必須包含質(zhì)量、彈性、阻尼三大要素。對(duì)于集中質(zhì)量系統(tǒng)，這些要素可以具體化為質(zhì)量件、彈性件與阻尼件。

（1）質(zhì)量件是離散系統(tǒng)中產(chǎn)生慣性力、儲(chǔ)存動(dòng)能的功能件，通常假定它是剛體，它具有慣性。

（2）彈性件是系統(tǒng)中產(chǎn)生彈性恢復(fù)力、提供結(jié)構(gòu)剛度、儲(chǔ)存勢(shì)能的功能件，一般假定它的質(zhì)量略去不計(jì)。

（3）阻尼件是系統(tǒng)中產(chǎn)生阻尼力，使能量從動(dòng)力系統(tǒng)中耗散出去的功能件。多旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析模型由于56多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（1）

1．按照振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù)目分類

結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的自由度是指在振動(dòng)過程的任何瞬時(shí)，為完全確定系統(tǒng)所處的空間位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所必需的最少獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。

（1）單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

（2）多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

（3）連續(xù)體振動(dòng)多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（1）1．按照振動(dòng)系統(tǒng)的自57多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（2）

2．按照振動(dòng)的輸入特性（激勵(lì)）或控制方式分類

（1）自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受初始干擾產(chǎn)生的振動(dòng)，或者外激勵(lì)力消失

后存在的振動(dòng)。

（2）自激振動(dòng)：沒有周期外力作用下，由系統(tǒng)內(nèi)部激發(fā)及反饋的相互

作用而產(chǎn)生的穩(wěn)定周期振動(dòng)。自由振動(dòng)和自激振動(dòng)

的區(qū)別在于，自由振動(dòng)的激勵(lì)來自外界，只在初始受

激勵(lì)；而自激振動(dòng)的激勵(lì)來自自身，并一直存在。

（3）強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下被迫產(chǎn)生的振動(dòng)。

（4）參數(shù)振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身參數(shù)變化激發(fā)的振動(dòng)。

（5）共振：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所受激勵(lì)的頻率與該系統(tǒng)某階固有頻率相接近時(shí)，

系統(tǒng)振幅顯著增大的現(xiàn)象。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（2）2．按照振動(dòng)的輸入特性（激58多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（3）

3．按照振動(dòng)的輸出（響應(yīng)）性質(zhì)分類

（1）確定性振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性是確定性的，

不論它是常參數(shù)系統(tǒng)還是變參數(shù)系統(tǒng)，在

受到確定性激勵(lì)時(shí)，響應(yīng)也是確定性的，

包括簡(jiǎn)諧振動(dòng)、周期振動(dòng)、瞬態(tài)振動(dòng)等。

（2）隨機(jī)振動(dòng)：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在受到隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，

系統(tǒng)的響應(yīng)亦將是隨機(jī)的。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（3）3．按照振動(dòng)的輸出（響59多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（4）

4．按照系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分類

（1）周期振動(dòng)：振動(dòng)量（如位移、速度、加速度等）是

時(shí)間的周期函數(shù)。

（2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)：振動(dòng)量為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)的周期

振動(dòng)，是最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)。

（3）非周期振動(dòng)和瞬態(tài)振動(dòng)：非周期振動(dòng)的振動(dòng)量是

時(shí)間的非周期函數(shù)，如果這種振動(dòng)只在很短的時(shí)間內(nèi)

存在，則稱為瞬態(tài)振動(dòng)。

（4）隨機(jī)振動(dòng)：振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)，因而不

能預(yù)測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行研究。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（4）4．按照系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)60多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（5）

5．按照系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分類

（1）線性振動(dòng)：線性振動(dòng)是系統(tǒng)內(nèi)的恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)位移、速度和加速度成線性關(guān)系的振動(dòng)，可用常系數(shù)線性微分方程來描述。線性振動(dòng)疊加原理成立，系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率及模態(tài)是系統(tǒng)所固有的，其特性不隨時(shí)間改變。

（2）非線性振動(dòng)：非線性振動(dòng)是系統(tǒng)內(nèi)的恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)位移、速度和加速度有一組以上不成線性關(guān)系時(shí)的振動(dòng)，微分方程中將出現(xiàn)非線性項(xiàng)。疊加原理不成立。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（5）5．按照系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分61多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（6）

6．按振動(dòng)位移的特征分類

（1）直線振動(dòng)：直線振動(dòng)的特征是振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)軌跡是直線。

（2）圓振動(dòng)：圓振動(dòng)的特征是振動(dòng)上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

為圓弧線。

（3）彎曲振動(dòng)：彎曲振動(dòng)是指振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)沿軸方向

振動(dòng)的縱向振動(dòng)和振動(dòng)體上做垂直于軸方向振動(dòng)

的橫向振動(dòng)。

（4）扭轉(zhuǎn)振動(dòng)：扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是指振動(dòng)體上的質(zhì)點(diǎn)只作繞

軸線的振動(dòng)，也稱之為角振動(dòng)。多旋翼無人機(jī)振動(dòng)的類型（6）6．按振動(dòng)位移的62簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方法

簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用正弦或余弦函數(shù)表示，如圖所示，其典型的運(yùn)動(dòng)方程為

式中簡(jiǎn)諧振動(dòng)三要素（振幅、頻率、初相位）分別是：A為

振幅，表示振動(dòng)中的最大位移量；??初相位；ω0圓頻率或角

頻率，表示頻率f的2π倍，單位為弧度/秒(rad/s)；T=1/f為周期ω0=2πf=2π/T簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以63簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)數(shù)表示方法

根據(jù)復(fù)數(shù)的矢量表示法，在復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)數(shù)Z代表該復(fù)平面(Re，Im)上的一個(gè)矢量，如圖矢量0P所示。圖中Re表示實(shí)軸，Im表示虛軸，矢量的模就是復(fù)數(shù)Z的模A，其位置由復(fù)角θ確定。如果矢量0P繞0點(diǎn)以等角速度ω在復(fù)平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，就是一復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量。它在任一瞬時(shí)的復(fù)角θ=ωt，則復(fù)數(shù)Z的表達(dá)式為

式中i為虛軸的單位長(zhǎng)度，即

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)z所代表的復(fù)旋轉(zhuǎn)矢量來表示。簡(jiǎn)諧振動(dòng)復(fù)數(shù)表示方法根據(jù)復(fù)數(shù)的矢量表64簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度仍然為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

式中u(t)和

分別表示速度、加速度，簡(jiǎn)諧振動(dòng)加速度的大小與位移成正比而方向相反，始終指向振動(dòng)的靜平衡位置。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度仍65無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)不存在阻尼，沒有能量損耗，只受到重力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)作用，故屬于保守系統(tǒng)，一旦振動(dòng)起來，將永遠(yuǎn)振動(dòng)下去?，F(xiàn)取質(zhì)量為m的質(zhì)量件的靜平衡位置為獨(dú)立坐標(biāo)原點(diǎn)，建立線位移x坐標(biāo)系（向下為正），λ靜位移，彈簧剛度為k。單自由度系統(tǒng)固有振動(dòng)或無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

二階齊次常系數(shù)線性微分方程

其通解為無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程無66無阻尼單自由度系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率因?yàn)橥l率簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其通解可寫成式中可得到無阻尼單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)固有圓頻率（單位是rad/s）為固有頻率（單位是Hz）為無阻尼單自由度系統(tǒng)振動(dòng)固有頻率因?yàn)橥l率簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和仍為同頻67無阻尼自由振動(dòng)的特性（1）單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)頻率只與系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（彈性和慣性）有關(guān)，故稱為系統(tǒng)的固有頻率。（2）剛度相同的兩個(gè)單自由度系統(tǒng)，其固有頻率隨質(zhì)量的增大而減??；質(zhì)量相同的兩個(gè)系統(tǒng)，其固有頻率隨系統(tǒng)剛度的增大而增大。（3）系統(tǒng)的初始條件對(duì)系統(tǒng)固有頻率沒有影響，而振幅X與初相位φ均由初始條件決定。振幅和初相位都決定于初始條件，這是自由振動(dòng)的共同特性。（4）數(shù)值不變的常力（如重力W）作用在系統(tǒng)上，只改變系統(tǒng)的平衡位置，而不影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、固有頻率、振幅和初相位，即不影響系統(tǒng)的振動(dòng)固有特性。無阻尼自由振動(dòng)的特性（1）單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振68旋翼的結(jié)構(gòu)型式（1）鉸接式（2）半鉸接式：萬向接頭式和蹺蹺板式（3）無鉸式（4）無軸承式（5）空氣螺旋槳式旋翼的結(jié)構(gòu)型式（1）鉸接式69旋翼槳葉的外形和材料（1）槳葉氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)①翼型②先進(jìn)的槳尖形狀（2）槳葉的結(jié)構(gòu)型式及材料①金屬槳葉：上世紀(jì)50～60年代，使用壽命可達(dá)1000小時(shí)

②復(fù)合材料槳葉：上世紀(jì)70年代以后，旋翼采用復(fù)合材料槳葉。經(jīng)過優(yōu)化的槳葉懸停效率可達(dá)到0.8，旋翼升阻比達(dá)到10.5，功率減少10%。旋翼槳葉的外形和材料（1）槳葉氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)70旋翼槳葉揮舞方向彎曲振動(dòng)

假設(shè)旋翼槳葉為繞y軸旋轉(zhuǎn)的梁，該旋轉(zhuǎn)梁剖面dr在離心力N和氣動(dòng)力載荷T作用下，利用牛頓法（力平衡法）得到槳葉揮舞平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)方程。如果槳葉氣動(dòng)力載荷T=0，可得到旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)方程

式中EJβ為槳葉剖面揮舞彎曲剛度，m為槳葉單位長(zhǎng)度質(zhì)量，y為槳葉揮舞變形。其中為槳葉剖面r承受的離心力。應(yīng)用分離變量法及固有振型正交性可得出積分表達(dá)式：

式中yi為i階振型函數(shù)；ωβi為

i階振動(dòng)固有頻率。ΩRryrNdrTy旋翼槳葉揮舞方向彎曲振動(dòng)假設(shè)旋翼槳71槳葉揮舞彎曲振動(dòng)頻率第i階振型的頻率ωi

式中Ki、Mi分別為第i階振動(dòng)模態(tài)的廣義剛度和廣義質(zhì)量。其中廣義剛度為

式中右端第一項(xiàng)為彈性剛度，第二項(xiàng)為離心力剛度：第i階振動(dòng)模態(tài)的廣義質(zhì)量為

槳葉揮舞彎曲振動(dòng)頻率第i階振型的頻率ωi72槳葉揮舞彎曲振動(dòng)邊界條件旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)微分方程的邊界條件：①鉸接式：

②無鉸式：

槳葉揮舞彎曲振動(dòng)邊界條件旋轉(zhuǎn)槳葉的彎曲自由振動(dòng)微分方程的邊界73旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)特點(diǎn)①鉸接式：0階振型是一條直線，振型隨轉(zhuǎn)速變化。②無鉸式：其一階振型對(duì)應(yīng)鉸接式零階、二階振型對(duì)應(yīng)鉸接式一階，區(qū)別在槳葉根部：鉸接式根部鉸支，而無鉸式及無軸承式根部固支，模態(tài)彎矩根部最大旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)特點(diǎn)①鉸接式：0階振型是一條直線，振型隨74旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算

鉸接式0階振動(dòng)頻率：旋翼槳葉是剛體揮舞，基階模態(tài)的固有頻率為：

式中l(wèi)pj、Mpj、Ipj分別為揮舞鉸外伸量、繞揮舞鉸的質(zhì)量靜矩及慣矩。

當(dāng)揮舞鉸外伸量lpj=0時(shí)（中心鉸），如翹翹板式旋翼，ωβ0=1Ω。當(dāng)揮舞鉸外伸量lpj>0時(shí)，由于構(gòu)造上的限制，揮舞鉸外伸量不可能太大，即使是帶彈性鉸的旋翼一般lpj/R也不超過5%，所以，鉸接式旋翼槳葉ωβ0=1Ω~1.04Ω，,一般不會(huì)超過1.04Ω。旋翼槳葉彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算鉸接式0階振動(dòng)頻率：75旋翼槳葉擺振方向彎曲振動(dòng)

槳葉氣動(dòng)阻力TC=0，可得槳葉擺振面內(nèi)自由振動(dòng)微分方程

式中X為旋轉(zhuǎn)面振動(dòng)位移，J??為槳葉剖面慣性矩，i階固有頻率為ωξi，利用分離變量、固有振型正交性，得能量方程（積分表達(dá)式）及固有頻率：

式中αi表示彈性變形位能與離心力位能之比。槳葉擺振第0階固有頻率：

式中l(wèi)cj為擺振鉸外伸量，Mcj為槳葉繞垂直鉸質(zhì)量靜矩，Icj為槳葉繞垂直鉸質(zhì)量慣矩。顯然，擺振鉸外伸量越大，槳葉擺振頻率越大。旋翼槳葉擺振方向彎曲振動(dòng)槳葉氣動(dòng)阻力TC=0，可76槳葉繞軸向鉸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程

旋翼槳葉的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)除作用有慣性力矩、結(jié)構(gòu)彈性回復(fù)力矩外，還有離心力引起的回復(fù)力矩，即槳葉上的離心力也附加了剛度。槳葉繞軸向鉸軸線的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為

式中GJnz為槳葉剖面扭轉(zhuǎn)剛度，Inz為槳葉單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣矩，φ為槳葉扭轉(zhuǎn)角位移，InzΩ2φ項(xiàng)是離心力回復(fù)力矩。槳葉繞軸向鉸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程旋翼槳葉的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)77旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程

用分離變量法求解扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)微分方程，得扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程

式中ωi為槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率。旋轉(zhuǎn)槳葉的扭轉(zhuǎn)固有頻率的平方等于不旋轉(zhuǎn)槳葉扭轉(zhuǎn)固有頻率平方與旋翼轉(zhuǎn)速平方之和。

旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振型方程和頻率方程用分離變量法求解扭轉(zhuǎn)78旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特點(diǎn)

（1）離心力影響小。（2）槳葉根部受槳距操縱線系的彈性約束，彈性變

形位能包括槳距操縱線系部分，而且槳距操縱

線系剛度是主要的。必須指出，旋翼各片槳葉

扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可以受不同槳距操縱線系約束，不同

線系的剛度不同，扭轉(zhuǎn)頻率也不同。（3）槳葉旋轉(zhuǎn)與不旋轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)振型相同。旋翼槳葉扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特點(diǎn)（1）離心力影響小。79旋翼槳葉共振圖

共振圖上槳葉各階固有頻率與轉(zhuǎn)速整倍數(shù)的交點(diǎn)即是共振點(diǎn)，為了避免發(fā)生共振，旋翼工作轉(zhuǎn)速必須避開所有的共振點(diǎn)。旋翼槳葉共振圖共振圖上槳葉各階固有頻率與轉(zhuǎn)速整倍數(shù)80多旋翼無人機(jī)旋翼整體振型1．集合型振動(dòng)模態(tài)：旋翼集合型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間相位差為零（或2π的整數(shù)倍數(shù)），也就是說振動(dòng)是同相的。2．后退型振動(dòng)模態(tài)：旋翼后退型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間的相位順旋翼旋轉(zhuǎn)方向依次遞增2π／k（k為槳葉片數(shù)），對(duì)于四葉旋翼也就是依次遞增π／2。這種振型的幾何圖像也有明顯的特點(diǎn)，槳葉揮舞振動(dòng)時(shí)，各片槳葉的槳尖處在一個(gè)傾斜的平面（槳尖平面）中。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，槳尖平面保持其傾斜角不變而以與葉振動(dòng)角頻率ω相同的角速度繞旋翼軸線逆旋翼旋轉(zhuǎn)方向而轉(zhuǎn)動(dòng)，即槳尖平面最高點(diǎn)以角速度ω逆旋翼旋轉(zhuǎn)方向而轉(zhuǎn)動(dòng)。3．前進(jìn)型振動(dòng)模態(tài)：旋翼前進(jìn)型振動(dòng)模態(tài)各片槳葉之間的相位順旋翼旋轉(zhuǎn)方向依次遞減2π/k，對(duì)于四槳葉旋翼也就是依次遞減π/2。這種振型的幾何特點(diǎn)與后退型相類似，區(qū)別只在于對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系前進(jìn)型是順旋翼旋轉(zhuǎn)方向以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，這也就是前進(jìn)型取名的由來，而對(duì)于固定坐標(biāo)系前進(jìn)型就以角速度（ω+Ω）順旋翼轉(zhuǎn)向而轉(zhuǎn)動(dòng)。4．無反作用型振動(dòng)模態(tài)：旋翼無反作用型振動(dòng)模態(tài)對(duì)于四槳葉旋翼各片槳葉之間的相位依次遞增（或減）π。由于兩對(duì)槳葉的振動(dòng)是反相的，所以旋翼以這種振型振動(dòng)時(shí)對(duì)于旋翼支持系統(tǒng)沒有反作用力。無反作用型的擺振振動(dòng)槳葉的運(yùn)動(dòng)類似子剪刀的運(yùn)動(dòng)，因而又可以稱為“剪刀型”振型。多旋翼無人機(jī)旋翼整體振型1．集合型振動(dòng)模態(tài)：旋翼集合型振動(dòng)模81旋翼整體振型的特點(diǎn)（1）旋翼整體振型的數(shù)目總是與槳葉片數(shù)相同的。對(duì)于三葉旋翼就只可能有集合型、后退型及前進(jìn)型這三種振型。對(duì)于五葉旋翼，則除了集合型、后退型及前進(jìn)型之外，還存在兩種所謂“翹曲型”振型，這兩種振型同樣也不對(duì)旋翼支持系統(tǒng)引起反作用力。（2）不同的旋翼振型與旋翼交承系統(tǒng)的耦合關(guān)系也不同。①無反作用型不存在耦合問題，其固有特性可以認(rèn)為與孤立槳葉相同。②集合型的揮舞振動(dòng)旋翼對(duì)旋翼支承系統(tǒng)的作用力是垂直方向的，會(huì)與

包括機(jī)體在內(nèi)的旋翼支持系統(tǒng)在槳轂中心處有垂直運(yùn)動(dòng)的振型發(fā)生耦

合。集合型的擺振振動(dòng)會(huì)與旋翼軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)發(fā)生耦合。③后退型或前進(jìn)型擺振振動(dòng)在槳轂中心處作用有縱向及橫向的水平力，

這種振型也就會(huì)與槳轂中心處有水平運(yùn)動(dòng)的機(jī)體振型發(fā)生耦合。④無鉸式旋翼及水平鉸外移量不等于零的鉸接式旋翼其后退型或前進(jìn)型

的揮舞振動(dòng)會(huì)在槳轂中心處引起縱向及橫向的力矩，也就會(huì)與相應(yīng)的

機(jī)體振型發(fā)生耦合。（3）有幾個(gè)旋翼整體振型也就會(huì)有幾個(gè)不同的固有特性。旋翼整體振型的特點(diǎn)（1）旋翼整體振型的數(shù)目總是與槳葉片數(shù)相同82多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速定義

當(dāng)多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)在發(fā)動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)本身總會(huì)存在一些微小的質(zhì)量不平衡（例如，轉(zhuǎn)軸的質(zhì)心軸線偏離轉(zhuǎn)動(dòng)軸線）和初始彎曲變形，在這些動(dòng)不平衡因素的作用下就會(huì)產(chǎn)生以離心力為表征的周期性干擾力，從而引起傳動(dòng)軸的橫向彎曲振動(dòng)。如果這種強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率與傳動(dòng)軸的彎曲固有頻率接近或相等時(shí)，就出現(xiàn)了共振現(xiàn)象，產(chǎn)生共振現(xiàn)象時(shí)傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速就是臨界轉(zhuǎn)速。

多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速與其結(jié)構(gòu)零部件材料的彈性特性、傳動(dòng)軸系的形狀和尺寸、支撐形式和零部件質(zhì)量等有關(guān)。理論上傳動(dòng)系統(tǒng)有無窮多個(gè)臨界轉(zhuǎn)速，因?yàn)閭鲃?dòng)軸在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中總會(huì)發(fā)生振動(dòng)，其振動(dòng)固有頻率和振型的數(shù)值由小到大可分解為一階、二階、三階直到n階。多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速定義當(dāng)83傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)方式

在傳動(dòng)系統(tǒng)的橫向彎曲振動(dòng)設(shè)計(jì)上，必須在傳動(dòng)軸轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)充分地避開任何橫向彎曲的頻率。

（1）亞臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)最低階臨界轉(zhuǎn)速高于最大工作轉(zhuǎn)速，并留有一定余量。采用亞臨界設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是其固有的設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便性，因?yàn)閬喤R界軸系經(jīng)檢驗(yàn)是可靠的，除了需要進(jìn)行平衡調(diào)整來減小振動(dòng)外，并無其他的動(dòng)力學(xué)問題。缺點(diǎn)是傳動(dòng)軸系笨重龐大，且不適合于高轉(zhuǎn)速下工作。

（2）超臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速在一階和二階臨界轉(zhuǎn)速之間

（3）高超臨界設(shè)計(jì)：傳動(dòng)系統(tǒng)工作轉(zhuǎn)速在二階和三階臨界轉(zhuǎn)速之間

超臨界設(shè)計(jì)和高超臨界設(shè)計(jì)方案的優(yōu)點(diǎn)是可讓傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，振動(dòng)更小，從而減輕重量；傳動(dòng)軸質(zhì)心更趨于接近旋轉(zhuǎn)中心，需要的支撐彈性剛度更小，對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的敏感性更低等。因此這兩種設(shè)計(jì)方式目前已成為一種趨勢(shì)。傳動(dòng)軸臨界轉(zhuǎn)速設(shè)計(jì)方式在傳動(dòng)系統(tǒng)84超臨界和高超臨界設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)1、附加外部阻尼器：超臨界設(shè)計(jì)和高超臨界設(shè)計(jì)的傳動(dòng)軸系不僅要求有較大的臨界轉(zhuǎn)速裕度，而且在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中必須滿足苛刻的振動(dòng)限制條件要求，以保證有足夠的疲勞壽命，因此需要首先為傳動(dòng)系統(tǒng)提供外部阻尼器，然后在系統(tǒng)啟動(dòng)階段很快地通過低階臨界轉(zhuǎn)速。2、穩(wěn)定性條件：由于超臨界和高超臨界傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部阻尼會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定問題，為了消除這種不穩(wěn)定性，系統(tǒng)在超臨界和高超臨界轉(zhuǎn)速下，對(duì)于傳動(dòng)軸的第i階橫向振動(dòng)模態(tài)，該運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的條件為：

式中ωi第i階橫向彎曲模態(tài)固有頻率，ζ1無外部阻尼時(shí)傳動(dòng)軸橫向彎曲模態(tài)的阻尼比，ζ2有外部阻尼時(shí)傳動(dòng)軸橫向彎曲模態(tài)的阻尼比，ζint內(nèi)阻尼比，ζext外阻尼比，Ω?jìng)鲃?dòng)軸轉(zhuǎn)速。超臨界和高超臨界設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)1、附加外部阻尼器：超臨界設(shè)計(jì)和高85傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速和振型計(jì)算

多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速ωi和振型的計(jì)算

式中m為質(zhì)量，Ks為廣義總剛度系數(shù)。顯然，兩個(gè)支承的剛度系數(shù)K1的存在總使Ks減小，使傳動(dòng)軸的臨界轉(zhuǎn)速降低。當(dāng)K1無限增大時(shí)Ks=K（剛性支承）。

轉(zhuǎn)矩的存在會(huì)使傳動(dòng)軸的抗彎剛性降低，因而使臨界轉(zhuǎn)速下降。對(duì)于一階臨界轉(zhuǎn)速，修正公式為

式中ω10為無轉(zhuǎn)矩軸的臨界轉(zhuǎn)速；M為轉(zhuǎn)矩，M1為臨界轉(zhuǎn)矩，即在此轉(zhuǎn)矩作用下，傳動(dòng)軸將失穩(wěn)，撓度無限增加。傳動(dòng)軸系各階臨界轉(zhuǎn)速和振型計(jì)算多旋翼無人機(jī)傳動(dòng)86傳動(dòng)軸段剛度表示法

計(jì)算其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)行當(dāng)量轉(zhuǎn)化后的軸段剛度稱為當(dāng)量剛度。當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是指系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)所具有的動(dòng)能與轉(zhuǎn)化前剛體旋轉(zhuǎn)所具有的動(dòng)能一樣，轉(zhuǎn)化后的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱為當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在一長(zhǎng)度為L(zhǎng)截面積慣性矩為Jp，材料剪切模量為G的軸段的兩端施以扭矩MK，則此軸段被扭轉(zhuǎn)的角度為?φ，它們的關(guān)系為

K（剛度）是表征軸段的物理性能的非向量參數(shù)，代表軸段被扭轉(zhuǎn)單位角度（弧度）時(shí)所需扭矩，單位N?m／rad。傳動(dòng)軸段剛度表示法計(jì)算其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)87.傳動(dòng)軸在串聯(lián)工作時(shí)總剛度表示法

傳動(dòng)軸在串聯(lián)工作時(shí)，在軸的兩端作用以扭矩MK則各軸段間的內(nèi)部彈性力矩均為MK。這時(shí)整根軸的總變形為