數學和中國文學的比較課件

數學和中國文學的比較

很多人會覺得我今日的講題有些奇怪，中國文學與數學好像是風馬牛不相及，但我卻討論它。其實這關乎個人的感受和愛好，不見得其他數學家有同樣的感覺，「如人飲水，冷暖自知」。每個人的成長和風格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關系。我幼受庭訓，影響我至深的是中國文學，而我最大的興趣是數學，所以將他們做一個比較，對我來說是相當有意義的事。一、數學之基本意義

數學之為學，有其獨特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學，但數學家也如文學家般天馬行空，憑愛好而創(chuàng)作，故此數學可說是人文科學和自然科學的橋梁。

大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個人的氣質，氣質與文化修養(yǎng)有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關鍵性的作用。人文知識致力于描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了「通古今之變」外，也要「究天人之際」。劉勰在文心雕龍．原道篇說文章之道在于：「寫天地之輝光，曉生民之耳目?！?/p>

劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。

歷代的大數學家如阿基米德、如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創(chuàng)作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創(chuàng)性發(fā)明也是由于探索自然界的現象而引起的。

近代幾何學的創(chuàng)始人高斯則認為幾何和物理不可分。費爾瑪(公元1601)高斯(公元1777)阿基米德(公元前287)

二十世紀幾何學的發(fā)展，則因物理學上重要的突破而屢次改變其航道。當狄拉克把狹義相對論用到量子化的電子運動理論時，發(fā)現了狄拉克方程，以后的發(fā)展連狄拉克本人也嘆為觀止，認為他的方程比他的想象來得美妙，這個方程在近代幾何的發(fā)展起著關鍵性的貢獻，我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出于自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至。狄拉克（公元1902）

廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同詩經、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。捕捉大自然的真和美，實遠勝于一切人為的造作，正如文心雕龍說的：「云霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳?！固諟Y明（公元404）

以后大批的弦理論學家參與研究這個結構，得出很多深入的結果。剛開始時，我的朋友們都對這類問題敬而遠之，不愿意與物理學家打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現在卡拉比—丘空間的理論已經成為數學的一支主流。卡拉比——丘空間丘成桐教授（右一）和卡拉比教授（右二）從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、來布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色與任何一件文學創(chuàng)作，它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。

歐拉（公元1707）牛頓（公元1642）黎曼（公元1826）三、數學中的賦比興

中國詩詞都講究比興，鍾爃在「詩品」中說：「文已盡而意有余，興也。因物喻志，比也?！拱拙右着u謝朓詩「『余霞散成綺，澄江凈如練。』麗則麗矣，吾不知其所諷焉，故仆所謂嘲風雪，弄花草而已，文意盡去矣。」有深度的文學作品必需要有「義」、有「諷」、有「比興」。數學亦如是。我們在尋求真知時，往往只能憑已有的經驗，因循研究的大方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進，這種感覺是相當主觀的，因個人的文化修養(yǎng)而定。

白居易（公元772）

舉例而言，三十年前我提出一個猜測，斷言三維球面里的光滑極小曲面，其第一特征值等于二。當時這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關情況類比而得出的猜測，最近有數學家寫了一篇文章證明這個猜想。其實我的看法與文學上的比興很相似。

我一方面想象三維球的極小子曲面應當是如何的勻稱，一方面想象第一譜函數能夠同空間的線性函數比較該有多妙，通過原點的平面將曲面最多切成兩塊，于是猜想這兩個函數應當相等，同時第一特征值等于二。當時我與卡拉比教授討論這個問題，他也相信這個猜測是對的。旁邊我的一位研究生問為甚么會做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力了。數學上常見的對比方法乃是低維空間和高維空間現象的對比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現象，并由此來推測高維的變化。我在做研究生時企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜測，我認為曲率的正或負可以作為復結構的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀和二十世紀初期曲率和保角映射關系的研究。

事實上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學問而創(chuàng)造成功的，它是科學史上最偉大的構思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統一了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基于等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達了引力場，將時空觀念全盤翻新。

愛因斯坦（公元1879）二十世紀數論的一個大突破乃是算術幾何的產生，利用群表示理論為橋梁，將古典的代數幾何、拓樸學和代數數論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發(fā)展，勢不可擋，氣勢如虹，「天之所開，不可當也」。

Weil研究代數曲線在有限域上解的問題后，得出高維代數流形有限域解的猜測，推廣了代數流形的基本意義，直接影響了近代數學的發(fā)展?；I學所問，無過于此矣。Weil（公元1906）西廂記和牡丹亭的每一段寫作和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書的結構則是一般的佳人才子寫法，由金瓶梅進步到紅樓夢則小處和大局俱佳。這點與數學的發(fā)展極為相似，從局部的結構發(fā)展到大范圍的結構是近代數學發(fā)展的一個過程。往往通過比興的手法來處理。幾何學和數論都有這一段歷史。

曹雪芹（公元1724）西廂記橢圓曲線Birch

有些數學工作包含賦比興三種不同的精義。近五十年來數論上一個偉大的突破是由英國人Birch和Swinnerton-Dyer提出的一個猜測，開始時用計算機大量計算，找出L函數和橢圓曲線的整數解的連系，與數論上各個不同的分枝比較接合，妙不可言，這是賦比興都有的傳世之作。Swinnerton-Dyer四、數學家對事物的看法的多面性

由于文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟詠。對事物有不同的感受后，往往通過比興的方法另有所指，例如「美人」有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章「結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人?！挂部梢灾钙返旅篮玫娜耍涸娊涄L：「云誰之思，西方美人?！固K軾赤壁賦「望美人兮天一方」。蘇軾（公元1036）

記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積后，幾何學家Gromov開始時不相信這個證明，以后他找出我證明方法的幾何直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿著曲率方向來推動它一下看看有甚么變化，代數幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數論學家會問上面有沒有整數格點。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來主導。五、數學的意境

王國維在人間詞話說：「詞以境界為最上。有境界則自成高格……有造境，有寫境，此理想與寫實二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必鄰于理想故也。有有我之境，有無我之境。王國維（公元1877）

在幾何的研究中，我們發(fā)現狄拉克在物理上發(fā)現的旋子在幾何結構中有魔術性的能力，我們不知道它的內在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結構中的精髓，在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們制造了曲率而讓曲率自動發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結構來證明代數幾何的問題和用調和映射來看研究幾何結構的剛性問題也可作如是觀。卡拉比-丘成桐空間六、數學的品評好的工作應當是文已盡而意有余，大部份數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時所好，往往十數年后始見其功。我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以后和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。

白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為中品，以后六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。白居易（公元772）

數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以后很多數學家為了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。

巴拿赫（公元1892）

在七十年代，高維拓樸的研究已成強弩之末，作品雖然不少，但真正有價值的不多，有如「野云孤飛，去留無跡。」文氣已盡，再無新的比興了。當時有拓樸學者做群作用于流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值得懷念的工作只有Bott的局部化定理。Bott（公元1923）

能經得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人材應當以此為首選。歷年來以文章篇數和被引用多寡來做指針，使得國內的數學工作者水平大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。七、數學的演化

王國維說：「四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習套。豪杰之士亦難于其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰者，皆由于此，故謂文體后不如前，余未敢言。但就一體論，則此說固無以易也?！?/p>

數學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的了解，將原來所認識的數學結構的美發(fā)揮盡至后，需要進入新的境界。江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數學。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數學物理和算術幾何組合變化，亦可振翼高翔。

我為了深入了解流形的幾何性質，考慮由幾何引出的微分方程?？墒且话銕缀螌W家厭惡微分方程，我對它卻情有獨鐘，與幾個朋友合作將非線性方程帶入幾何學，開創(chuàng)了幾何分析這門學問，解決了拓樸學和廣義相對論一些重要問題。

在一九八一年時我建議我的朋友Hamilton用他創(chuàng)造的方程去解決三維拓樸的基本結構問題，二十多年來他引進了不少重要的工具，運用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點的產生。兩年前俄國數學家Perelman更進一步地推廣了這個理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓樸帶進了新紀元。Hamilton

八年前我訪問北京，提出全國向Hamilton先生學習的口號，本來討論班已經進行，卻給一些急功近利的北京學者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中國幾何分析不能進步都是由于年青學者不能夠自由發(fā)展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥而不舍，他的工作已經遠超國內外成名的中國學者。

科學家對自然界的了解，都是循序漸進，在不同的時空自然會有不同的感受。有學生略識之無后，不知創(chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進步。莊子：「今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語大理矣?！骨f子（公元前369）八、數學的感情

為了達到深遠的效果，數學家需要找尋問題的精華所在，需要不斷的培養(yǎng)我們對問題的感情和技巧，這一點與孟子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數學的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。白居易說：「圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫深乎義……未有聲入而不應，情交而不感者?！?/p>

孟子（公元前380）

我的朋友Hamilton先生，他一見到問題可以用曲率來推動，他就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學生，見到與愛因斯坦方程有關的幾何現象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數學問題沒有感情的現象，反而對名位權利特別重視。爲了院士或政協委員的名銜而甘愿千里仆仆風塵地奔波，在這種情形下，難以想象他們對數學、對自然界有深厚的感情。

數學的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質。博學多聞，感慨始深，堂廡始大。歐陽永叔：「人間自是有情癡，此恨不關風與月?！埂钢表毧幢M洛城花，始與東風容易別?！?/p>

能夠有這樣的感情，才能夠逹到晏殊所說：「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路?！箽W陽永叔（公元1007）

濃厚的感情使我們對研究的對象產生直覺，這種直覺看對象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數學家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學說。但數學畢竟是說理的學問，不可能極度主觀。詩經蓼莪、黍離，屈原離騷、九江。漢都尉(李陵)河梁送別，陳思王(曹植)歸藩傷逝。李后主(李煜)憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學所能及也。九、數學的應用

數學除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數學問題都是純工程上的問題。有些數學家畢生接觸的都是現象界的問題，可謂入乎其內。大數學家如尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內，出乎其外，既能將抽象的數學在工程學上應用，又能在實用的科學中找出共同的理念而發(fā)展出有意義的數學。反過來說，有些應用數學家只用計算機作出一些計算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。

維納（公元1894）馮紐曼（公元1903）十、數學的訓練

好的數學家需要領會自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學習他們的經驗。然而學習太過，則有依傍之病。顧亭林云：「君詩之病在于有杜，君文之病在于有韓，歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極?！?/p>

今人習數學，往往依傍名士，凡海外畢業(yè)的留學生，都為佳士，孰不知這些名士泰半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。李義山：「劉郎已恨蓬山遠，更隔蓬山一萬重?！?/p>

很多研究生在跟隨名師時，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導師提攜指導，竟自炫「無心插柳柳成蔭」，難有創(chuàng)意之作矣。

有些學者則倚洋自重，國外大師的工作已經完成，除非另有新意，不大可能再進一步發(fā)展。國內學者繼之，不假思索，頂多能夠發(fā)表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg發(fā)展出來的過山理論，文意已盡，不宜再繼續(xù)了。

推其下流，則莫如抄襲，有成名學者爲了速成，帶領國內學者抄襲名作，竟然得到重視，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可嘆也。

數學家如何