固體電子導(dǎo)論第三章優(yōu)選ppt資料

固體(gùtǐ)電子導(dǎo)論第三章第一頁(yè)，共62頁(yè)。一、微振動(dòng)(zhèndòng)方程及其解設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，考慮原子振動(dòng)，每個(gè)原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動(dòng)動(dòng)能：第二頁(yè)，共62頁(yè)。晶體振動(dòng)勢(shì)能按的冪將勢(shì)能在平衡位置附近展開為泰勒級(jí)數(shù)高階項(xiàng)其中平衡位置處的勢(shì)能為零勢(shì)能點(diǎn)平衡位置處勢(shì)能為極小值略去(lüèqù)高階項(xiàng)（簡(jiǎn)諧近似）晶體的振動(dòng)勢(shì)能：第三頁(yè)，共62頁(yè)。拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程由3N個(gè)線性齊次方程組成的方程組,其一組特解為第四頁(yè)，共62頁(yè)。所有原子在每個(gè)方向上都作同頻率,同相位,不同振幅的振動(dòng)(zhèndòng),稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)(zhèndòng)。有N個(gè)原子組成的晶體，一共有3N組特解，即有3N種不同頻率的間歇(jiànxiē)振動(dòng)，也即有3N個(gè)振動(dòng)模式。每一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)并不表示某一個(gè)原子的振動(dòng)，而是表示整個(gè)晶體所有原子都參與的頻率，初相位的振動(dòng)，也稱為一個(gè)振動(dòng)模式。第五頁(yè)，共62頁(yè)。方程的一般解可表示為特解的線性疊加共有(ɡònɡyǒu)3N種疊加方式，表示在3N個(gè)方向上的振動(dòng)。對(duì)晶體中某一個(gè)原子而言，實(shí)際振動(dòng)是由許多振動(dòng)模式引起的振動(dòng)的疊加，形式極為復(fù)雜。借助簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以將這一復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)圖象(túxiànɡ)簡(jiǎn)化。晶體中原子(yuánzǐ)的實(shí)際振動(dòng)由運(yùn)動(dòng)方程的一般解表示第六頁(yè)，共62頁(yè)。運(yùn)用(yùnyòng)線性變換的方法，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)，總能量(néngliàng)：簡(jiǎn)正坐標(biāo)和諧振子：代入能量表達(dá)式，消除勢(shì)能(shìnéng)交叉項(xiàng)（即消去相互作用）諧振子第七頁(yè)，共62頁(yè)。N個(gè)相互作用著的原子系統(tǒng)可看成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子組成的系統(tǒng)。第八頁(yè)，共62頁(yè)。系統(tǒng)的總能量：每一個(gè)諧振子能量可表示為根據(jù)量子理論二、聲子聲子晶體(jīngtǐ)系統(tǒng)的能量可看成由大量聲子組成。第九頁(yè)，共62頁(yè)。光子------電磁波的能量(néngliàng)量子。電磁波可以認(rèn)為是光子流，光子攜帶電磁波的能量(néngliàng)和動(dòng)量。聲子------聲子攜帶聲波的能量(néngliàng)和動(dòng)量。若格波頻率為ω，波矢q為，則聲子的能量(néngliàng)為?ω，動(dòng)量為?q。聲子和物質(zhì)相互作用服從能量(néngliàng)和動(dòng)量守恒定律，如同具有能量(néngliàng)?ω和動(dòng)量?q的粒子一樣?？梢詫⒏癫ㄅc物質(zhì)的互作用過程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過程，使問題大大簡(jiǎn)化。聲子的粒子(lìzǐ)性：返回(fǎnhuí)第十頁(yè)，共62頁(yè)?！?.2一維布拉菲格子(gézi)的晶格振動(dòng)一維布拉菲格子(gézi)（一維單原子鏈）對(duì)一維格子(gézi)晶格振動(dòng)的討論是了解和描述三維格子(gézi)晶格振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。第十一頁(yè)，共62頁(yè)。一、簡(jiǎn)諧近似(jìnsì)下的運(yùn)動(dòng)解則原子間相互作用力近似(jìnsì)1：簡(jiǎn)諧近似(jìnsì)下原子間作用力簡(jiǎn)化為彈性力。作用力常數(shù)第十二頁(yè)，共62頁(yè)。因此在簡(jiǎn)諧近似(jìnsì)下，原子間的相互作用類似于一個(gè)彈簧振子。一維原子鏈?zhǔn)且粋€(gè)耦合諧振子。第十三頁(yè)，共62頁(yè)。+2nx第n+1個(gè)原子(yuánzǐ)對(duì)第n個(gè)原子(yuánzǐ)的作用力第n-1個(gè)原子(yuánzǐ)對(duì)第n個(gè)原子(yuánzǐ)的作用力第十四頁(yè)，共62頁(yè)。每一個(gè)(yīɡè)原子對(duì)應(yīng)一個(gè)(yīɡè)方程，n個(gè)原子對(duì)應(yīng)n個(gè)方程聯(lián)立的線性齊次方程組.第n個(gè)原子(yuánzǐ)的運(yùn)動(dòng)方程第n個(gè)原子受到的合力為：近似2：只考慮(kǎolǜ)最近鄰原子間作用力第十五頁(yè)，共62頁(yè)。正q對(duì)應(yīng)于沿+x方向(fāngxiàng)的前進(jìn)波，負(fù)q對(duì)應(yīng)于沿-x方向(fāngxiàng)的波，這種在晶體中傳播的波，稱為格波。試解：為波矢位于處的原子的振動(dòng)試探解一種振動(dòng)模式（n=1,2,…）為頻率第十六頁(yè)，共62頁(yè)。試解代入運(yùn)動(dòng)(yùndòng)方程——一維布拉菲晶格中格波的色散(sèsàn)關(guān)系第十七頁(yè)，共62頁(yè)。常將q限制在稱為(chēnɡwéi)一維布拉菲晶格的第一布里淵區(qū)。即一維布拉菲晶格的倒格子原胞色散(sèsàn)關(guān)系具有周期性0q一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線第十八頁(yè)，共62頁(yè)。色散關(guān)系曲線中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代表一種振動(dòng)模式，即代表一種格波。例如：第十九頁(yè)，共62頁(yè)。整個(gè)晶格象剛體一樣作整體運(yùn)動(dòng),因而恢復(fù)力為0,故長(zhǎng)波極限，鄰近原子反向運(yùn)動(dòng)(位相相反)，所以恢復(fù)力和頻率取極大值第二十頁(yè)，共62頁(yè)。二、周期性邊界條件考慮有限長(zhǎng)的一維原子鏈，由N個(gè)原子組成，另有無窮多個(gè)相同的一維原子鏈與之聯(lián)結(jié)而形成無限(wúxiàn)長(zhǎng)的一維原子鏈，各段相應(yīng)原子運(yùn)動(dòng)情況相同。第二十一頁(yè)，共62頁(yè)。有N種取值波矢點(diǎn)在波矢空間(kōngjiān)（第一布里淵區(qū)、倒格子原胞）均勻分布共有N種取值周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q周期性邊界條件下，頻率(pínlǜ)也相應(yīng)有N個(gè)取值。第二十二頁(yè)，共62頁(yè)。在周期性邊界條件的約束下，N個(gè)格點(diǎn)組成的一維布拉格晶格的振動(dòng)模式數(shù)共有N種，由色散關(guān)系曲線中N組分立的決定。周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q第二十三頁(yè)，共62頁(yè)。三、色散(sèsàn)關(guān)系周期性的物理意義：0q第一布里淵區(qū)第二十四頁(yè)，共62頁(yè)。波矢相差倒格矢，晶格振動(dòng)相同?????第二十五頁(yè)，共62頁(yè)。波矢空間中，晶格(jīnɡɡé)振動(dòng)模式（代表點(diǎn)）均勻分布。晶格的獨(dú)立(dúlì)振動(dòng)模式數(shù)等于N，等于晶體的自由度數(shù)。色散關(guān)系中一組對(duì)應(yīng)一種格波，或振動(dòng)模式。一維布拉菲晶格中原子振動(dòng)的特解是格波周期性邊界條件限制(xiànzhì)0q小結(jié)：第二十六頁(yè)，共62頁(yè)。2aMm2n2n+1§3.3一維復(fù)式格子(gézi)的晶格振動(dòng)一維復(fù)式格子(gézi)（一維雙原子鏈）對(duì)一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的討論是了解和描述(miáoshù)大量三維復(fù)式晶格的重要基礎(chǔ)。第二十七頁(yè)，共62頁(yè)。一、運(yùn)動(dòng)(yùndòng)方程試解：2aMm2n2n+1采用簡(jiǎn)諧近似和最近鄰原子(yuánzǐ)作用近似波矢為，頻率為的格波，同一原胞中的兩個(gè)原子振幅不同。第二十八頁(yè)，共62頁(yè)。齊次方程非零解條件代入運(yùn)動(dòng)方程——一維復(fù)式晶格中格波的色散(sèsàn)關(guān)系第二十九頁(yè)，共62頁(yè)。稱為一維復(fù)式晶格(jīnɡɡé)的第一布里淵區(qū)如m<M，色散(sèsàn)關(guān)系中存在頻隙0q一維復(fù)式晶格的色散關(guān)系曲線將q限制在：色散關(guān)系具有周期性，即一維復(fù)式晶格的倒格子原胞第三十頁(yè)，共62頁(yè)。周期性邊界條件：一維雙原子鏈由N個(gè)原胞組成，每個(gè)原胞中含有兩個(gè)不同(bùtónɡ)的基，將若干個(gè)相同的一維雙原子鏈?zhǔn)孜蚕嘟?，形成無限長(zhǎng)的一維鏈。則有，共有N種取值有N種取值所以第三十一頁(yè)，共62頁(yè)。波矢的取值數(shù)=N（晶格(jīnɡɡé)原胞數(shù)）對(duì)每一個(gè)(yīɡè)波矢q，有兩類獨(dú)立的振動(dòng)振動(dòng)模式數(shù)=2N（總自由度數(shù)）0q第三十二頁(yè)，共62頁(yè)。第二十五頁(yè)，共62頁(yè)。3）整個(gè)晶格振動(dòng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)能為：假設(shè)：晶格振動(dòng)的頻率與波矢成正比第三十七頁(yè)，共62頁(yè)。考慮有限長(zhǎng)的一維原子鏈，由N個(gè)原子組成，另有無窮多個(gè)相同的一維原子鏈與之聯(lián)結(jié)而形成無限(wúxiàn)長(zhǎng)的一維原子鏈，各段相應(yīng)原子運(yùn)動(dòng)情況相同。周期性邊界條件限制(xiànzhì)4晶格(jīnɡɡé)熱容及其理論模型通過簡(jiǎn)正變換，把位移坐標(biāo)表示成3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)，可以(kěyǐ)得到一個(gè)等效系統(tǒng)，即把3N個(gè)相互關(guān)聯(lián)的振動(dòng)簡(jiǎn)化為3N個(gè)獨(dú)立的諧振子振動(dòng)。時(shí)為虛數(shù)，有第三十六頁(yè)，共62頁(yè)。假設(shè)：晶格包含N個(gè)原胞、每個(gè)原胞內(nèi)包含n個(gè)原子，共有種振動(dòng)模式，每個(gè)振動(dòng)模式都具有相同的振動(dòng)頻率，二、聲頻(shēnɡpín)支和光頻支通過簡(jiǎn)正變換，把位移坐標(biāo)表示成3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)，可以(kěyǐ)得到一個(gè)等效系統(tǒng)，即把3N個(gè)相互關(guān)聯(lián)的振動(dòng)簡(jiǎn)化為3N個(gè)獨(dú)立的諧振子振動(dòng)。二、聲頻(shēnɡpín)支和光頻支近似處理：1）取值的密集性可將求和近似用求積分代替；第二十三頁(yè)，共62頁(yè)。稱為聲頻支，相應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波0q聲學(xué)波相鄰原子振動(dòng)(zhèndòng)方向相同二、聲頻(shēnɡpín)支和光頻支Mm2n2n+1第三十三頁(yè)，共62頁(yè)。表示聲頻支在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩個(gè)原子的振幅相同，且相鄰原子振動(dòng)位相差振動(dòng)情況一致.聲頻支在長(zhǎng)波限描述了原胞的整體運(yùn)動(dòng).長(zhǎng)聲學(xué)波與聲波的性質(zhì)類似，可近似連續(xù)介質(zhì)的彈性波。0q彈性波的色散關(guān)系考慮長(zhǎng)波極限第三十四頁(yè)，共62頁(yè)。稱為光頻支，相應(yīng)的格波稱為光學(xué)波0q光學(xué)波相鄰(xiānɡlín)原子振動(dòng)方向相反Mm2n2n+1第三十五頁(yè)，共62頁(yè)?？紤](kǎolǜ)長(zhǎng)波極限表明光頻支在長(zhǎng)波極限下，相鄰原子反向振動(dòng)，原胞質(zhì)心保持靜止。若是離子(lízǐ)晶體，在電場(chǎng)作用下異號(hào)離子(lízǐ)受力相反，可用光波來激發(fā)離子(lízǐ)晶體中的這種長(zhǎng)波振動(dòng)。0q第三十六頁(yè)，共62頁(yè)。小結(jié)(xiǎojié)：1、簡(jiǎn)諧近似和最近鄰原子(yuánzǐ)作用近似原子(yuánzǐ)之間的作用力近似為彈性力，且只受到最近鄰原子(yuánzǐ)作用。第三十七頁(yè)，共62頁(yè)。2、一維晶格(jīnɡɡé)中原子振動(dòng)的特解是格波布拉菲晶格(jīnɡɡé)：復(fù)式晶格(jīnɡɡé)：一組確定的決定一種格波，或振動(dòng)模式。第三十八頁(yè)，共62頁(yè)。3、格波的具體模式由色散(sèsàn)關(guān)系確定一維布拉菲晶格0q0q一維復(fù)式晶格(jīnɡɡé)第一布里淵區(qū)（倒格子(gézi)原胞）的范圍第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢點(diǎn)均勻分布，波矢點(diǎn)的取值波矢點(diǎn)的取值個(gè)數(shù)（原胞數(shù)），晶格的振動(dòng)模式數(shù)（自由度數(shù)）第三十九頁(yè)，共62頁(yè)。對(duì)于實(shí)際(shíjì)三維的晶體，上述的分析方法和結(jié)論是普適的。三維情形下，若基由n個(gè)原子(yuánzǐ)組成，原胞內(nèi)的原子(yuánzǐ)共有3n個(gè)自由度，因而存在3n種色散關(guān)系。其中(qízhōng)3支為聲頻支；

3(n-1)支為光頻支。三、三維晶格金剛石【100】方向的色散關(guān)系第四十頁(yè)，共62頁(yè)。原胞內(nèi)含原子數(shù)原胞數(shù)自由度數(shù)q數(shù)格波數(shù)聲學(xué)格波數(shù)光學(xué)格波數(shù)單原子鏈雙原子鏈三維晶體12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N格波數(shù)與晶體(jīngtǐ)的維數(shù)及晶胞內(nèi)原子數(shù)的關(guān)系第四十一頁(yè)，共62頁(yè)。一、晶格(jīnɡɡé)熱容的量子理論§3.4晶格(jīnɡɡé)熱容及其理論模型1）根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，聲子是玻色子，由玻色分布知，溫度為T時(shí)，角頻率為的聲子數(shù)為：由3N個(gè)諧振子組成的晶格系統(tǒng)，其總能量為：2）頻率為的諧振子能量為：第四十二頁(yè)，共62頁(yè)。稱為頻率分布函數(shù)，表示單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。

諧振子數(shù)近似處理：1）取值的密集性可將求和近似用求積分代替；2）忽略零點(diǎn)振動(dòng)能量3）整個(gè)晶格振動(dòng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)能為：4）晶格振動(dòng)的內(nèi)能可用積分求出：5）與原子的晶格振動(dòng)對(duì)應(yīng)的熱容第四十三頁(yè)，共62頁(yè)。二、愛因斯坦模型(móxíng)假設(shè)：晶格包含N個(gè)原胞、每個(gè)原胞內(nèi)包含n個(gè)原子，共有種振動(dòng)模式，每個(gè)振動(dòng)模式都具有相同的振動(dòng)頻率，愛因斯坦模型的頻率分布函數(shù)：愛因斯坦模型的色散關(guān)系第四十四頁(yè)，共62頁(yè)。稱為愛因斯坦比熱容函數(shù)其中愛因斯坦特征溫度熱容：內(nèi)能：第四十五頁(yè)，共62頁(yè)。①高溫區(qū)HE與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符②低溫區(qū)HE討論(tǎolùn)：與實(shí)驗(yàn)定性相符低溫下，與的實(shí)驗(yàn)結(jié)論有差異愛因斯坦模型的缺陷：愛因斯坦模型的色散關(guān)系第四十六頁(yè)，共62頁(yè)。三、德拜模型(móxíng)假設(shè)：晶格振動(dòng)的頻率與波矢成正比(C為常數(shù))即將晶體看成是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把晶格(jīnɡɡé)振動(dòng)看成是連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波。德拜模型的色散關(guān)系德拜模型的頻率分布函數(shù)：第四十七頁(yè)，共62頁(yè)。內(nèi)能：熱容：其中德拜溫度德拜頻率第四十八頁(yè)，共62頁(yè)。②低溫區(qū)與固體(gùtǐ)的低溫比熱容相符德拜模型(móxíng)的局限性：在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符討論(tǎolùn)：①高溫區(qū)與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符德拜模型的色散關(guān)系第四十九頁(yè)，共62頁(yè)。四、頻率分布(fēnbù)函數(shù)（模式密度）1)在波矢空間，晶格振動(dòng)模式是均勻分布的——表示單位頻率間隔中晶格振動(dòng)的模式數(shù)。頻率分布函數(shù)的定義：對(duì)于三維情形，分布密度為晶體體積二維晶格模式的分布密度為：一維晶格模式分布密度為：q第五十頁(yè)，共62頁(yè)?？臻g內(nèi)，頻率為的模式所占體積dq——表示(biǎoshì)兩等頻面間的垂直距離dsdqds——為面積(miànjī)元——兩等頻面間的體積2）求頻率在范圍內(nèi)的模式數(shù)第五十一頁(yè)，共62頁(yè)。其中表示色散關(guān)系的斜率又因?yàn)榉e分(jīfēn)對(duì)q空間的等頻面進(jìn)行。3）求頻率分布函數(shù)第五十二頁(yè)，共62頁(yè)。(三維)(二維)(一維)第五十三頁(yè)，共62頁(yè)。例：德拜模型中假設(shè)(C為大于0常數(shù))空間中的等頻面為球面，半徑為第五十四頁(yè)，共62頁(yè)。晶體銅的實(shí)際模式密度與德拜近似(jìnsì)模式密度的比較第五十五頁(yè)，共62頁(yè)。例：

是一種常見的色散關(guān)系，

在三維情形，空間中等頻率面為球面，半徑為二維情形：一維情形：第五十六頁(yè)，共62頁(yè)。3.7設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有：證明：頻率分布函數(shù)三維晶格振動(dòng)(zhèndòng)的態(tài)密度dq間隔