萬有引力推導開普勒三大定律

-.z.萬有引力推導開普勒定律牛頓萬有引力定律說明：任意兩個粒子由通過連線方向的力相互吸引。該引力的的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。由于太陽超重于行星，我們可以假設太陽是固定的。用方程式表示，；這里，是太陽作用於行星的萬有引力、是行星的質(zhì)量、是太陽的質(zhì)量、是行星相對于太陽的位移向量、是的單位向量。牛頓第二定律聲明：物體受力後所產(chǎn)生的加速度，和其所受的淨力成正比，和其質(zhì)量成反比。用方程式表示，。合并這兩個方程式，。(1)思考位置向量，隨時間微分一次可得到速度向量，再微分一次則可得到加速度向量：，。(2)在這里，我們用到了單位向量微分方程式：，。合并方程式(1)與(2)，可以得到向量運動方程式：取各個分量，我們得到兩個常微分方程式，一個是關于徑向加速度，另一個是關于切向加速度：，(3)。(4)導引開普勒第二定律只需切向加速度方程式。試想行星的角動量。由于行星的質(zhì)量是常數(shù)，角動量隨時間的導數(shù)為。角動量也是一個運動常數(shù)，即使距離與角速度都可能會隨時間變化。從時間到時間掃過的區(qū)域，。行星太陽連線掃過的區(qū)域面積相依于間隔時間。所以，開普勒第二定律是正確的。[編輯]開普勒第一定律導引設定。這樣，角速度是。隨時間微分與隨角度微分的關系為。隨時間微分徑向距離：。再微分一次：。代入徑向運動方程式(3)，，。將此方程式除以，則可得到一個簡單的\o"微分方程"常係數(shù)非齊次線性全微分方程式來描述行星軌道：。特征方程式為。求解剩馀的\o"微分方程"常係數(shù)齊次線性全微分方程式，。其特解方程式為；這里，與都是任意積分常數(shù)。綜合特征方程式與特解方程式，。選擇坐標軸，讓。代回，。假假設，則所描述的是橢圓軌道。所以，開普勒第一定律是正確的。[編輯]開普勒第三定律導引在建立牛頓萬有引力定律的概念與數(shù)學架構(gòu)上，開普勒第三定律是牛頓依據(jù)的重要線索之一。假假設我們承受牛頓運動定律。試想一個虛擬行星環(huán)繞著太陽公轉(zhuǎn)，行星的移動軌道恰巧呈圓形，軌道半徑為。那末，太陽作用于行星的萬有引力為。行星移動速度為。依照開普勒第三定律，這速度與半徑的平方根成反比。所以，萬有引力。猜測這大概是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思路，雖然我們并不能完全確定，因為我們無法在他的計算本裡，找到任何關于這方面的證據(jù)。行星環(huán)繞太陽〔焦點F1〕的橢圓軌道。開普勒第一定律說明，行星環(huán)繞太陽的軌道是橢圓形的。\o"橢圓"橢圓的面積是；這里，與分別為橢圓的半長軸與半短軸。在開普勒第二定律導引里，行星－太陽連線掃過區(qū)域速度為。所以，行星公轉(zhuǎn)周期為。(5)關于此行星環(huán)繞太陽，橢圓的半長軸，半短軸與近拱距〔近拱點A與引力中心之間的距離〕，遠拱距〔遠拱點B與引力中心之間的距離〕的關系分別為，(6)。(7)如果想要知道半長軸與半短軸，必須先求得近拱距與遠拱距。依據(jù)能量守恒定律，。在近拱點A與遠拱點B，徑向速