萬有引力推導(dǎo)開普勒三大定律

-.z.萬有引力推導(dǎo)開普勒定律牛頓萬有引力定律說明：任意兩個(gè)粒子由通過連線方向的力相互吸引。該引力的的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。由于太陽超重于行星，我們可以假設(shè)太陽是固定的。用方程式表示，；這里，是太陽作用於行星的萬有引力、是行星的質(zhì)量、是太陽的質(zhì)量、是行星相對(duì)于太陽的位移向量、是的單位向量。牛頓第二定律聲明：物體受力後所產(chǎn)生的加速度，和其所受的淨(jìng)力成正比，和其質(zhì)量成反比。用方程式表示，。合并這兩個(gè)方程式，。(1)思考位置向量，隨時(shí)間微分一次可得到速度向量，再微分一次則可得到加速度向量：，。(2)在這里，我們用到了單位向量微分方程式：，。合并方程式(1)與(2)，可以得到向量運(yùn)動(dòng)方程式：取各個(gè)分量，我們得到兩個(gè)常微分方程式，一個(gè)是關(guān)于徑向加速度，另一個(gè)是關(guān)于切向加速度：，(3)。(4)導(dǎo)引開普勒第二定律只需切向加速度方程式。試想行星的角動(dòng)量。由于行星的質(zhì)量是常數(shù)，角動(dòng)量隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為。角動(dòng)量也是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)，即使距離與角速度都可能會(huì)隨時(shí)間變化。從時(shí)間到時(shí)間掃過的區(qū)域，。行星太陽連線掃過的區(qū)域面積相依于間隔時(shí)間。所以，開普勒第二定律是正確的。[編輯]開普勒第一定律導(dǎo)引設(shè)定。這樣，角速度是。隨時(shí)間微分與隨角度微分的關(guān)系為。隨時(shí)間微分徑向距離：。再微分一次：。代入徑向運(yùn)動(dòng)方程式(3)，，。將此方程式除以，則可得到一個(gè)簡(jiǎn)單的\o"微分方程"常係數(shù)非齊次線性全微分方程式來描述行星軌道：。特征方程式為。求解剩馀的\o"微分方程"常係數(shù)齊次線性全微分方程式，。其特解方程式為；這里，與都是任意積分常數(shù)。綜合特征方程式與特解方程式，。選擇坐標(biāo)軸，讓。代回，。假假設(shè)，則所描述的是橢圓軌道。所以，開普勒第一定律是正確的。[編輯]開普勒第三定律導(dǎo)引在建立牛頓萬有引力定律的概念與數(shù)學(xué)架構(gòu)上，開普勒第三定律是牛頓依據(jù)的重要線索之一。假假設(shè)我們承受牛頓運(yùn)動(dòng)定律。試想一個(gè)虛擬行星環(huán)繞著太陽公轉(zhuǎn)，行星的移動(dòng)軌道恰巧呈圓形，軌道半徑為。那末，太陽作用于行星的萬有引力為。行星移動(dòng)速度為。依照開普勒第三定律，這速度與半徑的平方根成反比。所以，萬有引力。猜測(cè)這大概是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思路，雖然我們并不能完全確定，因?yàn)槲覀儫o法在他的計(jì)算本裡，找到任何關(guān)于這方面的證據(jù)。行星環(huán)繞太陽〔焦點(diǎn)F1〕的橢圓軌道。開普勒第一定律說明，行星環(huán)繞太陽的軌道是橢圓形的。\o"橢圓"橢圓的面積是；這里，與分別為橢圓的半長(zhǎng)軸與半短軸。在開普勒第二定律導(dǎo)引里，行星－太陽連線掃過區(qū)域速度為。所以，行星公轉(zhuǎn)周期為。(5)關(guān)于此行星環(huán)繞太陽，橢圓的半長(zhǎng)軸，半短軸與近拱距〔近拱點(diǎn)A與引力中心之間的距離〕，遠(yuǎn)拱距〔遠(yuǎn)拱點(diǎn)B與引力中心之間的距離〕的關(guān)系分別為，(6)。(7)如果想要知道半長(zhǎng)軸與半短軸，必須先求得近拱距與遠(yuǎn)拱距。依據(jù)能量守恒定律，。在近拱點(diǎn)A與遠(yuǎn)拱點(diǎn)B，徑向速