非線性方程求根課件

第4章非線性方程求根非線性科學(xué)是當(dāng)今科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要研究方向，而非線性方程的求根也成了一個(gè)不可缺的內(nèi)容。但是，非線性方程的求根非常復(fù)雜。通常非線性方程的根的情況非常復(fù)雜：無窮組解無解一個(gè)解兩個(gè)解四個(gè)解第4章非線性方程求根非線性科學(xué)是當(dāng)今科學(xué)發(fā)1所以，只在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可能解存在唯一，而且經(jīng)常很簡(jiǎn)單的形式得不到精確解：因此，通常我們用迭代法解非線性方程看迭代法之前，先看看一種簡(jiǎn)單直觀的方法原理：所以，只在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可能解存在唯一，而且經(jīng)常很簡(jiǎn)單的形式得不24.1對(duì)分法abx1x2ab什么時(shí)候停止？或x*4.1對(duì)分法abx1x2ab什么時(shí)候停止？或x*3While(|a-b|>eps)x=(a+b)/2f(x)若(|f(x)|<eps)x為解若f(x)*f(b)<0修正區(qū)間為[x,b]若f(a)*f(x)<0修正區(qū)間為[a,x]Endwhile每次縮小一倍的區(qū)間，收斂速度為1/2，較慢，且只能求一個(gè)根，使用條件限制較大算法2xx*不能保證x的精度While(|a-b|>eps)每次縮小一倍的區(qū)間，收斂速度44.2迭代法f(x)=0x=g(x)等價(jià)變換f(x)的根g(x)的不動(dòng)點(diǎn)思路從一個(gè)初值x0

出發(fā)，計(jì)算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收斂，即存在x*使得

，且g連續(xù)，則由可知x*=g(x*)，即x*是g的不動(dòng)點(diǎn)，也就是f的根。4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等價(jià)變換f5迭代法的基本步驟如下：1、給出方程的局部等價(jià)形式2、取合適的初值，產(chǎn)生迭代序列3、求極限易知，該值為方程的根一定收斂嗎？迭代法的基本步驟如下：1、給出方程的局部等價(jià)形式2、取合適的6xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=7若滿足：1、2、可導(dǎo)，且存在正數(shù)L<1，使得對(duì)任意的x，有則有：1、存在唯一的點(diǎn)2、迭代收斂，且有誤差估計(jì)定理若滿足：1、2、可導(dǎo)，且存在正數(shù)L<1，使得對(duì)任意的x，有則8①存在唯一性②做輔助函數(shù)，則有所以，存在點(diǎn)若，則有：又，則所以，任意的初值都收斂證明：①存在唯一性②做輔助函數(shù)，則有所以，存在點(diǎn)若，則有：又，則所9③誤差估計(jì)由p的任意性，令證畢③誤差估計(jì)由p的任意性，令證畢10構(gòu)造滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式一般難于做到。要構(gòu)造收斂迭代格式有兩個(gè)要素：1、等價(jià)形式2、初值選取下面我們開始介紹若干種迭代法的構(gòu)造方法構(gòu)造滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式一般難于做到。要構(gòu)造收斂迭代格式有114.3Newton迭代法將f(x)在初值處作Taylor展開取線性部分作為f(x)的近似，有：若，則有記為類似，我們可以得到xyx*x04.3Newton迭代法將f(x)在初值處作Taylor展12這樣一直下去，我們可以得到迭代序列Newton迭代的等價(jià)方程為：所以若f(x)在a處為單根，則所以，迭代格式收斂這樣一直下去，我們可以得到迭代序列Newton迭代的等價(jià)方程13收斂速度函數(shù)在a處作Taylor展開若a為p重根，取迭代格式為：即Newton迭代收斂速度快，格式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛收斂速度函數(shù)在a處作Taylor展開若a為p重根，取迭代格式14

例

用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.

解

Newton迭代格式為kxk?(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.15注：Newton’sMethod收斂性依賴于x0的選取。x*x0x0x0注：Newton’sMethod收斂性依賴于x0的選取164.4弦截法將Newton迭代中的導(dǎo)數(shù)，用差商代替，有格式是2步格式。收斂速度比Newton迭代慢x0x1切線

割線

4.4弦截法將Newton迭代中的導(dǎo)數(shù)，用差商代替，有格式17定義

設(shè)迭代xk+1=g(xk)收斂到g(x)的不動(dòng)點(diǎn)x*。設(shè)ek=xk

x*，若，則稱該迭代為p階收斂，其中C稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)。定義設(shè)迭代xk+1=g(xk)收斂到g(x)184.4非線性方程組的Newton迭代法則，直接推廣Newton迭代為：4.4非線性方程組的Newton迭代法則，直接推廣Newt19實(shí)際中，用解方程組的形式實(shí)際中，用解方程組的形式20第4章非線性方程求根非線性科學(xué)是當(dāng)今科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要研究方向，而非線性方程的求根也成了一個(gè)不可缺的內(nèi)容。但是，非線性方程的求根非常復(fù)雜。通常非線性方程的根的情況非常復(fù)雜：無窮組解無解一個(gè)解兩個(gè)解四個(gè)解第4章非線性方程求根非線性科學(xué)是當(dāng)今科學(xué)發(fā)21所以，只在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可能解存在唯一，而且經(jīng)常很簡(jiǎn)單的形式得不到精確解：因此，通常我們用迭代法解非線性方程看迭代法之前，先看看一種簡(jiǎn)單直觀的方法原理：所以，只在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可能解存在唯一，而且經(jīng)常很簡(jiǎn)單的形式得不224.1對(duì)分法abx1x2ab什么時(shí)候停止？或x*4.1對(duì)分法abx1x2ab什么時(shí)候停止？或x*23While(|a-b|>eps)x=(a+b)/2f(x)若(|f(x)|<eps)x為解若f(x)*f(b)<0修正區(qū)間為[x,b]若f(a)*f(x)<0修正區(qū)間為[a,x]Endwhile每次縮小一倍的區(qū)間，收斂速度為1/2，較慢，且只能求一個(gè)根，使用條件限制較大算法2xx*不能保證x的精度While(|a-b|>eps)每次縮小一倍的區(qū)間，收斂速度244.2迭代法f(x)=0x=g(x)等價(jià)變換f(x)的根g(x)的不動(dòng)點(diǎn)思路從一個(gè)初值x0

出發(fā)，計(jì)算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收斂，即存在x*使得

，且g連續(xù)，則由可知x*=g(x*)，即x*是g的不動(dòng)點(diǎn)，也就是f的根。4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等價(jià)變換f25迭代法的基本步驟如下：1、給出方程的局部等價(jià)形式2、取合適的初值，產(chǎn)生迭代序列3、求極限易知，該值為方程的根一定收斂嗎？迭代法的基本步驟如下：1、給出方程的局部等價(jià)形式2、取合適的26xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=xx*y=g(x)x0p0x1p1xyy=27若滿足：1、2、可導(dǎo)，且存在正數(shù)L<1，使得對(duì)任意的x，有則有：1、存在唯一的點(diǎn)2、迭代收斂，且有誤差估計(jì)定理若滿足：1、2、可導(dǎo)，且存在正數(shù)L<1，使得對(duì)任意的x，有則28①存在唯一性②做輔助函數(shù)，則有所以，存在點(diǎn)若，則有：又，則所以，任意的初值都收斂證明：①存在唯一性②做輔助函數(shù)，則有所以，存在點(diǎn)若，則有：又，則所29③誤差估計(jì)由p的任意性，令證畢③誤差估計(jì)由p的任意性，令證畢30構(gòu)造滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式一般難于做到。要構(gòu)造收斂迭代格式有兩個(gè)要素：1、等價(jià)形式2、初值選取下面我們開始介紹若干種迭代法的構(gòu)造方法構(gòu)造滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式一般難于做到。要構(gòu)造收斂迭代格式有314.3Newton迭代法將f(x)在初值處作Taylor展開取線性部分作為f(x)的近似，有：若，則有記為類似，我們可以得到xyx*x04.3Newton迭代法將f(x)在初值處作Taylor展32這樣一直下去，我們可以得到迭代序列Newton迭代的等價(jià)方程為：所以若f(x)在a處為單根，則所以，迭代格式收斂這樣一直下去，我們可以得到迭代序列Newton迭代的等價(jià)方程33收斂速度函數(shù)在a處作Taylor展開若a為p重根，取迭代格式為：即Newton迭代收斂速度快，格式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛收斂速度函數(shù)在a處作Taylor展開若a為p重根，取迭代格式34

例

用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-5.

解

Newton迭代格式為kxk?(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000例用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.35注：Newton’sMethod收斂性依賴于x0的選取。x*x0x0x0注：Newton’sMethod收斂性依賴于x0的選取364.4弦截法將Newton迭代中的導(dǎo)數(shù)，用差商代替，有格式是2步格式。收斂速度比Newton迭代慢x0x1切線

割線

4.4弦截法將Newton迭代中的導(dǎo)數(shù)，用差商代替，有格式37定義

設(shè)迭