微積分II課件：6-6 積分在物理上的應(yīng)用

質(zhì)點的質(zhì)量記為1.靜力矩質(zhì)點相對于平面的靜力矩：質(zhì)點相對于平面的靜力矩：質(zhì)點相對于平面的靜力矩：§6.6積分在物理上的應(yīng)用

一、重心質(zhì)點重心坐標(biāo)為質(zhì)點相對于軸的靜力矩：質(zhì)點相對于軸的靜力矩：設(shè)xoy平面上有n個質(zhì)點，它們分別位于，

處，質(zhì)量分別為．則該質(zhì)點系的靜力矩分別為質(zhì)點相對于軸質(zhì)點相對于軸設(shè)空間上有n個質(zhì)點，它們分別位于

處，質(zhì)量分為則該質(zhì)點系的靜力矩分別為質(zhì)點相對于平面的靜力矩：質(zhì)點相對于平面的靜力矩：質(zhì)點相對于平面的靜力矩：重心坐標(biāo)為質(zhì)點系的重心坐標(biāo)為當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由微元法設(shè)物體分布在有界閉區(qū)域的幾何形體上,其密度函數(shù)為

將此幾何形體任意分割成n個小塊的質(zhì)量微元為：幾何形體的質(zhì)量為：重心坐標(biāo)的計算公式：特別地，當(dāng)物體為均勻的，即均勻物體的形心由物體的幾何形體的形狀所確定。

設(shè)物體占有空間閉區(qū)域V，在點(x,y,z)處的密度為，假定在V上連續(xù)，則該物體的重心為:其它幾何形體以此類推。解由重心的計算公式，有解例2

設(shè)平面薄板由與x軸圍成，求形心坐標(biāo)．先求區(qū)域D的面積A由于區(qū)域關(guān)于直線對稱，所以形心在上，所求形心坐標(biāo)為

例3一均勻物體分布在V上，區(qū)域V由不等式解由對稱性知，薄片關(guān)于

x軸對稱,解二、轉(zhuǎn)動慣量則該質(zhì)點系對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量依次為設(shè)xoy平面上有n個質(zhì)點，它們分別位于，

處，質(zhì)量分為．xy薄片對于x

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于y

軸的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D，在點(x,y)處的面密度為，假定在D上連續(xù)，平面薄片對于x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量為:解例5

設(shè)一均勻的直角三角形薄板，兩直角邊長分別為a、b，求這三角形對其中任一直角邊的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和y軸上.

對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量為對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量為

例6一半徑為R的均勻球殼(面密度=1)，求其對過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量.解選取球心為坐標(biāo)原點，l為z軸，則球面方程為由對稱性輪換對稱性如果將平面區(qū)域的邊界曲線方程中的與互換（也稱與輪換）后得出的新區(qū)域記為，同時將被積函數(shù)的與互換,由二重積分的定義知道，僅改變變量的記號并不改變極限值，也即不改變二重積分的值，故有例如設(shè)則于是通常所說的“輪換對稱性”，指的或的情形

關(guān)于三重積分，有如下關(guān)于輪換對稱性的性質(zhì):將的邊界曲面方程中的依次輪換，比如換為，換為，換為，由此得出的新區(qū)域記為，同時將被積函數(shù)的施行同樣的輪換，則有如果，則稱區(qū)域具有輪換對稱性.如果，則稱具有輪換對稱性.例如于是重積分的輪換對稱性的結(jié)論，也適用于第一類曲線積分和第一類曲面積分.注意到積分對變量x,y,z

的輪換對稱性，求其對過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量.解選取球心為坐標(biāo)原點，l為z軸，則球面方程為例6三、引力其中

G為引力常數(shù)平面薄片對質(zhì)點的引力上連續(xù)，計算該平面薄片對位于z軸上的點

設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域D，在點(x,y)處的面密度為