第三章波動方程初值問題與行波法

數(shù)學物理方法海洋大學海洋與氣象學院：：第3章波動方程與行波法、降維法§3.1

一維波動方程一.

d’Alembert公式推導二.

d’Alembert公式物理意義三.

依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域四.

半

弦

振動問題§4.2

三維波動方程

問題一.三維波動方程和球?qū)ΨQ解二.三維波動方程的Poisson公式和球?qū)ΨQ解行波法——d’Alembert公式d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，最著名的有8卷巨著《數(shù)學手冊》、力學專著《動力

學》、23卷的《

》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個要點研究》中。一維波動方程定解問題弦

振動*

弦強迫振動半

弦

振動*半

弦強迫振動三維波動方程定解問題二維波動方程的定解問題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動問題§3.1

一維波動方程一.d’Alembert公式推導初始位移

(

x)，初始速度

(

x)的

弦

振動2ttxxt

0t t

0u

a

u

0 (

x

,

t

0)u

(

x),

u

(

x),

x

初值問題(Cauchy問題)我們可以求出方程的通解,考慮變量代換

x

at

x

at利用復合函數(shù)求導法則得u

u

u

u

ux

x

x

2u

u

u

u

u

x2

x

x

2u

2u

2u

2

2

2為什么？同理可得：2)a2

(u2

2u

t

22u

2u

2

2將兩式代入原方程,可得：

2u

0連續(xù)積分兩次得u

,

F

G

其中

F

,

G

是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有u

x,

t

F

x

at

G

x

at

注：u

x,t

F

x

at

G

x

at

是方程u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的通解,它包含兩個任意函數(shù)。對無限長的

振動,

利用初始條件,

則：u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

u

|t

0

F

x

G

x

x

ut

|t

0

aF

'

x

aG

'

x

x

兩端對x

積分，可得：01xa

xF

x

G

x

d

C

11212x2a

x0C2C212a

x

F

x

G

x

x

d

d

xx0由此即得原定解問題的解:112xat2a

xatu

x,

t

[

x

at

x

at

]

d無限長弦振動的達朗貝爾(d’Alembert)公式.行波法小結

(注：行波法僅適用于雙曲型方程)：：2.特征方程與特征根2

2u

2

2u

0 (

x

,

t

0)t

a

x21.波動方程：u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)

2

a2

0

a

x

at

=x

at變量替換解方程：

2u

0

u

F

(

x

at

)

G(

x

at

)5.利用初始條件解F、G：

12u

x,

t =

1

2a

(

)dx

atx

at

(

x

at

)

(

x

at

)

例1：振動波動方程

問題：tt

xxtu(

x,

0)

x2u

a2u

0,

-

x

,

t

0u(

x,

0)

sin

x解：由達朗貝爾公式：sin(

x

at

)

sin(

x

at

)

212

1

2ax

atx

atu

d3

sin

x

cos

at

t

(3

x2

a2t

2

)例2：解定解問題:tt

xx

a2

u

,u

x

,

t

0u

|t

0

sin

x,

ut

|t

0

cos

x解:

11cos

d2u

x,

t

[sin

x

at

sin(

x

at

)]2axatxata

sin

x

cos

at

1

cos

x

sin

at.例3：求解波動方程問題-<

x

,

t

0,

-<

x

1

x21tt

xxtu

(

x,

0)

u

a2u

0u(

x,

0)

0

,解：由達朗貝爾公式：11

22au

1x

atx

atd2a

1

arctan(

x

at

)

arctan(

x

at

)例4：求二階線性偏微分方程初值問題的解

2uxy

3uyy

0u

|

3

x2

,

u

|

0

y0

y

y0uxx解:

先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：dy

2

2dxdy或者

dy

2

dy

2

3

0.dx

dx

它的兩族積分曲線為3

x

y

C12

x

y

C做特征變換

3

x

y

x

y容易驗證，經(jīng)過變換原方程化成

2u

0.它的通解為u

F

G

其中

F

,G

是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

把這個函數(shù)代入到條件

u

|y0

3

xF

3

x

G

x

3

x2yF

'3

x

G

'

x

03

1

F

3

x

G

x

C344x2F

3

x

9

x2

C

'

C

'G

x

代入到x2434F

x

1

x2

C

'

C

'G

x

u

x,

t

F

3x

y

G

x

y

,得原問題的解為：u

x,

y

1

3x

y2

3

x

y2

3x2

y24

4例5求二階線性偏微分方程的通解

2sin

xuxy

cos

xu

0.2yyuxx解：特征方程為dy

2

2sin

xdxdy

dy

1

sin

x

dx

dx積分曲線為：

y

x

cos

x

C12

y

x

cos

x

C經(jīng)過變換原方程化成

2u

0所以,令

y

x

cos

x

y

x

cos

xf1

,f2

是任意二次連續(xù)可為原問題的通解，其中微函數(shù)。u(

x,

y)

f1

(

y

x

c2二.d’Alembert公式物理意義u

x,

t

F

x

at

G

x

at

1.考慮u2

G

x

at

,

若G(

x)

的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時間

t

的推移，u2

G

x

at

的圖形以速度a向x軸正方向平行移動,故稱齊次波動方程形如

u2

G

x

at

的解為右行波。2,u1

F

x

at

表示一個以速度a

向x

軸負方向

的行波，且

過程中，波形也不變化。稱為左行波。xOx02u(t

0)x

x0u2

G(

x

at

)(t

t0

)atxOx0u1

F

(

x)x0

atu1

F(

x

at

)atG(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x-at)=F(x0+at-at)=F(x0)xa

a的物理意義,如圖給出的特例u2u2x

a23a2u2x02au2xa3a考慮：u2

Gu2

G(

x)t

02t

1u

G(

x

a

/

2)2t

1u2

G(

x

a)u2

G(

x

2a)t

2行波速度：T千克

米/秒2

T千克/米=

米/秒a

弦拉的越緊,波速度越快;密度越小,波越快P912

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

(

x

at

)

(

x

at

)

結論：達朗貝爾解表示沿

x

軸正、反向 的兩列波速為a的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時：

1

2a

(

)dx

atx

atu(

x,

t

)

u(

x,

t

)

1

(

x

at

)

1

(

x

at

)(1)只有初始位移時，2u(

x,

t)

1

(

x

at)

(

x

at)

(

x

at

)代表以速度a

沿x

軸正向的波

(

x

at

)

代表以速度a

沿x

軸負向

的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0xx

at

x

at為解的依賴區(qū)間。三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域內(nèi)的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時，解的值不變。tP(x,

t)它是過（x，t）點，斜率為

1的直線與

x

軸所截而得到

依賴區(qū)間1.依賴區(qū)間u(x,t)僅僅依賴于[x

ata的區(qū)間（如右圖）。區(qū)間

[x

at該區(qū)域中任一點(x,

t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c, d]內(nèi)部，因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間[c,

d]上的初始條件決定。該區(qū)間稱為決定區(qū)域。在區(qū)間[x1

,x2]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。xtx

c

atc決定區(qū)域dx

d

at2.決定區(qū)域3.影響區(qū)域如果在初始時刻

t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間

[c,d

]上存在，則經(jīng)過時間t

后，擾動傳到的范圍為c

at

x

d

at

(t

0)定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間

[c,d

]的影響區(qū)域。cxdx

d

at影響區(qū)域tx

d

at121

2a

(

)dxatxatx1xx22x

x影響區(qū)域tx

x1

atx1x

x

at(x

at)

(x

at)

tx1決定區(qū)域x2x

x2x依賴區(qū)間x

at

x

atu(x,t)

tP(x,

t)小結：x

at

C特征線特征變換

x

at

x

at的兩族直線：a分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為

1x

at

常數(shù)對一維波動方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動方程的特征線。波動沿特征線

。稱為特征變換,行波法也叫特征。

x

at,

x

at自變量變換4.行波法又叫特征注：容易看出,一維波動方程的兩族特征線x

at

常數(shù)恰好是常微分方程

dx

2

a這個常微分方程稱為波動方程的解。u

a2u

(

x

,

t

0)tt

xx的特征方程。11212af

(

,

)d

dt xa(t

)xat2a

xat0

xa(t

)u

x,

t

[

x

at

x

at

]

d

一維非齊次波動方程問題的Kirchihoff公式.四.弦受迫振動問題2tt

xxu

a

u

f

(

x,

t

)(

x

,

t

0)u(

x,0)

(

x),

ut

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2vv(1)

v(

x,0)

(

x),

vt

(

x,0)

(

x)tt

xx

a2

w

f

(

x,

t

)w(2)

w(

x,0)

wt

(

x,0)

0u

v

w

2u

2u

a2

sin

xx2例：

t

2u

cos

x,

u

x

t

0

t

t

0uII

(x,t)

cos

at

cos

x

xtuIII

(x,

t)解：cos(x

a(t

))

cos(x

a(t

))d

112a

1

2a0a20atsin

x

sin

a(t

)d

1

sin

x[1

cos

at]t

sin

ddt

xa

(t

)0

xa

(t

)a2u(x,t)

cos

at

cos

x

xt

1

sinx[1

cos

at](

x,

t

)t

0t

0

2u

a2

,t

0,

0

x

2ux2

t

2u(

x,

t

)

(

x),

(

x)utu(0,

t

)

g(t

)我們先考慮

g(t

)

0

情形，即端點固定的振動。希望能利用達朗貝爾公式來求解u(

x,

t

)

(

)d2

at

)

at

)(

x

(

x

1

2axatxat五.半弦的振動問題為此，我們要作奇延拓(有時也作偶延拓)：u(

x,

t

)U

(

x,

t

)

u(

x,

t

)(

x

0)(

x

0)(

x)

(

x)

((

x)

(

x)

(t

0t

0

2U

a2

,t

0,

x

2Ux2

t

2U

(

x,

t)

(

x),(

x,

t)

(

x)Utxatxat(

x

at

)

(

x

at

)

12

2aU

(

x,

t

)

(

)d半當問題的解為：x

at時：當

0

x<

at

時：2(

x

(

x

(

)dxatxat

at

)

at

)

1

2au(

x,

t

)

2

(

)dxatat

x

at

)

u(

x,

t

)

(

x

(at

x)

1

2a當在x=0處有一個端，即：ux

(0,t)

0則需要作偶延拓。例

2u

2u

t

2

x2

,t

0t t

0

2

x2

,

u

3

xx0x

0,

t

0

0uu當x

0,x

t

0u(

x,

t)

(

x

t)2

(

x

t)2

12(3

)dxtxt22

2

x

2t

3

xt當x

0,x

t

02212u(

x,

t)

(

x

t)

(t

x)

(3

)dxtt

x

7xt§3.2

三維波動方程

問題的解一.三維波動方程和球?qū)ΨQ解

(

x,

y,

z)

(

x,

y,

z)

2u

2u

2u

2u

,

t

0,z2

t

0u

a2

x2

y2

t

2u

tt

0

2u

2u

2uu

x2

y2

z2

rM

(

,,

)M

(

x,

y,

z)rS

Mxyzo球坐標中的Laplace運算：

x

r

sin

cos

y

r

sin

sin

z

r

cosu

2u

2u

2ux2

y2

z222sinr1

2u

1

2

u

1

u

r

rr

r

sin

r

2

sin

2

球?qū)ΨQ性：所謂球?qū)ΨQ是指u與

,

無關，則波動方程可化簡為22ar

2u

1

2

u

t

2

r