機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)

1-1

求周期方波（見圖

第一章 信號(hào)的分類與描述1-4）的傅里葉級(jí)數(shù)（復(fù)指數(shù)函數(shù)形式）

，劃出

|cn|

–ω和φn–ω圖，并與表 1-1對(duì)比。解答：在一個(gè)周期的表達(dá)式為A(T0t0)x(t)2.T0)A(0t2積分區(qū)間取（-T/2，T/2）T0T0T00221T0jn0t10jn0t1T0jn0t2Tx(t)edt=AeAedtcnT0dt+2T0T02T002A(cosn-1)(n=0,1,2,3,)=jn所以復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為x(t)cnejn0tjA1(1cosn)ejn0t，n=0,1,2,3,。nnncnIA(1cosn)(n=0,1,2,3,)ncnR022A(12An1,3,,cncnRcnIcosn)nn0n0,2,4,6,πn1,3,5,arctancnI2φπ1,3,5,ncnR2n0n0,2,4,6,沒有偶次諧波。其頻譜圖如下圖所示。000n000ω00-π0/2nπ/2ω000ω-52A/5ωπ-2A/33ωπ2A/-ω|cπ幅|頻圖2A/ωπ2A/33周ω期π方波2A/55復(fù)ω指π數(shù)函數(shù)形式-5頻ω譜圖-3ω-ωφ相頻圖3ω5ω1-2求正弦信號(hào)x(t)x0sinωt的絕對(duì)均值μ和均方根值xrms。x解答：1T1T2x0TxTxx20μx0sinωtdt2sinωtdtx(t)dtcosωt2xT0TTTω00Tωπxrms1T2(t)dt1T2sin2x02T1cos2ωtdtx0TxTx0ωtdt2200T01-3求指數(shù)函數(shù)()Aeat(a0,t0)的頻譜。xt解答：X(f)x(t)ej2ftdtAeatej2fte(aj2f)tAA(aj2f)dtA0220(aj2f)aj2fa(2f)X(f)kf)2a2(2(f)arctanImX(f)arctan2fReX(f)a0單邊指數(shù)f衰減信號(hào)頻譜圖-πφ/2(f)0f1-4求符號(hào)函數(shù)(見圖1-25a)和單位階躍函數(shù)(見圖1-25b)的頻譜。sgn(t)10-1圖t1-25題1-4圖10t符號(hào)函數(shù)的頻譜1 t 0x(t) sgn(t)1 t 0t=0處可不予定義，或規(guī)定 sgn(0)=0。該信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接求解，但傅里葉變換存在?？梢越柚陔p邊指數(shù)衰減信號(hào)與符號(hào)函數(shù)相乘， 這樣便滿足傅里葉變換的條件。 先求此乘積信號(hào)x1(t)的頻譜，然后取極限得出符號(hào)函數(shù) x(t)的頻譜。x(t)eatsgn(t)eatt01eatt0x(t)sgn(t)limx1(t)a0X(f)01x(t)ej2ftdt1X(f) F sgn(t) limX1(f)a 0

eatej2ftdteatej2ftdtj24ff)20a(21jfX(f)

1ff 02(f)f 02x1(t) e10atsgn(t)符號(hào)函數(shù) t 0 符號(hào)函f數(shù)頻譜φ(f)0 π/2 f階躍函數(shù)頻譜u(t)1t00t0在跳變點(diǎn)t=0處函數(shù)值未定義，或規(guī)定(0)=1/2。u階躍信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但卻存在傅里葉變換。由于不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接求其傅里葉變換，可采用如下方法求解。解法1：利用符號(hào)函數(shù)u(t)11sgn(t)22U(f)Fu(t)F11Fsgn(t)1(f)1j11(f)j12222f2fU(f)12(f)122f結(jié)果表明，單位階躍信號(hào)(t)的頻譜在f=0處存在一個(gè)沖激分量，這是因?yàn)?t)含有直流uu分量，在預(yù)料之中。同時(shí)，由于u(t)不是純直流信號(hào)，在t=0處有跳變，因此在頻譜中還包含其它頻率分量。0單位f階躍信號(hào)頻譜φ(f)0π/2f解法2：利用沖激函數(shù)1t時(shí)u(t)t()dt時(shí)00根據(jù)傅里葉變換的積分特性t1(f)111U(f)F()d(0)(f)(f)jj2f22f1-5 求被截?cái)嗟挠嘞液瘮?shù) cosω0t(見圖1-26)的傅里葉變換。x(t)cosω0ttT-T-T圖1-26w(t)x(t)被0截0斷1的余弦函數(shù)TTtt0tT解：x(t)w(t)cos(2f0t)()為矩形脈沖信號(hào)wtW(f)2Tsinc(2Tf)cos(2f0t)1ej2f0tej2f0t2所以x(t)1w(t)ej2f0t1w(t)ej2f0t22根據(jù)頻移特性和疊加性得：X(f)1f0)1f0)W(fW(f22Tsinc[2T(ff0)]Tsinc[2T(ff0)]可見被截?cái)嘤嘞液瘮?shù)的頻譜等于將矩形脈沖的頻譜一分為二，各向左右移動(dòng)f0，同時(shí)譜線高度減小一半。也說明，單一頻率的簡諧信號(hào)由于截?cái)鄬?dǎo)致頻譜變得無限寬。-f0被截?cái)郮(f)的余弦T函數(shù)頻譜f0f1-6求指數(shù)衰減信號(hào)x(t)eatsinω0t的頻譜x(t)指數(shù)衰減信號(hào)解答：sin(0t)1ej0t2j所以x(t)eat1ej0t2j

ee

0t0t單邊指數(shù)衰減信號(hào)x1(t)eat(a0,t0)的頻譜密度函數(shù)為X(f)x(t)ejtdteatejtdt1aj2110aja2根據(jù)頻移特性和疊加性得：X()1X1(0)X1(0)1aj(0)aj(0)2j2ja2(0)2a2(0)20[a2(202)]j2a0[a2(0)2][a2(0)2](0)2][a2(0)2][a2X(ω0) 指數(shù)衰ω減信號(hào)的頻譜圖 φ(ω-π0) π ω1-7設(shè)有一時(shí)間函數(shù)f(t)及其頻譜如圖1-27所示?，F(xiàn)乘以余弦型振蕩cosω0t(ω0ωm)。在這個(gè)關(guān)系中，函數(shù)f(t)叫做調(diào)制信號(hào)，余弦振蕩cosω0t叫做載波。試求調(diào)幅信號(hào)f(t)cosω0t的傅里葉變換，示意畫出調(diào)幅信號(hào)及其頻譜。又問：若ω0ωm時(shí)將會(huì)出現(xiàn)什么情況？f(t)圖1-27t題1-7圖0ω解：x(t)f(t)cos(0t)F()F[f(t)]cos(0t)1ej0tej0t2所以x(t)1f(t)ej0t1f(t)ej0t22根據(jù)頻移特性和疊加性得：X(f)1F(0)10)2F(2可見調(diào)幅信號(hào)的頻譜等于將調(diào)制信號(hào)的頻譜一分為二，各向左右移動(dòng)載頻ω，同時(shí)譜0線高度減小一半。矩形X(f)調(diào)幅信號(hào)頻譜ω0f若ω0ωm將發(fā)生混疊。1-8求正弦信號(hào)x(t)x0sin(ωtφ)的均值μ、均方值ψ2和概率密度函數(shù)p(x)。xx解答：1T1T02π(1)μxlim0x(t)dtx0sin(ωtφ)dt0，式中T0—正弦信號(hào)周期TTT00ω(2)21Tx2(t)dt1T022(ωtx02T01cos2(ωtφ)x02ψxlim