簡(jiǎn)單的三角恒等變換

.8/8第4講簡(jiǎn)單的三角恒等變換★知識(shí)梳理升降冪公式:;同角正余弦化積公式,其中；=★重難點(diǎn)突破1.重點(diǎn)：掌握利用三角恒等變換處理三角式化簡(jiǎn),求值與證明等問(wèn)題。2.難點(diǎn)：確定三角變換的方向及三角公式的合理運(yùn)用.3.重難點(diǎn)：通過(guò)審題分析已知條件和待求結(jié)論之間角的差異,建立聯(lián)系,使問(wèn)題獲解。〔1三角變換的基本思路是"變角、變名、變式"問(wèn)題1:〔07XX若,,則_____．點(diǎn)撥：已知條件中的角是,待求式中的角是,故只需將條件展開(kāi),再由同角關(guān)系式來(lái)處理。由求出<2>處理三角式的化簡(jiǎn)、求值和證明問(wèn)題的基本原則是"見(jiàn)平方就降次,見(jiàn)切割就化弦,充分利用同角關(guān)系式,關(guān)注符號(hào)定象限,象限定符號(hào)的特征"。問(wèn)題2：已知,．求和的值．點(diǎn)撥：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算能力。先將切化弦,再尋找角之間的關(guān)系。由得則因?yàn)樗浴餆狳c(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1:三角求值題的處理題型1.給角求值問(wèn)題[例1]〔XX省聊城一中2008—2009學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期末綜合測(cè)試不查表求值=．[解題思路]要注意到,然后用公式展開(kāi).[解析]原式=．[名師指引]給角求值問(wèn)題一般考慮通過(guò)變角湊出特殊解且設(shè)法將非特殊角抵消或約去,注意公式的順用、逆用和變形用.[新題導(dǎo)練]1.<tan5°－cot5°>·解：原式=2．<08XX省>=〔 A. B. C.2 D.[解析],選C。答案：C題型2給式求值[例2]<XX市2009屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題>已知．〔1求的值；〔2求的值．[解題思路]第<1>問(wèn)注意到,第<2>問(wèn)對(duì)三角式化為的表達(dá)式.解析：〔1由,,．〔2原式＝．[名師指引]給式求值一般從分析角的關(guān)系入手.例3.<XX省師大附中20XX高三上期期末考試>設(shè)向量,若,,求的值。[解題思路]先進(jìn)行向量計(jì)算,再找角的關(guān)系.解析:[名師指引]三角與向量是近幾年高考的熱門(mén)題型,這類(lèi)題往往是先進(jìn)行向量運(yùn)算,再進(jìn)行三角變換[新題導(dǎo)練]1.已知函數(shù)f<x>＝2sinxcosx＋cos2x.<Ⅰ>求f<>的值；<Ⅱ>設(shè)∈<0,>,f<>＝,求cos2的值.解析：〔Ⅰ∵f<x>=sin2x+cos2x,∴f<>=sin+cos=1〔Ⅱ∵f<>=sinα+cosα=,∴1+sin2α=,sin2α=,∴cos2α=∵α∈〔0,π∴2α∈〔π,π∴cos2α<0.故cos2α=2.已知向量a＝〔3sinα,cosα,b＝<2sinα,5sinα－4cosα>,α∈〔,且a⊥b．求tanα的值；解：〔1∵a⊥b,∴a·b＝0．而a＝〔3sinα,cosα,b＝<2sinα,5sinα－4cosα>,故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0,∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之,得tanα＝－,或tanα＝．∵α∈〔,tanα＜0,故tanα＝〔舍去．∴tanα＝－．題型3.給式求角例4．<XX省揭陽(yáng)市20XX第一次模擬考試>已知：向量,,函數(shù),若且,求的值；[解題思路]先由向量運(yùn)算得出三角函數(shù)間的關(guān)系,再進(jìn)一步處理。解析：∵＝-由得即∵∴或∴或-[名師指引]給式求角問(wèn)題可考慮先求出一種三角函數(shù)值,再精確估計(jì)角的范圍再定角。例5．<2007·XX>已知<<<,<Ⅰ>求的值.〔Ⅱ求.[解題思路]由同角關(guān)系求出再求；又結(jié)合角的范圍定角。[解析]〔Ⅰ由,得∴,于是〔Ⅱ由,得又∵,∴由得：,所以[名師指引]本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào),已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力。[新題導(dǎo)練]3．已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A〔4,0,B〔0,4,C〔.若,且,求角的大??；解析：〔Ⅰ由已知得：則因?yàn)?．在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且,求角A；解析：,即,∴,∴．∵,∴．考點(diǎn)2:三角式的化簡(jiǎn)與證明題型1:利用正、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.化簡(jiǎn)[解題思路]對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)結(jié)果的一般要求：=1\*GB3①函數(shù)種類(lèi)最少；=2\*GB3②項(xiàng)數(shù)最少；=3\*GB3③函數(shù)次數(shù)最低；=4\*GB3④能求值的求出值；=5\*GB3⑤盡量使分母不含三角函數(shù)；=6\*GB3⑥盡量使分母不含根式.[解析]原式===[名師指引]在三角式的化簡(jiǎn)方向一般為降次,消項(xiàng).例2:證明taneq\f<3x,2>－taneq\f<x,2>＝eq\f<2sinx,cosx＋cos2x>[解題思路]細(xì)心觀察已知等式中的角,發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：eq\f<3x,2>＋eq\f<x,2>＝2x,eq\f<3x,2>－eq\f<x,2>＝xeq\f<3x,2>－eq\f<x,2>＝x∴sinx＝sineq\f<3x,2>coseq\f<x,2>－coseq\f<3x,2>sineq\f<x,2> ①又cosx＋cos2x＝2coseq\f<3x,2>coseq\f<x,2> ②①÷②即得：eq\f<2sinx,cosx＋cos2x>＝eq\f<sineq\f<3x,2>,coseq\f<3x,2>>－eq\f<sineq\f<x,2>,coseq\f<x,2>>＝taneq\f<3x,2>－taneq\f<x,2>.[名師指引]三角恒等式的證明在高考中出現(xiàn)較少,方法與化簡(jiǎn)類(lèi)似.[新題導(dǎo)練]5．=〔A、B、C、1D、B［解析］6．求證:.=證明:左邊======右邊[方法技巧]利用萬(wàn)能公式得出=,=可簡(jiǎn)化過(guò)程.★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1已知,,則〔ABCD解析：D,2.<XX金山中學(xué)2008～2009學(xué)年度上學(xué)期高三期末考試>已知,且,則等于〔解析：由且知故=選B3．〔XXXX外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2008—2009學(xué)年高三第二次月考已知,則的值為〔A．B．C．D．解析：=選A4．設(shè),,,則大小關(guān)系〔ABCDC.D.或解析：D,,5．求值：_____________解析:.5.設(shè)向量,,且．〔1求；〔2求．解：〔1∴∴〔2． 6.<XX省四校聯(lián)合體08年第一次聯(lián)考>設(shè)函數(shù),其中向量,若函數(shù)解：〔1綜合拔高訓(xùn)練7.〔XX市高三級(jí)2008—2009學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試已知向量,,.<Ⅰ>求的值;<Ⅱ>若,,且,求解:〔Ⅰ,,.,,即,.〔Ⅱ,,,,.8.已知求的值.解:由==得又,所以.于是===9.已知向量EQ