數(shù)學分析 §5.1導數(shù)的概念

數(shù)學分析§5.1導數(shù)的概念數(shù)學分析§5.1導數(shù)的概念數(shù)學分析§5.1導數(shù)的概念數(shù)學分析§5.1導數(shù)的概念編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:第五章導數(shù)與微分§1導數(shù)的概念【教學目的】深刻理解導數(shù)的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導數(shù)；知道導數(shù)與導函數(shù)的相互聯(lián)系和區(qū)別；明確導數(shù)與單側(cè)導數(shù)、可導與連續(xù)的關(guān)系；能利用導數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實際應(yīng)用問題；會求曲線上一點處的切線方程；清楚函數(shù)極值的概念，并會判斷簡單函數(shù)的極值。【教學重點】導數(shù)的概念，幾何意義及可導與連續(xù)的關(guān)系?！窘虒W難點】導數(shù)的概念。一、導數(shù)的定義1．引入（背景）導數(shù)的概念和其它的數(shù)學概念一樣是源于人類的實踐。導數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，后來英國數(shù)學家牛頓（Newton）在研究物理問題變速運動物體的瞬時速度，德國數(shù)學家萊布尼茲（Leibuiz）在研究幾何問題曲線切線的斜率問題中，都采用了相同的研究思想。這個思想歸結(jié)到數(shù)學上來，就是我們將要學習的導數(shù)。在引入導數(shù)的定義前，先看兩個與導數(shù)概念有關(guān)的實際問題。問題1直線運動質(zhì)點的瞬時速度：設(shè)一質(zhì)點作直線變速運動，其運動規(guī)律為，若為某一確定時刻，求質(zhì)點在此時刻時的瞬時速度。取臨近于時刻的某一時刻，則質(zhì)點在或時間段的平均速度為：，當越接近于，平均速度就越接近于時刻的瞬時速度，于是瞬時速度：。問題2曲線上一點處切線的斜率：已知曲線方程為，求此曲線在點處的切線。在曲線上取臨近于點的某點，則割線的斜率為：，當越接近于，割線斜率就越接近于曲線在點處的斜率，于是曲線在點處的斜率：.2．導數(shù)的定義以上兩個問題的實際意義雖然不同，但從數(shù)學角度來看，都是特殊形式的函數(shù)的極限。定義1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱該極限為在點處的導數(shù)，記作或定義1令，，則上述定義又可表示為：＝即函數(shù)在一點處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比當自變量改變量趨于零時的極限。例1已知函數(shù)，求解；或。例2已知函數(shù)，求解例3已知函數(shù)，求解，不存在故函數(shù)在點處不可導。例4已知函數(shù)，求解，故函數(shù)在點處不可導。二、導數(shù)的幾何意義通過對引例2我們已經(jīng)看到，已知曲線方程，若在點可導，那么曲線在點存在切線，并且切線斜率為。注：若曲線在點存在切線，那么在點可導嗎（

不一定，如在點）。y=f(x)切線方程（點斜式）：；法線方程（點斜式）：。例5求曲線在點處切線與法線方程。解， 切線方程：，即：；法線方程：，即：三、可導與連續(xù)的關(guān)系1．定理若函數(shù)在點可導，則在點連續(xù)。證明函數(shù)在點可導，由導數(shù)定義知，所以在點連續(xù)（P69最下式）。2．若函數(shù)在點連續(xù)，則在不一定可導。如例3中，函數(shù)在點連續(xù)，但是不可導。 例6證明函數(shù)僅在點處可導。其中為狄利克雷函數(shù)：。證明當時，由歸結(jié)原則可得函數(shù)在點不連續(xù)，所以由定理便知它在處不可導；當時，，說明它在處可導；綜上便知函數(shù)僅在點處可導。四、單則導數(shù)若只研究函數(shù)在某一點右鄰域（左鄰域）上的變化率，只需討論導數(shù)定義中極限的右極限（左極限），于是我們引入單則導數(shù)的概念。1．定義定義2若函數(shù)在有定義，定義右導數(shù)為：；若函數(shù)在有定義，定義左導數(shù)為：右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單則導數(shù)。2．由左、右極限與極限之間的關(guān)系容易得到左、右導數(shù)與導數(shù)之間有如下關(guān)系：定理函數(shù)在點可導，且函數(shù)在點即左可導又右可導，且例7設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在點處的左、右導數(shù)與導數(shù)。解由于，所以，.由定理可知函數(shù)在點處不可導。五、導函數(shù)1．可導函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間上每一點都可導（對區(qū)間端點，僅考慮單側(cè)導數(shù)），則稱為上的可導函數(shù)。2．導函數(shù)區(qū)間上的可導函數(shù)，對每一，都有一個導數(shù)（或單則導數(shù)）與之對應(yīng)，這樣定義了一個在上的函數(shù)，稱之為函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)，簡稱為導數(shù)，記作即：（求解時只需將看作固定常量即可）。例8．求以下函數(shù)的導數(shù)（以下結(jié)果需熟記）：（1）常函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（2）三角函數(shù)；（3）對數(shù)函數(shù).解（1），即：；（2），即：；類似可求出：.（3），即：六、函數(shù)極值1．極值定義定義3若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)對一切有（），則稱函數(shù)在點取得極大（?。┲?，稱點為極大（小）值點，稱為極大（?。┲?，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。說明：①極值為局部概念，極值與極值點均可以有多個；最值為整體概念，若存在則必唯一；②極值不可能在一區(qū)間端點取得，只能在區(qū)間內(nèi)部取得；最值無此限制；③若在點取得最值，當為區(qū)間端點時，則此最值不是極值，但當為區(qū)間內(nèi)部的點時，則此最值一定是極值。2．費馬（Fermat）定理從圖象上可以看到，若點為函數(shù)的極值點，且點處曲線的切線存在（在點可導），那么此切線應(yīng)平行于軸（）。從而有：定理(費馬定理)若點為函數(shù)的極值點，且在點可導，則必有.證明這里以極大值的情形給予證明，對極小值情形類似可證之。設(shè)為函數(shù)的極大值點，則對一切都有，于是，當時：；當時：由函數(shù)極限的保不等式性有：且，又知存在，故由定理便知。說明：①穩(wěn)定點：稱滿足的點為函數(shù)的穩(wěn)定點（求法：解方程）；②穩(wěn)定點不一定是極值點（如函數(shù)，點為穩(wěn)定點但不是極值點）；③極值點不一定是穩(wěn)定點，只有加上可導條件極值點才是穩(wěn)定點（如函數(shù)，點為極值點但不是穩(wěn)定點）。3．達布（Darboux）定理定理(達布定理，導函數(shù)的介值定理)若函數(shù)在上可導，且，為介于與之間的任一實數(shù)，則至少存在一點，使得證明不妨設(shè)，則（此處介于指不等式嚴格成立）引入函數(shù)在上可導，由定理知在上連續(xù)，在上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理則：存在一點，使得為在上的最大值，欲利用費馬定理來證，需證以下兩