高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)

高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)xxx公司高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的概念：（1）虛數(shù)單位i；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi，(a,b∈R)；（3）復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2．復(fù)數(shù)集3．復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)由兩部分組成，實(shí)數(shù)a與b分別稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部，1與i分別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng)b=0時(shí)，a+bi就是實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，a+bi是虛數(shù)，其中a=0且b≠0時(shí)稱為純虛數(shù)。應(yīng)特別注意，a=0僅是復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實(shí)數(shù)。4．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）減法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四則運(yùn)算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（6）特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：①(n為整數(shù))的周期性運(yùn)算；②(1±i)2=±2i；③若ω=-+i，則ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模（1）若z=a+bi，則，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)(b≠0).（2）復(fù)數(shù)z=a+bi的模|Z|=,且=a2+b2.6.根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a,b,c,d∈R，兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi和c+di相等規(guī)定為a+bi=c+di.由這個(gè)定義得到a+bi=0.兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。4．復(fù)數(shù)a+bi的共軛復(fù)數(shù)是a－bi，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。若b=0，則實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)a共軛，表示點(diǎn)落在實(shí)軸上。5．復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本上沒有區(qū)別，最主要的是在運(yùn)算中將i2=－1結(jié)合到實(shí)際運(yùn)算過程中去。如(a+bi)(a－bi)=a2+b26．復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+bi≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。由于兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的除法可以通過將分母實(shí)化得到，即.7．復(fù)數(shù)a+bi的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（二）典型例題講解1．復(fù)數(shù)的概念例1．實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i是（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)（4）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限解：復(fù)數(shù)z=m+1+(m－1)i中，因?yàn)閙∈R，所以m+1，m－1都是實(shí)數(shù)，它們分別是z的實(shí)部和虛部，∴（1）m=1時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）m≠1時(shí)，z是虛數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，即m=－1時(shí)，z是純虛數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，即m<－1時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限。例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組，得x=,y=4.例4．當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝+(m2+3m－10)i；（1）是實(shí)數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)．解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法．（1）z為實(shí)數(shù)，則虛部m2+3m－10=0，即，解得m=2，∴m=2時(shí)，z為實(shí)數(shù)。（2）z為虛數(shù)，則虛部m2+3m－10≠0，即，解得m≠2且m≠±5.當(dāng)m≠2且m≠±5時(shí)，z為虛數(shù)．，解得m=－,∴當(dāng)m=－時(shí)，z為純虛數(shù)．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)相應(yīng)必須具備的條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一要求．例5．計(jì)算：i＋i2＋i3+……+i2005.解：此題主要考查in的周期性．i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+(i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.或者可利用等比數(shù)列的求和公式來求解（略）詮釋：本題應(yīng)抓住in的周期及合理分組．例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的實(shí)數(shù)m＝.解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．∵m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10,且虛數(shù)不能比較大小，∴，解得，∴m=3.當(dāng)m＝3時(shí)，原不等式成立．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)必須都為實(shí)數(shù)這一條件。例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且，求z．解：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充要條件及指數(shù)方程，對(duì)數(shù)方程的解法．∵，∴，∴，解得或,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)相等的充要條件這一關(guān)鍵，正確、熟練地解方程（指數(shù)，對(duì)數(shù)方程）例10．已知x為純虛數(shù)，y是實(shí)數(shù)，且2x－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，求x、y的值．解：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，實(shí)數(shù)與i的運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，方程組的解法．設(shè)x＝ti(t∈R，且t≠0），則2x－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i可化為2ti－1＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，∴,∴y=－1,t=－,∴x=－i.2．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例1．計(jì)算：（1），n∈N+；（2）若ω=－+i，ω3=1，計(jì)算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.解：（1）==.（2）==－2.（3）由于,,∴==8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知復(fù)數(shù)z滿足|z－2|=2，z+∈R，求z.解：設(shè)z=x+yi,x,y∈R，則z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z－2|=2,∴(x－2)2+y2=4,聯(lián)立解得，當(dāng)y=0時(shí),x=4或x=0(舍去x=0,因此時(shí)z=0)，當(dāng)y≠0時(shí),,z=1±,∴綜上所得z1=4，z2=1+i，z3=1－i.例3．設(shè)z為虛數(shù)，求證：z+為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|=1.證明：設(shè)z=a+bi(a,b∈R，b≠0)，于是z+=(a+bi)+,所以b≠0,(z+)∈Rb－=0a2+b2=1|z|=1.例4．復(fù)數(shù)z滿足(z+1)(+1)=||2，且為純虛數(shù)，求z.解：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則(z+1)(+1)=||2+z++1=||2，∴z++1=0，z+=－1，x=－.==為純虛數(shù)，∴x2+y2－1=0,y=±,∴z=－+i或z=－－i.例5．復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z+(3－10i)=4－34i，求z.解：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x－yi)=4－34i，整理得(4x－12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴,解得,∴z=4+i.例6．設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+是實(shí)數(shù)，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)u=，求證u為純虛數(shù)；（3）求ω－u2的最小值。解：（1）設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，則ω=，由于ω是實(shí)數(shù)且b≠0，∴a2+b2=1，即|z|=1，由ω=2a,－1<ω<2,∴z的實(shí)部a的的取值范圍是(－,1).（2）u==，由于a∈(－,1),b≠0，∴u是純