淮安市漣水縣2021-2022九年級初三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題+答案

淮安市漣水縣2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A. B.C. D.2.方程x2=1的根是（）A.x=1 B.x=﹣1 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=﹣13.拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A.（1，2） B.（﹣1，2） C.（1，﹣2） D.（﹣1，﹣2）4.一組數(shù)據(jù)1，x，5，7的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則該組的平均數(shù)是（）A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.65.若，則中值為（）A. B. C. D.6.如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）

A.8 B.12 C.14 D.167.如圖，PA，PB切⊙O于點A，B，點C是⊙O上一點，且∠P＝36°，則∠ACB＝()A.54° B.72° C.108° D.144°8.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖,給出下列四個結(jié)論:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9.投擲一枚質(zhì)地均勻正方體骰子，向上一面的點數(shù)是1的概率是______．10.二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為_________．11.已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項，則c＝_____cm．12.甲，乙兩人進(jìn)行飛鏢比賽，每人各投6次，甲的成績（單位：環(huán)）為：9，8，9，6，10，6．甲，乙兩人平均成績相等，乙成績的方差為4，那么成績較為穩(wěn)定的是______．（填“甲”或“乙”）13.已知是關(guān)于的方程的一個根，則___________.14.已知圓錐的底面圓半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則它的側(cè)面展開圖面積為_____________．15.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，則∠COD＝________．16.如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ最小值為__．三、解答題（共11小題，滿分102分）17.解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．18.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，在△ABC的同側(cè)作出相似比為2：1，放大后的△A2B2C2．19.教育行政部門規(guī)定初中生每天戶外活動的平均時間不少于1小時，為了解學(xué)生戶外活動的情況，隨機地對部分學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中共調(diào)查學(xué)生人數(shù)為；活動時間為1小時所占的比例是%．（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該市共有初中生約14000名，試估計該市符合教育行政部門規(guī)定的活動時間的學(xué)生數(shù)．20.現(xiàn)如今，“垃圾分類”意識已深入人心，垃圾一般可分為：可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．現(xiàn)有甲、乙二人，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了兩袋垃圾．（1）直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率．（2）用畫樹狀圖或列表的方法求乙所拿的垃圾不同類的概率．21.如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，∠ABC=∠ACD，（1）求證：△ABC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的長．22.如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜3時，則y的取值范圍．23.如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少mm．

24.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點E，連接CE，且CB＝CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O半徑．25.某超市銷售一批成本為20元/千克的綠色健康食品，深受游客青睞．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示．（1）求該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若超市按售價不低于成本價，且不高于40元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大？最大利潤是多少？（3）若超市要使每天銷售該食品獲得的利潤不低于2400元，則每天的銷售量最少應(yīng)為千克．26.問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，∠B＝∠A＝∠EDF．（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，判斷：△ADM△BND（填相似或全等）；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)AC＝BC時，上述結(jié)論是否還成立？請說明理由．（3）延伸拓展：如圖③，在（2）的條件下，當(dāng)點D在BA的延長線上運動到點M與點C重合時，若S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，則DN＝．27.如圖，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A、B兩點，且與y軸交于點C（0，3），直線y＝﹣x﹣1經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點D．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P是位于直線AD上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PD，求△PAD的面積的最大值；（3）Q點在x軸上且位于點B的左側(cè)，若以Q，B，C為頂點的三角形與△ABD相似，求點Q的坐標(biāo)．

答案與解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、既不是軸對稱圖形，也又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2.方程x2=1的根是（）A.x=1 B.x=﹣1 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=﹣1【答案】D【解析】【詳解】試題分析：兩邊直接開平方即可．解：x2=1，兩邊直接開平方得：x=±=±1，故：x1=1，x2=﹣1，故選D．考點：解一元二次方程-直接開平方法．3.拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)是（）A.（1，2） B.（﹣1，2） C.（1，﹣2） D.（﹣1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點坐標(biāo)是（1，2）．故選：A【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．4.一組數(shù)據(jù)1，x，5，7的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則該組的平均數(shù)是（）A.3.5 B.4.5 C.5.5 D.6【答案】B【解析】【分析】分別假設(shè)眾數(shù)為1、5、7，分類討論、找到符合題意得x的值，再根據(jù)平均數(shù)的定義求解可得．【詳解】解：若眾數(shù)為1，則數(shù)據(jù)為1、1、5、7，此時中位數(shù)為3，不符合題意；若眾數(shù)為5，則數(shù)據(jù)為1、5、5、7，中位數(shù)為5，符合題意，此時平均數(shù)為；若眾數(shù)為7，則數(shù)據(jù)為1、5、7、7，中位數(shù)為6，不符合題意；故答案為B．【點睛】本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)，根據(jù)眾數(shù)的可能情況分類討論求解是解題的關(guān)鍵．5.若，則中的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)設(shè)，，代入求解即可．【詳解】解：∵∴設(shè)，，代入得，故選：A．【點睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6.如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）

A.8 B.12 C.14 D.16【答案】D【解析】【分析】直接利用三角形中位線定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，∴DEBC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴∵=，∴，∵△ADE的面積為4，∴△ABC的面積為16，故選：D．【點睛】考查了三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△ADE∽△ABC是解題關(guān)鍵．7.如圖，PA，PB切⊙O于點A，B，點C是⊙O上一點，且∠P＝36°，則∠ACB＝()A.54° B.72° C.108° D.144°【答案】B【解析】【詳解】連接AO，BO，∵PA，PB切⊙O于點A，B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=36°，∴∠AOB=144°，∴∠ACB=72°．故選:B．8.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖,給出下列四個結(jié)論:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】由y=ax2+bx+c（a≠0）圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）由拋物線開口向下知道a<0,因此判斷①正確;（2）對稱軸在y軸左側(cè),a＜0可得b<0,因此可以判斷②錯誤;（3）由圖象與x軸有兩個交點得到以>0,因此可以判斷③正確;（4）由圖象可知當(dāng)x=1時,對應(yīng)的函數(shù)值y=a+b+c＜0,所以判斷④正確.故正確的選項有①③④，故答案選C.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9.投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，向上一面的點數(shù)是1的概率是______．【答案】【解析】【分析】弄清骰子六個面上分別刻的點數(shù)，再根據(jù)概率公式解答就可求出向上一面的點數(shù)是1的概率．【詳解】由概率公式：P（向上一面的點數(shù)是1）＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了概率公式，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10.二次函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到二次函數(shù)的對稱軸為，開口方向向下，結(jié)合圖象的增減性解題即可．【詳解】二次函數(shù)中，對稱軸，如圖，由圖象可知，當(dāng)時，取最小值是，，即，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11.已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項，則c＝_____cm．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：∵c是a、b比例中項，∴，即，所以c2＝4×1，解得：c＝±2（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），則c＝2cm．故答案為2．【點睛】本題考查了比例中項的定義和比例的性質(zhì)，屬于基本題型，熟知概念是關(guān)鍵.12.甲，乙兩人進(jìn)行飛鏢比賽，每人各投6次，甲的成績（單位：環(huán)）為：9，8，9，6，10，6．甲，乙兩人平均成績相等，乙成績的方差為4，那么成績較為穩(wěn)定的是______．（填“甲”或“乙”）【答案】甲．【解析】【分析】先計算出甲的平均數(shù)，再計算甲的方差，然后比較甲乙方差的大小可判定誰的成績穩(wěn)定.【詳解】甲的平均數(shù)，所以甲的方差，因為甲的方差比乙的方差小，所以甲的成績比較穩(wěn)定．故答案為甲．【點睛】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為，則方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.13.已知是關(guān)于的方程的一個根，則___________.【答案】2024【解析】【分析】把代入方程得出的值，再整體代入中即可求解.【詳解】把代入方程得：，即∴故填：2024.【點睛】本題考查一元二次方程的解法，運用整體代入法是解題的關(guān)鍵.14.已知圓錐的底面圓半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則它的側(cè)面展開圖面積為_____________．【答案】48π【解析】【分析】首先根據(jù)底面圓的半徑求得扇形的弧長，然后根據(jù)弧長公式求得扇形的半徑，然后利用公式求得面積即可．【詳解】解：∵底面圓的半徑為4，∴底面周長為8π，∴側(cè)面展開扇形的弧長為8π，設(shè)扇形的半徑為r，∵圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是120°，∴＝8π，解得：r＝12，∴側(cè)面積為π×4×12＝48π，故答案為：48π．【點睛】考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于底面圓的周長，難度不大．15.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝40°，則∠COD＝________．【答案】40°【解析】【分析】連接BO，則∠BOC=80°，再由三線合一定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接BO，∵∠A=40°，∴∠BOC=80°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴故答案為：40°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握圓周角定理和三線合一定理．16.如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為__．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明△CAB∽△CP′O利用對應(yīng)線段的比得到OP的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故答案為：．【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．三、解答題（共11小題，滿分102分）17.解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣4＝0；（2）（x﹣5）（x+2）＝8．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方解答，即可求解；（2）利用因式分解解答，即可求解．【小問1詳解】解：∴，即，解得：，∴；【小問2詳解】解：，整理得：，∴，即，解得：【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法——直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法是解題的關(guān)鍵．18.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．

（1）作出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，在△ABC的同側(cè)作出相似比為2：1，放大后的△A2B2C2．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）利用關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案．【小問1詳解】如圖所示：△A1B1C1即為所求．

【小問2詳解】如圖所示：△A2B2C2即為所求．【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．19.教育行政部門規(guī)定初中生每天戶外活動的平均時間不少于1小時，為了解學(xué)生戶外活動的情況，隨機地對部分學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次調(diào)查中共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為；活動時間為1小時所占的比例是%．（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該市共有初中生約14000名，試估計該市符合教育行政部門規(guī)定的活動時間的學(xué)生數(shù)．【答案】（1）50，（2）見解析（3）11200【解析】【分析】（1）利用樣本容量=頻數(shù)÷所占百分比計算即可，用頻數(shù)÷樣本容量計算即可．（2）求得1.5小時的頻數(shù)，補圖即可．（3）根據(jù)樣本估計總體的思想計算即可．【小問1詳解】根據(jù)題意，得n=（名），活動時間為1小時所占的比例是，故答案為：50，．【小問2詳解】1.5小時的人數(shù)=（人）；補圖如下：【小問3詳解】解：0.5小時的人數(shù)為10人，14000×=11200（人）．故答案為：11200名．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，樣本估計總體，熟練掌握兩種統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．20.現(xiàn)如今，“垃圾分類”意識已深入人心，垃圾一般可分為：可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾．現(xiàn)有甲、乙二人，其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了兩袋垃圾．（1）直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率．（2）用畫樹狀圖或列表的方法求乙所拿的垃圾不同類的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率；（2）首先利用樹狀圖法列舉出所有可能，進(jìn)而利用概率公式求出答案．【詳解】解：（1）記可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分別為，，，，垃圾要按，，、類分別裝袋，甲拿了一袋垃圾，甲拿垃圾恰好是類：廚余垃圾的概率為：；（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，乙拿的垃圾共有16種等可能結(jié)果，其中乙拿的垃圾不同類的有12種結(jié)果，所以乙拿的垃圾不同類的概率為．【點睛】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確利用列舉出所有可能是解題關(guān)鍵．21.如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，∠ABC=∠ACD，（1）求證：△ABC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的長．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可證明,（2）由上一問列出比例式,代入求值即可.【詳解】證明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A∴△ABC∽△ACD（2）解：△ABC∽△ACD∴∵AD=2,AB=5∴∴AC=【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),屬于簡單題,列比例式是解題關(guān)鍵.22.如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜3時，則y的取值范圍．【答案】（1）；（1，-4）；（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）由（1）拋物線的對稱軸為直線x=1，可得當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最小值-4，且當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，即可求解．【小問1詳解】解：把點A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為；∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4）；【小問2詳解】解：由（1）拋物線的對稱軸為直線x=1，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最小值-4，且當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=3時，y=0，∴當(dāng)0＜x＜3時，則y的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少mm．

【答案】48mm【解析】【分析】設(shè)正方形EF=EG=ID=x，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式，代入計算即可．【詳解】∵四邊形EFHG是正方形，AD是高，∴EF∥BC，四邊形EGDI是矩形，∴EG=ID，設(shè)正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝120mm，高AD＝80mm，∴，解得x=48，故正方形的邊長為48mm．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交AB于點E，連接CE，且CB＝CE．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）3．【解析】【分析】（1）連接OE，DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直徑所對圓周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到關(guān)于r的方程，即可求出半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝，BC＝CE，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半徑為3．【點睛】本題主要考查的是切線的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握切線的判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．25.某超市銷售一批成本為20元/千克綠色健康食品，深受游客青睞．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示．（1）求該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若超市按售價不低于成本價，且不高于40元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大？最大利潤是多少？（3）若超市要使每天銷售該食品獲得的利潤不低于2400元，則每天的銷售量最少應(yīng)為千克．【答案】（1）（2）銷售單價定為40元時，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大，最大利潤是2000元（3）60【解析】【分析】（1）將點（25，130）、（35，110）代入一次函數(shù)表達(dá)式，用待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)利潤=每千克的利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）令W=2400，解一元二次方程得出x=50或x=60，再求出x=50或x=60時的銷售量，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】設(shè)每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx＋b，由圖像得：，解得：，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+180；【小問2詳解】，函數(shù)的對稱軸為直線，∵，，∴當(dāng)x≤55時，W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=40時，W有最大值，最大值為2000，∴銷售單價定為40元時，才能使銷售該食品每天獲得的利潤W（元）最大，最大利潤是2000元；【小問3詳解】令W=2400，則解得：，，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)50≤x≤60時，W≥2400，當(dāng)x=50時，y=-2×50+180=80（千克），當(dāng)x=60時，y=-2×60＋180=60（千克），每天的銷售量最少應(yīng)為60千克．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26.問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，∠B＝∠A＝∠EDF．（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形，判斷：△ADM△BND（填相似或全等）；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)AC＝BC時，上述結(jié)論是否還成立？請說明理由．（3）延伸拓展：如圖③，在（2）的條件下，當(dāng)點D在BA的延長線上運動到點M與點C重合時，若S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，AD＝1，則DN＝．【答案】（1）相似；證明見解析（2）成立；證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠B＝∠A＝∠EDF證明兩組對應(yīng)角相等，從而證明△ADM∽△BND，得出填空題要求的結(jié)果；（2）與（1）的方法相同，證明△ADM∽△BND仍然成立；（3）作CG⊥AB于點G，設(shè)S△CDN＝m，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方及等高三角形面積的比等于底的比，求出AB、BN、BC的長，得到DG的長，再由勾股定理求出CG、CD的長，最后可求出DN的長．【小問1詳解】解：如圖①，∵△ABC是等邊三角形，∠B＝∠A＝∠EDF，∴∠B＝∠A＝∠EDF＝60°，∴∠AMD＝180°﹣60°﹣∠ADM＝120°﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣60°﹣∠ADM＝120°﹣∠ADM，∴∠AMD＝∠BDN，∴△ADM∽△BND，故答案為：相似．【小問2詳解】解：成立，如圖②，∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，∴∠B＝∠A＝∠EDF，設(shè)∠B＝∠A＝∠EDF＝x，∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠ADM＝180°﹣x﹣∠ADM，∠BDN＝180°﹣∠EDF﹣∠ADM＝180°﹣x﹣∠ADM，∴∠AMD＝∠BDN，∴△ADM∽△BND．【小問3詳解】解：如圖③，作CG⊥AB于點G，設(shè)S△CDN＝m，則∠CGD＝∠CGB＝90°，設(shè)∠CBA＝∠CAB＝∠EDF＝x，∵∠DCA＝∠CAB﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，∠NDB＝∠EDF﹣∠CDB＝x﹣∠CDB，∴∠DCA＝∠NDB；∵∠CAD＝180°﹣∠CAB＝180°﹣x，∠DBN＝180°﹣∠CBA＝180°﹣x，∴∠CAD＝∠DBN，∴△ADC∽△BND，∴；∵點M與點C重合，S△ADM：S△BND＝1：2，BN：BM＝1：3，∴S△ADC：S△BND＝1：2，BN：BC＝1：3，∴S△BND＝S△CDN＝，∴S△ADC＝S△BND＝，∴S△ABC＝m﹣﹣m＝m，∴，∵AD＝1，∴AB＝5AD＝5，∵AC＝BC，∴AG＝BG＝AB＝，∴DG＝；∵，∴，∴DN＝CD，BN＝AD＝，∴BC＝3BN＝，∴CG2＝BC2﹣BG2＝，∴CD＝，∴DN＝，故答案為：．【點睛】本題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、