2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽模擬試題及參考答案

2022年福建省高中數(shù)學競賽2022（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷（考試時間：20225249：00－11：30160）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）A

xx

0xZAx，記x2，則隨機變量的數(shù)學期望E 。f(x)xg(x，其中g(shù)(xR上，最小正周期為2f(x在區(qū)間24上的最大值為1，則f(x)在區(qū)間1012上的最大值為 。F、F1

為橢圓Cx2a2

y2b2

1（ab0）的左、右焦點，若橢圓CP，使PF1

PF2

，則橢圓離心率e的取值范圍為 。已知實數(shù)x，y，z滿足x22y23z224，則x2y3z的最小值為 。f(x)x2cos2

，數(shù)列an

an

f(n)f(n1)（nN*，則數(shù)列a n的前100項之和S 。100ABCDDBDC2DBDCDAABC所成角的余弦值為6。則該四面體外接球半徑R 。3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zz1 2

z的對應(yīng)點分別為ZZ3 1

、Z。若z z3 1

2，OZOZ1

0，zz z1 2 3

1，則z3

的取值范圍是 。8．已知函數(shù)f(x)ex(xaex)恰有兩個極值點xx1 2

（xx1

a的取值范圍為 。已知f(x)m2xx2nx若

f(x)

f(f(x))

mn的取值范圍為 。若sinsin sin1tan

，則正整數(shù)n的最小值為 。9 9 9 2 9二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）4x28x4x28x3

的最小值。2P(01)斜率為k的直線l交雙曲線Cx2y23求k的取值范圍；

1AB兩點。

為雙曲線C的右焦點，且AF2

BF2

6，求k的值。如圖，I、D分別為△ABCBCIDE、F，IM GEFDG為AD與IM GEFDAIGE；AD GF若MEF。（旁心：三角形旁切圓的圓心，它是三角形一個內(nèi)角的平 C分線和其它兩個內(nèi)角的外角平分線的交點。）B在坐標平面內(nèi)，橫縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為整點三角形。求以點I(201572015)為內(nèi)心且直角頂點在坐標原點O的整點直角三角形OAB 個數(shù)。若對任意的正整數(shù)m，集合mm1m2，m99的任意n（n3）元子集中，總有3個元素兩兩互素，求n的最小值。2022年福建省高中數(shù)學競賽2022（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案（考試時間：20225249：00－11：30160）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）x4x4x3設(shè)集合Ax 0xZ，從集合A中隨機抽取一個元素x，記x2，則隨機 變量的數(shù)學期望E ?！敬鸢浮?P【解答】A43212，隨機變量0，1，4，9，16。P0149161221177777∴011242911617 7 7 7 7

5。f(x)xg(x)，其中g(shù)(x)R上，最小正周期為2f(x)在區(qū)間24上的最大值為1，則f(x)在區(qū)間1012上的最大值為 。【答案】9【解答】f(x2)(x2)g(x2)xg(x2f(x2。∵ f(x)在區(qū)間241，∴ f(x)在區(qū)間463，在區(qū)間685，在區(qū)間810上的7，在區(qū)間10129。F、F1

為橢圓Cx2a2

y21（ab0）的左、右焦點，若橢圓CP，使b2PF1

PF2

，則橢圓離心率e的取值范圍為 。22

1 【解答】A為橢圓C的上頂點，依題意有F

90。∴F2

AO45，

1 2c1。c2c2 c1。c2c2 1 2a2c2， ，ba222已知實數(shù)x，y，z滿足x22y23z224，則x2y3z的最小值為 。【答案】12 【解答】由柯西不等式，知 2(x2y3z)2x2

2y 3 3z)2( 2)2( 3)2(x22y23z2144?！鄕2y3z12，當且僅當x 2y 3y，即xyz2時等號成立。1 2 3∴x2y3z的最小值為12。f(xx2cos2

，數(shù)列an

an

f(n)f(n1)（nN*，則數(shù)列an的前100項之和S 。100【答案】10200【解答】依題意，有T10043992551002

100n

f(n)22426282

98210024(37 99)∴S100

2T100

f(1)f(101)251000010200。ABCDDBDC2DBDCDAABC所成角的余弦值為【答案】 3

6則該四面體外接球半徑R 。3如圖，作DOABC于OAO，并延長交BCEDEDAEDAABCcosDAE 6。3∵DADBDC2，DADB，DADC，∴DADBCO為△ABCABAC22?！郉ADEEBCcosDAEAE 6BE AB2AE2 86 2。∴BC2BE2 2DBDC。

6知，3∴DADBDC兩兩互相垂直四面體外接球半徑R 3。在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zz1 2

z的對應(yīng)點分別為ZZ3 1

、Z。若z z3 1

2，OZOZ1

0，zzz1 2 3

1，則z3

的取值范圍是 。【答案】1【解答】z1

xyi，z1 1

xy2

i（i為虛數(shù)單位，∵ z z1

2，OZ1

OZ2

0，∴x2y2x2y22，xxyy

0，1 1 2 2 12 12(xy)2(x(xy)2(xy)21 1 2 2x2y2x2y22(xxyy)1 1 2 2 12 121 2

2。設(shè)復(fù)數(shù)zz對應(yīng)的點為P。由zzz 1知，點

在以P為圓心，1為半徑的圓上。1 2 1 2 3

3 又OP 2，因此，21OZ3

21，即z3

的取值范圍是

13。8．已知函數(shù)f(x)ex(xaex)恰有兩個極值點xx1 2

（xx1

a的取值范圍為 。，【答案】(0 1)，2f(x)ex(xaexex(1aex(x12aex)ex。f(x)(x12aex)ex0有兩個不同的實根。g(x)x12aexg(x)12aexg(x)0有兩個不同的實根。若a0g(x1g(xg(x)01個實根，不符合要求。若a0xln1g(x)0xln1g(x0。2a 2a∴g(x)在區(qū)間ln1ln1上為減函數(shù)。 2a2a ∴g(xg(ln1ln111ln1。2a 2a 2axg(x)x12aexxg(x)x12aex。∴ g(ln1ln10，即0a1g(x)02個不同的實根。2a 2a 2g(x)0xxxxx(x)0(x0xx

時，g(x)0，1 2 1 2 1 1 2f(x)0；xx2

g(x)0f(x0。1∴xf(xx1

f(x的極大值點。0a

符合要求。2∴a的取值范圍為(0

1)。2 已知f(x)m2xx2nx若

x f(x)

x f(f(x))

mn的取值范圍為 ?！敬鸢浮?4【解答】

f(x)0f(xm2x1x2nx

0?！?f(f(x1

1 1 1 1))f(0)m0?！?f(x)x2nx，f(f(x))f(x2nx)(x2nx)2n(x2nx)(x2nx)(x2nxn)。由f(x)0f(f(x))0知方程x2nxn0的解集A是方程x2nx0的解集B的子集。A，則n24n00n4。x2nx

n0若A，設(shè)xA，則 0 0

，得n0。0 x2nx 00 0又0n4時f(x)0，0n4。mn的取值范圍是04。若sin9

sinsinsin9

1 tan ，則正整數(shù)n的最小值為 。2 9【答案】4【解答】由)coscossinsin)coscossinsin，知2sinsincos()cos()?！?/p>

sin9 18

cos18

3，182sin

sincoscos，9 18 18 18……………2sinn

sin

cos(2n

cos(2n1)9 18 18 18上述各式左右兩邊分別相加，得2(sin

sin

)sin

cos

cos(2n1)。sin99 9 18 18 18sin91 ∴2 tan

sin

cos

cos(2n1)

，cos

cos

cos(2n1)。2 9 18 18 18 18 18 18∴cos(2n1)

0，(2n

k

（kZn9k4（kZ。18 18 2∴ 正整數(shù)n4。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）4x28x34x28x3

的最小值。【解答一】由4x28x30x

1或x3。2 2∴ 函數(shù)的定義域為 13。 ………5分 ， 2 2

8x

4x42 4x28x34x28x3記yf(x)2x 4x28x32 4x28x34x28x34x24x28x3x

f(x)0f(x)2x2

在2上為增函數(shù)?！鄕

3時，f(x)的最小值為f(3)3。 …………10分2 2x1f(x2

4x

2

4(1

24(1x)

0。4x28x4x28x34(x1)21∴ f(x在

，上為減函數(shù)，x 時，f(x)的最小值為f( )1?！?5分1 1 21 1 4x28x4x28x3

的最小值為1。 ………………20分【解答二】函數(shù)化為y(2x2) (2x2)212。1 由(2x2)21，知2x2 1，可設(shè)2x2

（ ，且0）sin 2 2…………5分當0

y

1 121cos

2

12

x

3時，12 sin sin2 sin1

tan 2 22y取最小值3。 ………10分當

0y

1 121cos

2tan

2，當

，即x112 sin sin2 sin 2 2 21時，y取最小值1。 …………15分4x28x4x28x3

的最小值為1。 ……20分或換元后利用導數(shù)求解。4x28x3【解答三】由y2x ，得(y2x)24x24x28x3∴y24xy4x2

y234x28x3，x 。 ……5分4y8y2x

y23

1y。 …10分∴y

4y8 2y230，(y3)(y1)0，解得1y2或y3。 ……………15分2y4 2(y2)y1y2x

，解得x1。4x24x28x34x28x3∴y4x28x3

的值域內(nèi)。4x28x3∴ 4x28x3

的最小值為1。 …………20分2P(01)斜率為k的直線l交雙曲線Cx2y23求k的取值范圍；

1AB兩點。F2

為雙曲線C的右焦點，且AF2

BF2

6，求k的值?！窘獯稹浚?）設(shè)l方程為ykx1。 y2由x2由 3

1，得(3k2)x22kx40ykx1∵ 直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，3k203∴ ，解得2k2，且k 。333△4k216(3k2)033∴k的取值范圍為(2 3)(

，3)

2)。 ……………5分（2）A(x

)，B(x

)。則xx

2k ，xx

(20)，1 1 2

1 2 3k

12 3k2 2(x2)2(x2)2y21 12

2xx2x24x4(3x23)1 1 1

1 ，BF2

2x2

1?！?0分∵(2x

1)(2x

1)4x

2(x

x)1

16

4k 1k24k13，1 2 12 1

3k2

3k2

3k2∴k23時，(2x1

1)(2x2

1)0，AF BF2

2x1

12x2

1 (2x1

1)(2x2

1)2 xx1 2(xx)2(xx)24xx1 2 124 3 4k23k24 34 3 4k2由AF

BF

6，得

6，解得k2

1或k

3（舍去。2 2 3k2 3∴k21，k。 ……………15分3k24(2x1

1)(2x2

1)0，AF BF2

2x1

12x2

1 (2x1

1)(2x2

1)2 xx1 2

1 2

2k 1。3k2由AF BF 6，得2 2k 1 6，解得k或k3或k

，均不符合，1 132 2 3k2 1 13舍去。此時，滿足條件的k不存在。綜上可得，k的值為1或1。 ……………20分如圖，I、D分別為△ABCBCIDE、F，G為AD與BC的交點。 AAIGE；AD GF若MEF。（旁心：三角形旁切圓的圓心，它是三角形一個內(nèi)角的平 I C分線和其它兩個內(nèi)角的外角平分線的交點） MG E【解答（1）設(shè)圓I、圓D的半徑分別為r、R， B F則AI

r。 ……5分AD R（IPABPDQAB于QAIIPr）AD DQ RDPIMGEBFNQD由條件知，A、I、D三點共線，IEBC，PIMGEBFNQD∴IE∥DF，GE

IEr?！郃I

GF DF RGE。 …10分AD GF CAI GE GI AIGI GE（2）由 ，得 ，AD GF GD ADGD GFAG GE即 。ADGD GF∴ AG GE 。 …………15分ADGDAG GFGE∵MEF中點，GFGEMFMG(MEMG)2MG，∴ AG GE AGGE。2DG 2MG DG GM結(jié)合EGAMGD，可得△EGAMGDGEAGMD。∴。 …………………20分另解：設(shè)ID的中點為N ，則由，M為EF中點知，，且1MN (DFIE)。12由AI

IE，可得

，AI

IE

AI

IE ?！?5AD DF ADAI DFIE 2DN 2MN DN NM又AIEDNM?！唷鰽IE∽△DNM，EAIMDN。∴。 …………………20分在坐標平面內(nèi)，橫縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為整I(201572015)OOAB個數(shù)。【答案】不妨設(shè)點A在第一象限。設(shè)xOI，則tan7，直線OA的斜率

)

tan1

713。OA 4 1tan 17 4∴k 4。 ………5分OB 3ABA(4t1

t1

)，B(3t2

t2

)，其中t1

t 為正整數(shù)。2∴ OA 1

，OB 。222222222∵△OAB內(nèi)切圓的半徑r

OI 2

201552015。又r

，AB OAOB 2r，OA OB ABOA OB ABAB

OA OB 2r)2 OA 2OB 2?！?252015)225t225t2。 …10分1 2 1 2∴(tt 22015)2t2t2。1 2 1 2設(shè)tx2015t1

y2015，則(xy)2(x2015)2(y2015)2?！鄕y2015x2015y20152(x2015)(y2015)220152252132。……………15分由OA2r，OB2r知，x2015，y2015為正整數(shù)，又