課件-高階偏導(dǎo)數(shù)和極值

函數(shù)zfx,y)z 2z

z2z xx

fxx(x,

yy

fyy(x,z 2z

z2z

(x,yx

fxy(x,

xy

例設(shè)ueaxcosby，求二階偏導(dǎo)數(shù) uaeax

ubeaxsin2u

a2eax

b2eaxcos2u

2uabe

sin

sin

x3例2設(shè)fx,y

x

(x,y)0 (x,y)0求fx,y)在(0,0)的二階混合偏導(dǎo)數(shù) 當(dāng)(x,y)(0,0)時3x2y(x2y2)2xx3y

3x2 2x4fx(x,y)

(x2y2

x2 (x2y2)2fy(x,y)x2

2x3y2 (x2y2)2當(dāng)(x,y)(0,0)時 按定義可知f(0,0)limf(x,0)f(0,0)lim0

x0f(0,0)limf(0,y)f lim0

y03x2 2x4fx(x,y)

y2(x2y2)2按定義

fy(x,y)x2

2x3y2 (x2y2)2 (0,0)limfx(0,y)fx(0,0) (0,0)limfy(x,0)fy(0,0) 顯 fxy(0,0)fyx10如果函數(shù)zfxy)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)2z及2z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi) 說明二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連 的條件下，與求導(dǎo)次 無關(guān)同樣高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏 數(shù)連續(xù)的條件下，與求導(dǎo)次 無關(guān)例 uf(x,y,z)的三階混合偏導(dǎo) (關(guān) x,y,z)共有6個3u3u3u3u3u3uxyxzyxyzzxzy只要它們都連續(xù) 則它們都相等 證明：若u1， x2y2z2，2u2u2u

簡記為ux y z

x2y2z證 u1x2y2z

x y z 2u

3x

3xx

得2u

3y2

2u

3z2y2

z

2u2ux y z

3

3(x2y2z2

zfy

2 2

xf(u)有二階導(dǎo)數(shù)x2

f

y y

x

x2

f(f 2

yy2f

y2yf

3

xx

xx2z f

y yf

y1

x x3

x x2注利用鏈?zhǔn)椒▌t求高階偏導(dǎo)數(shù)時，防止漏項．例5已知ufx,xy, fu,v,w有二階連偏導(dǎo)數(shù)，求uxy x解:uxf1x,xy,xyzyf2x,xy,xyzu(ux x33yzfx,xy, 33zuxyf12xf13xzf2yf22xf23zf3yzf32xf33xf12xzf13f2xyf222zf3xyz2例6.已知zfx2y2exyzxy

fu,v有二階連續(xù)解: fx2y2,exy2xf

y2,e

exy 2y exy

2y

xexyexy f2xexyyexy

z(z) 4xyf11

y2

2 2 函數(shù)zzx,y由所確定ezxyz0，求zxx解 zx

ez

xyz xzzxx

zxxzxzzxzxxzxz22zz2xzzf(xy實際應(yīng)用中常常使用等值線來反映函數(shù)zhzf(xyzf(x,Czxyf(x,y)C(h):

zChhz=f(xyC(h){(x,y) f(x,y)hugxyz但可用等值面C(h){(x,y,z) g(x,y,z)h例作出曲面z=xy的等值線 hh0h h 用z=hhh0h hxyC(h):

z第七節(jié)定義:設(shè)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,如果在該鄰域內(nèi)f(x,y) f(x0,y0),(x,y)(x0,y0)則稱z=f(x,y)在點x0y0)有極大值fx0y0例1函數(shù)z3x24在(0,0)

x2x2在(0,0)

函數(shù)z在(0,0)

設(shè)z=f(x,y)在點x0y0)具有偏導(dǎo)數(shù)且有極值,fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)不妨設(shè)zfxy)在點x0y0處有極大值則對于x0y0的某鄰域內(nèi)任xyx0y0都有fx,y)fx0y0,故當(dāng)yy0xx0時，有fx,y0fx0y0,fxy0在xx0處有極大值必 fx(x0,y0)滿足方程組

fx(x,y)

(x,y

f(x,y) 的 (3).駐點不一定是極值點但z(0,0)既不是極大值也不是極小值(2).偏導(dǎo)數(shù)不存在的點可能為極值點

x2例如:函數(shù)z 在(0,0)點兩個偏導(dǎo)x2結(jié)論：極值點一定是臨界點，定理13 fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0 Af

(

,

),Bf

(

,

),C

yy(

,y0 (1).ACB20時 f(x0,y0)是極值(2).ACB20時,不是極值(3).ACB20時,不一定是極值求函數(shù)zfx,y)第一 解方程 fx(x,y) fy(x,y)第二 對于每一個駐點(x0,y0求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、第三 定出ACB2的符號，再判定是否是極值 例求fx,yx3y33x23y29x的極值fxx,y3x26x9

fy(x,y)3y

6y

(1,0),(1,2),(-3,0),(-Afxx6x6,Bfxy0,Cfyy6y在(1,0):AC

0,A

f(1,0)=-5是極小值在(1,2)及(-3,0):ACB20,不是極值在(-3,2):ACB20,A 求函數(shù)fx,yy34y29y4xy6xx2

Fx4y62x

得駐點(1,1), 3y28y94x Hf ff f

6yH(1,1)12H(5,1)12 fxx(5,1)2函數(shù)fx,y)的極小值為f(5,1)11,

x2y2z22x6z6

zfx,y解：兩邊對x,y求偏導(dǎo)2x2zzx26zx 2y2zzy6zy z x1z 3y y 3

xy z7,z2x2zzx26zx 2y2zzy6zy

22z2

22z2 2zxzy2zzxy6zxyAz

2z

,Bzxy

0,Cz

2z6當(dāng)z7時，A10,B0,C1ACB2 當(dāng)z-1時，A10,B0,C1ACB2

將函數(shù)在D內(nèi)的所有臨界點處的函數(shù)例 求二元函數(shù)zf(x,y)x2y(5x在直xy4xy軸所圍成的閉區(qū)域xyDoxxyDox 如圖,先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點xf(x,y)2xy(5x

xy)x

yfy(x,y)x(5xy)2(5,5

x2y 得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點2

,且f ) yxyox再求fxyox在邊界x0y0上fx,y)在邊界xy4上，即y4 (0x于是f(x,y)x2(4x), (0xf'(x)8x3x20,x83

f(0),f(4),f Dxx,xA1[(242x)(242x2xcos)]x2

24xsin2x2sinx2sincos,(0x12,02Ax

可以解得駐點:

,xAA 例6用鐵板作一容積為V的無蓋長方箱,尺寸怎樣時,用料最省解：設(shè)長寬高分別為x,y,Sxy2yz2xzx0,y0,z 而V=xySxy2V2V,(x0,y S y2VS x33Sy

x2V

駐 xy

z33條件極值:例如,求zfx,y)在條件x,y)作函數(shù)Fx,yfx,yx,Fx(x,y,)fx(x,y)x(x,y)Fy(x,y,)fy(x,y)y(x,y)

F(x,y,)(x,y).Sxy2yz2xz在條件Vxyz解：Fx,yzxy2yz2xzxyzVFx(x,y,z,)y2zyzyF(x,y,z,)x2zxzyF(x,y,z,)2y2xxy F(x,y,z,)xyzV33解出條件駐點:xy332試證明其體積不超過4p3 Vx22(xy)6 令Fx2y（xy3F2xyFx2Fxy3p

Vmax(2p)2p4x2y20要找函數(shù)ufx,yzt)在條(x,y,z,t)0，(x,y,z,t)下的極值F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t Fx Fyz Fz Ft(x,y,z,t)x,y,z,t)例.拋物面zx2y2xyz截成一個橢圓解：設(shè)(x,y,z)為橢圓上一點,則x,y,z滿足zx2y及xyzx2x2y2

令ux2y2Fx2y2z2(zx2y2)(xyz Fx2x2x12 2y2y 解得33 33 Fz2z12 zx2 xyz9 1最短距離9 1

xy9393

12

,z2例在第一卦限作x2y2z2的切平面，使得與三個坐標(biāo)面解：設(shè)切點為(x0,y0,z0 (x00,y00,z0則切平面方程 x0(xx0)y0(yy0)z0(zz0) x0xy0yz0z V1 x0y0222 222設(shè)Fx,yz)

(x2y2z

則

2x3 x23

解

y 1

2y

xy2

此時V取得最小值