(完整版)“費馬點”與中考試題-

(完整版)“費馬點”與中考試題“費馬點”與中考試題費馬,法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號，他是解析幾何的創(chuàng)造者之一．費馬點-—就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點．費爾馬的結(jié)論:對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點,對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點．下面簡潔說明如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和圖1解析1，把△APCA60′,連接=所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′．′可看成是線段ACA60′為定長，所以當(dāng)′四點在同始終線上時，最?。@時∠BPA=180°—∠APP′=180°—60°=120°，∠APC=∠AP′C′=180°—∠AP′P=180°-60°=120°,∠BPC=360°—∠BPA—∠APC=360°—120°-120°=120°△ABC120°P、BC120°的弓形弧,兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．例1（2008年廣東中考)已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到C三點的距離之和的最小值為 2 6求此正方形的邊長．1(完整版)“費馬點”與中考試題圖2 圖3分析ACE、、C三點的距離之和就是到△ABC馬問題的變形，只是背景不同．解 如圖2,連接把繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到連接可知、△AGC都是等邊三角形，則∴A+B+CE=B+E+F(圖4．∵點、點G為定點G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得．∴線段BG即為點E到、、CF兩點都在BG上（圖．設(shè)正方形的邊長為a，那么2a2a，6a．2 22 6∴

a+ a．2 2∵點E到、、C三點的距離之和的最小值為 2 6．2 6∴ a+ a= 2 6,解得a=2．2 2注 本題旋轉(zhuǎn)、△BEC也都可以,但都必需圍著定點旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試．例2（2009年北京中考題）如圖xOyABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A6,0，BC4 3AC，使12

ACDBC。D點的坐標(biāo)；CDE、BykxbCDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；設(shè)Gy軸上一點，點Pykxbyy軸到達G點，再沿GA到達A2(完整版)“費馬點”與中考試題PyGA2GPA點所用的時間最短．分析和解(）D點的坐(3，6 3)（過程略．(2)直線BM的解析式為y 3x6 3（過程略．yFyE D E M DC CA O B x A O B x圖4（3）G的位置是本題的難點也是關(guān)健所在．設(shè)Qy軸上一點，Py軸上運動的速度為PMQ

AQ 1PA點所用的時間最短，就是

MQ＋2AQ最?。?/p>

2v v 21∵，∴最小就是最小，就是在直線MOG使他到M三點的距離和最?。链?，再次發(fā)覺這又是一個費爾馬問題的變形,留意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換．把△MQBB60°，5）都是等邊三角形,則QQ′=BQ．又M′Q′=MQ，∴MQ＋AQ＋BQ=M′Q′+QQ′+AQ．、、A1在A′上,所以A′與OM的交點就是所要的G點（圖6．可證O=2M．圖5 圖6 圖731解法2 考慮121

(完整版)“費馬點”與中考試題最小，過Q作BM的垂線交BM于由6 3，可得要使2M＋AQ最小，只需使A＋QK最小， 依據(jù)“垂線段最短，可推出當(dāng)點、、K在一條直線上時，A+QK最小,并且此時的QK垂直于B，此時的點Q即為所求的點（圖A，則AHy軸的交點為所求的G點。由6 3,可得在Rt△OAG中2 3∴G點的坐標(biāo)為（0，2 3)（G點為線段OC的中)．例3 （2009年湖州中考題）若點P為△ABC所在平面上一點，且則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且則PB的值為 ；(2）如圖8，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=PA+PB+PC．圖8解:（1)利用相像三角形可求PB的值為2 3．（2）P為銳角△ABC8，把△ACP繞點C60°EPC為正三角形．=∠APC∴∠B′EC+∠PEC=180°即P、E、B′三點在同始終線上,∴∠BPC+∠CPE=180°，4(完整版)“費馬點”與中考試題即B、P、E三點在同始終線上∴、、、′過△ABC的費馬點又∴