6.3 二項(xiàng)式定理 -(人教A版2019選擇性必修第二、三冊(cè)) (教師版)

二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式展開(kāi)式a+b2二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T3二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)a+bn展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是1，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(∵Cnm=(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)Cnn2取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)(3)二項(xiàng)式系數(shù)和：Cn奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于2n-1PS∵令x=1，則2n令x=-1，則Cn0奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)等于2n-1特別提醒1.在運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)一定要牢記通項(xiàng)公式Tr+1=Cnran-r2．在使用通項(xiàng)公式Tr+1=Cnr【題型一】二項(xiàng)式展開(kāi)式【典題1】若x2+1ax6的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是－160，則A．a(chǎn)=-12 B．所有項(xiàng)系數(shù)之和為C．二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 D．常數(shù)項(xiàng)為－【解析】由Tr+1=C令12－3r=3，得∴1a3?Cx2取x=1，可得所有項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64，故(二項(xiàng)式系數(shù)和：Cn由12－3r=0，得r=4，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(-2)(常數(shù)項(xiàng)即變量x的指數(shù)為0)故選：ABC．【點(diǎn)撥】①先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，并把其化為最簡(jiǎn)的形式；②每項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cnr【典題2】在二項(xiàng)式2x+16的展開(kāi)式中，系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是A.20B.160C.240D.192【解析】二項(xiàng)式2x+16的展開(kāi)式的通項(xiàng)為設(shè)ak則a當(dāng)k≥2時(shí)，6-k2(k+1)<1，即ak+1而a1<a即系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為2【點(diǎn)撥】先求出系數(shù)通項(xiàng)，再利用求數(shù)列單調(diào)性的方法—作商法(作差法也行)求出最大項(xiàng).鞏固練習(xí)1(★★)[多選題]關(guān)于x2-2xA．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32 B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為－1C．只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．含x項(xiàng)的系數(shù)為－80【答案】BD【解析】（x2-2x）5的展開(kāi)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為32，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16，故取x＝1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為﹣1，故B正確；（x2-2x）5的展開(kāi)式有6項(xiàng)，第3項(xiàng)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，故展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1由10﹣3r＝1，得r＝3，∴含x項(xiàng)的系數(shù)為(-2)故選：BD．2(★★)[多選題]設(shè)常數(shù)a∈R,n∈N*，對(duì)于二項(xiàng)式1+aA．若a<1nB．若各項(xiàng)系數(shù)隨著項(xiàng)數(shù)增加而增大，則a>n C．若a=－2，n=10，則第7D．若a=-2，n=7，則所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為239【答案】BCD【解析】二項(xiàng)式(1+ax)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=ar?nrxr對(duì)于A：若a<0，則各項(xiàng)系數(shù)一正一負(fù)交替出現(xiàn)，故A不對(duì)，對(duì)于B：Cnrar<cnr+1ar+1對(duì)于任意的r=0，所以a>0，且a>r+1n-r對(duì)任意的∴a>n，故B正確；當(dāng)a=－2，n=10，則展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正值，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值，所以，只需比較C100(-2)0，C102(-2)可得，C106(-2)6當(dāng)a=-2，n=7，則奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為：C70故選：BCD．3(★★★)[多選題]設(shè)1+2x5=a0+a1x+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tn+1=所以an=C則(C即(5!n!(5-n)!)2?22n=2×化簡(jiǎn)得n2－5n+6=0，解得n=2或3，故選：BC．4(★★★)已知二項(xiàng)式(2x+1x)n(n∈N*(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)；(3)計(jì)算式子C6【答案】（1）6（2）60（3）729【解析】(1)二項(xiàng)式(2x+1x)n(n∈N*)的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是求得n=6．(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C6r?26－r?x6-3r2，令6可得常數(shù)項(xiàng)為C64?22=60．(3)C6026+C612【題型二】?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式相乘【典題1】已知(1+ax2)(2x-1x)A．a(chǎn)=2 B．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為64 C．展開(kāi)式系數(shù)的絕對(duì)值的和2187 D．若r為偶數(shù)，則展開(kāi)式中xr-2系數(shù)是xr系數(shù)的【解析】對(duì)于A，令x=1，可得(1+ax)(2x-∴a=2，故A正確；對(duì)于B，易知(2x-1x其中r={0,1,2,3,4,5,6}，即(2x-則(1+2則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1?a由Tr+1=-1r26-rC6對(duì)于C，(1+2x2令x=1，為1+2?36對(duì)于D由(1+2當(dāng)r=-6時(shí)，x-6的系數(shù)是a0+2a1，x-8的系數(shù)是2故選：AC．【點(diǎn)撥】對(duì)于二個(gè)二項(xiàng)式模型“多項(xiàng)式?a+bn”，比如對(duì)于想象下對(duì)2x-1x6若要繼續(xù)展開(kāi)最后得到常數(shù)項(xiàng)，那只有1乘以2x-1x6的常數(shù)項(xiàng)和2乘以2x-即所求的常數(shù)項(xiàng)=1?a【典題2】(1-x)6(1+x)【解析】(1-x=1則x2的項(xiàng)為1×即x2的系數(shù)為2故選：B．【點(diǎn)撥】式子復(fù)雜，若能化簡(jiǎn)為熟悉的模型“多項(xiàng)式?a+bn”鞏固練習(xí)1(★★)(x3+6x+1)(1-1xA．－19 B．－55 C．21 D．56【答案】B【解析】(x3+6x+1)(1-1x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C63?(－1)3+6×C故選：B．2(★★)已知正整數(shù)n≥7，若x-1x1－xn的展開(kāi)式中不含xA．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】正整數(shù)n≥7，若(x-1x)(1－x)n的展開(kāi)式中不含x則(1－x)n的展開(kāi)式中的含x3的項(xiàng)和含x5的項(xiàng)的系數(shù)和為0，即-Cn3+Cn故選：B．3(★★)(1-x)?(x+1x+2)4的展開(kāi)式中A．10 B．2 C．－14 D．34【答案】C【解析】∵(1-x)?(x+1=(1－x)?(C80?x4+C81?x3+C82?故展開(kāi)式中x的系數(shù)是C83故選：C．4(★★★)(x+ax)(2x-1x)5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為A．a(chǎn)=1 B．展開(kāi)式中含x6項(xiàng)的系數(shù)是－C．展開(kāi)式中含x－1項(xiàng) D．展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為【答案】AD【解析】令x＝1則有1+a＝2，得a＝1，故二項(xiàng)式為（x+1x）（2x-1（2x-1x）5通項(xiàng)公式為（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r，r依次為0，1，2，3，4（x+1x）（2x-1x）5的展開(kāi)式中含x6項(xiàng)系數(shù)為（2x-1x）5通項(xiàng)展開(kāi)式式中令5﹣2r＝5解得r＝0，所以（2x-1x）5通項(xiàng)展開(kāi)式式中x5項(xiàng)系數(shù)（﹣1）025C50＝令5﹣2r＝7解得r＝﹣1，不合題意，∴展開(kāi)式中含x6項(xiàng)的系數(shù)是32，（x+1x）（2x-1x）5的展開(kāi)式中含x﹣1項(xiàng)系數(shù)為（2x-1x）令5﹣2r＝﹣2，解得r=7令5﹣2r＝0，解得r=5則展開(kāi)式不含x﹣1項(xiàng)，（x+1x）（2x-1x）5的展開(kāi)式中含常數(shù)項(xiàng)為（2x-1x）5通項(xiàng)展開(kāi)式式中令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，令5﹣2r＝1，解得r＝2，所以其常數(shù)項(xiàng)為﹣22×C53+23C52＝40．故選：AD．【題型三】多項(xiàng)式展開(kāi)式【典題1】x2－4x+1x5的展開(kāi)式中A．840 B．－600 C．480 D．－360【解析】x2－4x+對(duì)于(-4x+1x)r，它展開(kāi)式通項(xiàng)為Cr(特別注意r、k多項(xiàng)式展開(kāi)式中x的冪指數(shù)為10－求x2的系數(shù)，則令10可得k=0r=8>5(舍去)，k=1r=6>5(舍去)，k=2r=4，k=3r=2<k(舍去)，k=4(利用r、k所以只有k=2r=4故展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為C故選：C．【點(diǎn)撥】①多項(xiàng)式展開(kāi)式，可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)式，本題把-4x+1x看成“一項(xiàng)”，其實(shí)也可以把“x②本題利用了二次展開(kāi)式，得到最后變量x的指數(shù)10－r－2k鞏固練習(xí)1(★★)在(1-x+1x2021)8的展開(kāi)式中，A．2021 B．28 C．－28 D．【答案】B【解析】由于(1-x+1x2021)8的表示8個(gè)因式(1故有2個(gè)因式取x，其余的因式都取1，即可得到含x2的項(xiàng)，故x2的系數(shù)C82故選：B．2(★★)x+y－z6的展開(kāi)式中xy【答案】－60【解析】(x+y－z)6表示6個(gè)因式(x+y－z)的乘積，故其中有一個(gè)因式取x，其中2個(gè)因式取y，其余的因式都取－z，即可得到展開(kāi)式中xy2z3的項(xiàng)，故該項(xiàng)的系數(shù)為C61?C52?C33?(－故答案為：－60．3(★★)已知等差數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是x-1【答案】－40【解析】∵(x-1x+2y)6表示6個(gè)因式(x-1故當(dāng)有3個(gè)因式取x，其余的3個(gè)因式取-1x時(shí)，可得它的常數(shù)項(xiàng)為-C63?等差數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是(x-1x+2y)6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，則a2+a8=2a5=【題型四】系數(shù)問(wèn)題【典題1】已知1－x2x+24A．a(chǎn)0=0 BC．a(chǎn)1+a【解析】對(duì)于A，令x=－1，則a0對(duì)于B，令t=x+1?x=t－2t－∵t+14展開(kāi)式通項(xiàng)為C4rt4-r對(duì)于C，令t=1，得a0令t=-1，得a∴a1+a3對(duì)于D，令t=-1，得a又∵a0=0，∴故選：ACD．【點(diǎn)撥】①對(duì)于類(lèi)似系數(shù)問(wèn)題，常令x=0,x=1,x=-1或根據(jù)等式結(jié)構(gòu)取其他特殊值，這樣往往能夠得到展開(kāi)式中某些系數(shù)的關(guān)系，這個(gè)要多嘗試；②題目中等式右邊(它是以x+1展開(kāi)的)，不是我們熟悉的按x來(lái)展開(kāi)，那可以用換元法，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題是求解數(shù)學(xué)題的常用思考模式.【典題2】若1+x+1+x2+…+1+xnA．n=6 B．1+2xn展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為C．(1+x)+1+x2D．a(chǎn)【解析】對(duì)于A，∵1+x+∴較易得到a0=n,令x=1，可得2+2?21-2對(duì)于B，1+2xn展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n=對(duì)于C，(1+x)+1+x2+…+故C正確；對(duì)于D，∵(1+x)+(1+x)兩邊求導(dǎo)得1+21+x令x=1得a1+2a故選：ACD．【點(diǎn)撥】對(duì)于D選項(xiàng)，a1+2a2+3a3+…+n鞏固練習(xí)1(★★)[多選題]已知2+x1－2x5A．a(chǎn)0的值為2B．a(chǎn)5的值為C．a(chǎn)1+a2+a3【答案】ABC【解析】∵已知(2+x)(1-2x)令等式中的x=0，可得a0=2，故A正確．a(chǎn)5的值，即展開(kāi)式中x5的系數(shù)，為2×(-2)5C55在所給的等式中，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=－3①，又a0=2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=－5，故C正確；在所給的等式中，令x=－1，得a0－a1+a2－a3+a4－a5+a6=243②，由①②得：a1+a3+a5=－123，D錯(cuò)誤．故選：ABC．2(★★★)[多選題]已知x－210=A．a(chǎn)0=1 B．C．a(chǎn)12+【答案】ACD【解析】∵（x﹣2）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+???+a10（x﹣1）10，令x＝1，得a0＝1，故A正確，令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9+a10＝0，令x＝0，得a0﹣a1+a2+…﹣a9+a10＝210，所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=0+2102令x=32，得a0+a12+a∵（x﹣2）10＝[（x﹣1）﹣1]10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+???+a10（x﹣1）10，∴a6=C106?（﹣1）4＝210故選：ACD．3(★★★)[多選題]已知2x－3x－A．a(chǎn)1+aC．a(chǎn)12+a【答案】ACD【解析】∵(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a2(x－1)2+a3(x－1)3+…+a9(x－1)9，令x=1，得a0=－1，令x=2，得a0+a1+a2+…+a9=0，所以a1+a2+…+a9=1，故A正確；由(2x－3)(x－2)8=[2(x－1)－1][(x－1)－1]8，所以a5=2×C令x=3得(2×3所以a0+a12+a222+?+設(shè)f(x)=(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a則f'(x)=2(x－2)8+8(2x－3)(x-令x=2，得a1+2a2+…+9a9=0，故D正確，故選：ACD．【題型五】其他應(yīng)用【典題1】證明32n+2－8n－9能被64整除【證明】3=====64(∵8∴32n+2－【點(diǎn)撥】這是整除與余數(shù)的問(wèn)題，由于證明中的除數(shù)是64，則要在32n+2－8n－9中盡量找到與其有關(guān)信息，沒(méi)直接信息與64有關(guān)，而【典題2】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001【解析】0.998=≈1+6?=0.988．【點(diǎn)撥】這是求近似值，由于0.998接近1，則由0.9986=【典題3】求證：Cn【證明】設(shè)Sn=把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn又由Cnm=C①+②得2S∴S即Cn原等式得證．【點(diǎn)撥】這是證明“左式=右式”的題型，方法很多，①直接把左式化簡(jiǎn)得到右式，本題就是這樣，它借鑒了數(shù)列中的“倒序相加法”，主要是留意到組合數(shù)的性質(zhì)Cn②左式，右式同步化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)為同一結(jié)果，則左式=右式；③數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于與正整數(shù)n有關(guān)的等式或不等式均較為友好.【典題4】用二項(xiàng)式定理證明：2n【證明】∵n≥5，∴n－由二項(xiàng)式定理可得2=1+n∵2當(dāng)n≥5時(shí)，n－∴n≥5時(shí)，2n【點(diǎn)撥】不等式的證明常用的方法有放縮法，而二項(xiàng)式的展開(kāi)式是放縮法中的一種方式，展開(kāi)式中有多項(xiàng)，那可有選擇的把“影響大的項(xiàng)”留下，去除“影響小的項(xiàng)”，從而達(dá)到放縮的目的，留“幾項(xiàng)”就看放縮的要求了，在求近似值也是類(lèi)似的方法.鞏固練習(xí)1(★★)若n是正奇數(shù)，則7n+Cn17A．2 B．5 C．7 D．8【答案】C【解析】∵n是正奇數(shù)，則7====9∴它被9除的余數(shù)為-Cnn-1=－故選：C．2(★★)用二項(xiàng)式定理證明：1110－1【證明】1110－1=(10+1)10－1=(1010+C101?109+?+C109?10+1)－1=1010=10