數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)講座

教學(xué)目標(biāo)

培養(yǎng)“翻譯”能力

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用分析能力

培養(yǎng)想象力發(fā)展觀察力，形成洞察力

培養(yǎng)交流與表達(dá)的能力

熟練使用技術(shù)手段

科技論文寫作能力

第1頁(yè)，共25頁(yè)。1

汽車剎車距離美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問(wèn)題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時(shí)，后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長(zhǎng)度。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。第2頁(yè)，共25頁(yè)。問(wèn)題分析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)第3頁(yè)，共25頁(yè)。假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比第4頁(yè)，共25頁(yè)。反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì)利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第5頁(yè)，共25頁(yè)?！?秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第6頁(yè)，共25頁(yè)?，F(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型第7頁(yè)，共25頁(yè)。2存貯模型問(wèn)題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要求不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。第8頁(yè)，共25頁(yè)。問(wèn)題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元。平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元第9頁(yè)，共25頁(yè)。這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小第10頁(yè)，共25頁(yè)。模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小。4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。第11頁(yè)，共25頁(yè)。模型建立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問(wèn)題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2第12頁(yè)，共25頁(yè)。模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答問(wèn)題第13頁(yè)，共25頁(yè)。經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問(wèn)：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨。第14頁(yè)，共25頁(yè)。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(lái)(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,缺貨需補(bǔ)足T一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用第15頁(yè)，共25頁(yè)。每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’第16頁(yè)，共25頁(yè)。不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨第17頁(yè)，共25頁(yè)。允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量)第18頁(yè)，共25頁(yè)。3生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問(wèn)題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大第19頁(yè)，共25頁(yè)。求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第20頁(yè)，共25頁(yè)。敏感性分析研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt第21頁(yè)，共25頁(yè)。敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt第22頁(yè)，共25頁(yè)。強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由S(t,r)=3建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算。研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤(rùn)的增值每天投入的資金第23頁(yè)，共25頁(yè)。練習(xí)：梯子長(zhǎng)度問(wèn)題

問(wèn)題:如圖所示,在一棟樓房的后面有一個(gè)很大的花園,在花園的邊上有一個(gè)緊靠著樓房的溫室,溫室伸入花園2米,高3米,在溫室的正上方是樓房的窗臺(tái),現(xiàn)有一架7米長(zhǎng)的梯子,我們能否將這架梯子的一端放在花園中,另一端靠在樓房的墻上,使得梯子不碰壞溫室棚?若否,問(wèn)梯子至少應(yīng)為多長(zhǎng)?第24頁(yè)，共25頁(yè)。內(nèi)容梗概教學(xué)目標(biāo)。美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：。后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長(zhǎng)度。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：。后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)。10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)。>>車身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)?！?秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同。制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候。3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變。最小二乘法k=0.06。計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間。建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)。配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)。備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求