2023年江蘇省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學(xué)試題及答案

2023年江蘇省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．某班有60名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試（滿分150分）的成績(jī)服從正態(tài)分布，若，則本班在100分以上的人數(shù)約為（

）A．6 B．12 C．18 D．244．在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，AP=3，則（

）A．3 B．6 C．12 D．185．函數(shù)f（x）=2|x|﹣x2的圖象為（）A． B．C． D．6．某校從8名教師中選派4名教師去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲與丙同去或者同不去，則不同的選派方案的種數(shù)是（

）A．240 B．360 C．540 D．6007．已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)x>0時(shí)，，則使成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分。9．已知為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最大值為8 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于點(diǎn)，且，.下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．△的面積為11．阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào)．若拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線上兩點(diǎn)A，B的直線的方程為，弦的中點(diǎn)為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”，下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn) B．軸 C． D．12．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與垂直，則（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．實(shí)數(shù)的值為___________．14．某班級(jí)原有一張周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，現(xiàn)將值日表進(jìn)行調(diào)整，要求原周一和周五的兩人都不值這兩天，周二至周四的這三人都不值自己原來(lái)的日期，則不同的調(diào)整方法種數(shù)是_________________（用數(shù)字作答）.15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為________16．若，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分。17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的正整數(shù)都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．在中，，，直線，的斜率之積為．(1)求頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求面積大?。?9．在中，，AC，AB邊上的中線長(zhǎng)之和等于9．（1）求重心M的軌跡方程；（2）求頂點(diǎn)A的軌跡方程.20．電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷你是否有95％以上的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女合計(jì)（參考公式，其中.）0.0500.0100.0013.8416.63510.828(2)將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性，若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．21．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M，N分別為線段PB，PC上的點(diǎn)，．（1）求證：當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)P，B重合時(shí)，M，N，D，A四點(diǎn)共面．（2）當(dāng)，二面角的大小為時(shí)，求PN的長(zhǎng)．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，且的極值在處取得，證明：.2023年江蘇省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學(xué)·參考答案1．C【分析】解不等式，求出的范圍，即可得到集合，求出函數(shù)的值域，即可得到集合，進(jìn)而求出集合的并集即可.【詳解】由，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，解得或，所以集合.對(duì)于集合，令，則，所以，即集合.所以.故選：C.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，可得，其虛部為.故選：A．3．B【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，即可估計(jì)人數(shù)；【詳解】解：因?yàn)?，所以本班?00分以上的人數(shù)約為.故選：B4．D【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，再由向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，則，，，，PB與BD共線，，故選：D.5．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到AC其中一個(gè)是正確的，再代入特殊點(diǎn)x=0得到答案.【詳解】函數(shù)f（x）=2|x|﹣x2,故函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B，D，再代入特殊點(diǎn)x=0得到函數(shù)值為1，故排除C選項(xiàng)，得到A正確.故答案為A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖像的問(wèn)題，一般先由函數(shù)解析式得到函數(shù)的定義域，進(jìn)行選項(xiàng)的排除，之后可以考慮函數(shù)的對(duì)稱性，值域等進(jìn)行排除，也可以代入函數(shù)的特殊點(diǎn)，考慮函數(shù)的極限進(jìn)行排除，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式.6．D【分析】先從8名教師中選出4名，因?yàn)榧缀鸵也煌ィ缀捅荒芡セ蛲蝗?，所以可按選甲和不選甲分成兩類，兩類方法數(shù)相加，再把四名老師分配去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，四名教師進(jìn)行全排列即可，最后兩步方法數(shù)相乘即可．【詳解】解：依題意，分兩步，第一步，先選四名老師，又分兩類，第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，有種不同選法；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，有種不同選法，不同的選法有種；第二步，四名老師去個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有種方法；最后，兩步方法數(shù)相乘，可得一共有種方法.故選：D.7．C【分析】利用遞推關(guān)系即求.【詳解】依題意有，則，由此得，，，．故選：C．8．B【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出單調(diào)性，再得出偶性，得出的函數(shù)值的符號(hào)情況，從而得出答案.【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.所以當(dāng)或時(shí)，.故選：B.9．ABD【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合，解不等式得，即，故的最大值為8，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確；故選：ABD10．BCD【分析】選項(xiàng)A由拋物線的定義可得可判斷；選項(xiàng)B將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可判斷；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，可求出，從而可得，由，同理可得時(shí)的情況，從而可判斷C，D.【詳解】選項(xiàng)A.由拋物線的定義可得，解得，所以A不正確.選項(xiàng)B.所以，，拋物線方程為將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，得，所以，所以B正確選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，則，則直線的方程為：則，得，解得或所以，則，同理當(dāng)時(shí)，可得，所以C正確.選項(xiàng)D.由上可知當(dāng)時(shí)，同理當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，過(guò)焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義可得，解得的值，由求解面積，屬于中檔題.11．BCD【分析】設(shè)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由消y可得令，，，解得，，A錯(cuò)．，∴軸，B對(duì)．，∴，D對(duì)．，∴，C對(duì)，故選：BCD．12．ABD【分析】分析出面，可判斷選項(xiàng)A；取AD的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知，，從而判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個(gè)選項(xiàng).【詳解】連接，則，又因?yàn)椋?所以面，又因?yàn)槊?，所以，故選項(xiàng)A正確；取AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，,在正方形中，由平面幾何知識(shí)可知，，又因?yàn)椋?，所以面，所?又因?yàn)椋?，又因?yàn)?所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，所以顯然平面，選項(xiàng)B正確；平面與平面不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在梯形中，，，,所以梯形的高為，所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.13．20【分析】把27寫成，對(duì)數(shù)式的真數(shù)寫為，然后運(yùn)用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．【詳解】．故答案為：20．14．【詳解】先安排周一和周五的兩人，有種方法，然后再安排中間三天剩下的那天的人值日，有周一和周五兩天選擇，最后安排最后兩個(gè)人，有種方法，所以共有種方法.15．【解析】是定義在上的偶函數(shù)，說(shuō)明奇函數(shù)，若時(shí)，，可得為增函數(shù)，若，為增函數(shù)，根據(jù)，求出不等式的解集；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及函數(shù)的奇偶性即可求得不等式的解集．【詳解】解：由題意，令，時(shí)，．在遞增，，，則是奇函數(shù)，且在遞增，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．不等式的解集為或．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．16．【分析】利用余弦的二倍角公式，然后結(jié)合角的范圍即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.17．（1）；（2）【分析】（1）利用an+1＝Sn+1﹣Sn即可得到an+1＝2an+3，轉(zhuǎn)化為an+1+3＝2（an+3），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出其通項(xiàng)；（2）由，利用錯(cuò)位相減法求的和即可求解【詳解】（1）∵，∴兩式相減，得∴，即，∴，即對(duì)一切正整數(shù)都成立.由已知得即，∴∴首項(xiàng)，公比.∴（2）∵，∴，，，∴.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了遞推關(guān)系求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、“分組求和”、等差數(shù)列求和，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．18．(1)，；(2).【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線，的斜率乘積列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.（2）由及確定點(diǎn)A的軌跡與（1）的軌跡結(jié)合，求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可計(jì)算作答．【詳解】（1）設(shè)，則直線AB的斜率，直線AC的斜率，，依題意有，化簡(jiǎn)得，，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為得，.（2）因，，則點(diǎn)A的軌跡是以線段BC為弦，所含圓周角為的兩段圓?。ǔ它c(diǎn)外），圓弧所在圓的圓心在線段BC的中垂線上，即y軸上，半徑，由對(duì)稱性不妨令圓心在y軸正半軸上，設(shè)為，則有，解得，因此點(diǎn)A的軌跡方程為，而點(diǎn)A在雙曲線上，由消去x得：，而，解得，因此，所以面積為.19．（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）【分析】（1）由已知得△ABC重心M在以B、C為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出△ABC重心M的軌跡方程．（2）利用代入法，即可求頂點(diǎn)A的軌跡方程．【詳解】（1）如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)M為△ABC的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知|BM||BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6根據(jù)橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓．2a＝6，2c＝4，∴a＝3，b，故所求的橢圓方程為1（y≠0）（2）設(shè)A（x，y），則M（x，），代入1（y≠0），可得出頂點(diǎn)A的軌跡方程為1（y≠0）【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查代入法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義的合理運(yùn)用．20．(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖求出“體育迷”人數(shù)，完善列聯(lián)表，再計(jì)算的觀測(cè)值即可作答.（2）由頻率分布直方圖求出“超級(jí)體育迷”人數(shù)，再用列舉法結(jié)合古典概率計(jì)算作答.（1）由頻率分布直方圖得：“體育迷”共計(jì)名，其中女性名，則非體育迷有名，其中女性有名，所以列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100的觀測(cè)值為，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).（2）由頻率分布直方圖知，“超級(jí)體育迷”人數(shù)為人，其中3名男性記為，2名女性記為，任意選2人的所有結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中至少有1人是女性的事件所含結(jié)果為：，，，，，，，共7個(gè)，所以至少有1名女性觀眾的概率.21．（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）易證平面PAB，得到，，平面PBC，平面PBC，得到，再結(jié)合四邊形ABCD為正方形，利用平面的基本性質(zhì)證明；（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD,AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AND的一個(gè)法向量為，平面ANC的一個(gè)法向量為，，根據(jù)二面角的大小為，由求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，又因?yàn)?，所以平面PAB，所以，又因?yàn)椋矫鍼BC，平面PBC，所以，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以，所以，所以當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)P，B重合時(shí)，M，N，D，A四點(diǎn)共面．（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD,AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面AND的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ANC的一個(gè)法向量為，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，又，則，即，令，得，又，則，即，令，得，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，解得，因?yàn)?，所?22．(1)