函數(shù)的彈性課件

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12.7函數(shù)的彈性一、函數(shù)彈性的定義二、

彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用三、小結(jié)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21.函數(shù)的絕對變化率與相對變化率前面討論的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率為絕對改變量與絕對變化率.但從實(shí)踐中得知,僅僅研究函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是很不夠的,還需要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率.一、函數(shù)彈性的定義湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，當(dāng)自變量x在

x0處給以增量

時，相應(yīng)地，函數(shù)y有增量稱

為函數(shù)自變量與因變量的絕對改變量，

而稱

為自變量與因變量的相對改變量．稱為函數(shù)從的相對變化率．湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5如

當(dāng)x由10變到12時,

y由100變到144.

此時，絕對改變量為

而相對改變量為表示當(dāng)

x由10變到12時，x產(chǎn)生了20%的改變，

而y產(chǎn)生了44%的改變．湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6表示在(10,12)內(nèi),x從

x=10,每改變

1%時,y平均改變了2.2%，它為從x=10到x=12時,函數(shù)y=x2的相對變化率．且湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7定義2.7.1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x=x0處可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量

之比稱為f(x)在點(diǎn)

x=x0到

兩點(diǎn)間的相對2.函數(shù)彈性的定義湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8變化率，或稱為從x=x0到

兩點(diǎn)間的彈性．

而當(dāng)

,兩點(diǎn)間相對變化率的極限

稱為f(x)在點(diǎn)

x=x0的相對變化率，也稱為f(x)在x0的彈性.

記作且湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9一般的，如果y=f(x)可導(dǎo)，稱為f(x)的彈性函數(shù)．

函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x的彈性

反映了函數(shù)

f(x)隨自變量的變化而變化的幅度大小(靈敏度):當(dāng)

x變化1%時，函數(shù)y變化了

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10由邊際函數(shù)

平均函數(shù)

即，彈性可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之商．注意兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的,因?yàn)椤跋鄬π浴笔菍Τ跏贾刀缘?也就是說:兩點(diǎn)間的彈性是不同的.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11即指數(shù)函數(shù)的彈性為線性函數(shù)．例2

求函數(shù)

的彈性函數(shù)

解

例1

求函數(shù)

的彈性函數(shù)解

即冪函數(shù)的彈性為其冪指數(shù)b.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12二、彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1.需求彈性與供給彈性定義2.7.2

設(shè)某商品的需求函數(shù)為

Q=f(P),在

處可導(dǎo)，稱為需求函數(shù)Q=f(P)在P=P0與

兩點(diǎn)間

的需求價格彈性，

記作

(2.7.3)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13而稱為需求函數(shù)Q=f(P)在P=P0處的需求(價格)彈性，

記作

(2.7.4)價格從

每

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14表示:當(dāng)商品價格為P0時,若價格上漲(下降)1%時，

當(dāng)把定義中的P0換成

P時，所得結(jié)果分別稱為需及需求的(價格)彈性函數(shù)

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15說明需求彈性是刻畫當(dāng)商品價格變動時,需求

變動的強(qiáng)弱.由于需求函數(shù)Q＝f(P)是單調(diào)減少函數(shù),則△P與

△Q

異號,而P0,Q0是正數(shù),于是都是負(fù)數(shù).為了用正數(shù)表示需求彈性,于是采用需求函數(shù)相對變化率的反號來定義需求彈性.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16例3

某商品的需求函數(shù)為

求（2）P=30的需求彈性．解（1）

說明價格從30降至

20，在此區(qū)間內(nèi)，價格每降

1%,需求量從40平均增加

1.5%.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院17（2）

則

需求的彈性函數(shù)為常數(shù)，說明在任何價格

P處，彈性都不變，稱為不變彈性函數(shù),即價格上漲（下降）1%需求量就會下降（上漲）

1%.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院18例4

某商品的需求函數(shù)為

求（1）需求彈性函數(shù)；（2）P=3,5,6時的需求彈性．

解（1）

（2）

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院19說明需求變動的幅度小于價格變動的幅度．

即P=3時，價格上漲（下降）1%，需求量下降(上漲)0.6%.

一般的,當(dāng)

時,稱商品需求在此處缺乏彈性．說明當(dāng)P=5時需求與價格的變動幅度相同,稱商品需求在此處具有單位彈性．說明當(dāng)P=6時需求變動幅度大于價格湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院20變動幅度．即

P=6時，價格上漲（下降）1%,需求量下降（上漲）1.2%.一般的，若

商品需求在此處富有彈性．則稱下面討論供給彈性:湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21定義2.7.3

設(shè)某商品的供給函數(shù)為

Q=g(P),在處可導(dǎo)，稱為供給函數(shù)

Q=g(P)在P=P0與

兩點(diǎn)間的

供給彈性，

記作

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22而稱為供給函數(shù)Q＝g(P)在P＝P0處的供給彈性，

記作

2.需求彈性與總收益總收益=商品的價格×需求量商品的需求彈性會引起總收益如何變化?由于湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23即

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院24可以看出:

即該商品為缺乏彈性商品時，

價格上漲,總收益會增加;價格下降,總收益會減少;

需求量的變動幅度與價格的變動幅度相等，價格的變動不會引起總收益變化．

即該商品為單位彈性商品時，

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25即該商品為富有彈性商品時，

價格上漲，總收益減少；價格下降，總收益增加．

綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化.一般來說,富有彈性商品降低價格可以增大收益,缺乏彈性商品提高價格可以增大收益.下面討論總收益的變化率問題.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院26由

則

例5

某商品的需求函數(shù)為說明當(dāng)價格變化1%時,總收益將變化湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院27

（1）求需求彈性函數(shù)；（2）求P=3時的需求彈性，說明其經(jīng)濟(jì)意義；

（3）當(dāng)P=3時，若價格上漲

1%，總收益如何變化？解（1）

（2）

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院28經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)價格P=3時，若價格上漲（下降）1%商品的需求量將下降（上漲）0.176%.

（3）

P=3時，若價格上漲1%,由于

則總收益增加，且增加的幅度為

即增加

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院293.需求彈性與邊際收益若將商品的價格P看成需求量Q的函數(shù)

,則

總收益為

邊際收益為又湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院30從中可以看出：對富有彈性商品，增加產(chǎn)品的銷售量可使總收益增加，而對缺乏彈性的商品，減少產(chǎn)品的銷售量可使總收益增加．湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院31例6

某商品的價格P與銷售量Q的函數(shù)關(guān)系為

而成本函數(shù)為

當(dāng)邊際收益

需求彈性

時，利潤

最大．（1）求利潤最大時的產(chǎn)量；（2）求a,b的值．

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院32解（1）由最大利潤原則有解得

因?yàn)?/p>

而

則

又

因此

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院33又因?yàn)?/p>

得

則只有Q=11滿足

因此，產(chǎn)量為11時，利潤最大．（2