教學(xué)設(shè)計完整版：綜合法和分析法

2．綜合法和分析法【課標(biāo)要求】1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法．2．理解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)，會用分析法和綜合法證明數(shù)學(xué)問題．【核心掃描】1．綜合法、分析法解決數(shù)學(xué)問題的思路及步驟．(重點(diǎn))2．綜合運(yùn)用綜合法、分析法解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))自學(xué)導(dǎo)引1．直接證明從題目的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、定理、公理等，通過推理直接推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，這種證明方法稱為直接證明．常用的直接證明方法有綜合法和分析法．2．綜合法(1)定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．(2)框圖表示：用P表示已知條件，已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：3．分析法(1)定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．(2)框圖表示：用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：想一想：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？提示綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”．名師點(diǎn)睛1．綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題．綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法．綜合法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論)2．分析法是指從需證的問題出發(fā)，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉(zhuǎn)化為判定那些條件是否具備，其特點(diǎn)可以描述為“執(zhí)果索因”，即從未知看需知，逐步靠攏已知．分析法的書寫形式一般為“因為……，為了證明……，只需證明……，即……，因此，只需證明……，因為……成立，所以……，結(jié)論成立”．分析法的證明步驟用符號表示是：P0(已知)?…?Pn－2?Pn－1?Pn(結(jié)論)分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在分析過程步步可逆．3．綜合法與分析法的優(yōu)點(diǎn)綜合法的優(yōu)點(diǎn)：敘述簡潔、直觀，條理清楚；而且可使我們從已知的知識中進(jìn)一步獲得新的知識．分析法的優(yōu)點(diǎn)：更符合人們的思維規(guī)律，利于思考，思路自然，在探求問題的證明時，它可幫助我們構(gòu)思．應(yīng)該指出的是不能把分析法和綜合法絕對分開，正如恩格斯所說“沒有分析就沒有綜合”一樣，分析與綜合是相比較而存在的，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的．嚴(yán)格地講，分析是為了綜合，綜合又需根據(jù)分析，因而有時在一個命題的論證中，往往同時應(yīng)用兩種方法，有時甚至交錯使用.題型一綜合法的應(yīng)用【例1】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m為常數(shù)，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}的公比q＝f(m)，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))為等差數(shù)列．[思路探索]通過變形利用等差、等比數(shù)列的定義證明即可，在證明過程中，恰當(dāng)處理遞推關(guān)系是本題證明的關(guān)鍵．證明(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2m,m＋3)，∴{an}是等比數(shù)列．(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝eq\f(2m,m＋3)，∴n∈N*，n≥2時，bn＝eq\f(3,2)f(bn－1)＝eq\f(3,2)·eq\f(2bn－1,bn－1＋3)?bnbn－1＋3bn＝3bn－1?eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝eq\f(1,3).∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))為首項為1，公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列．利用綜合法證明問題的步驟：(1)分析條件選擇方向：仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法．(2)轉(zhuǎn)化條件組織過程：把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化，組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路．(3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選?。咀兪?】已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.證明法一∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4.法二∵a，b是正數(shù)，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0，∴(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.又a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.法三eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取“＝”號．題型二分析法的應(yīng)用【例2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[思路探索]題目條件要求使用分析法證明不等式，只需要注意分析法證明問題的格式即可．證明當(dāng)a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當(dāng)a＋b>0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對一切實(shí)數(shù)恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證．用分析法證明不等式時應(yīng)注意(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(3)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C明”、“只需證明”、“即證明”等詞語．【變式2】已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).證明要證eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只要證aeq\r(a)＋beq\r(b)≥eq\r(ab)·(eq\r(a)＋eq\r(b))．即證(a＋b－eq\r(ab))(eq\r(a)＋eq\r(b))≥eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))，因為a，b是正實(shí)數(shù)，即證a＋b－eq\r(ab)≥eq\r(ab)，也就是要證a＋b≥2eq\r(ab)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.該式顯然成立，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).題型三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用【例3】已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.審題指導(dǎo)[規(guī)范解答]要證明：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))<logx(abc)．(2分)由已知0<x<1，只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc.(4分)由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0.(8分)又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>eq\r(a2b2c2)＝abc.(10分)即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc成立．(12分)【題后反思】綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實(shí)際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證．【變式3】已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθ·cosθ＝sin2β，②求證：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β).證明因為(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以將①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1③另一方面，要證eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,21＋tan2β)，即證eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β))))，即證cos2α－sin2α＝eq\f(1,2)(cos2β－sin2β)，即證1－2sin2α＝eq\f(1,2)(1－2sin2β)，即證4sin2α－2sin2β＝1.由于上式與③相同，于是問題得證．誤區(qū)警示因邏輯混亂而出錯【示例】設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.[錯解]∵a∥b，且a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)；∴(4cosα)·(4cosβ)＝sinαsinβ，即sinαsinβ＝16cosαcosβ，∴eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sinβ,cosβ)＝16，∴tanαtanβ＝16，即結(jié)論正確．以上證明混淆了已知和結(jié)論，把頭腦中的分析過程當(dāng)成了證明過程，如果按分析法書寫就正確了；當(dāng)然，本題用綜合法書寫證明過程更簡潔．[正解](分析法)：要證明a∥b，而a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)；∴即要證明(4cosα)·(4cosβ)＝sinαsinβ，即要證sinαsinβ＝16cosαcosβ，即要證eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sinβ,cosβ)＝16，即要證tanαtanβ＝