山東省濟(jì)南市章丘區(qū)2023屆高三上學(xué)期診斷性測試數(shù)學(xué)試卷+答案

高三診斷性測試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補集和交集的定義即可求解.【詳解】因為，，所以，所以．故選：D.2.設(shè)：，：，則是成立（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出中x范圍，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】由：得，，即：是成立的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由的奇偶性和特殊值利用排除法可得答案.【詳解】對，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以排除選項A；令，可得或，即，當(dāng)時，，所以，故排除選項C；當(dāng)時，，所以，所以排除選項D.故選：B.4.若正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.1 B.4 C.9 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】因為,所以，所以，即，解得．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，的最大值為.故選：C.5.若是函數(shù)的極值點．則的極小值為（）A.-3 B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的極值點求出參數(shù)a的值，再求出函數(shù)極小值作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，因是函數(shù)的極值點，即，解得，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即是函數(shù)的極值點，函數(shù)在處取得極小值.故選：A6.阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由振幅得到，再由最高點和最低點的距離為結(jié)合勾股定理可得，從而求得，再將代入即可求得，問題得解.【詳解】根據(jù)題意，由振幅是2易知，故，則是的最高點，不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，則，，，故，得，又因為，故，得，所以，因為是的點，故，得，即，因為，所以，故，.故選：A..7.南宋數(shù)學(xué)家在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第20項為（）A.183 B.125 C.162 D.191【答案】D【解析】【分析】設(shè)該數(shù)列為，先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，進(jìn)而得到，再利用累加法求得，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，并設(shè).由，，，，…可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項為1，公差為1，故，故，則，，，…，，()，累加得，即（顯然，對于n=1也成立），故.故選：D.8.某種綠茶泡茶的最佳水溫為85℃，飲茶的最佳溫度為60℃．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度為100℃．把水煮沸后，在其冷卻的過程中，只需要在最佳溫度對應(yīng)的時間泡茶、飲茶，就能喝到一杯好茶．根據(jù)牛頓冷卻定律，一個物體溫度的變化速度與這一物體的溫度和所在介質(zhì)溫度的差值成比例，物體溫度與時間的函數(shù)關(guān)系式為，其中為介質(zhì)溫度，為物體初始溫度．為了估計函數(shù)中參數(shù)的值，某試驗小組在介質(zhì)溫度和標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，收集了一組數(shù)據(jù)，同時求出對應(yīng)參數(shù)的值，如下表，時間/min012345茶溫/℃85.079.274.871.368.365.9——0.90450.91220.91830.92270.9273現(xiàn)取其平均值作為參數(shù)的估計值，假設(shè)在該試驗條件下，水沸騰的時刻為0，則泡茶和飲茶的最佳時間分別是（）（結(jié)果精確到個位數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，．A.3min，9min B.3min，8minC.2min，8min D.2min，9min【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出參數(shù)的估計值，再利用給定模型分別求出泡茶和飲茶的最佳時間作答.【詳解】依題意，，而，，則，當(dāng)時，，有，，當(dāng)時，，有，，所以泡茶和飲茶的最佳時間分別是3min，9min.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，，則（）A. B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限 D.是實數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算法則及復(fù)數(shù)的摸公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因為，所以A正確；因為，，所以B正確；因為，它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，所以C錯誤；因為，所以是實數(shù)，所以D正確．故選：ABD.10.已知向量，滿足，，且，則（）A. B.C.與的夾角為 D.與的夾角為【答案】AC【解析】【分析】利用向量的摸公式及向量的數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量的垂直條件及向量的夾角公式即可求解.【詳解】因為，，所以，即，解得，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；因為，，，所以，又因為，所以與的夾角為，故C正確，D錯誤．故選：AC.11.已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值可能為（）A. B.2 C.1 D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，即可得到結(jié)果.【詳解】因為是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，即恒成立．又因為，令，，則，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，從而，即，所以，解得．故選:CD.12.已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足：①；②對任意實數(shù)，，都有；③存在大于零的常數(shù)a，使得，且當(dāng)時，．下列說法正確的是（）A. B.當(dāng)時，C.函數(shù)f（x）g（x）在R上的最大值為2 D.對任意的，都有【答案】ACD【解析】分析】A.利用賦值法，令和求解判斷；B.令，得到，再由時，，得到求解判斷；C.由求解判斷；D.令求解判斷.【詳解】令，可得，令，由，得，A正確；令，得，當(dāng)時，，所以，所以故，所以，B錯誤；由，得，故C正確；令，得，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，，若A，B，D三點共線，則_________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】因，，則，又，且A，B，D三點共線，即，因此，解得，所以.故答案為：614.設(shè)是首項為的等比數(shù)列，是其前項和，若，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)的公比為，因為，所以，即，解得，所以．故答案為：.15.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，c是a，b的等比中項，且的面積為，則_________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)可得，再由三角形面積公式得出，再由等比中項及余弦定理即可求出，即可得解.【詳解】由正弦定理得，，即，又，所以，得，由，得，得.又c是a，b的等比中項，所以.由余弦定理得.∴，即，則，即.故答案為：16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足的最小正整數(shù)x的值為_______．【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)圖像求得，再解求得最小正整數(shù)x．【詳解】解：由題意得函數(shù)f（x）的最小正周期，解得，所以．又，所以，即，所以，解得．由，得，所以，所以．由，可得，則或，即或．①由，可得，解得，此時正整數(shù)x的最小值為2；②由，可得，解得，此時正整數(shù)x的最小值為1．綜上所述，滿足條件的正整數(shù)x的最小值為1．故答案為：1．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，求的面積．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，（2）【解析】【分析】(1)對作恒等變換，化為單一三角函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求解即可；(2)根據(jù)的解析式以及條件求出，運用面積公式求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞增，即當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，；【小問2詳解】因為，，所以．又，所以．因為，所以．所以的面積；綜上，在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，，的面積為.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個都小于0的極值點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)已知條件及極值點的定義，結(jié)合一元二次方程根的分布即可求解.【小問1詳解】因為，且定義域為，所以．令，得；令，得或．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】因為，所以，又因為有兩個都小于0的極值點，所以有兩個不相等的負(fù)數(shù)根，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為．19.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足，，，過B作于點D，點E為線段BD的中點．（1）求c；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及余弦定理，再利用三角形的面積公式及等面積法，結(jié)合向量的線性運算及向量的數(shù)量積公式即可求解.【小問1詳解】因為，，，所以，解得．【小問2詳解】因為，，，所以，所以．又，所以．因為點E為線段BD的中點，所以，又，所以．20.已知數(shù)列和滿足，，且，設(shè)．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且，求的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件變形可得是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，從而得到其通項公式.（2）根據(jù)條件可得是等比數(shù)列，【小問1詳解】因為，，所以，即，，所以是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，從而得到的通項公式，結(jié)合錯位相減法即可得到結(jié)果.所以．【小問2詳解】因為，所以，即是等比數(shù)列．又，，所以公比，所以．由（1）知，所以．所以，所以，兩式相減得，即，所以．21.已知為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，若對任意的，都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用偶函數(shù)定義計算作答.（2）根據(jù)給定條件，求出在上的取值集合，再結(jié)合已知，依次求出在上的取值集合并比較作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域為R，依題意，，即，成立，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即，而，顯然，又當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，有，，當(dāng)時，，顯然隨著n的增大而增大，因此，都有，必有，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)的不等式在區(qū)間上恒成立問題，依次探討每一段在區(qū)間上不等式成立情況，再進(jìn)行綜合考查即可.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若，證明：．（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍