備戰(zhàn)高考數學一輪熱點難點一網打盡專題30百考不厭的不等式性質問題答案解析

【備戰(zhàn)高考高三數學一輪熱點、難點一掃而空】第30講百考不厭的不等式性詰問題考綱領求:1．認識現(xiàn)實世界和平常生活中的不等關系．2.認識不等式(組)的實質背景．3.掌握不等式的性質及應用．4．會從實質情境中抽象出一元二次不等式模型．5.經過函數圖象認識一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯(lián)系．6.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．基礎知識回顧:1．兩個實數大小的比較原理(1)差值比較原理：設a，b∈R，則a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0.a(2)商值比較原理：設a，b∈R＋，則a＞b?b＞1，a＝b?

a＝1，a＜b?a＜1.bb2．不等式的性質性質(1)：a＞b?b＜a(對稱性)．性質(2)：a＞b，b＞c?a＞c(傳達性)．性質(3)：a＞b?a＋c＞b＋c.性質(4)：a＞b，c＞0?ac＞bc；c＜0?ac＜bc.性質(5)：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d(加法法規(guī))．性質(6)：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd(乘法法規(guī))．*nn*?n性質(7)：a＞b＞0，n∈N?a＞b(乘方法規(guī))．性質(8)：a＞b＞0，n∈Na＞nb(開方法規(guī))．性質(9)：ab＞0，a＞b?11a＜(倒數法規(guī))．b3．不等式的倒數性質1111ab(1)a>b，ab>0?a<b;(2)a<0<b?a<b;(3)a>b>0,0<c<d?c>d.4.一元二次不等式的解法設一元二次不等式為ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根且x1＜x2.(1)當a＞0時，若＞0，則不等式的解集為{x|x＜x1，或x＞x2}；若＝0，則不等式的解集為xx∈R，且x≠－b；若＜0，則不等式的解集為2aR.(2)當a＜0時，若＞0，則不等式的解集為{x|x1＜x＜x2}；若＝0，則不等式的解集為?；若＜0，則不等式的解集為?.5.一元二次不等式恒建立的條件a＝b＝0，a>0，（1）不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒建立?或c>0，<0.不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒建立?a＝b＝0，或a<0，c<0，<0.應用舉例:種類一、利用不等式性質比較兩個數(式)的大小ab11【例1】【2017河北正定一中高三月考】已知a＋b＞0，則b2＋a2與a＋b的大小關系是________．ab11【答案】b2＋a2≥a＋b.ab【例2】已知a＞0，b＞0，a≠b，試比較aabb與(ab)2的大小．【答案】見解析【剖析】(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．aabbabbaaabababa2b2()2(2)∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)2＞0.∴(ab)2b,aab()2a＞1，b＞1，若a＞b＞0，則a－b＞0，ba()若b＞a＞0，則a－b＜0,0＜a＜1，bb

b2＞1.ab綜上所述，可知aabb＞(ab)2.談論：(1)作差比較法的一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論．其中要點是變形，常采用配方、因式分解，有理化等方法把差式變成積式或完好平方式．當兩個式子都為正數時，有時也能夠先平方再作差．(2)作商比較法的一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④結論．用作商比較法時要注意商式中分母的正負，否則極易得出相反的結論．種類二、不等式的性質與充要條件相結合【例3】【2017貴州省貴陽市質檢】設a，b∈R則“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【剖析】(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時，不能夠推出(a－b)·a2＜0，如a2＝0，b＝1，因此“(a－b)·a＜0”是“a＜b”的充分不用要條件．【例4】【2017湘潭一?！吭Oa，b是實數，則“a>b>1”是“a＋1>b＋1”的()abA．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不用要條件【答案】A種類三、不等式的性質與命題真假判斷相結合【例5】【2017四川省成都市高三摸底】設命題p:x0(0,)，3x0x01；命題1,b1中最少有一個不小于2016q:a,b(0,)，a2，則以下命題為真命題的是（）baA．pqB．(p)qC．p(q)D．(p)(q)【答案】Bfxf011pfx3xx,在0,,【剖析】因為單調遞加,因此2016假，a1,b1a1b14若ba都小于2，則ba，又依照基本不等式可得a111a14,矛盾，q真,依照真值表知(p)q為真,應選B.bababb【例6】【2017廣西南寧高三模擬】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則以下結論：①ad＞bc；ab＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中建立的個數是()②d＋cA．1B．2C．3D．4【答案】C【剖析】∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①錯誤．∵a＞0＞b＞－a，a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bcac＋bd＜0，故②正確．cd∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正確．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正確．談論：(1)判斷不等式可否建立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質．(2)在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起來考慮，找到與命題周邊的性質，并應用性質判斷命題真假，自然判斷的同時還要用到其他知識，比方對數函數，指數函數的性質等．種類四、利用不等式的性質求范圍【例7】【2017湖南衡陽八中月考】已知存在實數a滿足ab2>a>ab，則實數b的取值范圍是__________．【答案】(－∞，－1)．【剖析】∵ab2>a>ab，∴a≠0，當a>0時，b2>1>b，即b2>1，解得b<－1；當a<0時，b<1，b2<1<b，即b2<1，b的取值范圍為(－∞，－1)．此式無解．綜上可得實數b>1，【例8】【2017安徽省合肥市高三模擬考試】已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則c的取值范圍為()aA．(1，＋∞)B．(0,2)C．(1,3)D．(0,3)【答案】B【例9】【2017東北四市高三聯(lián)考】已知函數f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4則.f(－2)的取值范圍是．【答案】[5,10]【剖析】f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.設m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.則m＋n＝4，m＝1，m－n＝－2，解得∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－n＝3.1)≤2,2f(1)≤≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范圍為[5,10].談論：利用不等式性質能夠求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必定嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的路子是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后經過“一次性”不等關系的運算求解范圍．方法、規(guī)律歸納:1、比較兩個數(式)大小的兩種方法(1)比較大小時，要把各種可能的情況都考慮進去，對不確定的因素需進行分類談論，每一步運算都要正確，每一步推理都要有充分的依照．(2)用作商法比較代數式的大小一般適用于分式、指數式、對數式，作商可是思路，關鍵是化簡變形，從而使結果能夠與1比較大?。畬崙?zhàn)演練:1.【2017山東淄博模擬】使a<b建立的一個充分不用要條件是()(A)a<b+1(B)a<b-111(C)ba(D)a3<b3【答案】B2.a,b∈R,以下命題正確的選項是()222222(A)若a>b,則a>b(B)若|a|>b,則a>b(C)若a≠|b|，則a≠b(D)若a>|b|,則a2>b2【答案】D【剖析】若a>|b|,則必有a>0,因此|a|>|b|,從而有a2>b2.3.【2017天津市十二區(qū)聯(lián)考】以下命題中，正確的選項是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>babC．若c2<c2，則a<bD．若a>b，c>d，則a－c>b－d【答案】C【剖析】取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；當c<0時，ac>bc?a<b，∴B錯誤；∵ab222c<c，∴c≠0，又c>0，∴a<b，C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯誤．4.【2017重慶一中調研】設a>1>b>－1，則以下不等式中恒建立的是()211112A．a>bB．a>bC．a<bD．a>2b【答案】A【剖析】關于A，∵－1<b<1，∴0≤b2<1，又∵a>1，∴a>b2，故A正確；關于B，若a＝2，b＝1，此時滿足a>1>b>－1，但1<1，故B錯誤；關于C，若a＝2，b＝－1，此時滿足2ab2a>1>b>－1，但1>1，故C錯誤；關于D，若a＝9，b＝3，此時滿足a>1>b>－1，但a2<2b，ab84故D錯誤．5.【2017湖南省永州市高三月考】若110，11②|a|＋b>0；abab11a＋b③a－22中，正確的選項是()ab④lna>lnb(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④【答案】Ca，a≤b，6.【2017江門高三模擬】設a，b∈R，定義運算“?和“⊕”以下：a?b＝ab，a>b，b，a≤b，若m?n≥2，p⊕q≤2，則()⊕b＝a，a>b.A．mn≥4且p＋q≤4B．m＋n≥4且pq≤4C．mn≤4且p＋q≥4D．m＋n≤4且pq≤4【答案】A【剖析】結合定義及m?n≥2可得m≥2，或n≥2，即n≥m≥2或m>n≥2，因此mn≥m≤nm>n，p≤2，q≤2，4；結合定義及p⊕q≤2可得或即q<p≤2或p≤q≤2，因此p＋q≤4.p>qp≤q，7.【2017河南省鄭州市高三質檢】若x>y，a>b，則在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤ab這五個式子中，恒建立的不等式的序號是________．y>x【答案】②④【剖析】令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，吻合題設條件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不行立．∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不行立．∵a＝3＝－1，b＝2＝－1，∴a＝b，因此⑤不行立．由不等式的性y－3x－2yx質可推出②④建立．已知1≤lgxy≤4，－1≤lgx≤2，則lgx28、【2017浙江省溫州市高三月考試題】的取值范圍yy是________．【答案】②④xx2【剖析】由1≤lgxy≤4，－1≤lgy≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，而lgy＝1322x≤5，即lgx的取值范圍是[－1,5]．2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，因此－1≤lgyy229．設a＞b＞c＞0,x=a2222bc，y=b2ca，z=c2ab，則x,y,z的大小序次是_________.【答案】z＞y＞xa＋bc10．已知△ABC三邊長是a，b，c，且m>0.求證：a＋mb＋m>c＋m.剖析法一：a＋b－c＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)a＋mb＋mc＋m(a＋m)(b＋m)(c＋m)am2＋a(b＋c)m＋abc＋bm2＋b(a＋c