備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪熱點(diǎn)難點(diǎn)一網(wǎng)打盡專(zhuān)題30百考不厭的不等式性質(zhì)問(wèn)題答案解析

【備戰(zhàn)高考高三數(shù)學(xué)一輪熱點(diǎn)、難點(diǎn)一掃而空】第30講百考不厭的不等式性詰問(wèn)題考綱領(lǐng)求:1．認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界和平常生活中的不等關(guān)系．2.認(rèn)識(shí)不等式(組)的實(shí)質(zhì)背景．3.掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．4．會(huì)從實(shí)質(zhì)情境中抽象出一元二次不等式模型．5.經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象認(rèn)識(shí)一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．6.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖．基礎(chǔ)知識(shí)回顧:1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較原理(1)差值比較原理：設(shè)a，b∈R，則a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0.a(2)商值比較原理：設(shè)a，b∈R＋，則a＞b?b＞1，a＝b?

a＝1，a＜b?a＜1.bb2．不等式的性質(zhì)性質(zhì)(1)：a＞b?b＜a(對(duì)稱(chēng)性)．性質(zhì)(2)：a＞b，b＞c?a＞c(傳達(dá)性)．性質(zhì)(3)：a＞b?a＋c＞b＋c.性質(zhì)(4)：a＞b，c＞0?ac＞bc；c＜0?ac＜bc.性質(zhì)(5)：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d(加法法規(guī))．性質(zhì)(6)：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd(乘法法規(guī))．*nn*?n性質(zhì)(7)：a＞b＞0，n∈N?a＞b(乘方法規(guī))．性質(zhì)(8)：a＞b＞0，n∈Na＞nb(開(kāi)方法規(guī))．性質(zhì)(9)：ab＞0，a＞b?11a＜(倒數(shù)法規(guī))．b3．不等式的倒數(shù)性質(zhì)1111ab(1)a>b，ab>0?a<b;(2)a<0<b?a<b;(3)a>b>0,0<c<d?c>d.4.一元二次不等式的解法設(shè)一元二次不等式為ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根且x1＜x2.(1)當(dāng)a＞0時(shí)，若＞0，則不等式的解集為{x|x＜x1，或x＞x2}；若＝0，則不等式的解集為xx∈R，且x≠－b；若＜0，則不等式的解集為2aR.(2)當(dāng)a＜0時(shí)，若＞0，則不等式的解集為{x|x1＜x＜x2}；若＝0，則不等式的解集為?；若＜0，則不等式的解集為?.5.一元二次不等式恒建立的條件a＝b＝0，a>0，（1）不等式ax2＋bx＋c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒建立?或c>0，<0.不等式ax2＋bx＋c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒建立?a＝b＝0，或a<0，c<0，<0.應(yīng)用舉例:種類(lèi)一、利用不等式性質(zhì)比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小ab11【例1】【2017河北正定一中高三月考】已知a＋b＞0，則b2＋a2與a＋b的大小關(guān)系是________．a(chǎn)b11【答案】b2＋a2≥a＋b.ab【例2】已知a＞0，b＞0，a≠b，試比較aabb與(ab)2的大?。敬鸢浮恳?jiàn)解析【剖析】(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．a(chǎn)abbabbaaabababa2b2()2(2)∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)2＞0.∴(ab)2b,aab()2a＞1，b＞1，若a＞b＞0，則a－b＞0，ba()若b＞a＞0，則a－b＜0,0＜a＜1，bb

b2＞1.ab綜上所述，可知aabb＞(ab)2.談?wù)摚?1)作差比較法的一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中要點(diǎn)是變形，常采用配方、因式分解，有理化等方法把差式變成積式或完好平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也能夠先平方再作差．(2)作商比較法的一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．用作商比較法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù)，否則極易得出相反的結(jié)論．種類(lèi)二、不等式的性質(zhì)與充要條件相結(jié)合【例3】【2017貴州省貴陽(yáng)市質(zhì)檢】設(shè)a，b∈R則“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【剖析】(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時(shí)，不能夠推出(a－b)·a2＜0，如a2＝0，b＝1，因此“(a－b)·a＜0”是“a＜b”的充分不用要條件．【例4】【2017湘潭一?！吭O(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a>b>1”是“a＋1>b＋1”的()abA．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不用要條件【答案】A種類(lèi)三、不等式的性質(zhì)與命題真假判斷相結(jié)合【例5】【2017四川省成都市高三摸底】設(shè)命題p:x0(0,)，3x0x01；命題1,b1中最少有一個(gè)不小于2016q:a,b(0,)，a2，則以下命題為真命題的是（）baA．pqB．(p)qC．p(q)D．(p)(q)【答案】Bfxf011pfx3xx,在0,,【剖析】因?yàn)閱握{(diào)遞加,因此2016假，a1,b1a1b14若ba都小于2，則ba，又依照基本不等式可得a111a14,矛盾，q真,依照真值表知(p)q為真,應(yīng)選B.bababb【例6】【2017廣西南寧高三模擬】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則以下結(jié)論：①ad＞bc；ab＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中建立的個(gè)數(shù)是()②d＋cA．1B．2C．3D．4【答案】C【剖析】∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①錯(cuò)誤．∵a＞0＞b＞－a，a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bcac＋bd＜0，故②正確．cd∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正確．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正確．談?wù)摚?1)判斷不等式可否建立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)．(2)在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題周邊的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，自然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比方對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等．種類(lèi)四、利用不等式的性質(zhì)求范圍【例7】【2017湖南衡陽(yáng)八中月考】已知存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足ab2>a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________．【答案】(－∞，－1)．【剖析】∵ab2>a>ab，∴a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，b2>1>b，即b2>1，解得b<－1；當(dāng)a<0時(shí)，b<1，b2<1<b，即b2<1，b的取值范圍為(－∞，－1)．此式無(wú)解．綜上可得實(shí)數(shù)b>1，【例8】【2017安徽省合肥市高三模擬考試】已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足b＋c≤3a，則c的取值范圍為()aA．(1，＋∞)B．(0,2)C．(1,3)D．(0,3)【答案】B【例9】【2017東北四市高三聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4則.f(－2)的取值范圍是．【答案】[5,10]【剖析】f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.則m＋n＝4，m＝1，m－n＝－2，解得∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－n＝3.1)≤2,2f(1)≤≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范圍為[5,10].談?wù)摚豪貌坏仁叫再|(zhì)能夠求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必定嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍．解決的路子是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后經(jīng)過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．方法、規(guī)律歸納:1、比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法(1)比較大小時(shí)，要把各種可能的情況都考慮進(jìn)去，對(duì)不確定的因素需進(jìn)行分類(lèi)談?wù)?，每一步運(yùn)算都要正確，每一步推理都要有充分的依照．(2)用作商法比較代數(shù)式的大小一般適用于分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，作商可是思路，關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形，從而使結(jié)果能夠與1比較大小．實(shí)戰(zhàn)演練:1.【2017山東淄博模擬】使a<b建立的一個(gè)充分不用要條件是()(A)a<b+1(B)a<b-111(C)ba(D)a3<b3【答案】B2.a,b∈R,以下命題正確的選項(xiàng)是()222222(A)若a>b,則a>b(B)若|a|>b,則a>b(C)若a≠|(zhì)b|，則a≠b(D)若a>|b|,則a2>b2【答案】D【剖析】若a>|b|,則必有a>0,因此|a|>|b|,從而有a2>b2.3.【2017天津市十二區(qū)聯(lián)考】以下命題中，正確的選項(xiàng)是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>babC．若c2<c2，則a<bD．若a>b，c>d，則a－c>b－d【答案】C【剖析】取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯(cuò)誤；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc?a<b，∴B錯(cuò)誤；∵ab222c<c，∴c≠0，又c>0，∴a<b，C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯(cuò)誤．4.【2017重慶一中調(diào)研】設(shè)a>1>b>－1，則以下不等式中恒建立的是()211112A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)<bD．a(chǎn)>2b【答案】A【剖析】關(guān)于A，∵－1<b<1，∴0≤b2<1，又∵a>1，∴a>b2，故A正確；關(guān)于B，若a＝2，b＝1，此時(shí)滿(mǎn)足a>1>b>－1，但1<1，故B錯(cuò)誤；關(guān)于C，若a＝2，b＝－1，此時(shí)滿(mǎn)足2ab2a>1>b>－1，但1>1，故C錯(cuò)誤；關(guān)于D，若a＝9，b＝3，此時(shí)滿(mǎn)足a>1>b>－1，但a2<2b，ab84故D錯(cuò)誤．5.【2017湖南省永州市高三月考】若110，11②|a|＋b>0；abab11a＋b③a－22中，正確的選項(xiàng)是()ab④lna>lnb(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④【答案】Ca，a≤b，6.【2017江門(mén)高三模擬】設(shè)a，b∈R，定義運(yùn)算“?和“⊕”以下：a?b＝ab，a>b，b，a≤b，若m?n≥2，p⊕q≤2，則()⊕b＝a，a>b.A．mn≥4且p＋q≤4B．m＋n≥4且pq≤4C．mn≤4且p＋q≥4D．m＋n≤4且pq≤4【答案】A【剖析】結(jié)合定義及m?n≥2可得m≥2，或n≥2，即n≥m≥2或m>n≥2，因此mn≥m≤nm>n，p≤2，q≤2，4；結(jié)合定義及p⊕q≤2可得或即q<p≤2或p≤q≤2，因此p＋q≤4.p>qp≤q，7.【2017河南省鄭州市高三質(zhì)檢】若x>y，a>b，則在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤ab這五個(gè)式子中，恒建立的不等式的序號(hào)是________．y>x【答案】②④【剖析】令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，吻合題設(shè)條件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不行立．∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不行立．∵a＝3＝－1，b＝2＝－1，∴a＝b，因此⑤不行立．由不等式的性y－3x－2yx質(zhì)可推出②④建立．已知1≤lgxy≤4，－1≤lgx≤2，則lgx28、【2017浙江省溫州市高三月考試題】的取值范圍yy是________．【答案】②④xx2【剖析】由1≤lgxy≤4，－1≤lgy≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，而lgy＝1322x≤5，即lgx的取值范圍是[－1,5]．2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，因此－1≤lgyy229．設(shè)a＞b＞c＞0,x=a2222bc，y=b2ca，z=c2ab，則x,y,z的大小序次是_________.【答案】z＞y＞xa＋bc10．已知△ABC三邊長(zhǎng)是a，b，c，且m>0.求證：a＋mb＋m>c＋m.剖析法一：a＋b－c＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)a＋mb＋mc＋m(a＋m)(b＋m)(c＋m)am2＋a(b＋c)m＋abc＋bm2＋b(a＋c