非線性本構關系

第二章材料本構關系§2.1本構關系的概念本構關系：應力與應變關系或內(nèi)力與變形關系結構的力學分析，必須滿足三類基本方程：（1）力學平衡方程:結構的整體或局部、靜力荷載或動力荷載作用下的分析、精確分析或近似分析都必須滿足；（2）變形協(xié)調方程:根據(jù)結構的變形特點、邊界條件和計算精度等，可精確地或近似地滿足；（3）本構關系:是連接平衡方程和變形協(xié)調方程的紐帶，具體表達形式有：材料的應力-應變關系，截面的彎矩-曲率關系，軸力-變形（伸長、縮短）關系，扭矩-轉角關系，等等。所有結構（不同材料、不同結構形式和體系）的力學平衡方程和變形協(xié)調方程原則上相同、數(shù)學形式相近，但本構關系差別很大。有彈性、彈塑性、與時間相關的粘彈性、粘塑性，與溫度相關的熱彈性、熱塑性，考慮材料損傷的本構關系，考慮環(huán)境對材料耐久性影響的本構關系，等等。正確、合理的本構關系是可靠的分析結果的必要條件?；炷两Y構非線性分析的復雜性在于：鋼筋混凝土---復雜的本構關系：有限元法---結構非線性分析的工具：非線性全過程分析---解決目前結構分析與結構設計理論矛盾的途徑：§2.2一般材料本構關系分類線彈性（a）線性本構關系；（b）非線性彈性本構關系圖2-1線彈性與非線性彈性本構關系比較在加載、卸載中，應力與應變呈線性關系：｛。（a）線性本構關系；（b）非線性彈性本構關系圖2-1線彈性與非線性彈性本構關系比較在加載、卸載中，應力與應變呈線性關系：｛。｝=[D]｛8｝（圖2-1a）適用于混凝土開裂前的應力-應變關系。非線性彈性在加載、卸載中，應力與應變呈非線性彈性關系。即應力與應變有對應關系，卸載沿加載路徑返回，沒有殘余變形（圖2-1b）。=[D(E)]{E}或=[D(b)]{E}適用于單調加載情況結構力學性能的模擬分析。彈塑性圖2-2彈塑性本構關系（a）典型彈塑性；（b）理想彈塑性；（c）線性強化；（d）剛塑性典型的鋼筋拉伸應力、應變曲線（圖2-2（a））包含彈性階段（OA）、流動階段（AB）及硬化階段（BC）。常用的簡化模型為：（1）理想彈塑性：材料屈服后，應力不隨應變而變化，圖2-2（b）c|<Q時，8=b/E,〔￡=b/E+XsignaQd8>0加載b>b時，］…ydS,=db/ECTdS<0卸載（2）式中為正的標量參數(shù)，sign為數(shù)學符號。I1b>0（3）signb={0b=0線性強化應力-應變關系—1b<0b|<b時，s=b/ebl>b時，S=b/E+（b-b）/E2

剛塑性模型：當塑性應變遠遠大于彈性應變時，忽略彈性變形。圖2-2(d)8e?8P時，CT=f時CT=f時8=8p(5)圖2-3一般強化模型塑性理想彈性元件：。=E￡圖2-4理想化的簡單流變元件粘性元件：變形與時間的相關性，稱為材料的粘性；引用流變學的觀點，用粘滯系數(shù)考慮應力-應變與時間的關系：以便描述混凝土的徐變對應力-應變關系的影響。。=門￡8=dE：dt—應變速率；門一一粘滯系數(shù)（1）理想塑性元件：bvf8=0;b=f8=任意值。盧摩擦阻力；物體在彈性變形階段有明顯的粘性，稱為粘彈性；斷裂力學模式應用斷裂力學的條件：（1）研究對象為含有裂縫的缺陷體；（2）結構受拉（剪、扭）作用；（3）材料對脆斷敏感。斷裂力學對研究混凝土內(nèi)單條裂縫的發(fā)展有效。損傷力學模式考慮材料未受力時存在初始裂縫和受力過程中由于損傷積累而產(chǎn)生的材料剛度變化，從而導致應變軟化。損傷：材料內(nèi)結合部分發(fā)生不可恢復的減弱。設：A一原橫截面積；AD一缺陷面積;D一損傷因子。損傷因子D=A/A描述材料的受損程度。D=0（未受損）；D=1（完全破壞）.圖2-4損傷單元設未受損面積An上的有效應力為bn，在軸向力作用下，F(xiàn)Fbo=—==nAA(1-D)(1-D)未受損材料的應力-應變關系為：Eeo=E8=(1_D)En未受損材料的彈性模量;E——損傷材料的整體彈性模量?！?.3鋼筋的應力-應變曲線一.單向加載應力-應變關系實驗曲線b彈性硬化關系c理想彈塑性關系圖2-5鋼筋應力實驗曲線b彈性硬化關系c理想彈塑性關系系曲線鋼筋本構關系采用彈塑性關系(二直線關系)，見圖2.5b,c所示，

f、￡表示鋼筋屈服強度、屈服應變，E表示鋼筋彈性模量，E=0.01E，￡表

yyssissu示鋼筋的極限拉應變。二.反復加載應力應變關系:圖2-6a鋼筋在反復荷載作用下應力-應變滯回環(huán)圖2-6b鋼筋的骨架曲線圖2-6a鋼筋在反復荷載作用下應力-應變滯回環(huán)圖在往復荷載作用下，鋼筋本構關系存在包辛格效應（Bauschingereffect）。包辛格效應一一塑性力學中的一個效應,指具有強化性質的材料由于塑性變形的增加,屈服極限在一個方向上達到，并產(chǎn)生塑性變形后，在另一個方向（反向）加載時屈服強度降低的現(xiàn)象。1.在往復荷載作用下鋼筋本構關系分以下三種情況：（1）鋼筋應力K|<fy時：鋼筋服從線彈性關系，b=E￡

，即服從圖2.16的OA直線。力-應變關系d鋼筋應力變號后應力-應變骨架曲線圖2.6鋼筋應力未變號時應力-應變關系，即服從圖2.16的OA直線。力-應變關系d鋼筋應力變號后應力-應變骨架曲線圖2.6鋼筋應力未變號時應力-應變關系（3）鋼筋應力|。|>f而且鋼筋發(fā)生變號時：鋼筋服從彈塑性關系，但產(chǎn)生包辛格效應。sy其骨架曲線（如圖2.6d所示）8>88<8(2.3-1)8-8

8>88<8(2.3-1)g8—8+CS8—8

—bsr——g8-8+C式中，8式中，8,一表示鋼筋最近一次變號時的應變;bg—表示鋼筋破壞強度；C—表示計算參數(shù)，其值為:0.0014+0.03938。0.0014+0.03938?！?」（1氣+0.001)(8—8+0.06)(8+0.0035)<0.0078<0.020.007(2.3-2)8|>0.02鋼筋卸載按斜率/直線進行，但再加載時b」不得超過鋼筋骨架曲線上對應的應力絕對值。鋼筋加載屈服后一一卸載一一再加載，形成鋼筋反復加栽的應力-應變滯回環(huán)。骨架曲線與單調加栽的應力應變曲線一致。2、考慮鋼筋與混凝土粘結滑移的鋼筋反復加載本構模型

a重復加載下軟鋼本構關系b加載考慮粘結滑移對鋼筋本構關系c考慮粘結滑移反復加載下鋼筋本構曲線圖2-7重復加載下軟鋼的力-變形曲線通過等效剛度法，考慮粘結滑移對鋼筋本構關系骨架線的影響，見圖2-7b，圖中虛線(3)(4)分別為屈服前后鋼筋原始彈模，實線(1)(2)為考慮鋼筋混凝土粘結滑移后的等效剛度，其中E=(0.81.0)E;卸載及再加載曲線采用Menegotto和Pinto(1973)建議的模型，見圖2-7c實線(5)所示:曲線(5)的方程表達式：(1-b)8*R=R-0a+&b*=b8*+-A_(1+8*R=R-0a+&式中，8-8s，80一8,b-bs，b-bR是決定曲線形狀的參數(shù)，反映鋼筋的包辛格(Bauschinger)效應。三、鋼筋的廢勞強度（一）鋼筋的廢勞破壞指鋼筋在承受周期性動荷載作用下，經(jīng)過一定次數(shù)后，從塑性破壞變成脆性斷裂的破壞現(xiàn)象。原因：鋼筋內(nèi)部的缺陷、鋼筋本身不均勻或鋼筋外表的變形突變或缺陷。（二）疲勞強度定義：指在某一規(guī)定應力幅度內(nèi)，經(jīng)受一定次數(shù)循環(huán)荷載后（200萬次），發(fā)生疲勞破壞的最大應力值。（該值低于靜荷載下鋼筋的極限強度、有時低于屈服強度）影響因素：應力幅度（主要因素）、最小應力值、鋼筋外形、鋼筋直徑、試驗方法等?！?.4混凝土的本構關系微觀結構——水泥石結構；、混凝土的結構分為:亞微觀結構一一水泥砂漿；混凝土為內(nèi)有孔隙、微裂縫的復合材料〔/宏觀結構一一砂漿和粗骨料。2.4.1混凝土本構關系綜述本構關系通常建立在結構分析的尺度和層次上，最基本的是材料一點的應力-應變關系，由此推導其它各種本構關系。已經(jīng)取得的研究成果有：?混凝土單軸受壓、受拉應力-應變關系；?混凝土多軸強度（破壞準則）和應力-應變關系；?多種環(huán)境和受力條件下的應力-應變關系；?鋼筋與混凝土的粘結-滑移關系；?約束混凝土應力-應變關系；?構件在單調荷載和反復荷載下的彎矩-曲率關系；?構件在單調荷載和反復荷載下的軸力-變形關系；建立本構模型的方法：試驗、理論、半經(jīng)驗半理論的方法，基于已有的理論框架，針對混凝土的力學特性，確定混凝土本構關系。具體有：

（1）用結構工程相同的混凝土材料，制作足量的試件，通過試驗測定；（2）選定適合分析特色的本構模型，其數(shù)學式中待定參數(shù)通過試驗標定;（3）直接采用經(jīng)過試驗驗證或工程證明可行的本構關系式。2.4.2混凝土單向受壓應力應變關系特點:圖2-8柱體受壓試件圖2-9混凝土破壞機理圖2-8柱體受壓試件圖2-9混凝土破壞機理（1）典型應力-應變關系：圖2-10混凝土典型應力-應變關系OA—彈性階段；AB一裂縫穩(wěn)定發(fā)展階段；BC一不穩(wěn)定裂縫擴展階段（2）體積應變：

■3-1A00.511.52圖2-10縱向應變，橫向應變及體積應變的變化曲線體積應變：8=￡1+82+830＜。＜（0.75?0.9）f體積應變與b成線性關系一一體積收縮；C（0.75?0.9）f＜b＜匕體積應變改變方向且為非線性——體積膨脹。（3）不同混凝土強度的應力-應變曲線:功）圖2-11典型受壓應力-應變曲線（4）不同加載速度：加載速度越快，混凝土強度越高，破壞脆性越明顯。一、混凝土受壓應力-應變?nèi)€全曲線的特點：設x=旦;y=-，幾何特點：8fc1c（1）x=0,y=0;（2）0Wxv1,也＜0;dx2x=1,空=0;dx下降段上有拐點，企=0(D點);dx2(1)X—8時，y—0且空—0；dx（2）下降段曲線上有曲率最大點（E點），竺=0（E點，在D點右側）;dx3全曲線xN0,0<yW1全曲線xN0,0<yW1。圖2-12典型受壓應力-應變曲線混凝土受壓應力-應變?nèi)€方程，按數(shù)學函數(shù)分類，有多項式、有理式、三角函圖2-11全曲線的特征二、我國規(guī)范中混凝土受壓應力?應變?nèi)€方程現(xiàn)行《混凝土結構設計規(guī)范》建議了兩個混凝土受壓應力-應變關系。用于正截面極限承載力計算的應力-應變關系全曲線分為上升段和水平段。r￡)n1-1-—8—C―(1)上升段：C0<8<8c(2)水平段：~8ccu式中，〃=2-U頃廣5。)<260cu,ke=0.002+0.5(/-50)x10-5>0.002ccti,ks=0.0033-(/-50)x10-5>0.003;ucu,k表2-1混凝土受壓應力-應變曲線的參數(shù)強度等級C15-C5OC55C6OC65C70C75C8015-50556065強度等級C15-C5OC55C6OC65C70C75C8015-50556065707580fi2.01,9171.8331.751.667L5831.52.02,0252.052.0752J2J252.15￡cu(103,33.253.203.153J3,053.0C8010C7OC600自￡u0圖2-13我國規(guī)范應力-應變曲線用于非線性分析的應力-應變關系全曲線分為上升段和下降段，二者在峰值點連續(xù)。+(3-2a)a+(a—2)a0<￡<￡(2)下降段：o=f/氣】/P<e<ec(sI2I￡1'ua——-1+——<ec)式中，f-混凝土軸心抗壓強度，根據(jù)分析方法和極限狀態(tài)的需要分別取為標準值、設計值或平均值S--S--相應于f的應變;CC上升段參數(shù)a=2.4-0.0125f,ac線的參數(shù)下降段參數(shù)a=0.157/0.785-0.905

dc線的參數(shù)(N/&)152025303540(x10s)13701470156016401720腳紅_2.212.J52.092.031,96193.410.74L061.361.6519f5。4.23.02,62.3242.0表2-2混凝土單軸受壓混凝土應力?應變曲曲線形狀不同；峰值應力對應的應變不同，％<￡c圖2-14混凝土受壓應力.應變?nèi)€上升段的形狀稍有不同。4.高強混凝土應力-應變關系fcm一(8fcm一(81+官-2)一

EcI?L]uI——I204064)80100^(N/mm3)圖2-16混凝土應力-應變曲線隨強度等級的變化三、其它應力-應變?nèi)€方程1、CEB-FIP規(guī)范―0-—(1)8<8:b=c__0uE式中，8=-0.002;0七=8+f'；混凝土抗壓強度平均值;E0為初始彈模;=f/0.002,E為相應于峰值點的割線模量。2-17CEB-FIP曲線(2)￡>￡u~^-、￡/￡(￡,￡)2、u0u0人￡0(p\1-2E\+1I0kc；2-1/cm三次多項式模擬b=C0+C]￡+C2￡2+C￡3根據(jù)邊界條件:(a)￡=0,b=0；(b)￡=0，A氣；￡=￡,b=b；￡=￡0,d~=Q；確定系數(shù)C0,C1,C2,C3,5.美國規(guī)范中Hongnestad建議公式（1）上升段：b=b0(U)2,營0J("2￡（2）下降段：b=b01-0.15(￡-￡、I￡-￡Ju0式中，￡=0（1）上升段：b=b0(U)2,營0J("2￡（2）下降段：b=b01-0.15(￡-￡、I￡-￡Ju0c圖2-18Hongnestad建議公式曲線Saenz建議公式G"=—9EPe1+嘗一2)(—)+(—)2EssC00

Elwi和Murray改進上式,CJ=A+B&+Ce2+D&3由邊界條件：(1)￡=0,c=0;(2號。,專=氣;(3)8=8,C>=

ob；0=0;d&(5),b=bu得,C)=_1+(R+烏ECEe

9

2)(±)-(27?-1)(±)2+7?(±)3

C￡0bEIEJ—l)且R=—(8/￡-1)2

u10圖2-19改進的Seanz曲線忽略邊界條件（5）,可得Seanz公式。各應力-應變?nèi)€比較Hongnestad和我國規(guī)范建議的計算正截面極限承載力的。一^關系，表達式簡單，易于計算，適合工程計算；CEB、Seanz和我國規(guī)范建議的用于非線性分析的。一￡關系，較符合試驗結果，適于研究分析；三次多項式模擬公式既簡單，易于計算，又較精確，有廣闊的應用前景。[I.I]~~~~~~|1'1~~~~~~~1.UUUI.LU_J.ILLJ.U.JJ1U.L.UUb圖2-20CEB規(guī)范、中國規(guī)范、Hongnestad曲線比較三種分析結果與試驗數(shù)據(jù)均比較接近。中國規(guī)范和Hongnestad建議的應力應變關系分析的截面極限彎矩略低于試驗結果，CEB規(guī)范建議的應力應變關系分析的極限彎矩略高于試驗結果。0.12一圖2-18構件截面及截y-^s-0.1面彎矩-曲率?曲線0.060.05-0.040.020.04Pb0.02W30.084yW,W,W,W圖2-21箍筋約000.030.12一圖2-18構件截面及截y-^s-0.1面彎矩-曲率?曲線0.060.05-0.040.020.04Pb0.02W30.084yW,W,W,W圖2-21箍筋約000.03s圖2-21梁的荷載一撓度關系cim0.040.06MM~10.022.4.3箍筋約束混凝土受壓應力浦4AB段:ru\b=f'2—-8I80JAB段:BC段：b=f一Z(8-8)]8<8<8CD段：f=0.2fr8>820式中80=0.002Z=850u3+0.002f0.58+850h-0.00250uf'—1000850h=4*〃一被約束混凝土的寬度;1h箍筋面積與被箍筋約束混凝土面積的比;封閉箍筋的間距。2.4.4混凝土受拉應力應變曲線混凝土抗拉強度f—tension劈拉強度(splittensilestrength):ft，s兀a2式中：F—壓力；立方體試件邊長;圖2-22混凝土抗拉試驗3）裂線發(fā)僵過程。中數(shù)字為裂縫里現(xiàn)次序圖2-21混凝土受拉應力應變?nèi)€3）裂線發(fā)僵過程。中數(shù)字為裂縫里現(xiàn)次序1.Kulicki和Kosten建議的拉應力-應變關系￡<￡<￡<￡b=E0￡t（￡一￡）tCt￡<￡<￡式中，￡t=0.55￡cr,￡皿凝=0.0007E0—初始彈性模量，同受壓;￡cr一不考慮鋼筋與混凝土之間黏結對混凝土受拉開裂后的影響;￡t一考慮鋼筋與混凝土之間黏結對混凝土受拉開裂后的影響。圖2-22受拉應力-應變關系2.CEB-ModelCode(1990)開裂前：bct=E0￡bCtJ0.9fctm

b=f°.1—°.9/<bV/ctctm°00015-o'fctmctmctm.ECtm0圖2-22受拉應力-應變關系〃-W…〃開裂后："廣fctm(1-0.85訶)°」5fctm""ct"fc1b=-0.15fctm(W-W)+0.15f0Vb<0.15fctW-W1ctmctctmc1fctm一混凝土平均抗拉強度，MPaW]--裂縫張開度(mm)，嗎=2|F-0.15WcctmWc—bct=0時的開裂度(mm),W=PFctmGf=aF(ftcm/10)0.7為混凝土開裂能;aF,aF,PF與骨料粒徑有關的系數(shù)，分別見CEBModelCodep2-7,p2-16.圖2-23CEB規(guī)范建議的受拉應力應變曲線3、二折線模型b=f—0<8<8t8ttb=f(1-a8-81)u-混凝土受拉最大應變<8<8式中，f--混凝土抗拉強度t8—8tut

V相應于二的應變圖2-24混凝土受拉二折線關系4、三折線模型Q=(|)(8)?￡(|)=E0<8<8^o￡d)=Eu-混凝土受拉最大應變V相應于二的應變圖2-24混凝土受拉二折線關系4、三折線模型Q=(|)(8)?￡(|)=E0<8<8^o￡d)=E—2-+E(1-—2H￡t282388(b=d)(s)2-+E(1-Y3*2'37St3￡￡<￡<￡34圖2-25混凝土受拉三折線28Q=/erg+0.00018>0.00015b=02.4.5重復加載下混凝土應力-應變曲線重復加載：加載一卸載一再加載圖2-24重復荷載下應力應變關系⑴軸心受壓應力-應變曲線；等應變增量的完全加-卸載;等應變增量的部分加-卸載;等應力循環(huán)加-卸載；等應變循環(huán)加-卸載；⑴沿卸載曲線的循環(huán)加卸載。

不同加卸載過程的應力應變曲線的包絡線(骨架曲線)與單調加載應力-應變?nèi)€一致。加卸載曲線的交點依次相連的穩(wěn)定點軌跡線與應力-應變的包絡線相似，其比值為0.86?0.93.多次循環(huán)加載后達到穩(wěn)定變形的點連接成的軌跡線，也與包絡線線似，比值為0.7?0.8.砼重復加載應力-應變關系包括骨架曲線、卸載及再加載曲線。卸載及再加載模型有：1.Blakeley重復加載直線模型￡<￡0時，加載、卸載均是以E0為斜率的直線；￡>￡°時，從卸載點垂直向下卸到一半，然后考慮剛度退化系數(shù)k進行卸載和再加載。k=0.8-（氣0k=0.8-（氣0）x0.7>0.1ec￡20-￡0相應于最大應力只剩20%時的應變;202,重復加載曲線模型(TakiguchiandTanigawa)圖2-25Blakeley模型⑴骨架曲線￡<￡時，b=2侶0￡0￡0+￡￡>￡>￡時，b=kb{1-[200（￡-￡）]2}u0」，100刀J￡>￡時，b=0.3勺。0\--系數(shù)，0.8?1.0

(2)加、卸載曲線卸載：8-0.28

b=b111.88-81再加載:8]<80:8-0.28b=2帝1080+8-。吒280>81〉80:((2)加、卸載曲線卸載：8-0.28

b=b111.88-81再加載:8]<80:8-0.28b=2帝1080+8-。吒280>81〉80:(=2b18-0.281(8+8-0.28'01y8\八81701式中，匕，氣一卸載時的應變、應力;3、重復加載曲線模型(Scott)混凝土反復加載本構關系見圖2-27所示，混凝土加載骨架線采用Scott等人擴展后的Kent-Park模型，該模型通過改變混凝土受壓骨架曲線的應變軟化段斜率來考慮箍筋約束的影響，如圖2-27中曲線(1)(2)(3)所示；卸載采用直線方程，卸載曲線屈服前如圖2-27中曲線(4)所示，屈服后如圖2-27中曲線(5)所示；卸載后再加載時考慮混凝土裂面效應的影響，屈服前卸載再加載曲線如圖2-27中曲線(7)所示，屈服后卸載再加載曲線如圖2-27中曲線(6)所示。

虞［1—Z（E與）